Strategia czy intuicja?

Transkrypt

1 Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009

2 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny), gracze wybieraj na przemian elementy zbioru A, gra toczy si w niesko«czono±, gracze wyprodukuj pewien ci g a = a n n N A N - wynik gry, dany jest zbiór X A N - zbiór wypªat gracz I wygrywa, je»eli a X, w przeciwnym wypadku wygrywa II. graczom bez straty ogólno±ci mo»na narzuci reguªy gry.

3 Strategie Pozycj nazywamy dowolny sko«czony ci g a 0, a 1,..., a k A <N (zgodny z reguªami gry). Strategi nazywamy dowoln funkcj Φ : A <N A. Strategia mówi jaki ruch wykona w zale»no±ci od aktualnej pozycji. Strategia jest dla danego gracza strategi wygrywaj c, gdy graj c wg. tej strategii wygrywa niezale»nie od posuni przeciwnika.

4 Przypomnienie - topologia w A N Uwaga Dla s A <N deniujemy [s] = {x A N : s x}, Zbiory postaci [s] tworz baz topologii A N. Zbiory te s domkni to-otwarte. je»eli A < N, to A N jest homeomorczna ze zbiorem Cantora, je»eli A = N, to A N jest homeomorczna z R \ Q, Uwaga Typowa reguªa gry stanowi domkni ty warunek.

5 Gra niezdeterminowana Twierdzenie Istnieje gra, w której»aden gracz nie ma strategii wygrywaj cej. Dowód. niech A = {0, 1}. rozwa»my wszystkie mo»liwe gry, w których ustalony gracz (np. I) gra wg. ustalonej strategii. zbiór wyników takich gier jest homeomorczny ze zbiorem Cantora. niech zbiorem wypªat b dzie zbiór B {0, 1} N taki,»e ani on ani jego dopeªnienie nie zawieraj homeomorcznej kopii zbioru Cantora (zbiór Bernsteina).

6 Jak zrobi zbiór Bernsteina? Obserwacja Istnieje zbiór Bernsteina B 2 N. Szkic dowodu. Z ka»dej kopii P zbioru Cantora wybra dwa ró»ne punkty a P, b P, Utworzy zbiór B z wszystkich mo»liwych punktów b P, Trudno± : wybieraj c punkty zadba, by»aden punkt a P nie nale»aª do B, tzn. wybieraj c b P omija wszystkie a Q. Reklama Bernstein sets with algebraic properties. CEJM.

7 Gry otwarte i gry domkni te Twierdzenie (Gale-Stewart) Ka»da gra otwarta i ka»da gra domkni ta jest zdeterminowana, tzn. je»eli zbiór wypªat X jest otwarty lub domkni ty, to jeden z graczy ma strategi wygrywaj c. Wniosek Wszystkie gry sko«czone (tzn. takie, w których wynik jest znany po sko«czonej i znanej z góry liczbie ruchów) s zdeterminowane.

8 Dowód twierdzenia Gale'a-Stewarta Dowód. Zaªó»my,»e F A N jest domkni ty oraz»e II nie ma strategii wygrywaj cej. Poka»emy,»e gracz I ma strategi wygrywaj c. Gracz I mo»e wykona taki ruch,»e II nadal nie b dzie miaª strategii wygrywaj cej dla dalszego ci gu gry...i niech to b dzie strategi gracza I w ka»dym ruchu. Zagrajmy! (I gra wg. tej strategii, II gra dowolnie) Gracze wyprodukowali ci g a 0, a 1,......który ma t wªasno±,»e w ka»dym jego otoczeniu jest pewien element F. F jest domkni ty, wi c a 0, a 1,... F. Gracz I wygraª!

9 borelowskich i rzutowych Twierdzenie (Martin) Ka»da gra borelowska jest zdeterminowana. Denicja Zbiór jest analityczny, je»eli jest ci gªym obrazem zbioru borelowskiego (równowa»nie: ci gªym obrazem przestrzeni N N ). Twierdzenie (Martin) Je»eli istnieje mierzalna liczba kardynalna, to ka»da gra analityczna jest zdeterminowana.

10 *-game G (F ) Dany jest zbiór F R. gracz I gra par U0 0, U0 1 zbiorów otwartych w R o rozª cznych domkni ciach i ±rednicy <1, gracz II gra i 0 {0, 1} - wybiera jeden z tych zbiorów U 0 i 0. w ruchu n + 1 gracz I gra par U0 n+1, U1 n+1 otwartych podzbiorów U n 1 o rozª cznych domkni ciach i ±rednicy <, in 2 n+1 w ruchu n + 1 gracz II gra i n+1 {0, 1} - wybiera jeden z tych zbiorów U n+1. in+1 Z tw. Baire'a U n = {x}; I wygrywa gdy x F. n in Obserwacja Je»eli gracz I ma strategi wygrywaj c w G (F ), to F zawiera homeomorczn kopi zbioru Cantora.

11 Unfolded *-game G u (F ) Dany jest zbiór F R N N. gracz I gra par U0 0, U0 1 zbiorów otwartych w R o rozª cznych domkni ciach i ±rednicy <1 oraz liczb naturaln k 0, gracz II gra i 0 {0, 1} - wybiera jeden z tych zbiorów U 0 i 0. w ruchu n + 1 gracz I gra par U0 n+1, U1 n+1 otwartych podzbiorów U n 1 o rozª cznych domkni ciach i ±rednicy < in 2 n+1 oraz liczb naturaln k n+1, w ruchu n + 1 gracz II gra i n+1 {0, 1} - wybiera jeden z tych zbiorów U n+1 in+1. I wygrywa, gdy x, y F, gdzie n U n in = {x}, y = k 0, k 1,....

12 G u (F ) a wªasno± zbioru doskonaªego Twierdzenie Dany jest zbiór F R N N, niech A = Π R [F ]. Je»eli I ma strategi wygrywaj c w G u (F ), to A zawiera kopi zbioru Cantora. Je»eli II ma strategi wygrywaj c w G u (F ), to A jest co najwy»ej przeliczalny.

13 Dowód Ustalmy strategi wygrywaj c Φ dla gracza II. We¹my x A i niech y = y 0, y 1, y 2,... N N b dzie takie,»e x, y F. Pozycja σ = U0 0, U0 1, y 0, i 0,..., U0 n 1, U1 n 1, y n 1, i n 1 jest dobra dla x, y, gdy II graª dotychczas wg. Φ oraz x U n 1. in 1 Dla ka»dego x, y F istnieje maksymalna dobra pozycja, inaczej I mógªby wygra. Niech A σ,k to zbiór punktów z U n 1, które na pewno nie in 1 znajd si w U n, o ile gracz I zagra liczb k i dowolne U n in 0, U 1 n, a gracz II zagra i n wg. strategii Φ. Je»eli σ jest maksymalna dobra dla x, y, to x A σ,y n. A A σ,k σ,k. Dla dowolnych σ, k zbiór A σ,k jest co najwy»ej jednopunktowy.

14 Twierdzenie Suslina Twierdzenie Je»eli A R jest analityczny, to A N lub A = R. Dowód. je»eli A R jest analityczny, to jest rzutem pewnego domkni tego F R N N. F -domkni ty G u (F ) jest zdeterminowana (to wymaga chwili zastanowienia). To który gracz ma strategi rozstrzyga o mocy A na podstawie poprzedniego twierdzenia.