Analza modyfkacj systemów bonus-malus Ewa Łazuka Klauda Stępkowska Analza modyfkacj systemów bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych AC na przykładze wybranego zakładu ubezpeczeń Tematyka przedstawonego artykułu zwązana jest z systemem bonus-malus, który odgrywa ważną rolę w ubezpeczenach komunkacyjnych. Wąże sę z tym potrzeba oceny jego efektywnośc. Inspracją do badań stała sę decyzja Towarzystwa Ubezpeczeń Reasekuracj Warta SA o rezygnacj z tradycyjnego systemu bonus-malus, podjęta przez frmę w 2012 r. W artykule przeprowadzono analzę efektywnośc systemów bonus-malus stosowanych przez TUR Warta SA w ubezpeczenach komunkacyjnych AC w latach 1998 2011. Pozwolła ona ocenć stopeń poprawnośc funkcjonowana systemu w badanej frme ubezpeczenowej wskazała prawdopodobne przyczyny zman wprowadzonych w 2012 r. Słowa kluczowe: system bonus-malus, ubezpeczena komunkacyjne, składka ubezpeczenowa, rozkład Possona. Wprowadzene System bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych defnowany jest jako system okreś lający ndywdualny przebeg szkodowośc ustalonego kerowcy jest wykorzystywany do ustalena pozomu składk ubezpeczającego. Wysokość składk zależna jest w nm od lczby szkód zgłoszonych w dotychczasowych okresach ubezpeczenowych, na podstawe której ubezpeczający jest klasyfkowany do odpowednej klasy taryfowej. Klasy taryfowe dzelmy na te, w których występuje bonus, czyl znżka, oraz klasy malus charakteryzujące sę podwyższenem składk. Kerowcy o bezszkodowym mnonym okrese ubezpeczena zostają nagrodzen poprzez awans do klas, w których obowązują nższe składk, lub pozostają w tej samej klase, jeśl byl poprzedno w klase o maksymalnej znżce. Kerowcy powodujący szkody są ukaran przenesenem ch zgodne z zasadam systemu do klas o wyższej nż dotychczas składce. Należy podkreślć, że wpływ na zaklasyfkowane ubezpeczającego do odpowednej kategor ma jedyne lczba, a ne wartość szkód zgłoszonych w poprzednm okrese ubezpeczenowym. 91
Wadomośc Ubezpeczenowe 1/2014 Celem artykułu jest analza modyfkacj systemów znżek zwyżek w dobrowolnych ubezpeczenach autocasco stosowanych w Towarzystwe Ubezpeczeń Reasekuracj Warta SA w latach 1998 2011 pod względem ch efektywnośc. Badane przeprowadzono w oparcu o tabele systemów bonus-malus obowązujących w TUR Warta SA oraz na podstawe dostępnych danych statystycznych dotyczących szkodowośc w ubezpeczenach komunkacyjnych AC w analzowanym okrese. Ubezpeczene autocasco należy do 3. grupy ubezpeczeń majątkowych pozostałych osobowych, czyl ubezpeczeń Dzału II. Ubezpeczena z grupy 3. to ubezpeczena casco pojazdów lądowych, z wyjątkem pojazdów szynowych, obejmujące szkody w pojazdach samochodowych pojazdach lądowych bez własnego napędu. Ubezpeczene autocasco pokrywa koszty naprawy pojazdu w przypadku uszkodzena lub znszczena, a także zapewna fnansową rekompensatę w przypadku jego kradzeży. Jego głównym celem jest ochrona przed możlwym szkodam oraz rekompensata szkód w chwl ch zastnena. W perwszej częśc artykułu została oszacowana wartość oczekwana lczby roszczeń z jednej umowy ubezpeczena w okrese jednego roku, którą wykorzystano do dalszych oblczeń. Druga część wprowadza matematyczne podstawy systemu bonus-malus, założena dotyczące jego konstrukcj oraz zasady dzałana. W tej częśc artykułu zaprezentowano równeż wybrane mary efektywnośc systemów bonus-malus. W trzecej częśc przeprowadzono analzę oraz ocenę efektywnośc systemu bonus-malus obowązującego w ubezpeczenach komunkacyjnych AC w TUR Warta SA w 2011 r. W końcowej częśc zaprezentowano wartośc wybranych mar efektywnośc systemów stosowanych przez Wartę w latach 1998 2011. Wyznaczene wartośc poszczególnych mar przeprowadzene analzy porównawczej systemów było możlwe dzęk wykorzystanu arkusza kalkulacyjnego Mcrosoft Excel oraz środowska Octave. 