GRUPA PODSTAWOWA I X. GRZEGORZ ZBOROWSKI
|
|
- Dorota Białek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 GRUPA PODSTAWOWA GRZEGORZ ZBOROWSKI 1. Definicja i podstawowe poj cia Pierwszym krokiem do zdeniowania grupy podstawowej b dzie poj cie drogi w przestrzeni topologicznej, czyli mówi c nie±ci±le, krzywej ª cz cej dwa dowolne punkty, przy czym nie wymagamy od tej krzywej nic ponad to, by skªadaªa si z jednego kawaªka mo»e w szczególno±ci przecina si sama ze sob, mie ostre k ty lub by po prostu punktem. X b dzie przestrzeni topologiczn, a I oznacza przedziaª [0, 1]. Denicja 1. Drog w przestrzeni X nazywamy ci gªe odwzorowanie f : I X. Jak do± ªatwo zauwa»y, takich dróg jest bardzo du»o nawet na prostej rzeczywistej. Przykªadem mo»e by ruch punktów po odcinku z ró»nymi pr dko±ciami, daj cy ró»nie sparametryzowane drogi na tym odcinku. Wprowadzimy zatem pewn relacj równowa»no±ci. Denicja 2. Dwie drogi f 0 i f 1 w przestrzeni X s homotopijne, f 0 f 1, gdy istnieje ci gªe odwzorowanie F : I I X takie,»e F (s, 0) = f 0 (s) oraz F (s, 1) = f 1 (s) dla wszystkich s I. Odwzorowanie F nazywamy homotopi dróg. Mo»emy te» zdeniowa homotopi mi dzy drogami f 0 i f 1 jako rodzin ci gªych odwzorowa«{f t : I X} t I takich,»e odwzorowanie F (s, t) := f t (s) jest ci gªe. Od razu wida,»e obie denicje s równowa»ne. Je»eli F (0, t) = x 0 oraz F (1, t) = x 1 dla wszystkich t I, to powiemy,»e homotopia F zachowuje punkty ko«cowe. Od tego momentu, gdy mówimy o homotopii mi dzy drogami, mamy na my±li homotopi zachowuj c punkty ko«cowe. Przykªad 1. Homotopie liniowe. Ka»de dwie drogi f 0 i f 1 w dowolnym podzbiorze wypukªym topologicznej przestrzeni wektorowej (w szczególno±ci R n ) s homotopijne przez odwzorowanie F (s, t) = (1 t)f 0 (s)+tf 1 (s), zwane homotopi liniow. Twierdzenie 1. Relacja homotopijno±ci dróg jest relacj równowa»no±ci w zbiorze dróg. Dowód. Niech f b dzie dowoln drog w przestrzeni X. Zwrotno±, f f, otrzymujemy za pomoc homotopii staªej, F (s, t) = f(s) dla wszystkich s, t I. 1
2 2 GRZEGORZ ZBOROWSKI Niech teraz f 0 f 1 dla pewnych dróg f 0 i f 1, przez homotopi F. Homotopi f 1 f 0 deniujemy wówczas za pomoc wzoru G(s, t) := F (s, 1 t) (homotopia odwrotna do F ). Mamy wi c symetryczno± relacji. Pozostaje udowodni przechodnio±. Niech f g oraz g h dla pewnych dróg f, g, h. Oznaczmy homotopi mi dzy f i g przez G, a homotopi mi dzy g i h przez H. Homotopi F mi dzy f i h deniujemy wówczas nast puj co: { G(s, 2t), t [0, 1 F (s, t) = 2 ], H(s, 2t 1), t [ 1 2, 1]. Ci gªo± tego odwzorowanie wynika z ci gªo±ci G i H. Oznaczmy przez [f] klas homotopii drogi f, czyli klas równowa»no±ci wzgl dem relacji bycia homotopijnym. Elementami grupy podstawowej s klasy homotopii dróg o tym samym pocz tku i ko«cu. Denicja 3. P tl zaczepion w punkcie x 0 X nazywamy drog f : I X tak,»e f(0) = f(1) = x 0. Punkt x 0 b dziemy nazywali punktem zaczepienia. Niech π 1 (X, x 0 ) oznacza zbiór wszystkich klas homotopii p tli w przestrzeni X zaczepionych w punkcie x 0. Zdeniujemy teraz pewne dziaªanie wewn trzne w π 1 (X, x 0 ). Je»eli drogi f i g speªniaj warunek f(1) = g(0), to mo»emy zdeniowa ich iloczyn jako { f(2s), s [0, 1 (f g)(s) = 2 ] g(2s 1), s [ 1 2, 1]. Z denicji tej wynika,»e iloczyn dróg jest równie» drog. Iloczyn dróg zachowuje homotopie w tym sensie,»e je»eli f 0 f 1, g 0 g 1 oraz speªnione s warunki f 0 (1) = g 0 (0) i f 1 (1) = g 1 (0), to f 0 g 0 f 1 g 1. Wida,»e iloczyn dwu dowolnych p tli zaczepionych w tym samym punkcie jest dobrze zdeniowany i jest p tl zaczepion w tym»e punkcie. Twierdzenie 2. Zbiór π 1 (X, x 0 ) wraz z dziaªaniem mno»enia dróg jest grup, zwan grup podstawow przestrzeni X w punkcie x 0. Dowód. W celu zwi zªego zapisu dowodu zdeniujmy poj cie reparametryzacji drogi f jako drog f ϕ, gdzie ϕ : I I jest odwzorowaniem ci gªym oraz ϕ(0) = 0 i ϕ(1) = 1. Mamy f f ϕ przez homotopi f ϕ t, gdzie ϕ t (s) = (1 t)ϕ(s) + ts. Na pocz tek udowodnimy,»e dziaªanie mno»enia klas homotopii jest ª czne. Niech f, g, h b d drogami w X takimi,»e f(1) = g(0) i g(1) = h(0). Iloczyny (f g) h i f (g h) s wtedy dobrze zdeniowane, a f (g h) jest reparametryzacj (f g) h przez funkcj 1 2 s, s [0, 1 2 ], ϕ(s) := s 1 4, s [ 1 2, 3 4 ], 2s 1, s [ 3 4, 1].
3 GRUPA PODSTAWOWA 3 Ograniczaj c si do klas homotopii p tli zaczepionych w x 0 dostajemy ª czno± dziaªania w π 1 (X, x 0 ). Kolejnym krokiem b dzie pokazanie istnienia elementu neutralnego. Niech f : I X b dzie ustalon drog w X i niech c b dzie drog staª : c(s) = f(1). Wida,»e f c jest reparametryzacj f, wi c f c f. Podobnie, je±li c(s) = f(0), to c f f. Wobec tego, dla dowolnej p tli f zaczepionej w punkcie x 0 i p tli staªej c(s) = x 0 pokazali±my,»e c f f c f. Ostatnim elementem dowodu jest pokazanie,»e ka»da klasa homotopii w π 1 (X, x 0 ) ma klas odwrotn. Niech g b dzie dowoln drog i g(0) = x 0, g(1) = x 1. Drog odwrotn ḡ deniujemy przez ḡ(s) = g(1 s). Droga g ḡ jest homotopijna z drog staª c(s) = g(0) przez homotopi {f t g t } t I, gdzie { f(s), s [0, 1 t] f t (s) = f(1 t), s [1 t, 1], a {g t } t I jest homotopi odwrotn do {f t } t I. Analogicznie mozna pokaza,»e ḡ g c 1, gdzie c 1 (s) = x 1. Nasuwa si teraz naturalne pytanie o zwi zek mi dzy grupami π 1 (X, x 0 ) i π 1 (X, x 1 ). Gdy punkty x 0 i x 1 mo»na poª czy drog h (czyli h(0) = x 0 i h(1) = x 1 ), odpowied¹ jest bardzo prosta. Twierdzenie 3. W powy»szej sytuacji odwzorowanie β h : π 1 (X, x 1 ) π 1 (X, x 0 ) zdeniowane przez β h ([f]) = [h f h] jest izomorzmem. Dowód. Odwzorowanie β h jest dobrze zdeniowane poniewa», je»eli {f t } t I jest homotopi p tli p i q zaczepionych w punkcie x 1, to {h f t h} t I jest homotopi p tli h p h oraz h q h zaczepionych w punkcie x 0. By pokaza,»e β h jest homomorzmem, wystarczy zauwa»y,»e Poniewa» β h ([f g]) = [h f g h] = [h f h h g h] = β h ([f]) β h ([g]). β h β