Modelowanie absorbcji cząsteczek LDL w ściankach naczyń krwionośnych
Plan prezentacji Co to jest LDL? 1 Budowa naczynia krwionośnego 2 Przykładowe wyniki 3 Mechanizmy wnikania blaszki miażdżycowej w ścianki naczyń 4 Schemat symulacji 5 Różne stężenie LDL w zależności od naprężenia ścinającego 6 Podsumowanie 7
Co to jest LDL? 1 2 Low Density Lipoprotein -Lipoproteina niskiej gęstości Jest to główny transporter cholesterolu z wątroby do innych narządów 3 Tzw. zły cholesterol 4 HDL dobry cholesterol
Miażdżyca W początkowym stadium powodowana przez gromadzenie się makromolekuł LDL w ściance naczynia Nie jest do końca wyjaśnione, czy miażdżyca powodowana jest anomalnym gromadzeniem się LDL w intimie, czy jest to skutek choroby
Miażdżyca W początkowym stadium powodowana przez gromadzenie się makromolekuł LDL w ściance naczynia Nie jest do końca wyjaśnione, czy miażdżyca powodowana jest anomalnym gromadzeniem się LDL w intimie, czy jest to skutek choroby
Budowa naczynia krwionośnego
Matematyczne modelowanie transportu w ściance naczynia Model wielowarstwowy cztery warstwy Warstwy to makroskopowo jednolite ośrodki porowate
Główne warstwy tętnicy Tętnica Światło naczynia Endothelium Intima IEL Media
Główne warstwy tętnicy Endothelium Pojedyncza warstwa komórek śródbłonka wydłużonych w kierunku przepływu krwi Komórki te są ze sobą połączone
Główne warstwy tętnicy Endothelium Pojedyncza warstwa komórek śródbłonka wydłużonych w kierunku przepływu krwi Komórki te są ze sobą połączone
Główne warstwy tętnicy Endothelium Pojedyncza warstwa komórek śródbłonka wydłużonych w kierunku przepływu krwi Komórki te są ze sobą połączone
Główne warstwy tętnicy Intima składała się głównie z włókien kolagenowych i proteoglikanów.
Główne warstwy tętnicy Intima składała się głównie z włókien kolagenowych i proteoglikanów.
Główne warstwy tętnicy Internal Elastic Lamina nieprzepuszczalna elastyczna tkanka z porami fenestralnymi,
Główne warstwy tętnicy Internal Elastic Lamina nieprzepuszczalna elastyczna tkanka z porami fenestralnymi,
Główne warstwy tętnicy Media składa się z naprzemiennych warstw komórek mięśni gładkich i elastycznej tkanki łącznej,
Główne warstwy tętnicy Media składa się z naprzemiennych warstw komórek mięśni gładkich i elastycznej tkanki łącznej,
ENDOTHELIUM I IEL Modele matematyczne Biologiczne membrany porowate Istotne są współczynniki filtracyjnego i osmotycznego odbicia Staverman a
Modele matematyczne INTIMA I MEDIA Makroskopowo jednorodne ośrodki porowate Ośrodki są selektywnie przepuszczalne dla LDL co odzwierciedlone jest przez współczynniki Staverman a Pobieranie składników przez komórki mięśni gładkich w medii może być przybliżone jako nieodwracalna reakcja pierwszego rzędu.
