Rezonans w hybrydowym zagadnieniu 3 ciał

Rezonans w hybrydowym zagadnieniu 3 ciał Andrzej Odrzywołek Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 2d 2d HcL d 2d HaL d M, ΡHrL d M, ΡHrL m M, ΡHrL m 0 0 0 -d -d -d -2 d -2 d -d 0 A. Odrzywołek (ZTWiA) d 2d 3d HbL m -2 d -d 0 d 2d 3d -d Rezonans w hybrydowym zagadnieniu 3 ciał 0 d 2d 3d Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 1

Problem: czy hybrydowy układ podwójny jest stabilny? Rozważamy grawitujący układ podwójny: pierwsze z ciał to kula o masie M i promieniu R (np: gwiazda, księżyc) rozkład gęstości ρ(r) ma postać silnie skoncentrowaną dla r = 0, ale całkowita masa i rozmiar R otoczki znacznie przekracza masę i rozmiar obszaru centralnego (np: czerwony olbrzym) masę M traktujemy jak ciało sztywne, a jądro jako masę próbną drugie ciało traktujemy jako masę punktową m w odległości d R stosunek mas m/m dowolny, szczególności może być m M M, Ρ r R d Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 2

Motywacja: asymetryczne supernowe Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 3

Niecentralny wybuch Co mogłoby spowodować przesunięcie jądra gwiazdy względem środka masy? 1 niestabilności hydrodynamiczne podczas spalania Si Arnett & Meakin (2011): If there were a driving mechanism for core-mantle oscillation, here would be an asymmetry due to the displacement of the core and mantle relative to the center of mass. 2 rezonans pomiędzy częstością oscylacji jądra wewnątrz otoczki a częstością orbitalną w układzie podwójnym Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 4

Najprostsze modele Model szkolny M, Ρ 0 const R Μ Jeżeli m M porusza się po orbicie kołowej o promieniu R, a masa M jest kulą jednorodną, to: ω 2 ORB = GM R 3, ω2 OSC = 4 3 πgρ 0 = GM R 3 Ciało próbne jest w rezonansie ω ORB = ω OSC z masą m dla dowolnego promienia orbity d R. Dowolna zmiana ρ(r) lub odsunięcie masy m usuwa rezonans. Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 5

Najprostsze modele Model gimnazjalny M, Ρ 0 Jeżeli masa M jest kulą jednorodną, to: ω 2 ORB = G(M + m) R 3, ωosc 2 = 4 3 πgρ 0 = GM R 3 Ciało próbne jest w rezonansie ω ORB = ω OSC gdy: R Μ 1 + m M = ( d R ) 3 W tym modelu zestrojenie częstości jest możliwe także dla d > R oraz ρ(r) const. Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 6

Masa grawitacyjna i masa bezwładna Ciekawostka M, Ρ r R d m Jeżeli masa m porusza się wewnątrz masy M (d < R), to dla ruchu po orbitach kołowych mamy: ω 2 ORB = G M grav + m Mgrav M inert d 3. Jest to najprostszy fizyczny model ciała, dla którego M grav M inert! W przypadku ρ(r) = const możemy pokazać, że: ω 2 ORB = G(M + m) R 3, czyli ω ORB nie zależy od d. Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 7

Układ mechaniczny Przyjęta procedura badania stabilności Powyższe proste przykłady pokazują, że można doprowadzić do sytuacji ω OSC = ω ORB, ale: nie musi to oznaczać realnej niestabilności; w mechanicznym rezonansie pompujemy energię do układu, a tu mamy do czynienia z zachowawczym układem 3 ciał nie wiemy jaka jest szerokość ewentualnych rezonansów nie można nic powiedzieć o globalnej ewolucji takiego układu nie ma możliwości oceny wpływu rozmaitych źródeł oporów Jedyne sensowne podejście to analiza pełnego układu 3 ciał. Podejście numeryczne zawodzi, a próby trafienia w rezonanse metodą strzałów są metodą klasy zdesperowanej brutalnej siły. Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 8

Układ mechaniczny Założenia i uproszczenia Od tego momentu wszystkie wyniki dotyczą uproszczonego układu mechanicznego składającego się z trzech sztywnych, poruszających się ciał: 1 ciało sztywne o masie M, promień R, rozkład gęstości ρ(r); gęstość centralna ρ(0) = ρ 0 2 masa punktowa m w odległości d > R 3 ciało próbne o masie µ położone początkowo w geometrycznym środku masy M i współporuszające się z nią 4 podstawowy model to planar restricted circular three body problem, czyli: masy M i m poruszają się po orbitach kołowych, natomiast ciało próbne z µ = 0 porusza się tylko w płaszczyźnie orbitalnej Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 9

Planar restricted circular three body problem gdzie: ω 2 = G m (x d) ẍ 2 ω ẏ + k x+ [(x d) 2 + y 2 ] + G m 3/2 d 2 = 0, (1a) G m y ÿ + 2 ω ẋ + k y+ = 0, [(x d) 2 + y 2 3/2 ] (1b) G (m + M) d 3, k = 4 3 πgρ 0 ω 2, x 2 + y 2 R 2 Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 10