h([k]) = β h ([ h k h]) = [h h k h h] = [k], to β h jest homomorzmem odwrotnym do β h. Tak samo pokazujem,»e (β h β h )([f]) = [f], wi c β h jest izomorzmem. Z powy»szego twierdzenia otrzymujemy natychmiastowy wniosek,»e je»eli przestrze«x jest drogowo spójna, czyli ka»de dwa jej punkty mo»na poª czy drog, to grupa π 1 (X, x 0 ) jest niezale»na od punktu x 0 (z dokªadno±ci do izomorzmu). Piszemy wtedy π 1 (X) zamiast π 1 (X, x 0 ). Przykªad 2. Dla dowolnego podzbioru wypukªego U topologicznej przestrzeni wektorowej X (np. R n ) mamy π 1 (U) = 0. Dzieje si tak, poniewa», jak pokazali±my w poprzednim przykªadzie, ka»de dwie drogi w zbiorze U s homotopijne.
4 4 GRZEGORZ ZBOROWSKI Ka»d przestrze«drogowo spójn z trywialn grup podstawow nazywamy przestrzeni jednospójn. W celu podania przykªadu przestrzeni, która nie jest jednospójna b dziemy musieli na chwil odej± od gªównego tematu. Jak si jednak pó¹niej oka-»e, ta dygresja zaopatrzy nas w wa»ne narz dzie do obliczania grup podstawowych przestrzeni. Najpierw jednak podamy twierdzenie o zwi zku grupy podstawowej produktu dwóch przestrzeni z grupami podstawowymi ka»dej z tych przestrzeni z osobna. Twierdzenie 4. Dla drogowo spójnych przestrzeni topologicznych X i Y grupa π 1 (X Y ) jest izomorczna z π 1 (X) π 1 (Y ). Szkic dowodu. Šatwo sprawdzi,»e X Y jest przestrzeni drogowo spójn. Twierdzenie wynika z prostego faktu,»e odwzorowanie f : Z X Y jest ci gªe wtedy i tylko wtedy, gdy wspóªrz dne g : Z X oraz h : Z Y zdeniowane przez f(x) = (g(x), h(x)) s ci gªe. W takim przypadku ka»dej p tli w X Y zaczepionej w punkcie (x 0, y 0 ) odpowiadaj p tle w X i Y zaczepione odpowiednio w x 0 i y 0. Podobnie ka»dej homotopii p tli w X Y odpowiadaj homotopie p tli w X i Y. 2. Przestrzenie nakrywaj ce Denicja 4. Nakryciem przestrzeni topologicznej X nazywamy przestrze«topologiczn X wraz z ci gª surjekcj p : X X tak,»e istnieje pokrycie otwarte {U α } przestrzeni X speªniaj ce nast puj cy warunek: dla ka»dego α zbiór p 1 (U α ) jest sum rodziny parami rozª cznych zbiorów otwartych w X, przy czym p Vβ : V β U α jest, dla ka»dego β, homeomorzmem. Przestrze«X nazywamy, w powy»szej sytuacji, przestrzeni nakrywaj c, a nakryciem czasem nazywa si samo odwzorowanie p. Zbiór p 1 (x), gdzie x X nazywamy wªóknem nakrycia. Zauwa»my,»e nasza denicja wyklucza tzw. nakrycia rozgaª zione. Przykªad 3. Krzywa ±rubowa S w R 3 o przedstawieniu parametrycznym R s (cos 2πs, sin 2πs, s) S wraz z odwzorowaniem p : S S 1 b d cym rzutowaniem na pierwsze dwie wspóªrz dne jest nakryciem okr gu S 1. Nakryciem okr gu S 1 jest równie» para (R, p), gdzie p : R t (sin t, cos t) S 1. Dzi ki parametryzacji krzywej ±rubowej S przez parametr t przebiegaj cy caªy zbiór liczb rzeczywistych, pierwsze nakrycie mo»emy traktowa jako geometryczn interpretacj drugiego. Przykªad 4. Odwzorowanie p : S 1 S 1 zdeniowane przez p(z) = z n jest n-krotnym nakryciem okr gu.