Stężenie LDL otrzymane z symulacji
Stężenie LDL otrzymane z symulacji
Mechanizmy wnikania Zależności akumulacji blaszki miażdżycowej od parametrów przepływu nie są obecnie do końca wyjaśnione Koncentracja LDL wzrasta tam, gdzie jest małe naprężenie ścinające WSS. Koncentracja ta wzrasta również tam, gdzie obserwowane są duże zmiany WSS i powierzchniowej koncentracji LDL Może być to związane z powstawaniem tzw. leaky cell junctions, które pozwalają LDL na wnikanie do endothelium lub nawet wiążą się ze zniszczeniami w endothelium
Schemat postępowania Segmentacja danych uzyskanych z rezonansu magnetycznego Obliczenie parametrów przepływu, w tym WSS Symulacja przepływu z wykorzystaniem pakietu Sage lub OpenFoam Symulacja osadzania blaszki miażdżycowej w istotnych miejscach naczynia krwionośnego
Przykład tętniak aorty brzusznej Naprężenie ścinające w przykładowej aorcie
Przykład tętniak aorty brzusznej WSS = 1.0
Przykład tętniak aorty brzusznej
Przykład tętniak aorty brzusznej WSS = 0.1
Przykład tętniak aorty brzusznej
Przykład tętniak aorty brzusznej WSS = 10
Przykład tętniak aorty brzusznej
Podsumowanie Obecny model jest bardzo uproszczony i wymaga dalszej rozbudowy W przyszłości symulacje przepływu krwi i wnikania makromolekuł w ścianki naczyń to: Odpowiedzi na wiele interesujących pytań Ważne narzędzie diagnostyczne
Dziękuję za uwagę
Endothelium i IEL Model matematyczny ε porowatość K przepuszczalność hydrauliczna ρ gęstość μ efektywna lepkość dynamiczna ośrodka σ f współczynnik odbicia filtracyjnego Stavermana σ d współczynnik odbicia osmotycznego Stavermana V wektor prędkości p ciśnienie hydrauliczne R u - stała gazowa T temperatura c stężenie D e efektywny współczynnik dyfuzji
Intima i media Model matematyczny k współczynnik reakcji
Parametry Endothelium intima IEL media σ 0.988 0.8272 0.9827 0.8836 L [μm] 2 10 2 200 0 0 0
Stochastyczne rozwiązanie równania na transport The Random Walk Particle Tracking (RWPT) polega na modelowaniu transportu wykorzystując dużą ilość cząstek (Ujęcie Lagrange a) Pozwala łączyć transport adwekcyjny, dyspersyjny i dyfuzyjny. Problem w przypadku nieciągłości współczynnika dyfuzji
Równanie transportu
Proces Wienera
Całka statystyczna
Interpretacja Ito
Interpretacja Stratonowicza
Związek między (I) i (S)
Związek między (I) i (S)
Związek między (I) i (S)
Związek między (I) i (S)
Związek między (I) i (S)
Związek między (I) i (S)
SDE w ujęciu Stratonowicza
Backward Ito Pozwala uniknąć problemu z nieciągłym współczynnikiem dyfuzji. B obliczane jest w punkcie X(t k ), czyli:
Backward Ito
Backward Ito
Backward Ito
Backward Ito
Backward Ito
Backward Ito
SDE w ujęciu backward Ito
Problem z nieciągłością współczynnika dyfuzji
Błądzenie przypadkowe - Metoda Monte Carlo
Generalized Backward Ito
Warunki brzegowe C(x=0)=1 C(x=214)=0 Pochłanianie w warstwie medii z prawdopodobieństwem k
Implementacja z wykorzystaniem CUDY Każda cząstka reprezentowana jest przez osobny wątek Każda cząstka ma 2 stany żywy (a=true) i uśpiony (a=false) Obszar [0,L[0]] to obszar, w którym zadajemy stałe stężenie c=1
Algorytm n1, n2 zmienne losowe o rozkładzie normalnym w1, w2 zmienna losowa o rozkładzie ciągłym a czy cząstka jest żywa if(x>l, w<k): a=false else if (0 x<l[0]): x=l[0]*w1 if(a): Obliczamy Y(n1) Obliczamy nowe położenie X(n1) Zliczamy wszystkie cząstki w przedziale 0 x<l[0] Budzenie lub usypianie odpowiedniej ilości cząstek
Wyniki działania algorytmu
Wyniki działania algorytmu
Wyniki działania algorytmu
Wyniki działania algorytmu
Rozwiązanie numeryczny Metodą różnic skończonych szukamy rozwiązania równania dla przypadku jednowymiarowego:
Różnice skończone 1. Dzięki rozwinięciu funkcji w szereg Taylor a możemy wyprowadzić przybliżone wzory na pierwszą i drugą pochodną:
Różnice skończone
Układ równań 5. Konstruujemy układ równań -> 1 równanie z każdego punktu, a z niego macierz rzadką
Warunki brzegowe
Wnętrza obszarów
Ciągłość strumienia
Dziękuję za uwagę
Przybliżone rozwiązanie analityczne Uproszczenie problemu do zagadnienia jednowymiaro wego Zaniedbanie krzywizny Przybliżone rozwiązanie analityczne
Intima IEL i Endothelium Liczba Reynoldsa Liczba Darcy
Intima IEL i Endothelium Liczba Peclet a
Intima IEL i Endothelium
Media
Warunki brzegowe Warunek brzegowy na ciśnienie: Warunki na stężenie Warunek na strumień między obszarami
Rozwiązania A wykorzystując równanie charakterystyczne:
Forma macierzowa