Rozdział 4. Praca i energia

Rozdział 4. Praca i energia 018

Spis treści Energia i praca wykonana przez siłę stałą Praca wykonana przez siłę zmienną Energia kinetyczna Moc Siły zachowawcze i niezachowawcze Energia potencjalna Zasada zachowania energii Energia kinetyczna w układzie środka masy

Energia i praca wykonana przez siłę stałą Znajomość zagadnień związanych z szeroko rozumianym pojęciem energii jest konieczna dla wszelkich rozważań zarówno technologicznych, ekonomicznych, ekologicznych jak i społecznych. Żeby się o tym przekonać wystarczy sprawdzić jak istotną pozycją w budżecie domowym stanowią wydatki związane z zapotrzebowaniem na energię (zakupy żywności, opłaty za prąd, gaz, ogrzewanie czy paliwo do samochodu). Z energią związana jest najważniejsza chyba zasada całej fizyki - zasada zachowania energii. Nakłada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystanie. Do zasady tej będziemy się odwoływali wielokrotnie w kolejnych rozdziałach dotyczących różnych zagadnień fizyki. W mechanice zasada zachowania energii pozwala obliczać w bardzo prosty sposób ruch ciał, stanowi alternatywę do stosowania zasad dynamiki Newtona. W najprostszym przypadku, punkt materialny przemieszcza się pod wpływem stałej siły F. Traktując przesunięcie s jako wektor o długości równej drodze jaką przebywa ten punkt i kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu, możemy zdefiniować pracę W. DEFINICJA Definicja 1: Praca Praca W wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej siły F i wektora przesunięcia s. W = F s = Fscosα (1) gdzie α jest kątem między kierunkami siły i przesunięcia. Zwróćmy uwagę, że kąt α może być różny od zera bo stała siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego. Dzieje się tak gdy działają jeszcze inne siły (np. ciężar, tarcie). Ale nawet gdy działała tylko jedna siła to i tak ciało nie musi poruszać się w kierunku jej działania np. siła grawitacji w rzucie ukośnym. Rozpatrzmy teraz następujący przykład. PRZYKŁAD Przykład 1: Sanki Ciało o masie m (na przykład sanki) jest ciągnięte po poziomej powierzchni stałą siłą F (zob. Rys. 1?), a sznurek, za który ciągniemy tworzy kąt α z poziomem. Rysunek 1: Ciało o masie m ciągnięte po poziomej powierzchni stałą siłą F tworzącą kąt α z poziomem. Praca jaką wykonał człowiek ciągnący to ciało na drodze s jest zgodnie z równaniem ( 1 )? równa Fs cos α. Zauważmy, że pracę wykonuje tylko składowa F s = F cos α styczna do przesunięcia s. Natomiast składowa pionowa F sin α działa w górę zmniejszając nacisk ciała na powierzchnię. Ze wzoru ( 1 ) wynika, że praca może przyjmować zarówno wartości dodatnie gdy α < 90, jak i ujemne gdy α > 90. W omawianym przykładzie, poza siłą ciągnącą ciało, działa jeszcze siła tarcia kinetycznego T (zob. Rys. 1) przeciwstawiająca się ruchowi ( α = 180 ). Praca wykonana przez siłę tarcia jest ujemna W = T s = Ts cos 180 = Ts. W szczególności praca może być równa zeru, gdy kierunek siły jest prostopadły do kierunku przesunięcia ( α = 90, cos 90 = 0 ). Przykładem może być siła dośrodkowa. Przyspieszenie dośrodkowe jest prostopadłe do toru więc siła dośrodkowa nie wykonuje pracy. Rozpatrzmy jeszcze raz powyższy przykład, ale w sytuacji gdy człowiek ciągnący ciało porusza się ze stałą prędkością. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że wtedy F wyp = 0. W kierunku poziomym F wyp = F cos α T = 0, zatem "dodatnia" praca