1. Oszacowane częstośc roszczeń przy pomocy zmennej losowej o rozkładze Possona Do opsu zjawska pojawana sę roszczeń w ubezpeczenach komunkacyjnych często stosowany jest jednorodny proces Possona z nezależnym stacjonarnym przyrostam 1. Model ten zakłada, że ntensywność występowana roszczeń jest stała, czyl rozważane ryzyka cechuje homogenczność. Jednak w śwece realnym częstość występowana roszczeń jest różna dla różnych umów ubezpeczena wchodzących w skład jednego portfela. Portfele złożone z takch pols cechuje węc nejednorodność. Jak wykazują badana mędzynarodowe, w przypadku takch nehomogencznych portfel lepsze dopasowane do sytuacj rzeczywstej daje stosowane modelu opartego na rozkładze ujemnym dwumanowym. W analze systemu bonus-malus nezbędny jest odpowedn dobór modelu lczby roszczeń. Jest to szczególne ważne przy wyznaczanu parametru ryzyka charakteryzującego ubezpeczającego, którym jest oczekwana częstość roszczeń z jednej umowy ubezpeczena w cągu okresu bazowego, najczęścej w cągu jednego roku. Tak parametr określamy manem parametru częstotlwośc lub parametru ntensywnośc procesu pojawana sę szkód 2 oznaczamy przez l. W portfelach jednorodnych, w sytuacj gdy na jedno ryzyko przypada węcej nż jedno roszczene, do aproksymacj rozkładu lczby roszczeń często wykorzystuje sę rozkład Possona z parametrem l > 0. Zatem prawdopodobeństwo pojawena sę k roszczeń w jednostce czasu dane jest wzorem: 1. P. Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmelowec, Metody aktuaralne, PWN, Warszawa 2006, s. 21 22. 2. W. Otto, Ubezpeczena majątkowe, cz. I, Teora ryzyka, WNT, Warszawa 2004, s. 65 66. 92
Analza modyfkacj systemów bonus-malus pk λ k λ = e (1) k! Powyższy model zakłada, że roszczena z każdej polsy w rozważanym portfelu mają ten sam rozkład Possona, z dentycznym parametrem l. Wartość parametru l, która będze wykorzystywana w dalszej częśc artykułu, została oszacowana na podstawe dostępnych danych emprycznych. Ponżej prezentujemy metodę wyznaczana takego oszacowana. Rozważmy dane dotyczące lczby zawartych umów ubezpeczena pojazdów oraz lczby dokonanych wypłat z tytułu tych umów. Nech będze prawdopodobeństwem zdarzena polegającego na tym, że ne wystąpła żadna wypłata. Zatem można zapsać jako: lczba wypłat pw = 1 (2) lczba umów Natomast nech będze prawdopodobeństwem zdarzena polegającego na tym, że ne wystąpło żadne roszczene. Tak węc wartość wyznaczymy ze wzoru na prawdopodobeństwo pojawena sę 0 roszczeń w rozkładze Possona: 0 λ ps = e λ (3) 0! Brak roszczena równoważy fakt, że ne wystąpła żadna wypłata. Mamy węc zależność: lczba wypłat λ pw = ps 1 = e (4) lczba umów Ostateczne otrzymujemy wzór na częstość roszczeń: 1 λ = ln (5) lczba wypłat 1 lczba umów Do przeprowadzena dalszych oblczeń wykorzystamy lczbę zawartych umów ubezpeczena pojazdów oraz lczbę dokonanych wypłat z tych umów dla osób fzycznych w ubezpeczenu komunkacyjnym AC w latach 2005 2011 (tabela 1). Należy podkreślć, że przy szacowanu wartośc parametru l uwzględnamy wyłączne lczbę tych szkód, które zostały zgłoszone ubezpeczycelow, a ne lczbę wszystkch zastnałych szkód. Tabela 1. Lczba zawartych umów ubezpeczena pojazdów lczba dokonanych wypłat z tych umów dla osób fzycznych w ubezpeczenu AC w latach 2005 2011 Rok Lczba umów ubezpeczena pojazdów Lczba wypłat 2005 3 102 600 410 229 2006 2 913 591 381 909 2007 3 129 351 344 398 2008 3 292 392 372 952 2009 3 603 636 454 011 2010 3 687 307 499 100 2011 3 656 395 451 913 Źródło: opracowane własne na podstawe danych KNF 3. 3. http://www.knf.gov.pl/opracowana/rynek_ubezpeczen/dane_o_rynku/dane_roczne/dzne_roczne.html. 93
