X. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE.. Wpowadzee Rozważmy ład ówań óżczowyc z waam począowym Zagadee (.) (.) azywa sę zagadeem począowym. Naszym zadaem es zalezee fc y () będącyc ozwązaem ww. ład. W dalszym cąg będzemy pomać des. Idea meyczego ozwązywaa zagadea począowego es asępąca: wycodząc od zaego wa począowego y pzebegamy pzedzał [a b] oblczaąc pzyblżoe waośc ozwązaa dla eóyc waośc zmee ezależe aż zosae osągęy oec pzedzał. Nec ( =...) ozaczaą pewe py pzedzał [a b] pzy czym < + oaz = a. Nec ażdem pow odpowada lczba y będąca pzyblżeem waośc doładego ozwązaa y( ). Rozwązae dołade es ezae ale spodzewamy sę że pzyblżea y y... są a yle dobe że odwazaą oe w sposób wey szał fc y(). Naswaą sę zaem co ame zy pyaa:! w a sposób ależy oeślać py...! w a sposób ależy oblczać pzyblżea y y...! a moża swedzć że waość y es dobym pzyblżeem dołade waośc y( ) soo es oa ezaa? Nmeycze ozwązywae zagadea począowego oeślamy acze ao całowae zagadea począowego. Dłgość o całowaa es oeśloa asępąco: Jeżel dla wszysc pów... mamy y = f ( y) = a b (.) y ( ) = y = K. (.) = = K. = = cos = K o mówmy że oblczea są wyoywae ze sałą dłgoścą o całowaa. W pzecwym pzypad mówmy że oblczea są wyoywae ze zmeą dłgoścą ego o.
.. Wpowadzee Cecą caaeysyczą całowaa meyczego zagadea począowego es o że pzyblżea y y... są oblczae oleo dla oleo asępącyc po sobe pów.... Nec y y... y! ozaczaą oblczoe ż pzyblżea dla pów oleo...!. Oblczee pzyblżea y dla asępego p azywamy edym oem oblczeń. Meoda meycza es o wyażoy za pomocą wzo sposób oblczea waośc pzyblżea ozwązaa w edym o oblczeń. Meody meycze ozwązywaa zagadea począowego dzelmy a:! meody edooowe (w cel wyoaa edego o oblczeń wyozysemy ylo pzyblżee oblczoe w bezpośedo popzedzaącym o) wśód óyc wyóżamy meody wyaące z bezpośedego zasosowaa ozwęca Tayloa meody Rgego- Ky meody specale! meody welooowe (w cel wyoaa edego o oblczeń wyozysemy pzyblżea oblczoe w l oleyc bezpośedo popzedzaącyc oac) wśód óyc wyóżamy lowe meody welooowe elowe meody welooowe (meody specale) meody pedyo-oeo! meody esapolacye. Defca.. Różcę Ses e defc es asępący: eśl dla [a b] wyes ozwązaa doładego y() ooczymy pasem [y()!g y() + g] gdze g ozacza dowole małą lczbę dodaą o pzyblże ( ) = y( + ) y azywamy błędem aposymac meody w o =! +. Mówmy że meoda meycza es zęd p eżel dla ażdego zagadea począowego mamy ( p) ( p+ ) ( ) = ( ) = K ( ) = oaz ( ). Jeżel meoda es zęd p o błąd aposymac posada ozwęce ( ) = p+ ( p+ ) ( ) ( p + )! + K. Pewszy wyaz ego ozwęca azywa sę częścą główą błęd aposymac. Defca.. Błąd całowy odpowadaący pow = () = a + es oeśloy wzoem e = e ( ) = y( ) y ( ). Defca.. Meoda meycza es zbeża eśl dla dowolego g > see sała H = H(g) > że eśl waość < H o dla wszysc pów = () = a + edocześe zacodz e ( ) = y( ) y ( ) < ε = K N = N( ).