wykonana przez człowieka jest równa co do wartości bezwzględnej "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę tarcia. Z podobna sytuacją mamy do czynienia przy podnoszeniu w górę (ze stałą prędkością) ciała o masie m na wysokość h (zob. Rys. ). Zauważmy, że w trakcie podnoszenia ciała człowiek działa siłą F równą ciężarowi ale przeciwnie skierowaną, więc "dodatnia" praca W = mgh wykonana na drodze h przez siłę F (człowieka) jest równa co do wartości "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę ciężkości. Rysunek : Podnoszenie ciężaru na wysokość h ZADANIE Zadanie 1: Podnoszenie książki Treść zadania: Teraz gdy znasz już definicję pracy, odpowiedz na proste pytania związane z następującym ćwiczeniem: Wyobraź sobie, że podnosisz książkę na półkę, tak jak pokazano to na rysunku obok. W pierwszym kroku podnosisz książkę z położenia (1) i umieszczasz ją na półce (położenie ). Następnie przenosisz książkę poziomo ze stałą prędkością na inne miejsce na półce (położenie 3). Jaki znak ma praca wykonana przezciebie na odcinku 1- i 1-3, a jaki znak ma praca wykonana przez siłę ciężkości? Tarcie i wszelkie opory pomijamy. Rysunek 3: Wzór ( 1 ) pozwala obliczyć pracę dla siły stałej; do obliczeń "podstawiamy" za F konkretną jej wartość. W module Praca wykonana przez siłę zmienną poznamy jak obliczyć pracę gdy siła zmienia się, przyjmuje różne wartości. Praca wykonana przez siłę zmienną Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia F(x), której kierunek jest zgodny z osią x. Szukamy pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia x 1 do położenia x. Wzór W = F s pozwala obliczyć pracę dla stałej siły F. Natomiast gdy wartość siły zmienia się, na przykład tak jak na Rys. 4?, Rys. 5? oraz Rys. 6? (linia ciągła), trzeba stosować inny algorytm.

Rysunek 4: Zmienna siła F(x) przybliżona ciągiem stałych wartości F i Zacznijmy od zastosowania przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie x na n jednakowych odcinków Δx tak, jak na Rys. 4. Wewnątrz takiego przedziału Δx przyjmujemy (i to jest to przybliżenie), że siła jest stała i możemy już teraz skorzystać ze wzoru ( ) do obliczenia pracy w dowolnym przedziale Δx ΔW i = F i Δx i () gdzie F i jest wartością siły na i-tym odcinku Δx. Następnie sumujemy prace wykonane na poszczególnych odcinkach, otrzymując całkowitą pracę W = Δx n i=1 F i (3) Zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej liczenie pracy jest równoważne liczeniu sumy powierzchni kolejnych prostokątów o podstawie Δx i wysokości F i. Możemy "poprawić" nasze przybliżenie. W tym celu, w kolejnym kroku dzielimy przedział ( x 1, x ) na więcej (mniejszych) odcinków Δx, tak jak pokazano na Rys. 5. Widać, że nowe przybliżenie jest lepsze. Wartości sił F i dla poszczególnych przedziałów są znacznie bliższe rzeczywistej funkcji F(x), a co za tym idzie obliczona (wzór ( 3 )) wartość pracy całkowitej jest bliższa wartości rzeczywistej (pola powierzchni prostokątów bardziej pokrywają się z polem pod krzywą). Rysunek 5: Zmienna siła F(x) przybliżona ciągiem stałych wartości F i Widać, że rozwiązaniem problemu jest przejście (w granicy) Δx 0. Stosujemy tę samą procedurę, obliczając całkowitą pracę. W = lim i=1 F iδx i = F(x)dx Δx 0 x x 1 (4) W taki sposób w matematyce definiujemy całkę. Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach odpowiada liczeniu pola powierzchni pod krzywą F(x) w zadanym przedziale (zob. Rys. 6). Ta procedura odpowiada też z definicji liczeniu wartości średniej W = F ( x x 1 ), co zgadza się z intuicyjnym podejściem.

Rysunek 6: Pole powierzchni pod krzywą F(x) równe liczbowo pracy wykonanej przez siłę na odcinku x 1 x Żeby obliczyć pracę wykonaną przez zmienną siłę trzeba albo umieć obliczyć całkę (ewentualnie poszukać rozwiązania w tablicach), albo umieć obliczyć pole powierzchni pod krzywą, co w szczególnych przypadkach nie jest trudne. PRZYKŁAD Przykład : Sprężyna Rozważmy sprężynę zamocowaną jednym końcem i rozciąganą siłą F tak, że jej drugi koniec przemieszcza się o x. Siła wywierana przez sprężynę F s = kx jest siłą przywracającą równowagę. Aby rozciągnąć sprężynę musimy zatem przyłożyć siłę równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną, tzn. F = kx. Rysunek 7: Rozciąganie sprężyny siłą F Znamy już postać funkcji F(x) i możemy teraz, korzystając z równania ( 4 )?, obliczyć pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny. x W = F(x)dx = (kx)dx = = x 0 0 x 0 kx kx (5)

ZADANIE Zadanie : Pole pod wykresem Treść zadania: Sprawdź, czy uzyskana powyższa wartość jest poprawna. W tym celu oblicz bezpośrednio pole pod wykresem funkcji F(x). Wynik obliczeń porównaj z wynikiem całkowania. S = Rozwiązanie: Dane: F(x) = kx Wykres funkcji F(x) = kx jest pokazany na rysunku poniżej. Rysunek 8: Zależność siły sprężystości od rozciągnięcia x sprężyny Pole pod wykresem jest polem trójkąta o podstawie x i wysokości F(x) i wynosi S = W = S = 1 xf(x) 1 x k (6) Otrzymana wartość jest identyczna z tą daną równaniem ( 5 )?. Na tym samym rysunku pokazany jest również wykres F s (x). Zwróć uwagę, że dodatnia praca wykonana przez siłę F (człowieka) jest równa co do wartości ujemnej pracy wykonanej przez sprężynę.

http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileid=1386 Energia kinetyczna Rozpatrzmy jeszcze raz ruch ciała pod wpływem stałej, niezrównoważonej siły F i obliczmy pracę jaką wykonuje ona na drodze s. Stałość siły oznacza, że ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem a. Zakładamy ponadto, że kierunek siły F i przyspieszenia a pokrywa się z kierunkiem przesunięcia s. Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego możemy napisać at s = v 0 t + v v v = v 0 + at a = 0 t (7) (8) co w połączeniu daje s = v+v 0 t (9) Wykonana praca jest równa v v 0 t v+v 0 mv W = F s = ma s = m ( ) ( ) t = mv 0 (10) DEFINICJA Definicja : Energia kinetyczna Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy energią kinetyczną E k ciała o masie m. 1 E k = mv (11) Na podstawie wzorów ( 9 )? i ( 10 )? widzimy, że PRAWO Prawo 1: Zmiana energi kinetycznej Praca wykonana przez siłę F działającą na ciało o masie m jest równa zmianie energii kinetycznej tego ciała. W = E k E k0 (1) To jest twierdzenie o pracy i energii.

Z tego twierdzenia wynika, że jednostki pracy i energii są takie same. DEFINICJA Definicja 3: Jednostki Jednostką pracy i energii jest w układzie SI dżul (J); 1J = 1N m. W fizyce atomowej powszechnie używa się jednostki elektronowolt (ev) 1eV = 1.6 10 19 J. Spróbuj teraz wykonać proste ćwiczenie. ZADANIE Zadanie 3: Energia kinetyczna Treść zadania: Porównaj energię kinetyczną sprintera o masie 80 kg biegnącego z prędkością 10 m/s z energią kinetyczną pocisku o masie 5 g wylatującego z karabinu z prędkością 800 m/s. Skorzystaj ze wzoru ( 11 )?. Wynik obliczeń zapisz poniżej. Pamiętaj o odpowiednich jednostkach. E = sprintera E = pocisku Moc Z punktu widzenia zastosowań praktycznych często istotnym jest nie to ile energii można uzyskać ze źródła ale to jak szybko można ją uzyskać (zamienić w użyteczną postać). Na przykład, ważnym parametrem samochodu, istotnym przy wyprzedzaniu, jest to jak szybko samochód przyspiesza tzn. jak szybko silnik wykonuje pracę związaną z rozpędzaniem samochodu. Inny przykład to, dwa dźwigi, które podnoszą jednakowe masy na jednakową wysokość h ale w różnym czasie. Tak jak zostało to już pokazane na wcześniejszym przykładzie, każdy z dźwigów wykonuje taką samą pracę równą mgh. Jednak jeden zdźwigów wykonuje tę pracę w czasie krótszym niż drugi. Mówimy, że ten dźwig ma większą moc. DEFINICJA Definicja 4: Moc Moc definiujemy jako ilość wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w jakim została ona wykonana. Jeżeli praca W została wykonana w czasie t to średnia moc jest dana wzorem P = W t (13)

