Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
|
|
- Magdalena Jóźwiak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
2 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest ograniczony z dołu, jeżeli m R x X x m 2 Zbiór X R jest ograniczony z góry, jeżeli M R x X x M Jeżeli zbór jest ograniczony z dołu i z góry mówimy po prostu, że jest ograniczony. Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 2 / 16
3 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Element najmniejszy i największy zbioru 1 Liczba a jest najmniejszym elementem zbioru X R, co zapisujemy a = min X, jeżeli a X oraz x X x a 2 Liczba b jest największym elementem zbioru X R, co zapisujemy b = max X, jeżeli b X oraz x X x b XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 3 / 16
4 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Kresy zbiorów 1 Niech zbiór X R będzie ograniczony z dołu. Liczba a jest kresem dolnym zbioru X, co zapisujemy a = inf X, gdy x X a x oraz ε > 0 x 0 X x 0 < a + ε 2 Niech zbiór X R będzie ograniczony z góry. Liczba b jest kresem górnym zbioru X, co zapisujemy b = sup X, gdy x X x b oraz ε > 0 x 0 X b ε < x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 4 / 16
5 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Kresy zbiorów 1 Niech zbiór X R będzie ograniczony z dołu. Liczba a jest kresem dolnym zbioru X, co zapisujemy a = inf X, gdy x X a x oraz ε > 0 x 0 X x 0 < a + ε 2 Niech zbiór X R będzie ograniczony z góry. Liczba b jest kresem górnym zbioru X, co zapisujemy b = sup X, gdy x X x b oraz ε > 0 x 0 X b ε < x 0 Aksjomat ciągłości Każdy niepusty zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny, a ograniczony z góry ma kres górny. Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 4 / 16
6 Funkcje Funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 5 / 16
7 Funkcje Definicja Definicja Funkcją f nazywamy odwzorowanie zbioru X w zbiór Y, które przyporządkowuje każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jeden element y = f(x) ze zbioru Y. Piszemy: f : X Y, y = f(x) dla x X XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 6 / 16
8 Funkcje Definicja Definicja Funkcją f nazywamy odwzorowanie zbioru X w zbiór Y, które przyporządkowuje każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jeden element y = f(x) ze zbioru Y. Piszemy: f : X Y, y = f(x) dla x X Dziedzina, zbiór wartości X = D f nazywamy dziedziną funkcji Dziedzina naturalna to zbiór tych x R, dla których wzór funkcji ma sens. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 6 / 16
9 Funkcje Definicja Definicja Funkcją f nazywamy odwzorowanie zbioru X w zbiór Y, które przyporządkowuje każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jeden element y = f(x) ze zbioru Y. Piszemy: f : X Y, y = f(x) dla x X Dziedzina, zbiór wartości X = D f nazywamy dziedziną funkcji Dziedzina naturalna to zbiór tych x R, dla których wzór funkcji ma sens. zbiór wartości lub przeciwdziedzina to zbiór W f = {y Y : y = f(x), x X} Y XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 6 / 16
10 Funkcje Wykres Definicja Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów (x, y) na płaszczyźnie takich, że f(x) = y dla x X. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 7 / 16
11 Funkcje Wykres Definicja Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów (x, y) na płaszczyźnie takich, że f(x) = y dla x X. Uwaga Nie każda krzywa na płaszczyźnie jest wykresem funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 7 / 16
12 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16
13 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność Definicja Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16
14 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność Definicja Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X Funkcję f : X Y nazywamy nieparzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16
15 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność Definicja Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X Funkcję f : X Y nazywamy nieparzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X Definicja Funkcję f : X Y nazywamy rosnącą (malejącą), jeżeli dla dowolnych x 1, x 2 X spełniających nierówność x 1 < x 2 mamy f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )) Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16
16 Funkcje Złożenie funkcji Definicja Złożeniem funkcji f : Y Z i g : X Y nazywamy funkcję h : X Z daną wzorem h(x) = (f g)(x) = f(g(x)) Funkcję g nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję f funkcją zewnętrzną D f g = {x R : x D g g(x) D f } Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 9 / 16
17 Funkcje Injekcja, surjekcja, bijekcja Definicja Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (injekcją), jeżeli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tj. dla dowolnych x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) ozn. f : X 1 1 Y XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 10 / 16
18 Funkcje Injekcja, surjekcja, bijekcja Definicja Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (injekcją), jeżeli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tj. dla dowolnych x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) ozn. f : X 1 1 Y Funkcję f : X Y nazywamy na (surjekcją), jeżeli dowolny y Y jest wartością funkcji dla pewnego x X, tzn. W f = Y ozn. f : X na Y XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 10 / 16
19 Funkcje Injekcja, surjekcja, bijekcja Definicja Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (injekcją), jeżeli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tj. dla dowolnych x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) ozn. f : X 1 1 Y Funkcję f : X Y nazywamy na (surjekcją), jeżeli dowolny y Y jest wartością funkcji dla pewnego x X, tzn. W f = Y ozn. f : X na Y Funkcję, która jest jednocześnie 1 1 i na nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją). ozn. f : X 1 1 Y na XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 10 / 16
20 Funkcje Funkcja odwrotna Definicja Jeżeli f : X Y jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, to jest ona odwracalna. Funkcją odwrotną, ozn. f 1 : Y X do f jest funkcja taka, że dla każdego x X, y Y f 1 (y) = x y = f(x) Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu f(x) przez odbicie względem prostej y = x. Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 11 / 16
21 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16
22 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16