X. Rówaa óżczowe zwyczae a zysae dla dosaecze gęsyc podzałów odca [a b] zawea sę w ym epsloowym oocze. Defca. może być eż sfomłowaa ówoważe acze. Defca.4. Meoda meycza es zbeża eżel dla ażdego cąg m (m =...) spełaącego wa > >... oaz m 6 pzy m 6 mamy ( m) ( m) max e gdy m N( m) ( m) gdze e = y( ) y ( ). m.. Bezpośede zasosowae ozwęca Tayloa Rozważmy salae zagadee począowe posac Nec [a b]. Załadaąc see pocodyc ozwązaa y = y() do zęd + ze wzo Tayloa ozymemy y y y y y ( + ) = () + () + () + K + ( ) () + R ( ) (.4)!! gdze R( ) = O( + ) ozacza eszę. Kozysaąc z ówaa (.) oaz załadaąc see pocodyc fc f dosaecze wysoego zęd moża wyazć pocode y () () za pomocą fc y() oaz pocodyc fc f: y ( ) = f ( y( )) y () = d.. df d f Uwaga! Jeśl ówaa (.) pzedsawaą ład ówań o wyażea f d.. ozaczaą maceze wadaowe sopa. dy dy Jeśl w ówa (.4) względmy ylo pocodą zęd pewszego o ozymamy sąd po zaedba eszy mamy meodę posac y = f ( y) y( a) = y. (.) df y dy ( ( )) f ( y( )) d f ( y( )) = + df ( y( )) y () f ( y( )) dy dy y ( + ) = y ( ) + f( y ( )) + O ( ) Jes o meoda Elea. Kozysaąc z wyażeń dla pocodyc pewszego dgego zecego zęd z ówaa (.4) mamy f ( y( )) y+ = y + f ( y) = K. (.5)
.. Meody welooowe df ( y( )) y ( + ) = y ( ) + f( y ( )) + f ( y( ))! dy d f ( y( )) df ( y( )) + f ( y( )) +! dy dy sąd ozymemy meodę posac 4 f ( y( )) + O( ) df y d f y df y y+ = y + f y + f y f y dy + ( ) ( ) dy + ( ) ( ) ( ) ( )!! dy Obe ww. meody są edooowe. Opócz meody Elea (.5) wszyse meody ozymywae w e sposób wymagaą ewygodego w payce pacocłoego oblczaa pocodyc fc f zęd ym wyższego m węce wyazów ozwęca Tayloa względmy pzy osc meody. Wyąem są meody w óyc pocode e moża oblczyć w sposób eecyy. f ( y )... Meody welooowe Rozważmy zagadee począowe posac y () = f ( y) y( a) = y. (.6) Nec { } ozacza cąg pów ac że < + =.... Załóżmy że = a + gdze >. Ozacza o że py są ówoodległe czyl że oblczea są wyoywae ze sałym oem całowaa. Dla saloego ( =...) Zasosowae meody -oowe wymaga zaomośc welośc y y... y! będącyc pzyblżeam waośc doładyc y( ) y( )... y(! ) gdze = a y = y( ) = y(a). Pzymmy eco ogóle że dla pewego $ są zae welośc y! y! +... y! będące pzyblżeam waośc doładyc y(! ) y(! + )... y(! ). Algoym meody -oowe es oeśloy asępąco: y = α y + β f = + K (.7) = = gdze f! = f(! y! ) a współczy " $ są odpowedo dobaym lczbam. Defca.5. Meoda -oowa es awa gdy $ =. Meoda -oowa es eawa gdy $.
