Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Transkrypt

1 Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej. Obliczamy o ile liczba jest odległa od krańców przedziału 7 i. / 7 Stąd zbiór wszystkich x, które są odległe od o 7 tworzący przedział domknięty jest opisany nierównością 7 Sposób II Stosujemy sposób graficzny Rysujemy oś liczbową obierając jednostkę np 0,75 cm, aby było 0,5 cm na osi, łatwo wtedy zaznaczyć liczby, sprawdzić czy środkiem odcinka łączącego zaznaczone punkty jest oraz znaleźć odległość od do Rys (oś liczbowa) Odległość jest równa 7. 7 Odp. 7 Zadanie (pkt) Odp

2 Zadanie (pkt) Obliczamy stawiając sobie pytanie: do jakiej potęgi podnieść podstawę logarytmu, aby otrzymać? Stąd, gdyż Odp. Zadanie (pkt) Korzystamy z definicji logarytmu Obliczamy ( ) Odp. Zadanie 5 (pkt) Rozwiązujemy równanie ( 0,8) 0

3 ,8 0 0,8 Porządkujemy rosnąco uzyskane rozwiązania równania:, 0, 0,8 Odp., 0, 0,8 Zadanie 6 (pkt) Proste są równoległe, gdy oraz są prostopadłe, gdy Prosta ma współczynnik kierunkowy, to. prosta do niej prostopadła musi mieć współczynnik kierunkowy,. prosta do niej równoległa musi mieć współczynnik kierunkowy Odp. Z podanych prostych tylko : ł i : 8 ó ł Zadanie 7 (pkt) Plecak kosztował o 59, zł więcej niż wszystkie zakupione książki, gdyż 57, ,. Ile procent liczba 59, stanowi liczby 98? 59, Odp. 0% Zadanie 8 (pkt) Sposób I ( ) 0,5,, 0,5

4 Obliczamy wyróżnik trójmianu ( 0,5) 5 Korzystamy ze wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli Sposób II ( ę ) 5 8 ( ę ) ( ) 0,5,, 0,5 5 ( )=. / odcięta ( ) ( ) 0,5 rzędna Odp. Zadanie 9 (pkt) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 8 Odp. 8 Zadanie 0 (pkt) Sposób I Obliczamy pierwiastki równania 0 0 : 0 0

5 Pierwiastkami równania są liczby,, a ich iloczyn Sposób II 0 Zastosujemy wzór na iloczyn pierwiastków równania kwadratowego (wzór, ) Stąd Odp. Zadanie (pkt) W ciągu 0,, kolejne wyrazy są równe 0 Odp Ciąg,, jest ciągiem stałym Zadanie (pkt) Sposób I Ponieważ, to podstawiając do drugiego równania otrzymujemy ( ) :, bo 0 Stąd ciąg jest postaci:,, Sposób II

6 Skoro, to ciąg,, jest ciągiem geometrycznym Wobec warunku iloraz ciągu. A więc trzeci wyraz Odp.,, Zadanie (pkt) Sposób I Ze wzoru na ogólny wyraz ciągu geometrycznego dzielimy równania stronami ( 0 0, bo 0) Sposób II Z własności ciągu geometrycznego, żeby otrzymać wyraz piąty trzeba drugi pomnożyć trzykrotnie przez iloraz ciągu Odp. Zadanie (pkt)

7 Rys (trójkąt) Z twierdzenia Pitagorasa długość boku trójkąta jest liczbą dodatnią, drugie rozwiązanie odrzucamy Z definicji funkcji trygonometrycznych Odp. Zadanie 5 (pkt) Sposób I 5 Z definicji sinusa kąta ostrego, a więc kąta trójkąta prostokątnego, możemy narysować rysunek, w którym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α ma długość, a przeciwprostokątna 5 Rys (trójkąt) Z twierdzenia Pitagorasa lub trójki pitagorejskiej otrzymujemy, gdyż Sposób II

8 Korzystamy z jedynki trygonometrycznej 5 lub Kąt α jest ostry, więc 0, stąd. Odp. Zadanie 6 (pkt) Rys. (z walcem), 0,,,, Odp., Zadanie 7 (pkt) Sposób I Rys 5 (z okręgiem) Kąty B i C są ostre, a trójkąt prostokątny, więc Kąt prosty wpisany w okrąg jest oparty na półokręgu, więc przeciwprostokątna trójkąta jest średnicą okręgu, a jego środek O leży w połowie przeciwprostokątnej jako kąty środkowy i wpisany oparte na tym samym łuku 50, stąd 50 00

9 Sposób II Kąty B i C są ostre, a trójkąt okręgu, więc prostokątny i jego przeciwprostokątna jest średnicą Trójkąt jest równoramienny, 0. Korzystając z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie uzyskujemy Odp. 00 Zadanie 8 (pkt) Oznaczenie długość ramienia trapezu Z twierdzenia Talesa lub z podobieństwa trójkątów wynika Korzystając z prawa proporcji mamy 8 Odp. 8 8 Zadanie 9 (pkt) Współrzędne punktu spełniają równanie okręgu Podstawiając do równania okręgu otrzymujemy ( ) ( ) Środek okręgu (, ) Sposób I Stosując wzór skróconego mnożenia

10 0 6 sprzeczne Stąd (, ) Sposób II ( ) ( ) ( ) Pierwiastkujemy stronami Współrzędne punktu są dodatnie to rozwiązanie odrzucamy i (, ) Odp. (, ) Zadanie 0 (pkt) Środek przekątnej pokrywa się z środkiem przekątnej, co wynika z własności kwadratu. Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka WZÓR Środek odcinka ma współrzędne 5 8 7

11 Odp. (7, ) Zadanie (pkt) Rys 6 ( stożki sklejone podstawami) Muszą zachodzić warunki:. Punkty,, są współliniowe, gdyż leżą na osi symetrii bryły. przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. figura ma być rombem Oznaczenie Z trójkąta Trójkąt jest równoboczny, czyli. Stąd. Zatem Odp Stożki muszą mieć przekroje osiowe będące trójkątami równobocznymi przystającymi Zadanie (pkt) Oznaczenie środki danych okręgów, (, 6) Korzystamy ze wzoru na długość odcinka

12 (6 ( )) ( ) Odp. 9 Zadanie (pkt) Oznaczenie długość krawędzi podstawy ostrosłupa Pole powierzchni bocznej ostrosłupa 6 8 Pole ściany bocznej ostrosłupa W podstawie ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku 6 Pole podstawy jest równe 6 9, - Pole powierzchni całkowitej jest równe 9 8 9( ) Odp. 9( ) Zadanie (pkt) Kolejne liczby naturalne to takie, które różnią się o Dany zbiór liczb naturalnych jest więc postaci *7, 8, 9,, 5,6,7+

13 Wszystkich liczb w tym zbiorze jest 7 6, w tym 5 parzystych i 6 nieparzystych. Losujemy dwie liczby i dodajemy je, a więc uporządkowanie tych liczb nie jest istotne jak i nie możemy uzyskać dwóch takich samych liczb Skoro suma liczb ma być liczbą nieparzystą, więc jedna z nich musi być parzystą, a druga nieparzystą Liczbę nieparzystą możemy wybrać 6 sposobów a parzysta na 5. Wszystkich par jest więc Odp. 0 Zadanie 5(pkt) ł, 5 wylosowanie kuli białej wylosowanie kuli czarnej zdarzenie polegające na wylosowaniu kul białych w losowaniu bez zwrotu Stosujemy metodę drzewa B C B C B C Rys. 7 Idąc wzdłuż czerwonej gałęzi otrzymamy dwie kule białe Korzystając z reguły iloczynu mamy ( ) 9 Odp. 8 6

14 ZADANIA OTWARTE Zadanie 6 (pkt) Rys. 8 Czworokąt wpisany jest w prostokąt tak jak na podanym rysunku Łącząc środki przeciwległych boków prostokąta dzielimy go na przystające prostokąty, których przekątne są równe Stad otrzymujemy, że czworokąt jest rombem. Oznaczenia długość dłuższej przekątnej czworokąta 8 długość krótszej przekątnej pole rombu WZÓR długość promienia okregu wpisanego w romb Korzystamy ze wzoru na pole rombu 8 6 Z trójkąta Z trójki pitagorejskiej 5 ( 5 ) Pole rombu jest sumą pól trójkątów przystających o podstawach równych wysokości r i

15 0, Odp., Zadanie 7 (pkt) Rozwiązujemy nierówność 0 Sposób I 6 ( ) Szkicujemy parabolę Rys.9 ( ) Sposób II 0 ( ) Pierwiastkujemy stronami i z monotoniczności funkcji ( ) Z własności wartości bezwzględnej: Dla 0

16 Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla ( ) Odp.. / ( ) Zadanie 8(pkt) Oznaczenia długość podstawy trójkąta i jednego z boków prostokąta długość wysokości trójkąta opuszczonej na podstawę długość drugiebo boku prostokąta Z treści zadania wynika, że : ( ),75,5,5,5,5,5,5,5 Odp.,5, Zadanie 9 (pkt) Rys 0. Oznaczenie punkt przecięcia odcinków