5 GRUPA PODSTAWOWA 5 Jak wida na powy»szych przykªadach, jedna przestrze«topologiczna mo-»e mie wiele przestrzeni nakrywaj cych. Istotn cech nakry jest zachowanie wzgl dem ci gªych odwzorowa«f : Y X, gdzie X i Y s przestrzeniami topologicznymi. Niech p : X X b dzie nakryciem przestrzeni X. Dla ka»dego takiego odwzorowania mo»emy zdeniowa odwzorowanie f : Y X, speªniaj ce warunek f = p f, zwane podniesieniem odwzorowania f. Twierdzenie 5. Niech p : X X b dzie nakryciem przestrzeni X, a {ft : Y X} t I homotopi. Zaªó»my,»e Y jest spójn przestrzeni topologiczn oraz,»e istnieje podniesienie f 0 : Y X odwzorowania f 0. Istnieje wówczas dokªadnie jedna homotopia { f t : Y X} t I podnosz ca {f t } t I. Przyjmuj c,»e Y jest przestrzeni jednopunktow, uzyskamy wªasno± podnoszenia dróg dla nakrycia p dla ka»dej drogi f : I X, ka»dego x 0 X i ka»dego elementu x 0 p 1 (x 0 ) takiego,»e f(0) = x 0, istnieje dokªadnie jedna droga f : I X podnosz ca f i zaczynaj ca si w x 0. Gdy Y = I, widzimy,»e ka»da homotopia {f t } t I drogi f 0 : I X podnosi si do homotopii { f t } t I dla dowolnego podniesienia f 0 drogi f 0. Podniesienie f t jest homotopi ustalaj c punkty ko«cowe, poniewa» gdy t si zmienia, to oba punkty ko«cowe f t przebywaj drogi b d ce podniesieniami drogi staªej, wi c staªe. 3. Przestrzenie z nietrywialn grup podstawow Gªównym wynikiem tej cz ±ci jest twierdzenie o grupie podstawowej okr gu S 1. Twierdzenie 6. Grupa podstawowa okr gu S 1 jest izomorczna z grup (Z, +) przez odwzorowanie Φ : Z π 1 (S 1 ), które ka»dej liczbie caªkowitej m przyporz dkowuje klas homotopii p tli ω m (s) = (cos 2πms, sin 2πms). Dowód. Idea dowodu polega na porównywaniu dróg w S 1 i R, gdzie R jest nakryciem okr gu zdeniowanym w przykªadzie 3. Ka»d p tl ω m w S 1 mo»emy podnie± do drogi ω m w R, o pocz tku w 0, danej przez ω m (s) = ms. Droga ta owija si w wokóª krzywej ±rubowej m razy w dóª, gdy m < 0, lub w gór, gdy m > 0. Zauwa»my teraz,»e mo»emy zmodykowa denicj odwzorowanie Φ w nast puj cy sposób. Niech Φ(m) b dzie równe klasie homotopii p tli p f, gdzie f : I R jest dowoln drog o pocz tku w zerze i ko«cu w m. Droga f jest homotopijna z ω m przez homotopi liniow (1 t) f + t ω m, wi c p f jest homotopijne z p ω m = ω m, a nowa denicja Φ zgadza si ze star. Na pocz tek wyka»emy,»e Φ jest homomorzmem. Niech n Z i niech τ n : R R b dzie translacj o n (τ n (x) = x + n). Wtedy ω n (τ n ω m ) jest drog w R, o pocz tku w zerze i ko«cu w m + n. Wobec tego Φ(m + n)