Dla stałej siły F wzór ten przyjmuje postać P Fs t = = Fv (14) Dla czasu t 0 mówimy o mocy chwilowej P = dw dt (15) Moc chwilową obliczamy jako pochodną pracy względem czasu. DEFINICJA Definicja 5: Jednostki Jednostką mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych powszechnie stosowaną jednostką mocy jest kilowat (kw), a jednostką energii (iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kwh). ZADANIE Zadanie 4: Moc średnia Treść zadania: Teraz gdy znasz już definicję mocy średniej i odpowiednie jednostki spróbuj ocenić średnią moc zużywaną przez urządzenia elektryczne w twoim mieszkaniu. W tym celu odczytaj stan licznika energii elektrycznej, a następnie powtórz odczyt po 4 godzinach. Jaką wielkość rejestruje licznik i w jakich jednostkach? Na podstawie tych pomiarów oblicz moc średnią. Wynik zapisz poniżej. P = średnia Siły zachowawcze i niezachowawcze Praca wykonana przez siłę wypadkową działającą na punkt materialny (ciało) wzdłuż pewnej drogi, jest równa zmianie energii kinetycznej E k tego punktu materialnego W = ΔE k (16) Skorzystamy z tego związku dla rozróżnienia sił zachowawczych i niezachowawczych. W tym celu rozpatrzmy ciało rzucone mv pionowo do góry, któremu nadano prędkość początkową v 0, a tym samym energię kinetyczną E = 0 k. Podczas wznoszenia się ciała, siła grawitacji działa przeciwnie do kierunku ruchu więc prędkość ciała, a także i jego energia kinetyczna maleją aż do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod wpływem siły grawitacji, która teraz jest zgodna z kierunkiem ruchu. Przy zaniedbywalnym oporze powietrza, prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało początkowo. Ciało rzucone do góry, wraca z tą samą prędkością i energią kinetyczną. Widzimy, że po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) energia kinetyczna ciała nie zmieniła się, więc na podstawie równania ( 16 )? oznacza to, że praca wykonana przez siłę grawitacji podczas pełnego cyklu jest równa zeru. Praca wykonana przez siłę grawitacji podczas wznoszenia się ciała jest ujemna, bo siła jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia (kąt pomiędzy przemieszczeniem i siłą wynosi 180 ; cos 180 = 1). Gdy ciało spada siła i przemieszczenie są jednakowo skierowane, praca jest dodatnia, tak że całkowita praca jest równa zeru.

DEFINICJA Definicja 6: Siła zachowawcza Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, jest równa zeru. Siła grawitacji jest siłą zachowawczą. Wszystkie siły, które działają w ten sposób, np. siła sprężysta wywierana przez idealną sprężynę, nazywamy siłami zachowawczymi. Jeżeli jednak, opór powietrza nie jest do zaniedbania, to ciało rzucone pionowo w górę powraca do położenia początkowego i ma inną energię kinetyczną niż na początku, ponieważ siła oporu przeciwstawia się ruchowi bez względu na to, w którym kierunku porusza się ciało (nie tak jak siła grawitacji). Praca wykonywana przez siłę oporu jest ujemna dla każdej części cyklu, zarówno przy wznoszeniu jak i opadaniu ciała, więc podczas tego cyklu została wykonana praca różna od zera. DEFINICJA Definicja 7: Siła nie zachowawcza Siła jest niezachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, nie jest równa zeru. Siła oporu powietrza jest siłą niezachowawczą. Wszystkie siły, które działają w ten sposób, np. siła tarcia, nazywamy siłami niezachowawczymi. Różnicę między siłami niezachowawczymi i zachowawczymi możemy zobrazować jeszcze inaczej. W tym celu rozpatrzmy pracę wykonaną przez siłę grawitacji podczas ruchu ciała z punktu A do punktu B po dwóch różnych drogach tak jak pokazano na rysunku poniżej. Rysunek 9: Ciało przesuwane z punktu A do punktu B w polu grawitacyjnym po dwóch różnych drogach. Z naszych poprzednich rozważań wiemy, że praca wykonana przez siłę grawitacji podczas ruchu ciała w górę jest ujemna, bo siła jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia (kąt pomiędzy przemieszczeniem i siłą wynosi 180 ; cos 180 = 1). Gdy ciało przemieszcza się w dół, to siła grawitacji i przemieszczenie są jednakowo skierowane, praca jest dodatnia. Natomiast przy przemieszczaniu w bok, siła grawitacji nie wykonuje żadnej pracy, bo jest prostopadła do przemieszczenia ( cos 90 = 0). Widzimy, że przesunięcia w górę znoszą się z przemieszczeniami w dół, tak że wypadkowe przemieszczenie w pionie wynosi h i w konsekwencji wypadkowa praca wykonana przez siłę grawitacji wynosi W = mgh bez względu na wybór drogi. Praca w polu grawitacyjnym nie zależy od wyboru drogi łączącej dwa punkty, ale od ich wzajemnego położenia. Możemy uogólnić nasze rozważania na dowolną siłę zachowawczą. Jeszcze raz rozpatrzmy ruch ciała z punktu A do punkt B po