Wadomośc Ubezpeczenowe 1/2014 Wyznaczone wartośc parametrów l dla lat 2005 2011 zawera tabela 2. Tabela 2. Oszacowane częstośc roszczeń l dla lat 2005 2011 Rok 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 l 0,141818 0,140502 0,116595 0,120223 0,134660 0,145438 0,131927 Średną wartość parametru l wyznaczymy ze wzoru na średną arytmetyczną: λ λ + λ + λ + λ + λ + λ + λ N 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 = (6) gdze N jest lczbą wyznaczonych parametrów l dla badanych okresów. Zatem średna wartość parametru l wynos l 0,13. Analzując wykres 1, możemy zaobserwować, że wartość parametru l oscyluje wokół wartośc 0,13. Wykres 1. Częstość roszczeń w danym roku ubezpeczenowym 0,16 0,15 0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Współczynnk szkodowośc Rok trwana ubezpeczena 2011 Zatem na podstawe wylczonej wartośc średnej oraz analzy wykresu do oblczeń w dalszej częśc artykułu za wartość oczekwaną lczby roszczeń z jednej umowy ubezpeczena w okrese jednego roku przyjmemy l = 0,13. 2. Istota systemu bonus-malus Proces wyznaczana składek w ubezpeczenach komunkacyjnych można podzelć na dwa etapy. Na początku określana jest składka podstawowa (taryfkacja a pror). Następne dopasowuje sę ją do ndywdualnej szkodowośc ubezpeczonego w przeszłośc (taryfkacja a posteror) 4. 4. W. Ostasewcz, Składk ryzyko ubezpeczenowe: modelowane stochastyczne, Wydawnctwo AE, Wrocław 2004, s. 225. 94
Analza modyfkacj systemów bonus-malus Klasyfkacja a pror obejmuje czynnk opsujące kerowcę (wek, płeć, okres posadana prawa jazdy, mejsce zameszkana) oraz szczegóły dotyczące pojazdu (marka, wek, rodzaj, mejsce zarejestrowana). Jednak stneją ndywdualne zdolnośc kerowcy, których ne możemy wyznaczyć a pror, take jak: refleks, przestrzegane prawa, rozsądek, znajomość kodeksu drogowego, zachowane pod wpływem stresu, alkoholu. Mają one duży wpływ na lczbę wypadków. Stąd powstała taryfkacja a posteror uwzględnająca dotychczasowy przebeg ubezpeczena. Kerowcy nepowodujący wypadków są nagradzan obnżenem składk podstawowej (bonus), a kerowcy powodujący jeden, dwa lub węcej wypadków są karan wyższą składką podstawową (malus). Taryfkacja a posteror ma tak oszacować ndywdualne ryzyko, aby każdy ubezpeczony w długm okrese płacł składkę odpowedną do swojej częstośc roszczeń. Taką taryfkację nazywamy systemem znżek-zwyżek (bonus-malus) na tej klasyfkacj skupmy uwagę. 2.1. Ops systemu bonus-malus System bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych określony jest jako system wyznaczana ndywdualnej składk, uwzględnający lczbę szkód zgłoszonych przez ubezpeczonego w przeszłośc. Na jego podstawe klent zostaje przyporządkowany do odpowednej klasy taryfowej, której odpowada ustalona wysokość składk. System bonus-malus konstruuje sę przy następujących założenach: ne wszyscy ubezpeczen w cągu roku powodują przecętne tyle samo szkód, okresy ubezpeczena są jednakowej długośc, lczba szkód spowodowanych przez ubezpeczonego ne zależy od ch welkośc, rozkład lczby szkód spowodowanych przez ubezpeczonego w cągu roku ne zmena sę w czase, rozkład welkośc pojedynczej szkody jest stały w czase jest tak sam dla wszystkch ubezpeczonych, portfel ubezpeczonych dzel sę na skończoną lczbę klas C dla = 1, 2,, s tak, aby roczna składka zależała jedyne od klasy, w której ubezpeczony sę znajduje, kwalfkacja ubezpeczonego do odpowednej klasy taryfowej zależy jedyne od klasy, w której ubezpeczony znajdował sę w poprzednm okrese ubezpeczenowym, oraz od lczby roszczeń zgłoszonych w tym czase, ubezpeczen pozostają w tej samej klase bonus-malus przez cały pojedynczy okres ubezpeczena. System bonus-malus opsujemy za pomocą trzech elementów: klasy początkowej, do której trafają wszyscy rozpoczynający ubezpeczene, wektora stawek składk podstawowej b = ( b1, b2, b3,, b s ) wyrażonego w krotnoścach składk podstawowej, reguł przejśca z jednej klasy do drugej, w zależnośc od lczby szkód zgłoszonych w okrese poprzednm. W systemach bonus-malus stosowanych w frme ubezpeczenowej Warta SA numerację klas rozpoczyna sę od najgorszej (o najwyższej składce) do najlepszej (o najnższej składce). Zatem spełnony będze warunek: b1 b2 b3 bs (7) Współczynnk b dla = 1, 2,, s pomnożony przez 100% wyraża procent składk podstawowej, jaką płac ubezpeczony zakwalfkowany do klasy bonus-malus o numerze dla = 1, 2,, s. 95
Wadomośc Ubezpeczenowe 1/2014 Reguły przejśca możemy zapsać za pomocą cągu k macerzy T k stopna s, które określone są jako: T k = (8) ( k) ( tj ) ( k) gdze elementy tej macerzy możemy określć następująco: t j = 1, gdy k roszczeń powoduje ( k) przejśce z klasy C do klasy C j, natomast t = j 0 w pozostałych przypadkach. Jeżel założymy określony rozkład lczby zgłoszonych szkód, to prawdopodobeństwo przejśca ubezpeczonego z klasy C do klasy C j w cągu jednego okresu ma postać 5 : p = p t (9) ( ) ( ) ( ) k j λ k λ j k=0 gdze pk( λ ) jest prawdopodobeństwem wystąpena k szkód przy określonej wartośc parametru l, s p ( ) 0 j λ > oraz pj( λ ) = 1. j= 1 Zatem macerz prawdopodobeństw przejśca możemy zapsać jako: M = p T (10) ( λ ) ( λ ) k= 0 Do oceny efektywnośc systemu bonus-malus potrzebujemy rozkładu stacjonarnego oraz oczekwanego pozomu składk. Jeden ze sposobów uzyskana rozkładu stacjonarnego stanów przedstawony został w publkacj Lemare a 6. Oznaczmy rozkład stacjonarny jako wektor: ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) k k a = a1, a2,..., as (11) gdze a ( λ ) jest prawdopodobeństwem znalezena sę ubezpeczonego w klase C po upływe n okresów, przy n. Rozkład stacjonarny a( λ ) pozwala wyznaczyć średną, asymptotyczną składkę. Jeżel jako podstawę oblczeń weźmemy krotnośc składk podstawowej dane wektorem b, to składkę asymptotyczną wyznaczymy ze wzoru: T ( λ ) ( λ ) ( λ ) s P = a b = a b (12) = 1 2.2. Mary efektywnośc systemu bonus-malus System bonus-malus jest efektywny, gdy jego zastosowane w ubezpeczenach komunkacyjnych przynos pozytywne skutk, tzn. realzację wyznaczonych celów. Jednym z nch jest dążene do zmnejszena szkodowośc poprzez karane kerowców powodujących wypadk zwyżką składk (funkcja prewencyjna), drugm próba lepszego dopasowana składk do ndywdualnego ryzyka (funkcja taryfkacyjna). 5. D. Mszczyńska, M. Mszczyńsk, Systemy ubezpeczeń bonus-malus, podejśce symulacyjne, [w:] Modelowane preferencj a ryzyko, red. T. Trzaskalk, Wydawnctwo AE w Katowcach, Katowce 2006, s. 393. 6. J. Lemare, Bonus-malus system n automoble nsurance, Kluwer Academc Publshers, Boston 1995, s. 77 78. 96
Analza modyfkacj systemów bonus-malus Wybrane mary efektywnośc ocenają system bonus-malus przede wszystkm z punktu wdzena funkcj taryfkacyjnej. Jedną z mar efektywnośc systemu bonus-malus jest tzw. względny stacjonarny oczekwany pozom składk, oznaczany jako RSAL (ang. Relatve Statonary Average Level) 7. Wskaźnk RSAL określa względną pozycję przecętnego ubezpeczonego. Oblczamy go zgodne ze wzorem: P( λ ) mn( b ) RSAL =. (13) max( b ) mn( b ) Według Lemare a 8, dla dealnego systemu mara ta pownna wynosć około 0,5 dla przecętnej częstośc roszczeń. Słabą stroną mary RSAL jest fakt, że na jej wysokość ogromny wpływ ma maksymalna składka. W sytuacj gdy w rzeczywstośc mała lczba ubezpeczonych znajduje sę w tej klase, maksymalna składka ne pownna w tak dużym stopnu oddzaływać na pozom wskaźnka RSAL. W zwązku z tym, chcąc ogranczyć wpływ maksymalnej składk, należy zastąpć jej wartość przez składkę początkową b 0. Zmodyfkowany RSAL ma wtedy postać: RSAL 2 P = ( λ ) mn( b ) b mn( b ) 0 Według Lemare a optymalna wartość tej mary pownna wynosć 1. Trzecą marą reakcj systemu na zmanę częstośc roszczeń jest tzw. elastyczność Lomaranta (ang. Lomaranta effcency) 9 będąca współczynnkem elastycznośc składk względem zman parametru l. Jest ona zdefnowana następującym wzorem: dp( λ ) P( λ ) P ( λ ) λ η( λ) = = (15) dλ P( λ ) λ System bonus-malus nazwemy elastycznym, gdy η( λ ) 1. (14) 3. Analza systemu bonus-malus stosowanego w TUR Warta SA w 2011 r. Frma ubezpeczenowa Warta SA opsuje reguły przejśca mędzy klasam taryfowym przy pomocy tabel. Sposób prezentacj systemu w tym towarzystwe możemy zaobserwować na podstawe tabel systemu bonus-malus stosowanego w 2011 r. w ubezpeczenach komunkacyjnych AC (tabela 3). W tej częśc artykułu zostane przeprowadzona analza systemu bonus-malus stosowanego w Towarzystwe Ubezpeczeń Reasekuracj Warta SA w 2011 r. Oblczena oraz wykresy wykonano w Mcrosoft Offce Excel oraz za pomocą programu napsanego w języku Octave. 7. J. Lemare, Automoble nsurance, actuaral models, Kluwer-Njhoff Publshng, Boston 1985, s. 195. 8. J. Lemare, Bonus-malus, op. ct., s. 64. 9. R. Kaas, M.J. Goovaerts, J. Dhaene, M. Denut, Modern actuaral rsk theory, Sprnger-Verlag, Berln Hedelberg 2001, s. 141. 97
Wadomośc Ubezpeczenowe 1/2014 Tabela 3. System bonus-malus stosowany w TUR Warta SA w 2011 r. Klasa % składk podstawowej Wpływ lczby szkód na zmanę klasy 0 szkód 1 szkoda 2 szkody 3 węcej szkód 1 200 2 1 1 1 2 150 3 1 1 1 3 125 4 1 1 1 4 100 5 2 1 1 5 90 6 3 2 1 6 80 7 4 2 1 7 70 8 5 3 1 8 60 9 6 3 1 9 50 10 7 3 1 10 50 11 7 3 1 11 40 12 8 3 1 12 40 13 8 3 1 13 40 13 9 4 1 Źródło: Ogólne warunk ubezpeczena autocasco standard (ACS) wraz z opcjam dodatkowym 10. W przedstawonym systeme bonus-malus wyróżnamy s = 13 klas taryfowych. Najwyższa stawka, którą płac ubezpeczony, wynos 200% składk podstawowej. Po dzesęcoletnm okrese bezszkodowej jazdy ubezpeczony opłaca tylko 40% podstawowej składk. Możemy zauważyć równeż surowe reguły przejśca. Dla przykładu, kerowca płacący składkę w wysokośc 100% składk podstawowej (klasa = 4), w przypadku zgłoszena jednej szkody przechodz do pozomu 150% składk podstawowej. W przypadku zgłoszena k = 3 węcej szkód w cągu jednego roku, kerowcy karan są podwyżką jeszcze bardzej rygorystyczne. W takej sytuacj, bez względu na to, w której klase sę znajdują, przechodzą do pozomu najwyższej stawk (klasa = 1). Analzę rozpocznemy od wyznaczena rozkładów prawdopodobeństwa wystąpena k roszczeń. Na podstawe rozkładu Possona możemy wyznaczyć rozkład wystąpena k roszczeń w pojedynczym okrese ubezpeczena. Z wcześnejszych oblczeń wemy, że l = 0,13. Zatem prawdopodobeństwa wystąpena k roszczeń, dla k = 0, 1, 2, 3, wyznaczymy następująco: 0 0,13 0,13 0 e p = 0,878095 0! 1 0,13 0,13 p1 = e 0,114152 1! 2 0,13 0,13 p2 = e 0,007420 2! p = 1 ( p + p + p ) = 1 0,99967=0,000333 3 0 1 2 Należy wspomneć, że ze względu na reguły przejśca stosowane w frme Warta SA, p 3 oznacza prawdopodobeństwo wystąpena co najmnej trzech roszczeń a ne dokładne trzech. 10. http://www.owu.edu.pl/wp-content/uploads/2011/10/warta-owu-ac-standard.pdf, s. 10. 98
Analza modyfkacj systemów bonus-malus Współrzędne wektora stawek składk podstawowej b oraz współrzędne wektora początkowego 11 l 0 przedstawone są w tabel 4. Tabela 4. Pozom składk oraz wektor początkowy b 2 1,5 1,25 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,5 0,4 0,4 0,4 l 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Macerz prawdopodobeństw ma postać: 3 k k 0 0 1 1 2 2 3 3. (16) k= 0 ( λ ) = ( λ ) = ( λ ) + ( λ ) + ( λ ) + ( λ ) M p T p T p T p T p T Zatem macerz prawdopodobeństw przejśca przyjmuje postać podaną w tabel 5. Tabela 5. Macerz prawdopodobeństw przejśca 0,121905 0,878095 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,121905 0 0,878095 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,121905 0 0 0,878095 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,007753 0,114152 0 0 0,878095 0 0 0 0 0 0 0 0 0,000333 0,00742 0,114152 0 0 0,878095 0 0 0 0 0 0 0 0,000333 0,00742 0 0,114152 0 0 0,878095 0 0 0 0 0 0 0,000333 0 0,00742 0 0,114152 0 0 0,878095 0 0 0 0 0 0,000333 0 0,00742 0 0 0,114152 0 0 0,878095 0 0 0 0 0,000333 0 0,00742 0 0 0 0,114152 0 0 0,878095 0 0 0 0,000333 0 0,00742 0 0 0 0,114152 0 0 0 0,878095 0 0 0,000333 0 0,00742 0 0 0 0 0,114152 0 0 0 0,878095 0 0,000333 0 0,00742 0 0 0 0 0,114152 0 0 0 0 0,878095 0,000333 0 0 0,00742 0 0 0 0 0,114152 0 0 0 0,878095 Źródło: oblczena własne. Perwszy rozkład prawdopodobeństwa znalezena sę ubezpeczonego w poszczególnych klasach (w chwl zawerana umowy) przyjmuje wartośc: a ( 0,13) = [ 0,007753 0,114152 0 0 0,878095 0 0 0 0 0 0 0 0] Otrzymany rozkład został wyznaczony jako loczyn wektora początkowego l 0 macerzy prawdopodobeństw przejśca M(l) podanej w tabel 5. Kolejne rozkłady wyznaczono analogczne jako loczyn wektora poprzednego rozkładu macerzy prawdopodobeństw przejśca M(l). Systemy bonus-malus to łańcuchy ergodyczne. Odznaczają sę one tym, że rozkłady prawdopodobeństwa dążą przy lczbe okresów n do rozkładu stacjonarnego. Zanm określmy rozkład stacjonarny, wyznaczymy stacjonarny pozom składk poprzez pomnożene wektora rozkładu prawdopodobeństwa przez transponowany wektor pozomu składk b. Jako kryterum stablzacj rozważymy wartość bezwzględną różncy pomędzy średną składką w n-tym roku 11. Rozkład początkowy ma postać wektora l 0, w którym jedynka odpowada klase początkowej (w tym przypadku klase czwartej), natomast zero klasom pozostałym. 99
Wadomośc Ubezpeczenowe 1/2014 a średną składką w roku poprzednm. Przyjmujemy, że system stablzuje sę w roku, w którym wartość bezwzględna tej różncy po raz perwszy będze mnejsza nż 0,000001. Zatem, jeśl: P( n, λ) P( n 1, λ ) <0,000001, (17) to m = n 1 jest rokem, po którym system sę stablzuje. Tabela 6. Stacjonarny pozom składk oraz mary efektywnośc Lp Składka RSAL RSAL 2 Lp Składka RSAL RSAL 2 1 0,977020 0,360638 0,961701 30 0,481312 0,050820 0,135520 2 0,917724 0,323578 0,862874 31 0,481125 0,050703 0,135209 3 0,837490 0,273432 0,729151 32 0,480980 0,050612 0,134966 4 0,773602 0,233501 0,622670 33 0,480874 0,050546 0,134790 5 0,708939 0,193087 0,514899 34 0,480780 0,050488 0,134634 6 0,685150 0,178218 0,475249 35 0,480706 0,050441 0,134510 7 0,622340 0,138962 0,370567 36 0,480651 0,050407 0,134419 8 0,595082 0,121926 0,325136 37 0,480604 0,050377 0,134340 9 0,586003 0,116252 0,310005 38 0,480566 0,050354 0,134277 10 0,555111 0,096944 0,258518 39 0,480538 0,050336 0,134230 11 0,540043 0,087527 0,233405 40 0,480514 0,050321 0,134191 12 0,532757 0,082973 0,221262 41 0,480495 0,050310 0,134159 13 0,519010 0,074381 0,198350 42 0,480481 0,050301 0,134135 14 0,511355 0,069597 0,185592 43 0,480469 0,050293 0,134115 15 0,506867 0,066792 0,178112 44 0,480459 0,050287 0,134099 16 0,500312 0,062695 0,167186 45 0,480452 0,050283 0,134087 17 0,496270 0,060168 0,160449 46 0,480446 0,050279 0,134077 18 0,493808 0,058630 0,156347 47 0,480442 0,050276 0,134069 19 0,490676 0,056672 0,151126 48 0,480438 0,050274 0,134063 20 0,488554 0,055347 0,147591 49 0,480435 0,050272 0,134059 21 0,487205 0,054503 0,145341 50 0,480433 0,050271 0,134055 22 0,485684 0,053552 0,142806 51 0,480431 0,050270 0,134052 23 0,484593 0,052871 0,140989 52 0,480430 0,050269 0,134050 24 0,483867 0,052417 0,139779 53 0,480429 0,050268 0,134049 25 0,483117 0,051948 0,138528 54 0,480428 0,050268 0,134047 26 0,482558 0,051599 0,137597 55 0,480428 0,050267 0,134047 27 0,482173 0,051358 0,136955 56 0,480428 0,050267 0,134046 28 0,481800 0,051125 0,136334 57 0,480427 0,050267 0,134046 29 0,481514 0,050947 0,135857 58 0,480427 0,050267 0,134046 59 0,480427 0,050267 0,134046 Na podstawe danych przedstawonych w tabel 6 określmy czas, po jakm rozkład osąga stacjonarność: P( 57, λ) P( 56, λ) = 0,000001 P( 58, λ) P( 57, λ) = 0<0,000001 Rozkład stacjonarny dla systemu bonus-malus w 2011 r. osąga stacjonarność po m = 57 latach. 100
Analza modyfkacj systemów bonus-malus Średn stacjonarny pozom składk pozwala nam równeż wyznaczyć mary efektywnośc RSAL oraz RSAL 2 systemu bonus-malus (tabela 6). Wykres 2. Wartośc wskaźnków RSAL oraz RSAL 2 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 Względny stacjonarny pozom składk Lata trwana ubezpeczena 61 65 RSAL RSAL2 Na wykrese 2 można zauważyć, że przecętna składka stablzuje sę na pozome zblżonym do stacjonarnego dopero po około 30 latach, czy nawet po dłuższym okrese. W zwązku z tym, że składka wolno dąży do rozkładu stacjonarnego oraz maleje wraz z upływem lat, system staje sę coraz mnej efektywny. Przedstawone wartośc mar RSAL oraz RSAL 2 ne są zblżone do wartośc typowych dla dealnego systemu bonus-malus, o którym wspomnał Lemare. Podobna sytuacja ma mejsce w przypadku elastycznośc Lomaranta, której wartość równa 0,320428 dla 2011 r. (tabela 7) jest daleka od oczekwanej wartośc równej 1. Zatem na podstawe wyznaczonych mar możemy stwerdzć, że system bonus-malus stosowany w TUR Warta w 2011 r. był neefektywny. 4. Badane efektywnośc systemu bonus-malus stosowanego w TUR Warta SA w latach 1998 2011 Ponżej zostane zaprezentowana analza modyfkacj systemu bonus-malus stosowanego w TUR Warta SA na przestrzen lat 1998 2011. Oblczena oraz wykresy wykonano w Mcrosoft Offce Excel oraz za pomocą programu napsanego w języku Octave. Tabela 7. Mary efektywnośc systemu w latach 1998 2011 Rok 1998 1999 2004 2008 2010 2011 RSAL 0,012521 0,029128 0,029826 0,044411 0,145096 0,050267 RSAL 2 0,037563 0,077673 0,079536 0,118429 0,386922 0,134046 Elastyczność Lomaranta 0,051158 0,170945 0,181597 0,299395 0,594289 0,320428 101