4 X. Rówaa óżczowe zwyczae Algoym (.7) dla meody awe ma posać a dla meody eawe y = α y + β f = = (.8) y = α y + β f + β f ( y). (.9) = = W pzypad meody (.9) w ażdym o całowaa msmy ozwązać a ogół elowe ówae (lb ład ówań elowyc). Oaze sę że pommo węsze pacocłoośc zasosowae meody eawe es celowe. Wzó (.7) oeśla meodę -oową w sposób czyso fomaly. Zamemy sę eaz wypowadzeam meod e posac. Pzepszmy zagadee począowe (.6) w ówoważe posac całowe Sąd y ( ) = y ( ) + f( x yx ( )) dx >. y ( ) = y ( ) + f( x yx ( )) dx. (.) Pzyblżaąc fcę podcałową za pomocą odpowedego weloma epolacyego a asępe całąc ozymay wzó ozymamy meodę posac (.7). Nec W(x) ozacza weloma epolacyy sopa! a że W ( ) = f( y ( )) =K. Ozaczaąc f ( ) = f ( y( )) =K oaz dooąc zamay zmeyc x =! + weloma W(x) zapsemy w posac Newoa za pomocą óżc wseczyc: ( + ) K( + ) W ( + ) = f( ) + f( ) + K + ( )! Fcę podcałową we wzoze (.) pzyblżamy welomaem W(x). f ( x y( x)) = W( x) + ( x) gdze (x) ozacza błąd epolac day wzoem ( ) x f ( + ) K( ( ) ( + ) = + ) = ( ξ( )).! f ( ).
.. Meody welooowe 5 Całowae weloma epolacyego e asęcza dośc a wy całowaa błęd epolac zysemy a podsawe wedzea o waośc śede dla całe wyozysąc fa że fca ( + )... ( +!) ma sały za w pzedzale ( ). Jeżel ozaczymy o ozymamy γ = γ = ( + ) K( + ) d! Zależość (.) es dołada es oa ówoważa z zależoścą (.) óa z ole es ozwązaem zagadea począowego a pzedzale [! ]. Wyozysąc ówość ozymemy wzó (.) w e posac: gdze Zaedbąc błąd epolac oaz pzymąc zamas doładyc waośc y(! ) f(! ) = f(! y(! )) waośc pzyblżoe odpowedo y! f! = f(! y! ) ozymemy algoym meody Adamsa-Basfoa posac lb = + ( + ) y ( ) = y ( ) + γ f( ) + γ y ( ξ ). (.) m f ( ) = ( ) m m f ( ) m = y ( ) = y ( ) + β f( ) + γ y ( ξ ) (.) = β + ( + ) m = ( ) γ m = K. m= = y = y + γ f y = y + β f. (.) = Zaważmy że wzó (.) ma posać wzo (.8) oeśla meodę awą. Waośc współczyów ( $ są asępące:
6 X. Rówaa óżczowe zwyczae 4 5 ( 5 8 5 7 95 88 $ $ $ $ 4 $ 5 6 5 4 55 4 59 4 7 4 9 4 5 9 7 774 7 66 7 74 7 5 7 W szczególośc z zależośc (.) ozymemy asępące wzoy Adamsa-Basfoa:! = (meoda Elea po. (.5)) y = y + f! =! =! = 4 Nec eaz y W( x) y y = y + f f ( ) = y + f 6 f + 5 f ( ) = y + 55 f 59 f + 7 f 9 f 4 4 ( ). ozacza weloma epolacyy sopa a że W( ) = f ( y( )) =K. Posępąc podobe a popzedo ozymamy gdze y ( ) = y ( ) + γ f( ) + γ y ( ξ ) (.4) = + + ( + )
.. Meody welooowe 7 Zależość (.4) es dołada ówoważa zależośc (.) a węc aże zagade począowem (.6) a pzedzale [! ]. Uwzględaąc że z wzo (.4) ozymamy ówość doładą gdze Zasępąc we wzoac (.4) (.5) dołade waośc pzyblżoym pomaąc eszę ozymemy meody Adamsa-Moloa posac lb γ = γ = ( + ) K( + ) d.! gdze f! = f(! y! ). Zaważmy że wzó (.6) ma posać wzo (.9) oeśla meodę eawą. Waośc współczyów γ β podao w poższyc abelac. 4 γ m f ( ) = ( ) m m f ( ) m = y ( ) = y ( ) + β f( ) + γ y ( ξ ) (.5) = β + + ( + ) m = ( ) γ m = K. m= y = y + γ f = y = y + β f (.6) = 4 9 7