17 Punkty należa do obu okręgów, więc odcinek jest ich wspólną cięciwą jako długości promieni okręgu o środku jako długości promieni okręgu o środku Trójkąty sa równoramienne o wspólnej podstawie Z punktów prowadzimy wysokości trójkątów, które dzielą podstawę na dwie równe części we wspólnym punkcie Punkt ten jest więc współliniowy z środkami okręgów Zatem oraz odcinek jest prostopadły do, gdyż prowadzone wysokości sa prostopadłe do Zdanie. jest prawdziwe.. Trójkąty są przystające, gdyż mają jeden wspólny bok i dwa pozostałe parami równe jako promienie okręgów Ponieważ okręgi są dowolne, więc rozpatrując dwa okręgi o takim samym promieniu przecinające się tak, że jeden przechodzi przez środek drugiego zauważamy, że rozpatrywane trójkąty są równoboczne Rys. Trójkąty nie muszą być prostokątne Zdanie. nie jest prawdziwe.. Zdanie. nie jest prawdziwe, gdyż rozpatrując szczególny przypadek okręgów o takim samym promieniu, z których jeden przechodzi przez środek drugiego otrzymujemy co oznacza, że, gdzie jest wysokością trójkąta równobocznego o boku, Długość odcinka nie jest równa średniej arytmetycznej promieni okręgów.

18 Odcinek jest prostopadły do odcinka, co udowodniliśmy przy uzasadnianiu zdania. Natomiast nie zawsze dzieli go w stosunku ( ), gdyż w szczególnym przypadku rozpatrywanym wyżej Zdanie. nie jest prawdziwe. Odp. Zdanie. Zadanie 0(pkt) Aby ustalić punkty przecięcia krzywych trzeba rozwiązać układ ( ) ( ) Rozwiązujemy równanie otrzymane z przyrównania prawych stron równań układu ( ) ( )( ) ( ) ( ) lub 0 Z drugiego równania układu obliczymy 6

19 6 Wykres wielomianu przecina prostą w trzech punktach Odp. ( 6, 6),. 6, 6/, (, 0) Zadanie (pkt) Oznaczenia strzelec trafił do celu strzelec nie trafił do celu strzelec trafił co najmniej razy Stosujemy metodę drzewa Rys. Co najmniej dwa trafienia oznacza trafienia lub. Na drzewie zaznaczamy drogi z dokładnie dwoma trafienia i z trzema Na każdej zaznaczonej gałęzi drzewa stosujemy regułę mnożenia, a do obliczenia prawdopodobieństwa regułę dodawania ( ) ( ) Odp.

20 Zadanie (pkt) Oznaczenia kapitał początkowy 000 ł oprocentowanie roczne oprocentowanie miesięczne liczba okresów kapitalizacji (od stycznia do listopada) 0 Stosujemy wzór na procent składany ( 00 ) 000 (,0) 000,06 6,80, ł- Na koncie Michała będzie kwota 6,80 ł Zysk na lokacie wynosi 6,80zł i pokryje brakująca kwotę 00zł na zakup laptopa Przedstawiamy zysk w procentach w stosunku do początkowej kwoty 6, ,56 Kwota na koncie Michała wzrosła o 0,56 Odp. Tak, o 0,56%. Zadanie (pkt) Skoro, to dane są ciągi:,, geometryczny i,, arytmetyczny.

21 Z własności ciągów arytmetycznego i geometrycznego. / lub 0 jest sprzeczne, gdyż ciąg 0, 0, nie jest ciągiem geometrycznym 0 Stąd,, Odp.,,, Zadanie (pkt) Oznaczenia objętość sześcianu długość krawędzi sześcianu Rys. a) Powstała bryła jest ostrosłupem o podstawie będącej trójkątem równoramiennym, gdyż jako przeciwprostokątne przystających trójkątów prostokątnych

22 5 5 Wysokość spełnia warunek Wysokością ostrosłupa jest odcinek,, prostopadły do płaszczyzny podstawy sześcianu, gdyż łączy środki przeciwległych boków kwadratu Wykażemy, że Odcinek jako prostopadły do podstawy spełnia warunki i oraz, więc trójkąty są prostokątne i przystające Stąd i trójkąt ó. Obliczamy wysokość trójkąta Z trójkąta 5, - Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ( 5)

23 b) Kąt nachylenia ściany do płaszczyzny podstawy sześcianu jest kątem w trójkącie Zatem trójkąt jest równoramienny i prostokątny 5 c) Obliczamy objętość bryły 6, - 6 Odp. ) 5 ) 5 ) 6