Liniowa stabilność położenia x = 0, y = 0 Wstawiam: x(t) = ɛ ζ(t), y(t) = ɛ ξ(t) rozwijam w szereg potęgowy po ɛ, odrzucam wyrazy rzędu ɛ 2 i wyższe, otrzymując układ liniowy: ζ 2 ω ξ + (k 2q) ζ = 0, (2a) ξ + 2 ω ζ + (k + q) ξ = 0, gdzie: k = 4 3 πgρ 0 ω 2, q = Gm d, ω 2 = G(M+m) 3 d. 3 Podstawiam ξ, ζ e λt i otrzymuję równanie charakterystyczne: ( ) λ Det 2 + k 2q 2ωλ 2ωλ λ 2 = 0. + k + q System uważam za niestabilny, jeżeli dla któregokolwiek λ mamy Re(λ) > 0. Niestabilność pojawia się dla: M d 3 < 4 3 πρ 0 < M + 3m d 3, lub 4 3 πρ 0 < 1 m M m/8 2 d 3 m + M (2b) Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 11

Sposoby rozwiązywania problemu stabilności Procedura eliminacji kwantyfikatorów Kwestię stabilności rozwiązań układu liniowego mozna zapisać w postaci kwantyfikatora: ( λ 2 M d 3 + 4πρ ) ( λ 2 M 3 d 3 3m d 3 + 4πρ ) + 4λ2 (m + M) 3 d 3 = 0 Re(λ)>0 pierszy algorytm eliminacji dla wyrażeń zawierających dowolne symbole interpretowane jako liczby rzeczywiste i kwantyfikatory podał Tarski obecnie istnieją szybsze metody, np: (algebraiczny) rozkład cylindryczny eliminacja kwantyfikatorów wymaga dużej pamięci i mocy obliczeniowej okazuje się bardzo skuteczna do badania stabilności Hong, Liska, Steinberg, Testing stability by quantifier elimination, Journal of Symbolic Computation, 24, 161, 1997 Resolve w Mathematice (zob. także: CylindricalDecomposition, Reduce, nowe Solve w wer. 8) Adam Strzeboński, Rozwiązywanie systemów równań i nierówności przy pomocy Matematyki 7, Poland Mathematica Conference, Kraków, May 2009 Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 12

Zachowana energia i region Hill a Dla rozważanego układu można podać wyrażenie na zachowaną energię w przypadku dowolnego rozkładu gęstości ρ(r): E = 1 2ẋ 2 + 1 2ẏ2 + U(x, y) (3a) U(x, y) = φ(r) 1 2 ω2 r 2 G m G m(x + d) + (x d)2 + y 2 d 2, r 2 = x 2 + y 2 (3b) φ(r) - potencjał grawitacyjny kuli przesunięty tak aby φ(0) = 0. Potencjał U(x, y) nadaje się do zbadania globalnego charakteru rozwiązań. rozwiązanie spoczywające w x = 0, y = 0 ma energię E = 0 dodajemy małą wartość δe i badamy zachowanie się obszaru Hill a U(x, y) < δe Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 13

Typowe przypadki 2 d a d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 14

Typowe przypadki 2 d b d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 14

Typowe przypadki 2 d c d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 14

Wpływ oporu 2 d d R R d 2 d 3 d x opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum) w przypadku niestabilnym potencjał jest typu tophill, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność numeryka potwierdza te wnioski dla oporów typu kv i kvv Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 15

Liniowa stabilność pełnego układu 3 ciał w 3D ciała początkowo na orbitach kołowych dziewięć niewiadomych funkcji, wielomian charakterystyczny 18 stopnia wyrażenia nie mieszczą się na ekranie, ale eliminacja kwantyfikatorów rozwiązuje problem system jest niestabilny dla: lub: M d 3 < 4 M + 3m (1 + µ/m) 1 πρ < 3 d 3 4 3 πρ < 1 m M + µ m/8 2 d 3 M + µ + m (1 + µ/m) 1. wcześniejsze kryterium prawie nie zmienia się: dodatkowy czynnik to stosunek masy jądra µ do masy otoczki M: (1 + µ/m) Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 16

Pytania bez odpowiedzi 1 Czy model mechaniczny jest adekwatny do opisu oddziaływania gwiazda - masa punktowa? (symulacja numeryczna 3D, hydrodynamiczny model analityczny, model N-ciałowy ) 2 czy różnego typu opory, w tym opór falowy, wpływaja na niestabilność (wg. mnie nie, z powodu kształtu potencjału) 3 czy i jak opisana niestabilność dla ciągłego ρ(r) jest powiązana z niestabilnością Roche a 4 jeżeli niestabilność jest realna, jakie powoduje skutki po wyjściu z reżimu liniowego 5 w szczególności, czy jądro może zostać przemieszczone lub nawet wyrzucone z gwiazdy/planety itp. 6 jaki skutki hipotetyczne przemieszczenie jądra będzie miało dla wybuchu supernowej (symulacje 2D/3D w toku, redukcja czasu narastania niestabilności i wzrost energii eksplozji) 7 jaki jest zakres stosowalności modelu trójciałowego, dla centralnej czarnej dziury w gromadzie kulistej 8 czy dla orbit eliptycznych zmienia się kryterium niestabilności (dla ciasnych układów podwójnych gwiazd spodziewamy się jednak orbit kołowych!) Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 17