8 X. Rówaa óżczowe zwyczae β β β β β 4 4 5 9 4 5 7 8 9 4 646 7 5 4 64 7 4 6 7 9 7 W szczególośc z zależośc (.6) ozymemy asępące wzoy Adamsa-Moloa:! = (wzó apezów)! =! = y y y = y + f + f ( ) = y + f + f f ( 5 8 ) = y + f + f f + f 4 ( 9 9 5 ). Gdyby zasosować weloma epolacyy sopa zeowego. W(x) = f( y( )) o ozymamy eszcze edą meodę Adamsa-Moloa posac y = y + f. Jes o zw. wsecza meoda Elea. Pzepszmy eaz zagadee począowe (.6) w asępące ówoważe posac: sąd ozymamy y ( ) = y ( ) + f( x yx ( )) dx > y ( ) = y ( ) + f( x yx ( )) dx. (.7) Nec W(x) ozacza weloma epolacyy sopa! a w meodze Adamsa-Basfoa. Fcę podcałową we wzoze (.7) pzyblżamy ym welomaem wyoemy całowae. Ozymamy = y ( ) = y ( ) + ν f( ) + K
.. Meody welooowe 9 gdze Pomaąc błąd pzyblżea zasępąc waośc dołade c pzyblżeam ozymemy awe -oowe meody Nysöma posac W szczególośc dla = z wzo (.8) mamy Jes o zw. meoda p śodowego. Jeżel weźmemy weloma W( x) sopa a a w meodze Adamsa-Moloa fcę podcałową w zależośc (.7) pzyblżymy ym welomaem o po wyoa całowaa dosaemy gdze ν = ν = ( + ) K( + ) d! ν Sąd posępąc podobe a popzedo ozymemy eawe meody Mle a-smpsoa posac W szczególośc dla = mamy dwoową meodę Mle a: = y = y + ν f. (.8) y = y + f. y ( ) = y ( ) + ν f( ) + K = Do meod welooowyc zalcza sę aże meody wseczego óżczowaa óe polegaą a pzyblże ozwązaa zagadea począowego za pomocą odpowedego weloma epolacyego a asępe a pzyblże pocode ozwązaa za pomocą pocode ego weloma. Wśód meod wseczego óżczowaa mamy eż meody awe eawe. Oaze sę że pzy e same lczbe oów eawe meody welooowe maą wyższy ząd zbeżośc ż meody awe. Połączee meod awyc eawyc powadz do meod pedyo-oeo w óyc pedyoem es meoda awa a oeoem meoda eawa. Za pomocą pedyoa zyse sę począowe pzyblżee ozwązaa w oeśloym pce óe asępe es wyozysywae w pocese eacyym dla meody eawe. = ν = ( + ) K( + ) d.! y y = y + ν f. = = y + ( f + 4 f + f ).
X. Rówaa óżczowe zwyczae.4. Meody Rgego-Ky Ja pamęamy zależość całowa y ( ) = y ( ) + f( τ y( τ)) dτ > (.9) es ówoważa z ówaem óżczowym dla >. Pzymąc + = + zamas z ówaa (.9) ozymemy y ( + ) = y ( ) + f( y ()) d. + (.) W meodac Rgego-Ky dooemy pzyblżea cał wysępące w powyższym wzoze za pomocą smy o ae posac że ażdy sład e smy wyaża sę pzez y( ). W e sposób waość y( + ) soąca po lewe soe będze wyażała sę edye popzez waość y( ). Dooąc w zależośc (.) zamay zmeyc dosaemy c = + y ( + ) = y ( ) + f( + c y ( + c)) dc. Isee wele sposobów oblczea cał wysępące w powyższym wzoze. Zasosowae c polega a zasąpe cał odpowedą smą: m y ( ) = y ( ) + wf( + c y ( + c)) + E ( ) + = m (.) gdze w oaz c ozaczaą dla saloego m $ współczy zależe od pzyęego sposob pzyblżea cał a E m () ozacza błąd pzyblżea. Zależość (.) es ylo fomala e pzedsawa poszwaego wy gdyż waośc y( + c ) są ezae. Waośc e zasępe sę pewszym dwoma wyazam odpowedego ozwęca w szeeg Tayloa. Ozaczaąc ( ) = f ( y( )) ( ) = f + c y( ) + a( ) > = zależość (.) możemy apsać w posac