jednej drodze (1) oraz powrót z B do A po innej drodze () (Rys. 10?a). Rysunek 10: Ciało przemieszcza się z punktu A do punktu B i z powrotem. Ponieważ siła działająca na ciało jest zachowawcza, to dla drogi zamkniętej z A do B i z powrotem praca jest równa zeru W A1B + = 0 W BA (17) lub zapisując to inaczej W A1B =. W BA (18) Jeżeli teraz odwrócimy kierunek ruchu i przejdziemy z A do B po drodze () (Rys. 10?b) to, ponieważ zmieniamy tylko kierunek ruchu, to otrzymujemy pracę tę samą, co do wartości ale różniącą się znakiem W AB =. W BA (19) Porównując dwa ostatnie równania otrzymujemy W A1B =. W AB (0) Widać z tego, że praca wykonana przez siłę zachowawczą przy przemieszczaniu ciała od A do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi (1) i () mogą mieć dowolny kształt o ile tylko łączą te same punkty A i B W A1B =. W AB (1) DEFINICJA Definicja 8: Siła zachowawcza i niezachowawcza Siłę nazywamy zachowawczą, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy od drogi łączącej te punkty. Przedstawione definicje siły zachowawczej są równoważne. Teraz, kiedy znasz już definicję sił zachowawczych, wykonaj poniższe ćwiczenie.

ZADANIE Zadanie 5: Równia pochyła i sprężyna Treść zadania: Ciało o masie m zsuwa się z równi pochyłej w kierunku nieważkiej sprężyny (Rys. 11?). Ruch odbywa się bez tarcia. Ciało dociera do sprężyny i w wyniku działania siły sprężystej zostaje zatrzymane. Następnie, pod wpływem rozprężającej się sprężyny, ciało porusza się w przeciwnym kierunku. Spróbuj teraz odpowiedzieć na następujące pytania (odpowiedzi zapisz poniżej): a) Jakie siły działają na ciało w trakcie jego ruchu? b) Czy są to siły zachowawcze? Jak zmieniłaby się sytuacja, gdyby występowało tarcie pomiędzy ciałem a poziomą płaszczyzną? Zauważ, że ciało odepchnięte przez sprężynę powraca do swojego stanu początkowego. Rysunek 11: Ruch ciała po równi pochyłej Energia potencjalna Gdy rozpatrywaliśmy (w module Siły zachowawcze i niezachowawcze ) ruch ciała pod wpływem siły grawitacji lub siły sprężystości widzieliśmy, że energia kinetyczna poruszającego się ciała zmieniała się (malała i rosła) podczas ruchu, tak że w cyklu zamkniętym powracała do początkowej wartości. W tej sytuacji, gdy działają siły zachowawcze, do opisania tych zmian celowe jest wprowadzenie pojęcia energii potencjalnej E p. Mówimy, że zmianie energii kinetycznej ciała o wartość ΔE k towarzyszy zmiana energii potencjalnej ΔE p tego ciała równa co do wartości, ale przeciwnego znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru ΔE k + ΔE p = 0 () Każda zmiana energii kinetycznej ciała E k jest równoważona przez zmianę energii potencjalnej E p, tak że ich suma pozostaje przez cały czas stała E k + = const. E p (3) Energię potencjalną można traktować jako energię nagromadzoną, która może być w przyszłości całkowicie odzyskana i zamieniona na inną użyteczną formę energii. Oznacza to, że nie możemy wiązać energii potencjalnej z siłą niezachowawczą. Energię potencjalną często nazywa się energią stanu. Mówimy, że jeżeli energia układu zmieniła się to zmienił się stan układu. Z twierdzenia o pracy i energii ( 1 ) wynika, że W = ΔE k (4) więc zgodnie z wprowadzonym pojęciem energii potencjalnej, dla zachowawczej siły F, zachodzi związek W = ΔE k = ΔE p (5)