23 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N C = {x R : x 7 15x = 0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16
24 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N C = {x R : x 7 15x = 0} D = {x R : sin x < 0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16
25 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N C = {x R : x 7 15x = 0} D = {x R : sin x < 0} { } 2n E = n + 3 : n N powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16
26 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16
27 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16
28 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q { } 1 C = : x (0, 1 x XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16
29 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q { } 1 C = : x (0, 1 x { } 8 D = 2 + x 2 : x R XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16
30 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q { } 1 C = : x (0, 1 x { } 8 D = 2 + x 2 : x R { 7 E = 10, , 777 } 1000,... { } 2 3 F = k n : k, n N powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16
31 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
32 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
33 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g 1.26 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
34 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
35 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c Czy złożenie funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją parzystą/nieparzystą? XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
36 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c Czy złożenie funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją parzystą/nieparzystą? Zadanie 4. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = 2 x, D f = (, 2 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
37 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c Czy złożenie funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją parzystą/nieparzystą? Zadanie 4. Zbadaj monotoniczność funkcji powrót f(x) = 2 x, D f = (, 2 g(x) = x + 4 x, D g = 2, ) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
38 Zadanie 5. Określ f g, g f oraz ich dziedziny jeżeli f(x) = 3 x, g(x) = 1 x 2 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 15 / 16
39 Zadanie 5. Określ f g, g f oraz ich dziedziny jeżeli f(x) = 3 x, g(x) = 1 x 2 1 Zadanie 6. Czy złożenie funkcji malejącej i rosnącej jest funkcją malejącą czy rosnącą? powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 15 / 16
40 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16
41 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16
42 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. Zadanie 9. Skonstruuj funkcje: f : 1, 2 na 0, 3 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16
43 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. Zadanie 9. Skonstruuj funkcje: f : 1, 2 na 0, 3 g : (1, 2) na 0, 3 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16
44 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. Zadanie 9. Skonstruuj funkcje: f : 1, 2 na 0, 3 g : (1, 2) na 0, 3 powrót h : 0, na (0, 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Bardziej szczegółowoO funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoZapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.
Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoFunkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.
FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Bardziej szczegółowoFunkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013 1 Podstawowe definicje i fakty 2 funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoZbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty
Wstęp do analizy i algebry - II. Funkcje: podstawowe własności i przegląd funkcji elementarnych I. Funkcje - definicja, dziedzina, przeciwdziedzina, wykres, funkcje w ekonomii Matematyka pozwala nam opisywać
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoWielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowo3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe i funkcje wykład 1
Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1 dr Mariusz Grządziel 6 października 2008 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoFunkcja jest różnowartościowa w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom funkcja ta przyporządkowuje różne wartości.
Gdy mamy daną funkcję, poza określeniem jej dziedziny i miejsca zerowego możemy badad szczególne własności, takie jak: monotonicznośd, różnowartościowośd, parzystośd, nieparzystośd. Na temat monotoniczności
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 5: Funkcja liniowa
Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa 6 maja 2005 1 Pojęcia podstawowe. Definicja 1.1 (funkcja liniowa). Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję f : R R daną wzorem: f(x) = ax + b nazywamy
Bardziej szczegółowoRoger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09 Spis treści Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina Wykres funkcji Przekształcanie wykresów funkcji Sposoby zadawania
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowoW. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoSprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoWykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoPojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza
Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza dr Mariusz Grządziel Wykład 1; 10 marca 2013 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0
Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II
Bardziej szczegółowoMatematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.
Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoRelacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji
Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoModelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowo7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia wykresów funkcji
Przekształcenia wykresów funkcji Przekształcenia wykresów funkcji Jerzy Rutkowski Teoria Niech f : R R będzie dowolną funkcją i niech liczby a, k R spełniają warunki: a > 0 i k 0. Związek między funkcją
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoSchemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej
Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/10 funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę
Bardziej szczegółowoRELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowo