Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 7 Jerzy Łusakowski 13.11.2017
Plan wykładu Zderzenia sprężyste Ruch układów o zmiennej masie Praca i energia Siła a energia potencjalna
Zderzenia sprężyste Energia kinetyczna Pomnóżmy równanie ruchu skalarnie przez d r: d p dt d r = F d r. Prawastronategowyrażeniajestpracą dwsiły Fnadrodze d r i zajmiemy się nią później. Lewą stronę możemy przekształcić w następujący sposób: d p dt d r = md υ dt d r = md υ dt υdt = d dt (1 2 mυ2 )dt = d( 1 2 mυ2 ) E k = mυ2 = p2 2 2m Powyższa wielkość nosi nazwę energii kinetycznej i- jak wynika z powyższych rozważań- jest związana z pracą sił zewnętrznych. Na razie interesuje nas sprawdzenie, czy pęd i energia kinetyczna są zachowane w zderzeniach.
Zderzenia sprężyste Zderzenia sprężyste- przypadek jednowymiarowy Rozpatrujemydwiemasy m 1 i m 2 poruszającesiępolinii prostejzprędkościami,odpowiednio, υ 1,i oraz υ 2,i.Pozderzeniu sprężystymprędkościwynoszą,odpowiednio, υ 1,f oraz υ 2,f. Korzystając z zasady zachowania pędu: oraz energii: m 1 υ 1,i +m 2 υ 2,i = m 1 υ 1,f +m 2 υ 2,f 1 2 m 1υ 2 1,i + 1 2 m 2υ 2 2,i = 1 2 m 1υ 2 1,f + 1 2 m 2υ 2 2,f możemy wyznaczyć prędkości końcowe.
Zderzenia sprężyste Po prostych przekształceniach otrzymujemy: υ 1,f = (m 1 m 2 )υ 1,i +2m 2 υ 2,i m 1 +m 2 υ 2,f = (m 2 m 1 )υ 2,i +2m 1 υ 1,i m 1 +m 2 Zauważmy, że jedno wyrażenie powstaje z drugiego przez zamianę indeksów 1 2. Jest to odzwieciedleniem faktu, że obie masy uczestniczą w tym procesie w identyczny sposób. Zauważmyteż,żejeślimasysąsobierówne,towzderzeniu sprężystym następuje wymiana prędkości pomiędzy masami:υ 1,f = υ 2,i, υ 2,f = υ 1,i.
Zderzenia sprężyste Zderzenie sprężyste, niecentralne sztywnych kul ZadanieDwiekule,jednaomasie m 1 adrugaomasie m 2, poruszają się po płaszczyźnie(stanowiącej układ LAB) z prędkością,odpowiednio, υ 1,i i υ 2,i.Kulezderzająsięsprężyście zachowany jest całkowity pęd i całkowita energia kinetyczna układu(orazmomentpędu).wyznaczyćprędkości υ 1,f i υ 2,f kul po zderzeniu. Przeanalizować zderzenie w układzie LAB i SM. Y Przed Po X
Zderzenia sprężyste Zderzenia sprężyste na płaszczyźnie Rozwiązanie W zderzeniach sprężystych jest zachowany całkowity pęd układu: p 1,i + p 2,i = p 1,f + p 2,f, czyli, dla współrzędnych x i y: m 1υ 1,icosα 1,i +m 2υ 2,icosα 2,i = m 1υ 1,f cosα 1,f +m 2υ 2,f cosα 2,f m 1υ 1,isinα 1,i +m 2υ 2,isinα 2,i = m 1υ 1,f sinα 1,f +m 2υ 2,f sinα 2,f oraz całkowita energia kinetyczna: 1 2 m1υ2 1,i + 1 2 m1υ2 2,i = 1 2 m1υ2 1,f + 1 2 m1υ2 2,f Czyli, dla zderzenia sprężystego mamy trzy równania i cztery niewiadomew ogólności jest to problem, który można rozwiązać przy dopiero przyjmując dodatkowe założenie(np. znajomość jednego z kątów po zderzeniu).
Zderzenia sprężyste Zderzenia sprężyste na płaszczyźnie W przypadku zderzeń niecentralnych wygodnie jest wybrać jako układlabtakiukład,wktórymjednazkulspoczywa,adruga porusza się wzdłuż osi x. Zauważmy, że zawsze można taki układznaleźć.wprzypadkumas m 1 i m 2 poruszającychsięz prędkościami,odpowiednio υ 1 i υ 2 układemtakimmożebyćpo prostuukład,wktórymmasa m 2 spoczywa,aoś xskierowana jestwzdłużwektoraprędkościwzględnej υ 1 = υ 1 υ 2. Y Układ LAB: sytuacja wyjściowa υ 1 Y Układ LAB, w którym masam2 spoczywa υ 1 υ 2 X X
Zderzenia sprężyste Zderzeniasprężyste-układLABiSM Y LAB Przed Y SM υ 1 υ 1,SM X υ 2,SM X Y υ 1 LAB Po Y SM υ 1,SM X υ 2,SM X
Zderzenia sprężyste Transformacja kąta rozproszenia LAB SM Przypuśćmy,żekątrozproszeniamasy m 1wukładzieLABwynosi θ 1,LAB, zaśwukładzie SMjestrówny θ 1,SM. tanθ 1,LAB = υ 1,y υ 1,x tanθ 1,SM = υ 1,y,SM υ 1,x,SM Związek między współrzędnymi jest dany transformacją Galileusza(Uwaga: V SMokreślonyjestwLAB): tanθ 1,LAB = υ 1,x = υ 1,x,SM +V SM υ 1,y = υ 1,y,SM υ 1,y,SM sinθ 1,SM = υ 1,x,SM +VSM cosθ 1,SM +V SM/υ 1,SM
Zderzenia sprężyste Transformacja kąta rozproszenia LAB SM WukładzieSMpędyobumassąrównecodowartości: przedzderzeniem: m 1υ 1,SM = m 2υ 2,SM pozderzeniu: m 1υ 1,SM = m 2υ 2,SM Dla zderzeń sprężystych: m 1,SMυ 2 1,SM +m 2,SMυ 2 2,SM = m 1,SMυ 2 1,SM +m 2,SMυ 2 2,SM Łącząc te równania dostajemy: υ 1,SM = υ 1,SM υ 2,SM = υ 2,SM Ponieważwnaszymprzypadku( V SMokreślonyjestprzezprędkościwLAB) m 1 m 1 V SM = υ 1 = ( υ 1,SM + V m 1 +m 2 m 1 +m SM), 2 to co daje V SM = m1 m 2 υ 1,SM, tanθ 1,LAB = sinθ 1,SM cosθ 1,SM + m. 1 m 2
Ruch układów o zmiennej masie Przykłady układów o zmiennej masie Przykłady realne * Kropla wody w atmosferze(kondensacja lub parowanie) *Rakiety * Samoloty odrzutowe Przykłady wydumane * Cysterna, z której wylewa się mleko *itemupodobne
Ruch układów o zmiennej masie Ruch układu o zmiennej masie Będziemy rozpatrywać rakietę, która traci masę z powodu wyrzutu gazów powstających w wyniku spalania paliwa. Rozpatrujemyruchmasy m 2 poruszającejsięzprędkością v 2, doktórejdołączasięmasa dm 1 poruszającasięzprędkością v 1 (dm 1 możebyćujemna). UWAGA: rozważamy problem w układzie inercjalnym, w którymwyznaczonesąprędkości v 1 i v 2.Dopieronakońcu wprowadzimyprędkość u = v 2 v 1,czyliprędkośćwzględną wylatujących z rakiety gazów(wyznaczoną względem poruszającej się rakiety). Zauważmy, że jesli skierujemy oś układu współrzędnych w kierunkuruchurakiety,topoczątkowo(podczasstartu), v 2 > 0, v 1 < 0, v 1 v 2, u < 0.Jeślirakietaporuszasięjużbardzo szybko,wtedy v 2 > 0, v 1 > 0, v 1 możebyćporównywalnez v 2,ale u < 0.
Ruch układów o zmiennej masie Ruch układu o zmiennej masie W ogólności, rakieta porusza się w polu grawitacyjnym, przynajmniej dopóki nie opuści Układu Słonecznego. Pytanie zatem brzmi, jak się zmieni prędkość rakiety(masa m 2 ),jeślijejmasazmienisięodm 1 m 2 iidziałasiła zewnętrzna?
Ruch układów o zmiennej masie Ruch układu o zmiennej masie Połączenie(rozdzielenie) mas jest zderzeniem niesprężystym, które zachodzi w czasie dt: potrzeba trochę czasu, aby masa dm 1 wyleciałazrakiety.prędkośćzmianymasyjestokreślona przez konstrukcję układu napędowego, jest skończona i możemy napisać, że dm 1 = β. dt Wczasie dtpędcałegoukładuzmieniasięopewnąwartość dp. Gdyby nie działała siła grawitacji, zmiana pędu byłaby równa zero- oddziaływanie wylatujących gazów z rakietą opisujemy siłami Newtonowskimi. Jeśli siła grawitacji działa, wtedy pochodna pędu układu względem czasu jest równa działającej na układ(gazy + rakieta) sile grawitacji.
Ruch układów o zmiennej masie Równanie Mieszczarskiego Niechprędkośćmasy dm 1 i m 2 układzieinercjalnymbędzie równa,odpowiednio, υ 1 i υ 2. Pęd początkowy: Pęd końcowy: p(t) = dm 1 υ 1 +m 2 υ 2. p(t+dt) = (dm 1 +m 2 )( υ 2 +d υ 2 ). Zmiana pędu układu jest równa: d p = p(t+dt) p(t) = m 2 d υ 2 +dm 1 ( υ 2 υ 1 )+dm 1 d υ 2 m 2 d υ 2 +dm 1 ( υ 2 υ 1 ).
Ruch układów o zmiennej masie Ruch układu o zmiennej masie Masa dm 1 możebyćdodatniaalboujemna.czynimytu założenie,żeprędkośćmasy dm 1 zmieniasięskokowo,zaśmasy m 2 -wsposóbciągły. Wprowadzamyprędkośćwzględnąmasy dm 1 względemmasy m 2 : u = υ 1 υ 2. Zmiana pędu układu w jednostce czasu wynosi: d p dt = m d υ 2 2 dt udm 1 dt ijestrównadziałającejnaukładsilezewnętrznej F zew : d p dt = F zew.
Ruch układów o zmiennej masie Równanie Mieszczerskiego Mamy zatem uogólnioną postać drugiej zasady dynamiki: d υ 2 m 2 dt udm 1 dt = F zew. Pozbędziemy się teraz indeksów 1 i 2 w nastpujący sposób. Interesujenasruchdużejmasy m 2,którazmieniasięwczasiez prędkością dm 1 /dt.zatem,wielkości m 2 i dm 1 /dtdotyczątej samejdużejmasy m 2,którąnazwiemymasą m.podobnie, prędkość υ 2 jestprędkościadużejmasy-możemyopuścić indeks 2. Dostajemy zatem: m d υ dt udm dt = F zew. Siła zewnętrzna jest siłą działającą na cały układ, tzn. na masę midm,alezewzględnunato,że dm mzaniedbujemy działanie siły zewnętrznej na dm.
Ruch układów o zmiennej masie Równanie Mieszczerskiego Otrzymujemy zatem: m d υ dt = F zew + u dm dt. Równanie to nazywamy równaniem Mieszczerskiego. Wyrażenie u dm dt nazywamy siłą odrzutu lub siłą ciągu. Jak widać, w przypadku wyrzutu gazów u jest przeciwnie skierowane do v, dm/dt jest ujemne i siła ciągu jest skierowana w kierunku przyspieszenia. Iwan Mieszczerski, 1859-1935, profesor Petersburgskiego(potem Leningradzkiego) Instytutu Politechnicznego. W pracach Dynamika punktu ozmiennejmasie(1897)irównaniaruchupunktuozmiennejmasiew przypadku ogólnym(1904) sformułował zasadnicze równania dynamiki ciał o zmiennej masie, które są podstawą współczesnej teorii ruchu rakiet.
Ruch układów o zmiennej masie Start rakiety Zadanie Rakieta startuje z Ziemi(ruch w jednorodnym polu grawitacyjnym skierowanym przeciwnie do kierunku ruchu) wskutek odrzutu gazów wylatujących z jej dyszy ze stałą prędkością względną u i stałą ilością w jednostce czasu β (mianem wielkości β jest kg/s). Początkowa masa rakiety z paliwemwynosiła m 0.Znaleźćrównanieruchurakietyoraz zależność jej prędkości υ od czasu.
Ruch układów o zmiennej masie Start rakiety Rozwiązanie Zakładamy, że rakieta porusza się w kierunku osi z: υ = υ e z,polegrawitacyjneiprędkośćwzględnaskierowane sąprzeciwniedoosi z: g = g e z, g > 0, u = u e z, u > 0, mamy równanie ruchu rakiety w kierunku z: m dυ dt = udm dt mg. Dotegorównaniamusimywstawićzależność m(t) = m 0 βti otrzymamy: (m 0 βt) dυ dt = uβ (m 0 βt)g. Wycałkowanie z warunkiem początkowym υ(0) = 0 daje υ(t) = gt+uln m 0 m 0 βt.
Ruch układów o zmiennej masie Wzór Ciołkowskiego(Konstanty Ciołkowski, 1857-1935) Jeśli rakieta znajduje się daleko od źródeł pola grawitacyjnego, to g = 0ijeślicałepaliwozostaniezużyte,toosiągniętaprzez rakietę prędkość jest równa: υ = uln m 0 m k, gdzie m k jestkońcowąmasąrakiety. Jest to tzw. wzór Ciołkowskiego.
Praca i energia Praca d p dt = F Mnożymy skalarnie obie strony przez d r: d p dt d r = F d r Prawą stronę tego równania oznaczamy przez dw i nazywamy pracąsiły Fprzyprzesunięciu d r. dw = Fdscos( ( F,d r)) = F t ds W A B = F( r 1 ) d r 1 +..+ F( r N ) d r N = B A F d r Pracawykonanaprzezsiłę Fmoże(aleniemusi) zależećodwyborudrogiłączącejpunkty AiB.
Praca i energia Praca sił prostopadłych do przesunięcia Siły prostopadłe do przesunięcia: Siła dośrodkowa Siła Lorentza Siła grawitacji w pobliżu Ziemi dla przesunięć poziomych Siła reakcji dla więzów niezależnych od czasu. Praca tych sił jest równa zero!
Praca i energia Moc W zastosowaniach praktycznych interesuje nas często szybkość wykonywania pracy. Wprowadzamy zatem wielkość o nazwie moc zdefiniowaną jako: P = dw dt = F υ = de k dt = d dt ( mυ 2) Jeśli znamy moc jako funkcję czasu, to pracę wykonaną w przedzialeczasuod t 1 do t 2 możemyprzedstawićwpostaci: W = t2 t 1 P(t)dt. 2
Praca i energia Energia kinetyczna d p dt d r = md υ dt d p dt = F Mnożymy skalarnie obie strony przez d r: d p dt d r = F d r Lewa strona równania: d r = md υ dt υdt = d dt ( 1 2 mυ2 ) ( ) 1 dt = d 2 mυ2 E k = mυ2 2 = p2 2m
Praca i energia Energia kinetyczna i praca siły F d p dt = F Mnożymy skalarnie obie strony przez d r: d p dt d r = F d r Całkujemy wzdłuż drogi łączącej punkty A i B: B ( ) 1 B d 2 mυ2 = F dr A 1 2 mυ2 (B) 1 2 mυ2 (A) = W A B Praca siły zewnętrznej jest równa zmianie energii kinetycznej ciała. A
Praca i energia Prosty przykład- ruch w stałym polu grawitacyjnym Masa mspoczywanawysokości hnadziemiąiwpewnejchwili zaczyna spadać. Siła grawitacji wykonuje pracę: = 0 h W pole, = ( mg)dz = mg 0 h 0 h m g dr = dz = mg(0 h) = mgh, co jest równe zmianie energii kinetycznej(możemy ją wyznaczyć zrównańruchu): mgh = 1 2 mυ2 (z = 0) 1 2 mυ2 (z = h) = 1 2 mυ2 (z = 0)
Praca i energia Praca w stałym polu grawitacyjnym Jaką pracę wykonamy podnosząc masę m na wysokość h? (Zakładamy, że robimy to tak wolno, że energię kinetyczną możemy zaniedbać.) W my, = h 0 m g dr = h 0 (mg)dz = mgh Czyli kosztem pracy siły zewnętrznej ciało zyskało energię potencjalną mgh. A jaką pracę wykonała w tym czasie siła grawitacji? = h 0 W pole, = ( mg)dz = mg h 0 h 0 m g dr = dz = mg(h 0) = mgh.
