K. Wierzbanowski PRĘŻYTOŚĆ Wszystkie ciała wykazuą charakterystyczny zakres odkształcenia, zwany sprężystością. Jeśli rozciągamy pręt (w kierunku osi x, to relacę miedzy przyłożonym naprężeniem i uzyskanym względnym wydłużeniem ciała opisue słynne prawo Hooke a: l dl F Prawo Hooke a w ednym wymiarze (klasyczny test rozciągania ( E gdzie E est modułem Younga, F/ ( est przekroem poprzecznym pręta, zaś dl/l. kąd się w bierze sprężystość ciał? póność ciał stałych zapewniaą wiązania: onowe, metaliczne, kowalencyne, polaryzacyne (Van der Walsa i wodorowe. V(x x x x Potencał między dwoma atomami. Linią przerywaną pokazano, że w położeniu równowagi (minimum potencału, kształt potencału może być przybliżony przez parabolę. Prawa sprężystości wyprowadzić można z oddziaływań atomowych. Rozpatrzmy zagadnienie w ednym wymiarze (wzdłuż osi x. Wprowadźmy zmienną u, opisuącą wychylenie atomu z położenia równowagi: lub ux - x xx + u gdzie x est aktualnym położeniem atomu, zaś x ego położeniem równowagi.
Rozkładamy potencał w szereg Taylora: dv u d V V (x V(x + u + +K ( dx x! dx x Tylko te trzy składniki rozwinięcia są dla nas istotne, dalsze ako zaniedbywalne pomamy. dv W punkcie równowagi (xx zachodzi:. A zatem: dx V(x u x d V V(x + dx ( x Pamiętaąc, że: xx +u, powyższą relacę możemy napisać: u V(u A + B ( gdzie A i B są stałymi. Jeśli atom zostae wychylony z położenia równowagi, to działa na niego siła F: dv(u F F ub ku du ( gdzie kb możemy zidentyfikować ako stałą sprężystości. A zatem odnaduemy typową relacę, która opisue rozciąganie sprężyny: F ku (6 Jeżeli to my rozciągamy ciało (np. pręt, to przykładana siła wynosi: F ku. Normalizuąc siłę i wydłużenie: F/ k u/l (gdzie est przekroem poprzecznym, L długością początkową pręta, odnaduemy klasyczne prawo Hooke a ( Równ. dla ednego wymiaru:, gdzie Ek est modułem Younga. E Przypadek ogólny - trówymiarowy W przypadku ogólnym, interesuą nas ednak wszystkie składowe przyłożonych naprężeń i również wszystkie składowe odkształcenia (wywołane przez przyłożone naprężenia. ytuacę taką opisue trówymiarowe prawo Hooke a, które est relacą pomiędzy tensorami: (7a kl kl Wielkości kl i kl są tensorami czwartego rzędu (maą cztery wskaźniki. kl est tensorem sztywności (ang.: stiffness, zaś kl tensorem podatności sprężyste (ang.: susceptibility. W relaci powyższe zastosowano oczywiście konwencę sumowania po powtarzaących się wskaźnikach (np., po prawe stronie Równ. 7a występue 9 składowych tensora odkształcenia; ponadto równanie to przedstawia 9 równań na poszczególne składowe tensora naprężenia. Trzeba zwrócić uwagę, że Równ. 7a i 7b nie są po prostu swoimi odwrotnościami. Równania te opisuą inne sytuace eksperymentalne. Równ. 7a opisue sytuacę, gdy czynnikiem wymuszaącym są odkształcenia (, a odpowiedzią materiału są kl kl (7b
naprężenia wytworzone w materiale (. Natomiast Równ. 7b opisue sytuacę odwrotną: do materiału przykładamy zestaw naprężeń (, a odpowiedzią est odkształcenie materiału (. Omówmy teraz kilka własności symetrii tensorów i. ymetrie tensorów sprężystości Rozważymy w tym celu kilka sytuaci doświadczalnych. a Przykładamy tylko edną składową naprężenia:. Ile wynoszą i? tosuemy Równ. 7b: lecz: i ogólnie: kl ikl (8 b przykładamy składową naprężeń, ile wynosi? tosuąc ponownie Równ. 7b: + ( + kładowych i nie możemy wyznaczyć oddzielnie, lecz tylko ich sumę. Przymue się zatem konwencę, że wartość powyższego nawiasu dzielimy równo pomiędzy te składowe tensora ; a zatem: kl lk (9 Tak więc istniee symetria ze względu na przestawienie wskaźników w pierwsze parze, a także w drugie. c Istniee eszcze edna symetria tensorów i, polegaąca na przestawieniu obu par wskaźników: kl kl ymetrię tą można wykazać w oparciu o rozważania energetyczne. ( Zapamiętamy także, iż: WZYTKIE POWYŻZE YMETRIE WYKAZUJE TAKŻE TENOR kl!! d Na ogół kl kl Jest tak, ponieważ obie stałe opisuą różne eksperymenty. Rozważmy test rozciągania osiowego:
l dl F zynnikiem wymuszaącym est tu składowa naprężenia: F/, zaś mierzoną odpowiedzią materiału est wydłużenie względne ; związek między nimi est następuący: Z drugie strony wiemy, że: E ; ostatecznie: E ( ( Trzeba tu dodać, że choć mierzymy składową, to w materiale wystąpiły i inne składowe odkształcenia (np. i. Natomiast stała opisue inny eksperyment: wymuszamy na próbce wydłużenie względne (i tylko tę składową, inne składowe maą być zerowe! i pytamy ile wynosi składowa naprężeń, która wyindukowała się w materiale (wystąpią i inne składowe. Oczywiście: ( prężystość liniowa i nieliniowa Widzieliśmy powyże, że liniowy charakter sprężystości wynika z przybliżenia dołka potencału międzyatomowego przez funkcę drugiego stopnia (parabolę. Przybliżenie to est dobrze spełnione dla małych wychyleń atomu z położenia równowagi. Natomiast dla większych wychyleń, ale eszcze odwracalnych mamy sprężystość nieliniową. Efekt ten dobrze widać na krzywe rozciągania wiskersów, zamieszczone na końcu Rozdziału: Naprężenia i odkształcenia. My zamować się będziemy tuta wyłącznie sprężystością liniową. Transformaca tensorów i do nowego układu odniesienia. Ponieważ stałe sprężyste są tensorami czwartego rzędu, to ich wzory transformacyne zawieraą iloczyny czterech kosinusów kierunkowych: ' a a a a ' kl kl a im im a n n a ko ko a lp lp mnop mnop ( W równaniach tych zastosowana est konwenca sumowania po powtarzaących się wskaźnikach. Po prawe stronie, np., pierwszego z równań występue 8 składowych tensora ze starego układu odniesienia; ponadto równanie to przedstawia 8 równań na poszczególne składowe tensora w nowym układzie odniesienia.