.4. Meody Rgego-Ky gdze R m () ozacza błąd E m () wyaący z zasąpea cał smą powęszoy o błędy wyaące z zasąpea waośc y( + c ) pewszym dwoma wyazam ozwęca w szeeg Tayloa. Z ozwęca y( + c ) względem popzedego p + c! wyaą pzy ym zależośc sąd y ( ) = y ( ) + w( ) + R ( ) + = Zasępąc waość doładą y( ) pzyblżoą waoścą y pomaąc błąd R m () ozymemy m a = c a = c c K a = c c c = a dla > c =. = m = m y + = y + w (.) gdze = f ( y ) = f + c y + a > = (.) pzy czym c = a >. (.4) = Powyższe wzoy zosały wypowadzoe pzy założe że zasosowao oeśloy sposób pzyblżea cał. Wzoy (.) (.4) pzyme sę częso za podsawę defc meod Rgego-Ky bez odwoływaa sę do pzyblżoego całowaa. O współczyac w c a załada sę że są ezależym paameam spełaącym wae (.4). Współczy e wygode es pzedsawać w posac poższe ablcy. c a c a a!!! c m a m a m ÿ a m m! w w ÿ w m! w m
X. Rówaa óżczowe zwyczae Defca.6. Błędem aposymac odpowadaącym pow + azywamy wyażee Defca.7. Mówmy że meoda Rgego-Ky es zęd p eśl dla ażdego zagadea począowego mamy gdze + () es oeśloe wzoem (.5). Oaze sę że w ogólośc ówań wążącyc współczy w c a óe gwaaą że meoda es zęd p es me ż lczba yc współczyów. Sąd dla dae lczby m we wzoze (.) óą azywa sę lczbą eapów meody Rgego-Ky ozyme sę óże odzy meod w óyc eóe ze wspomayc współczyów pzyme sę za paamey. Na pzyład dla m = zęd p = (e seą dweapowe meody wyższego zęd) mamy wa w + w = wc =. Z dgego ówae wya że pzypad w = oaz c = są wylczoe. Jeśl waość c obezemy ao paame o swedzamy że see esończee wele meod dweapowyc zęd dgego. Pzyładam ac meod mogą być:! lepszoa meoda Elea! meoda Elea-Cacy ego m + = y + y + w ( ) ( ) ( ) ( ). (.5) = () ( p+ + + + ( ) = ( ) = dla = K p oaz ( ) w c = c W pzypad m = 4 p = 4 (e seą czeoeapowe meody wyższego zęd) mamy asępącyc osem ówań wążącyc współczy: w = c = f ( y) = f + y + y = y + + = f ( y) = f ( + y + ) y y + = + ( + ).
.4. Meody Rgego-Ky w + w + w + w4 = wc + wc + wc 4 4= wc + wc + wc 4 4= wa c+ wa 4 4c+ wa 4 4c= 6 wc + wc + wc 4 4= 4 w c a c + w c a c + w c a c = 4 4 4 4 4 4 wa c + wa 4 4c + wa 4 4c = wa 4 4ac =. 4 8 Z ówań yc wya że możemy ozymać dw- edopaameowe odzy czeoeapowyc meod Rgego-Ky. W szczególym pzypad dla asępące ablcy paameów: 6 6 6 6 ozymemy edą z abadze poplayc meod Rgego-Ky zęd czwaego zwaą po pos meodą Rgego-Ky posac = f ( y) = f + y + = f + y + = f ( + y + ) 4
4 X. Rówaa óżczowe zwyczae y+ = y + ( + + + 4). 6 Wyazao że dla m = 4 see esończee wele meod m-eapowyc oaz że dla meody m-eapowe masymaly ząd es ówy p = m. Dla m = 5 6 7 masymaly ząd es ówy m! dla m = 8 9 mamy p = m! a dla m $ dla masymalego zęd zacodz eówość p # m!.