Korzystając z ogólnego wzoru na pracę ( 4 ) otrzymujemy ogólną zależność ΔE p = W = F(r)dr r r 0 (6) Możemy również zapisać zależność odwrotną między siłą i energią potencjalną F(r) = de p (r) dr (7) Zauważmy, że na podstawie równania ( 6 )? potrafimy obliczyć zmianę energii potencjalnej ΔE p, a nie samą energię potencjalną E p. Ponieważ Δ E p = E p (r) E p ( r 0 ), to żeby znaleźć E p (r) trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość E p ( r 0 ) E p (r) = ΔE p + E p ( r 0 ) = F(r)dr+ E p ( r 0 ) r r 0 (8) Punkt r 0 nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak, żeby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia E p ( r 0 ) była równa zeru. Jako punkt odniesienia r 0 często wybiera się położenie, w którym siła działająca na ciało jest równa zeru. Trzeba jednak podkreślić, że wybór punktu odniesienia jest sprawą czysto umowną. PRZYKŁAD Przykład 3: Rzut w stałym polu grawitacyjnym Spróbujmy teraz obliczyć energię potencjalną na przykład w rzucie pionowym do góry, w pobliżu powierzchni Ziemi. W tym celu przyjmujemy, że ruch odbywa się wzdłuż osi y, przy czym kierunek osi y w górę przyjmujemy jako dodatni. W konsekwencji siła grawitacji F(y) = mg bo jest skierowana w ujemnym kierunku osi y. Wybieramy teraz punkt odniesienia np. na powierzchni Ziemi y 0 = 0 i przyjmujemy E p (0) = 0. Energię potencjalną w położeniu y tj. na wysokości y ponad poziomem odniesienia obliczamy z równania ( 8 )?. Obliczenie jest tym prostsze, że siła grawitacji F(y) jest stała więc nie musimy obliczać całki ale do obliczenia pracy stosujemy wzór ( 1 ) W = Fs. Otrzymujemy E p (y) = ( mgy) + E p ( y 0 ) = mgy (9) Energia potencjalna związana z siłą grawitacyjną wynosi mgy, gdzie y jest wysokością ponad punktem (poziomem) odniesienia i jest równa pracy jaką trzeba wykonać przy podnoszeniu ciała na tę wysokość (przykład Sanki). Energia potencjalna przedstawia tu formę nagromadzonej w wyniku wykonanej pracy energii, która może być całkowicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną, podczas spadku ciała z danej wysokości. W analogiczny sposób obliczymy teraz energię potencjalną idealnej nieważkiej sprężyny. Gdy sprężyna jest rozciągnięta na odległość x od położenia równowagi to siła sprężystości wynosi F = kx. Jako punkt odniesienia przyjmujemy tym razem x 0 = 0. Odpowiada to położeniu równowagi, w którym sprężyna jest nierozciągnięta i siła sprężystości jest równa zeru. Energię potencjalną ponownie obliczamy z równania ( 8 )? przy czym korzystamy z podanego wyrażenia ( 5 ) na pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny E p x 1 (x) = ( kx)dx+ E p ( x 0 )= kx x 0 (30) Spróbuj teraz, korzystając z definicji energii potencjalnej, wykonać następujące ćwiczenie ZADANIE Zadanie 6: Dwa klocki

Treść zadania: Dwa klocki o masach m 1 i m są połączone cienką linką przerzuconą przez nieważki bloczek tak jak na rysunku obok. W układzie występuje tarcie pomiędzy masą m 1 i stołem. Układ pozostający początkowo w spoczynku zostaje puszczony i masa m opada na podłogę. Rysunek 1: Określ, w chwili gdy klocek m dociera do podłogi, jaki znak (+/-) ma: 1) energia potencjalna klocka m 1 względem podłogi, ) energia potencjalna klocka m względem stołu, 3) praca wykonana przez siłę grawitacji, 4) praca wykonana przez siłę tarcia, 5) zmiana energii potencjalnej układu, 6) zmiana energii kinetycznej klocka m 1, 7) zmiana energii kinetycznej klocka m. Spróbuj też odpowiedzieć na następujące pytania: 1) Czy zmiana energii kinetycznej klocka m 1 jest większa, równa, czy mniejsza od zmiany energii kinetycznej klocka m? ) Czy zmiana całkowitej energii kinetycznej układu jest co do bezwzględnej wartości większa, równa, czy mniejsza od zmiany energii potencjalnej układu? Rozwiązanie: Tabela 1 energia potencjalna klocka m 1 względem podłogi + energia potencjalna klocka m względem stołu - praca wykonana przez siłę grawitacji + praca wykonana przez siłę tarcia - zmiana energii potencjalnej układu - zmiana energii kinetycznej klocka m 1 + zmiana energii kinetycznej klocka m + 1) Klocki (połączone nierozciągliwą nitką) poruszają się z takim samym przyspieszeniem, więc w każdej chwili posiadają taką samą prędkość v = v 1 = v, stąd ich energie kinetyczne (w dowolnej chwili) są odpowiednio równe m E 1 v k1 =, = m E v k (31) Ponieważ, ich energie kinetyczne w chwili początkowej równe były zeru ( v 0 = 0) to zmiany energii kinetycznej są równe właśnie powyższym wartościom E k m ΔE = 1 v m, = (3) k1 ΔE v k Widać, że bezwzględna zmiana energii kinetycznej zależy od masy ciała. ) Zmiana całkowitej energii kinetycznej układu jest co do bezwzględnej wartości równa zmianie energii potencjalnej układu tylko wtedy gdy działają siły zachowawcze. Ponieważ występuje tarcie pomiędzy stołem i klockiem m 1, które jest siłą niezachowawczą, więc tylko część z nagromadzonej energii potencjalnej klocka m jest podczas jego ruchu w dół zamieniana na energię kinetyczna (obu klocków). Bezwzględna zmiana energii kinetycznej jest więc mniejsza od bezwzględnej zmiany energii potencjalnej układu.