Notaca macierzowa Tensory i posiadaą po 8 składowych. Ze względu na przedstawione powyże symetrie, ilość niezależnych składowych est dużo mniesza. Jest to powód dla którego używa się zredukowane notaci zapisu tensorów i, zwane notacą macierzową. Poza tym est rzeczą wygodną operować dwuwymiarową macierzą, którą możemy w sposób przerzysty przedstawić na kartce papieru. Biorąc pod uwagę, że est sześć niezależnych składowych tensorów odkształcenia i naprężeń, tensory i przedstawia się ako macierze o wymiarach (6x6. Istotą tego skróconego zapisu est zastępowanie pary wskaźników ednym, zgodnie z następuącą regułą: stare wskaźniki nowe wskaźniki,,, 6 ( Rozpocznmy od tensora : 6 (6 Zamieniaąc tensor na macierz kolumnową, używamy dodatkowo współczynników przy składowych ścinaących (czynnik ten uwzględnia fakt, że istnieą zawsze dwie, równe sobie składowe ścinaące odkształcenia; a zatem przykładowo: 6, gdyż. chemat zamiany tensora na macierz kolumnową podany est poniże: 6 (7 Tensor kl zamieniamy na macierz kwadratową zgodnie z regułami podanymi w tabelce (Równ. : kl mn (8 Ostatecznie prawo Hooke a (Równ. 7a możemy zapisać w postaci macierzowe:
Prawo Hooke a: lub też w postaci rozwinięte: 6 6 6 (9 i 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 ( hcielibyśmy mieć ten zapis również i w drugą stronę, tzn. i. Konsekwencą Równ. (7 oraz faktu, że również w tensorze odkształcenia są pary równych sobie składowych ścinaących (np., zamiana kl mn est nieco bardzie złożona (niż tensora. Przy redukci tensora do macierzy stosuemy następuący algorytm: p mn mn m ( kl n gdzie redukca wskaźników est dana Równ., zaś czynnik p mn ma następuące wartości: p mn dla m, n p mn dla m, n > p mn dla pozostałych przypadków (m>, n oraz n>, m. Poniże pokazano schematycznie, akie wartości przyporządkowuemy poszczególnym wyrazom macierzy p mn : p mn ( Ostatecznie możemy zapisać prawo Hooke a w postaci macierzowe, przy użyciu macierzy : ( lub też w postaci rozwinięte: i kl 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 ( Zbierzmy, raz eszcze uzyskane relace macierzowe: 6
[ ] [ ] [ ] oraz [ ] [ ] [ ] zatem: [ ] [ ] I ( Energia zgromadzona w materiale odkształconym sprężyście dla sprężyny: x Rozciągamy sprężynę na odległość x (od położenia równowagi. Przykładana siła przy wychyleniu x wynosi: Fkx Praca rozciągnięcia sprężyny na odległość x wynosi: x' W F(xdx x' W kxdx kx' W F(x'x' (6 zyli ogólnie: W F(x x (6 a w przypadku odkształcenia -wymiarowego: Rozważmy odkształcenie ednostkowego sześcianu danego materiału. W analogii do Równ. 6 a, całkowita praca odkształcenia sześcianu est sumą prac związanych z poszczególnymi składowymi odkształcenia (, a zatem: W (7 Powyższa praca est ednocześnie energią sprężystą zgromadzoną w ednostkowe obętości materiału (czyli energią właściwą. Równanie powyższe można wyrazić w kilku równoważnych postaciach: 7
W lub : W klmn kl mn i i klmn kl mn (8 Wyrażenia powyższe dotyczą energii właściwe (czyli energii na ednostkę obętości. Jeśli liczymy energię sprężystą całego ciała, musimy policzyć całkę po ego obętości: gdzie V est całkowitą obętością ciała. W W(x, y,z dv V (9 WPŁYW YMETRII NA TAŁE PRĘŻYTE ymetria ciała (kryształu wpływa na kształt macierzy stałych sprężystych i. Na początku zauważmy, że macierze i są symetryczne, tzn: i i ( Wynik ten można dostać przy okazi rozważań dotyczących pracy odkształcenia sprężystego ciała. Również symetria ciała wywiera przemożny wpływ na kształt macierzy i. Poniże podamy macierze i dla trzech przypadków symetrii ciał (kryształów: sześcienne, rombowe i izotropowe. ymetria sześcienna: [ ] ( Występuą tuta trzy różne współczynniki,,, które definiuą niezerowych wyrazów te macierzy. Oczywiście kształt macierzy est identyczny. ymetria rombowa 66 ( 8