Wadomośc Ubezpeczenowe 1/2014 Przedstawone w tabel 7 wynk oblczeń mówą o nskch wartoścach mar efektywnośc systemu. Na tle porównywanych systemów bonus-malus najbardzej zrównoważony jest system stosowany w 2010 r. W przypadku elastycznośc Lomaranta równeż w tym roku system najlepej dopasowuje składkę do ndywdualnego ryzyka zwązanego z częstoścą roszczeń. Wykres 3. Mara efektywnośc RSAL 0,50 0,45 0,40 Mara efektywnośc RSAL 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 RSAL 0,00 1998 1999 2004 2008 2010 2011 Rok trwana ubezpeczena Wykres 4. Mara efektywnośc RSAL 2 1,0 0,9 0,8 Mara efektywnośc RSAL2 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 RSAL2 0,0 1998 1999 2004 2008 2010 2011 Rok trwana ubezpeczena 102
Analza modyfkacj systemów bonus-malus Wykres 5. Elastyczność Lomaranta 1,0 0,9 Wartośc mary elastycznośc 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Elastyczność 0,0 1998 1999 2004 2008 2010 2011 Rok trwana ubezpeczena Analzując wykresy 3, 4 oraz 5 możemy zauważyć, że efektywność elastyczność Lomaranta systemu rosła aż do 2010 r. Nestety po tym roku nastąpł gwałtowny spadek wartośc badanych parametrów. Można przypuszczać, że frma ponosła duże straty po zastosowanu systemu obowązującego w 2011 r. Podsumowane Wynk przeprowadzonej analzy pokazują, że do 2010 r. system bonus-malus obowązujący w TUR Warta SA dzałał prawdłowo. Natomast w 2011 r. nastąpł gwałtowny spadek wartośc mar, za pomocą których możlwa jest ocena efektywnośc systemu bonus-malus. Prawdopodobne z tego powodu w 2012 r. w frme ubezpeczenowej Warta SA tradycyjny system bonus-malus zastąpono nowym modelem znżek-zwyżek, uwzględnającym wele nowych czynnków, m.n. lczbę zgłoszonych szkód zarówno w ramach ubezpeczena AC, jak OC. Z begem lat okaże sę, czy wprowadzene nowego modelu w ubezpeczenach AC w 2012 r. przynese frme ubezpeczenowej Warta SA korzyśc fnansowe. Wykaz źródeł Kaas R., Goovaerts M.J., Dhaene J., Denut M., Modern actuaral rsk theory, Sprnger-Verlag, Berln Hedelberg 2001. Kowalczyk P., Poprawska E., Ronka-Chmelowec W., Metody aktuaralne, PWN, Warszawa 2006. Lemare J., Automoble nsurance, actuaral models, Kluwer-Njhoff Publshng, Boston 1985. 103
Wadomośc Ubezpeczenowe 1/2014 Lemare J., Bonus-malus system n automoble nsurance, Kluwer Academc Publshers, Boston 1995. Mszczyńska D., Mszczyńsk M., Systemy ubezpeczeń bonus-malus, podejśce symulacyjne, [w:] Modelowane preferencj a ryzyko, red. T. Trzaskalk, Wydawnctwo AE w Katowcach, Katowce 2006. Ostasewcz W., Składk ryzyko ubezpeczenowe: modelowane stochastyczne, Wydawnctwo AE, Wrocław 2004. Otto W., Ubezpeczena majątkowe, cz. I, Teora ryzyka, WNT, Warszawa 2004. Źródła nternetowe: http://www.owu.edu.pl/wp-content/uploads/2011/10/warta-owu-ac-standard.pdf (20.11.2012). http://www.knf.gov.pl/opracowana/rynek_ubezpeczen/dane_o_rynku/dane_roczne/dzne_roczne. html (10.01.2013). Analyss of modfcatons of bonus-malus systems n autocasco motor nsurance as exemplfed by the selected nsurance company The ssues dscussed n the artcle are connected wth the bonus-malus system, whch plays an mportant role n motor nsurance. It nvolves the need to assess ts effectveness. What nspred the research was the decson taken n 2012 by Towarzystwo Ubezpeczeń Reasekuracj Warta SA to resgn from the tradtonal bonus-malus system. The artcle analyses effectveness of the bonus-malus systems used by TUR Warta SA n autocasco motor nsurance n the years 1998-2011. It helped assess the extent to whch the system functoned correctly at the nsurance company n queston, and showed the possble causes of the changes ntroduced n 2012. Key words: bonus-malus system, motor nsurance, nsurance premum, Posson dstrbuton. dr Ewa Łazuka adunkt w Katedrze Matematyk Stosowanej Wydzału Podstaw Technk Poltechnk Lubelskej. Klauda Stępkowska studentka I roku studów II stopna na kerunku Matematyka, na Wydzale Podstaw Technk Poltechnk Lubelskej. 104