Zasada zachowania energii Pokazaliśmy, że gdy na ciało działa tylko siła zachowawcza, to dla dowolnej drogi z A do B W = ΔE k = E kb E ka W = ΔE p = ( E pb E pa ) (33) (34) skąd wynika, że ( E pb E pa ) = E kb E ka (35) lub E ka + E pa = E kb + E pb. (36) Równanie ( 36 )? wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej. PRAWO Prawo : Zasada zachowania energii mechanicznej Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, że dla ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała. Podaliśmy zasadę zachowania energii mechanicznej dla pojedynczego ciała, ale ta zasada jest bardziej ogólna i obowiązuje dla wszystkich odosobnionych układów ciał. Układy odosobnione to takie, na które nie działają siły zewnętrzne (spoza układu). W takich układach suma energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał pozostaje stała bez względu na oddziaływania w nich zachodzące.

PRZYKŁAD Przykład 4: Skoczek na linie Skoczek na linie "bungee" skacze z punktu A i osiąga najniższy punkt B tak jak na Rys. 13?. Skoczek korzysta z liny o długości l, która rozciąga się sprężyście ( F = kx), aż do zerwania, co następuje gdy lina wydłuży się o x = 50% w stosunku do długości początkowej. Ile razy wytrzymałość liny na zerwanie musi być większa niż ciężar skoczka,żeby lina nie urwała się? Rysunek 13: W punkcie A grawitacyjna energia potencjalna skoczka liczona względem powierzchni Ziemi wynosi mgh (masę liny pomijamy), natomiast energia potencjalna sprężystości liny równa się zeru, bo lina nie jest rozciągnięta. Całkowita energia mechaniczna układu w punkcie A wynosi więc E A = mgh. (37) Natomiast energia całkowita układu w punkcie B kx E B = mg(h l x) + (38) jest sumą grawitacyjnej energii potencjalnej skoczka i energii potencjalnej sprężystości rozciągniętej liny równanie ( 30 ). Ponieważ siły grawitacji i sprężystości są siłami zachowawczymi więc energia mechaniczna jest zachowana. Uwzględniając, że energia kinetyczna skoczka w punktach A i B jest równa zeru otrzymujemy mgh = mg(h l x) + kx (39) lub kx mgl mgx = 0. (40) Wstawiając do tego równania maksymalne możliwe wydłużenie liny x = 0.5 możemy obliczyć graniczny współczynnik k liny 1mg k =, l (41) skąd otrzymujemy F = kx = 1mg l l = 6mg. (4) Wytrzymałość liny na zerwanie musi być co najmniej 6 razy większa niż ciężar skoczka. Teraz spróbujemy odpowiedzieć na pytanie czy energia jest zachowana w przypadku, gdy w układzie działa siła niezachowawcza. Jeżeli oprócz siły zachowawczej F z działa jeszcze siła niezachowawcza F nz (np. tarcie), to z twierdzenia o pracy i energii otrzymujemy

W z + W nz = ΔE k, (43) a ponieważ W z = ΔE p, to W nz = ΔE k + ΔE p. (44) Widzimy, że siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu (zmniejsza ją bo tarcie jest siłą rozpraszającą). Pozostaje wyjaśnić co stało się ze "straconą" energią mechaniczną. Okazuje się, że zostaje ona przekształcona na energię wewnętrzną U, która objawia się wzrostem temperatury ciała i otoczenia. Zmiana energii wewnętrznej ΔU jest równa rozproszonej energii mechanicznej ΔE k + ΔE p + ΔU = 0. (45) Z równania ( 45 )? wynika, że PRAWO Prawo 3: Zasada zachowania energii Energia całkowita, tj. suma energii kinetycznej, energii potencjalnej i energii wewnętrznej w układzie odosobnionym nie zmienia się. Mamy więc zasadę zachowania energii całkowitej. Inaczej mówiąc energia może być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą. Na zakończenie uwzględnijmy jeszcze dodatkowo siłę F zew wywieraną na układ przez czynnik zewnętrzny. Jeżeli działa taka siła to równanie ( 43 )? przyjmuje postać W zew + W z + W nz = ΔE k (46) i w konsekwencji otrzymujemy W zew = ΔE k + ΔE p + ΔU. (47) Praca wykonana przez czynnik zewnętrzny równa jest sumie zmian energii kinetycznej, potencjalnej i energii wewnętrznej układu. W ten sposób uwzględniliśmy już całą energię. Zasada zachowania energii należy do najbardziej podstawowych praw fizyki. Wszystkie nasze doświadczenia pokazują, że jest to prawo bezwzględnie obowiązujące; nie znamy wyjątków od tego prawa.