Występue tuta 9 niezależnych współczynników, które definiuą niezerowych wyrazów macierzy. Kształt macierzy est identyczny. Zauważmy, że im niższa symetria ciała tym więce będzie niezależnych współczynników, definiuących macierz sprężystości. W przypadku ciała o naniższe możliwe symetrii, czyli kryształu tróskośnego, niezależnych współczynników będzie. Materiał izotropowy Przykładem materiału izotropowego może być ciało o strukturze amorficzne (szkło, zastygła smoła itp., ale także polikryształ bez tekstury (est to tzw. ciało quasi-izotropowe. Łatwo można wykazać, że w przypadku ciała izotropowego tylko dwie niezależne stałe λ i µ (stałe Lamé go definiuą całą macierz sprężystości. I tak: λ, µ oraz λ+µ. Macierze i maą następuącą postać: λ + µ λ λ λ λ + µ λ λ λ λ + µ µ µ µ ( ( ( ( ( gdzie: µ + λ µ ( λ + µ λ µ λ + µ ( µ ( Przykłady zastosowań: a materiał izotropowy pod obciążeniem osiowym: Rozciągamy materiał w kierunku osi x. Relaca łącząca i est następuąca: 9
czyli: E ( Obok wydłużenia, w kierunku x, wystąpią też skrócenia poprzeczne: (6 Interesuący est stosunek obu skrócenia poprzecznego do wydłużenia; podae go współczynnik Poissona (ν: ν W świetle relaci podanych wyże: ν (7 (8 b ścinanie ciała izotropowego: x x Zmiana kształtu ciała pod wpływem odkształcenia typu ścinaącego x x Załóżmy, że przykładamy naprężenie ścinaące (pozostałe składowe są zerowe. Korzystaąc z Równ. i : ( (9 Z drugie strony, z klasyczne postaci prawa Hooke a ( G Po porównaniu otrzymuemy następuące wyrażenie na moduł ścinania Gµ : G µ ( ( Różne wprowadzone uż przez nas stałe sprężystości dla ciała izotropowego nie są od siebie niezależne. I tak, wiedząc, że: E oraz ν otrzymuemy:
G ν + E E E ( + ν ( c odkształcenie materiału izotropowego pod wpływem naprężeń hydrostatycznych Jest to stan naprężeń, w którym występuą tylko składowe normalne o takie same wartości p: 6 p Taki stan naprężeń panue np. w cieczy (na stałe wysokości. tosuąc uogólnione prawo Hooke a: [ ] [ ] [ ] dla ośrodka izotropowego otrzymuemy: p + p p( + p p + p + p 6 p( p( Względna zmiana obętości, czyli dylataca : V + + p( V + + + A zatem moduł sprężystości obętościowe, K, wynosi: p p p K V p( + ( V + ( ( ( (6 Ostatecznie: K [( (7 + ] Moduł sprężystości obętościowe K możemy wyrazić również przez E i ν (korzystaąc z Równ. ( i (8: E K ν (8 ( Wartości współczynnika Poissona Wykorzystuąc Równ. ( i (8 obliczmy wyrażenie: K ( + ν G ( ν (9 Wyliczmy stąd ν:
K ν G K 6 + G ( Na podstawie te zależności znadziemy granice w akich może się zmieniać ν. K ν G Gdyby zatem zakres dopuszczalny wynosi: <ν<. K ( ν G Przykładowe wartości dla materiałów: piryt żelaza Fe : ν -. Ni Al, N : ν< (związki te to tzw. auksetyki r : ν - bardzo małe wartości uemne Be: ν metale polikrystaliczne: ν guma: ν Na koniec zobaczmy, akie są typowe wartości stałych sprężystości. Współczynnik Poissona est bezwymiarowy, natomiast pozostałe stałe wyrażone zostały w GPa ( Pa N/m : Materiał E K G ν Granica Wytrzymałości Aluminium 7 7 7.. tal (Fe-α 8 66 8.9. Mosiądz 98-6 6.... Ołów 6.6.. Duraluminium 7 6.. Miedź 7 6. ód 8.9 8... W tabelce te podano również dla kilku metali tzw. granicę wytrzymałości. Jest to maksymalna wartość naprężenia normalnego akiemu może być poddana próbka; powyże niego próbka ulega przewężeniu, a następnie zerwaniu. Anizotropia sprężysta zęsto ako wskaźnika anizotropii sprężystości ciał (kryształów używa się współczynnika Zenera: ( A Łatwo sprawdzić, że dla ciała izotropowego: A.