6 6 GRZEGORZ ZBOROWSKI jest klas homotopii p tli w S 1 b d cej obrazem drogi ω n (τ n ω m ) przez odwzorowanie p. Obraz ten to ω n ω m, wobec czego Φ(m + n) = Φ(m)Φ(n). By pokaza,»e Φ jest surjekcj we¹my dowoln p tl f : I S 1 zaczepion w (1, 0) reprezentuj c element [f] grupy podstawowej π 1 (S 1 ). Wskutek wªasno±ci podnoszenia dróg mo»emy t p tl podnie± do drogi f w R, o pocz tku w zerze, i to podniesienie jest jedyne. Poniewa» (p f)(1) = f(1) = (1, 0) oraz p 1 (1, 0) = Z, to droga f ma koniec b d cy pewn liczb caªkowit n, co daje nam Φ(n) = [p f] = [f]. Na koniec poka»emy,»e Φ jest injekcj. Zaªó»my,»e Φ(n) = Φ(m) dla pewnych n, m Z czyli,»e ω n ω m przez pewn homotopi {f t } t I. W szczególno±ci f 0 = ω m i f 1 = ω n. Ponownie korzystaj c z twierdzenia 5 widzimy,»e homotopia {f t } t I oraz p tle f 0 i f 1 podnosz si do jedynej homotopii { f t } t I oraz dróg ω m = f 0 i ω n = f 1 o pocz tku w zerze. Poniewa» { f t } t I jest homotopi dróg, to m = ω m (1) = f 0 (1) = f 1 (1) = ω n (1) = n. Dzi ki twierdzeniu 4 mo»emy od razu uzyska kolejny przykªad przestrzeni z nietrywialn grup podstawow. Przykªad 5. Jak wiemy, torus T = S 1 S 1 jest iloczynem kartezja«skim dwóch okr gów, wobec tego jego grupa podstawowa π 1 (T ) jest równa Z Z. To,»e jaka± p tla na torusie ma klas homotopii (p, q), mo»na rozumie jako p-krotny obieg wokóª jednego egzemplarza S 1 i q-krotny wokóª drugiego. Korzystaj c z powy»szego przykªadu podamy konstrukcj przestrzeni, której grupa podstawowa nie jest przemienna. Przykªad 6. Niech T b dzie torusem jak w poprzednim przykªadzie. Wybierzmy jeden punkt p na zewn trznej cz ±ci torusa i oznaczmy przez T 1 torus z wykªutym punktem p. Mo»na pokaza,»e grupa podstawowa π 1 (T 1 ) jest nieprzemienna. Idea dowodu polega na wybraniu dwu p tli f i g zaczepionych w punkcie r jak poªudniki tak, by mi dzy nimi znajdowaª si punkt p. Nast pnie nale»y udowodni,»e bez ruszania punktu r nie da si zdeformowa jednej p tli w drug, wi c obie p tle reprezentuj ró»ne elementy w grupie podstawowej. Zauwa»my jednak,»e istnieje p tla h zaczepiona w punkcie r, która obiega torus po wewn trznej stronie, jak równole»nik, oraz h f = g h. Gdyby grupa podstawowa tej przestrzeni byªa abelowa, to obie p tle byªyby homotopijne. Sprzeczno±. 4. Zwi zek przestrzeni nakrywaj cych z grup podstawow Jak pokazali±my wcze±niej, ka»da przestrze«topologiczna mo»e mie wiele przestrzeni nakrywaj cych. Przy pewnych zaªo»eniach dotycz cych spójno±ci