ZADANIE Zadanie 7: Odbicia piłki Treść zadania: Piłkę puszczono swobodnie z pewnej wysokości h nad podłożem. Podczas odbicia piłka traci 1/3 swojej energii mechanicznej, która zamienia się na energię wewnętrzną. Oblicz na jaką wysokość wzniesie się piłka po 4-tym odbiciu i ile energii mechanicznej zamieniło się w energię wewnętrzną? Wynik zapisz poniżej. Wskazówka: Skorzystaj z zasady zachowania energii całkowitej. h 4 = Rozwiązanie: Dane: h, strata energii mechanicznej przy odbiciu od podłoża s = 1/3 Piłka puszczona z wysokości h nad podłożem posiada energię potencjalną E p = mgh (względem podłoża). W trakcie spadania energia potencjalna zamienia się całkowicie w energię kinetyczną. W chwili odbicia s = 1/3 z energii kinetycznej jest zamieniana na energię wewnętrzną, więc po odbiciu energia kinetyczna (mechaniczna) jest równa q = 1 s = /3 energii przed odbiciem. Oznacza to, że energia potencjalna jaką uzyska ciało przy wznoszeniu będzie równa /3 energii początkowej, a tym samym ciało po odbiciu wzniesie się na /3 wysokości początkowej. Możemy więc napisać ogólne wyrażenie na wysokość po n-tym odbiciu od podłoża h n = q, h n 1 (48) gdzie n = 1,, 3,.... Zgodnie z tym oznaczeniem h 0 = h jest początkową wysokością z jakiej spada ciało. Widzimy, że kolejne wysokości tworzą ciąg geometryczny. Stąd 3 4 16 81 h 4 = h q 4 = h ( ) = h. (49) Analogicznie energia mechaniczna zamieniona na energię wewnętrzną (podczas 4-ech odbić) wynosi ΔE = mgh mg = mgh h 4 65 81 (50) Jak widzieliśmy na przykładzie omawianym w ćwiczeniu powyżej, w zderzeniach nie musi być zachowana energia mechaniczna. Okazuje się jednak, że w zderzeniach spełniona jest też inna zasada zachowania; Zasada zachowania pędu.

http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileid=1077 http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileid=1079 Energia kinetyczna w układzie środka masy Rozpatrzmy układ, o stałej masie M, złożony z n punktów materialnych o masach m 1,...., m n oraz prędkościach v 1,..., v n. Energia kinetyczna tego układu mierzona względem środka masy jest dana wyrażeniem E k n i=1 m iv i = = n i=1 m i( v śr.m. + v i.wzg )( v śr.m. + v i.wzg ) (51) gdzie v śr.m. jest prędkością środka masy, a v i,wzg jest prędkością i-tego punktu mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie skalarne otrzymujemy E k n i=1 m i v śr.m. = + v śr.m. n i=1 m iv i.wzg + n i=1 m iv i.wzg (5) Zgodnie z równaniem Ruch środka masy n i=1 m iv i.wzg = Mv śr.m.wzg (53) a ponieważ prędkość środka masy mierzona względem środka masy jest równa zeru v śr.m.,wzg = 0 więc drugi wyraz w równaniu ( 5 )? znika. Ostatecznie E k Mv śr.m. = + E k (54) gdzie E k jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Zastosowanie tego równania zilustrujemy obliczając energię kinetyczną obręczy o masie m toczącej się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość v (Rys. 14?) Rysunek 14:

Ponieważ w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię obrotową (rotacyjną ) więc równanie ( 54 )? przyjmuje postać mv E k = + mv obrot.wzg (55) gdzie v obrot.wzg to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością v więc v obrot.wzg = v. Stąd mv E k mv = + = mv (56) Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie m poruszającego się z tą samą prędkością v (ale nie obracającego się). Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/. Data generacji dokumentu: 018-0-4 11:08:01