XI. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE W ówaac óżczowyc cząsowyc wysępą pocode cząsowe (óżyc zędów) fc óą ależy zaleźć. Opócz ego dla szae fc są oeśloe óże wa bzegowe lb począowo-bzegowe. Isee wele meod meyczego ozwązywaa ac ówań. Ta ogaczymy sę do ówaa zęd dgego meody óżcowe ego ozwązaa. Nec S ozacza pewe obsza a płaszczyźe xy a ' bzeg ego obsza. Załóżmy że w obszaze S es zadae ówae óżczowe cząsowe dgego zęd posac a x b c d + + + + e + g = f (.) x x y x y gdze a = a(x y) b = b(x y) c = c(x y) d = d(x y) e = e(x y) f = f(x y) g = g(x y) ozaczaą dae fce oeśloe w obszaze S + '. Jeżel b! ac < dla ażdego x y S o ówae (.) azywa sę elpyczym w obszaze S. Gdy b! ac = o ówae azywamy paabolczym a gdy b! ac < pebolczym. W ogólośc zaówo obsza S a ego bzeg ' mogą być dowole. W dalszym cąg założymy że obsza S es posoąem posac Ω= {( x y): x α y β} o bzeg oeśloym wzoem Γ= {( xy ): x= α y β lb x α y= β}. Nec dla szae fc = (x y) gdze # x # " oaz # y # $ będą oeśloe asępące wa bzegowe: ϕ ( y) dla x = x y Γ = x y = ϕ ( ) dla = ϕ ( ) (.) ϕ ( y) dla x = α ϕ4 ( x) dla y = β pzy czym ϕ ( ) = ϕ ( ) ϕ ( α) = ϕ ( ) ϕ ( β) = ϕ ( α) ϕ ( ) = ϕ ( β). 4 4
6 XI. Rówaa óżczowe cząsowe Pocode cząsowe wysępące w ówa (.) mogą być pzyblżoe za pomocą loazów óżcowyc. Mamy x ( y ) x ( y) + x ( + y ) x ( x y ) ( x y + ) + ( x + y + ) ( x + y ) x y 4 x ( y+ ) x ( y) + x ( y ) y x ( + y ) x ( y ). x x ( y+ ) xy ( ) y W cel ozwązaa zagadea (.) (.) w obszaze S defe sę saę: α β ( x y): x = y = gdze = K = K m = = m a óe ose sę dla ówaa (.) względaąc pzyblżea pocodyc cząsowyc scema óżcowy posac a + b + + c + + d + + + e + + + g = f = K = K m + + + + + (.) pzy czym zgode z waam (.) mamy = ϕ ( ) = ϕ ( ) = K m = ϕ ( ) = ϕ ( ) = K. m 4 (.4) Uwzględaąc wa (.4) z zależośc (.) ozymemy ład (!)(m!) ówań lowyc óe w zapse bloowym moża pzedsawć asępąco:
XI. Rówaa óżczowe cząsowe 7 gdze a A B oaz C ozaczaą maceze ódagoale. Wzoy a współczy yc macezy sładowe weoów wyaą z ozważaego ład óy moża ozwązać a pzyład meodą elmac Gassa z pełym wyboem eleme podsawowego. B C A B C A B C A B C A B C A B K K K M M M M M M M M M K K K M = M m m = = = M M K
LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA [] J. M.. Jaowscy Pzegląd meod algoymów meyczyc Cz. WNT. [] J. Soe R. Blsc Wsęp do aalzy meycze PWN. [] Z. Foa B. Macow J. Wąsows Meody meycze WNT. [4] A. Ralso Wsęp do aalzy meycze PWN. [5] A. Maca D. Geglec J. Kaczmae Podsawowe pocedy meycze w ęzy Tbo Pascal NAKOM. [6] D. Kcad W. Ceey Aalza meycza WNT.