7 GRUPA PODSTAWOWA 7 mo»na jednak pokaza,»e dla ka»dej przestrzeni topologicznej X istnieje dokªadnie jedna jednospójna przestrze«nakrywaj ca X, zwana uniwersaln przestrzeni nakrywaj c przestrzeni X. Poka»emy teraz»e pewna podgrupa grupy autohomeomorzmów uniwersalnej przestrzeni nakrywaj cej p : X X jest izomorczna z grup podstawow przestrzeni nakrywanej X. Gdyby X nie byªa uniwersalnym nakryciem, to co prawda nie byªoby izomorzmu, ale zachodziªyby inne, sªabsze zwi zki. Dla uªatwienia zaªó»my,»e X jest drogowo spójna. Zdeniujemy najpierw potrzebn nam grup odwzorowa«. W tym celu wprowadzimy nast puj ce poj cie. Denicja 5. Izomorzmem przestrzeni nakrywaj cych p 1 : X1 X i p 2 : X2 X nazywamy homeomorzm f : X1 X 2 speªniaj cy warunek zachowywania wªókien p 1 = p 2 f. Warunek ten oznacza,»e dla ka»dego x X wªókno p 1 1 (x) przechodzi we wªókno p 1 2 (x). Dla ustalonego nakrycia p : X X deniujemy przeksztaªcenie przestrzeni nakrywaj cej (deck-transformacj ) X jako izomorzm przestrzeni nakrywaj cych X X. Wszystkie takie przeksztaªcenia tworz grup G( X) przeksztaªce«przestrzeni nakrywaj cej. Twierdzenie 7. Je»eli p : G( X) jest izomorczna z π 1 (X). X X jest nakryciem uniwersalnym, to grupa Dowód tego twierdzenia przedstawimy na przykªadzie krzywej ±rubowej nakrywaj cej okr g (przykªad 3). Transformacjami przestrzeni nakrywaj cej s translacje o n zwoi do góry lub w dóª tak, by po translacji ka»dy punkt pozostawaª w swoim wªóknie. Wida,»e okre±lenie przesuni cia jednego punktu przestrzeni nakrywaj - cej deniuje caªe odwzorowanie. Ta wªasno± zachodzi dla dowolnej przestrzeni nakrywaj cej. Ka»demu przesuni ciu o n zwoi przyporz dkowujemy teraz klas homotopii p tli nawijaj cej si n razy na okr g w odpowiedni stron. Na koniec podamy przykªad przestrzeni, która w przeciwie«stwie do tego, co prezentowali±my do tej pory, ma sko«czon i nietrywialn grup podstawow. Przykªad 7. Nakrycie p : S 2 RP 2 dane przez sklejenie ka»dych dwu punktów antypodycznych jest nakryciem uniwersalnym pªaszczyzny rzutowej RP 2. Przez punktu antypodyczne rozumiemy punkty le» ce na tej samej prostej przechodz cej przez ±rodek sfery. Przeksztaªcenie antypodyczne x x sfery S 2 w ni sam jest tu tranfsormacj przestrzeni nakrywaj - cej. Mo»na pokaza,»e wraz z identyczno±ci odwzorowanie to tworzy grup przeksztaªce«przestrzeni nakrywaj cej S 2. Wobec twierdzenia 7, π 1 (RP 2 ) jest zatem izomorczna z Z 2. Zauwa»my,»e ka»da droga w S 2 ª cz ca punkty antypodyczne generuje p tl w RP 2. Zªo»enie takich dwóch p tli w RP 2 podnosi si z kolei do p tli
8 8 GRZEGORZ ZBOROWSKI w S 2. Poniewa» S 2 jest jednospójna, to nasze zªo»enie p tli w RP 2 jest homotopijne z identyczno±ci, czyli ka»da klasa homotopii p tli na rzeczywistej pªaszczy¹nie rzutowej ma rz d 2. Literatura [AT] Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, [RD] Roman Duda, Wprowadzenie do topologii cz ± II, PWN, 1986.
Geometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoW poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT May 8, 2019 8 Struktury algebraiczne ZASTOSOWANIE: Kryptograa. 1. Sprawdzi, czy jest dziaªaniem wewn trznym: (a) y y w zbiorze Q,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoAlgebroidy i grupoidy Liego i wspóªczesna teoria Liego
Algebroidy i grupoidy Liego i wspóªczesna teoria Liego Wykªad habilitacyjny Andriy Panasyuk Katedra Metod Matematycznych Fizyki, Uniwersytet Warszawski oraz Instytut Matematyczny PAN Wst p: Grupy symetrii
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoWykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Bardziej szczegółowoMaªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 1 (Hindmana). Ustalmy dowolne kolorowanie zbioru liczb naturalnych na sko«czenie wiele kolorów. Wtedy istnieje zbiór niesko«- czony A
Twierdzenie 1 (Hindmana). Ustalmy dowolne kolorowanie zbioru liczb naturalnych na sko«czenie wiele kolorów. Wtedy istnieje zbiór niesko«- czony A taki»e wszystkie sko«czone sumy jego (ró»nych) elementów
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowo1 Otwarto± i domkni to±
Topologia 1 1 Otwarto± i domkni to± (X, O) przestrze«topologiczna rodzina zbiorów otwartych O 2 X speªnia (i), X O, (ii) U 1, U 2 O U 1 U 2 O, (iii) ( j J U j O ) j J U j O. X D zbiór domkni ty X \ D O;
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:
Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoKrzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoStrategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoKsztaªt orbity planety: I prawo Keplera
V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoFreyd, Abelian Categories
Algebra 2, zadania na wiczenia, seria II Króti wst p do ategorii i funtorów. W tej serii jest du»o zada«ale s (z reguªy) ªatwe lub bardzo ªatwe. Najpierw denicje, tóre zapewne Pa«stwo znaj lub pozna ªatwo
Bardziej szczegółowodziaªaniem jest grup abelow : Okre±lmy funkcj charakterystyczn zbioru A: χ(a) = (1 A (x 1 ), 1 A (x 2 ),..., 1 A (x n )), gdzie 1 A (x) =
Zadanie 1 (2.1). Poka»,»e (P (X), ) jest grup abelow, dla X. Zauwa»my wpierw,»e dla wszystkich A, B X, A B A B X, zatem P (X) jest zamnki te na dziaªanie. Zauwa»my,»e (x A B) ((x A) (x B)), zatem wystarczy
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowo(i) Zwykªe dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mno»enie w zbiorze A = { 1, 0, 1}.
Rudymenty algebry abstrakcyjnej. Algebry Boole'a. Wspóªczesne uj cie poj cia analogii proporcjonalno±ci - poj cie (homo)izomorfizmu. Syntetyczno± twierdze«matematyki w uj ciu Kanta Cz ± poj wprowadzonych
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoPodzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska
Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan
Plan Spis tre±ci 1 Gradient 1 1.1 Pochodna pola skalarnego...................... 1 1.2 Gradient................................ 3 1.3 Operator Hamiltona......................... 4 2 Ró»niczkowanie pola
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie
7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,
Bardziej szczegółowoRachunek zda«. Relacje. 2018/2019
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoEgzamin z wykªadu monogracznego. Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2011/12. Poj cia, terminologia i notacja:
Egzamin z wykªadu monogracznego Poj cia, terminologia i notacja: Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2011/12 Przyjmujemy zwykª denicj sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry i Σ-homomorzmu;
Bardziej szczegółowoTeoria grup I. Wykªad 8. 1 Elementarna teoria reprezentacji, cz. III. 2. Reprezentacje o tych samych charakterach s równowa»ne.
Teoria grup I Wykªad 8 1 Elementarna teoria reprezentacji, cz. III Literatura dodatkowa: [Ser88] Zaªo»enia: Jak i w poprzednim, w tym rozdziale rozpatrujemy tylko sko«czone grupy G i ich sko«czeniewymiarowe
Bardziej szczegółowoUczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
Bardziej szczegółowoWyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków Notatki z wykªadu. Maciej Paluszy«ski
Analiza matematyczna dla informatyków Notatki z wykªadu Maciej Paluszy«ski 7 grudnia 2007 Liczby rzeczywiste i zespolone Liczby rzeczywiste Nie b dziemy szczegóªowo zajmowa si konstrukcj zbioru liczb rzeczywistych.
Bardziej szczegółowo1 Funkcje i ich granice
Funkcje i ich granice Byªo: Zbiór argumentów; zbiór warto±ci; monotoniczno± ; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotno±ci; funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Choqueta o mierzalno±ci rzutów
Twierdzenie Choqueta o mierzalno±ci rzutów (Na podstawie wykªadu prof. Michaªa Morayne) Mateusz Kwa±nicki 12. grudnia 2004. 1 Wst p Ten tekst jest skróconym zapisem wykªadów dr M. Morayne, po±wi conych
Bardziej szczegółowoPreliminaria logiczne
Preliminaria logiczne Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Preliminaria
Bardziej szczegółowo