Praca i energia Siły zachowawcze i energia potencjalna Zauważmy, że praca siły cieżkości przy przesunięciu masy m z punktu Ado Bniezależyoddrogi,którąciałoprzebyłoi zawsze jest równa: W A B = B A m g d r. Ale wiemy, że taką właściwość ma całka z wyrażenia, które jest różniczkąjakiejśfunkcji,nazwijmyją E p : B A ( de p ) = (E p (B) E p (A)).
Praca i energia Siły zachowawcze i energia potencjalna Zatem, w przypadku siły grawitacji spełnione jest równanie: B Mamy więc dla siły grawitacji: A F d r = W A B = (E p (B) E p (A)). W A B = B A de p = (E p (B) E p (A)). Równanie to przyjmiemy jako definicję pewnej klasy sił, które nazywamy siłami zachowawczymi: dla sił zachowawczych praca zależy tylko od położenia początkowego i końcowego, nie zależyodpokonanejdrogi.funkcję E p nazywamyenergią potencjalnąsiły F. Wszczególności,jeśli ApokrywasięzB,towyciągamywniosek,że praca siły zachowawczej po konturze zamkniętym jest równa zero.
Praca i energia Definicje siły zachowawaczej Zpowyższychrozważańwynika,żesiła Fjestzachowawcza, jeśli 1.Pracasiły Fnadrodzeokreślonejwektorem d rjestrówna różniczce pewnej funkcji, zwanej energią potencjalną, F d r = E p. 2. Praca siły zachowawaczej po konturze zamknietym jest równa zero. 3. Praca siły zachowawczej między punktami A i B zależy wyłącznie od położenia tych punktów, a nie od przebytej drogi. Każde z tych stwierdzeń można przyjąć za definicję siły zachowawczej i wykazać równoważność przyjętej definicji z pozostałymi dwoma stwierdzeniami.
Praca i energia Poziom odniesienia dla energii potencjalnej Energia potencjalna ciała w punkcie B jest określona przez pracę wykonaną przyprzesunięciuciałazpunktu Ado B: B E p(b) E p(a) = F dr. A Jeślizmienimypołożeniepunktupoczątkowegodo A,toenergia potencjalna w punkcie B będzie(w ogólności) inna: Widać, że gdzie Cjestdaneprzez: E p(b) E p(a ) = B A F dr. A B E p(b) = F dr F dr = E p(b)+c, A A C = A A F dr. Zatem, energia potencjalna jest określona z dokładnością do stalej.
Praca i energia Siła centralna jest zachowawcza Siła centralna to siłą, której wartość zależy wyłącznie od odległości od centrum siły, czyli: F( r) = F(r) r r. Jak już wiemy, dla siły zachowawczej praca nie zależy od drogi, a tylko od położenia punktu początkowego i końcowego. Zatem, dla siły centralnej: W = B A F dr = B A F(r) r r dr = B A F(r)dr = Φ(r B ) Φ(r A ), gdzie Φ(r)jestcałkąfunkcji F(r): F(r) = dφ/dr.
Praca i energia Zachowanie energii mechanicznej dla sił zachowawczych Widzieliśmy, że dla siły zachowawczej, ( ) dw = F mυ 2 d r = d oraz dw = de p. 2 Oznacza to, że d(e p +E k ) = 0, czyli E p +E k = const. Suma energii kinetycznej i potencjalnej nosi nazwę energii mechanicznej. Równanie to wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej w przypadku sił zachowawczych.
Praca i energia Klocek wciągany na równię Zadanie:klocekomasie mwciąganyjestsiłą Fwgóręrównio kącie nachylenia α. Współczynnik tarcia jest równy f. Rozważyć przemiany energii podczas przesunięcia klocka wzdłużrówniod. Rozwiązanie T = mgf cosα a = F gsinα gf cosα m d = v 0 t+ 1 2 at2 = v2 v0 2 a = v2 v0 2 2a 2d F m gsinα gf cosα = v2 v0 2 2d Fd = mgsinαd+ 1 2 m(v2 v 2 0 )+mgfdcosα W F = E p + E k +W T
Praca i energia Zasada zachowania energii Zmiana całkowitej energii układu jest równa energii dostarczonej do układu lub od niego odebranej. Do tej pory zmianę energii mogliśmy osiągnąć przez wykonanie nadukładempracy.alesąiinnesposoby(np.ciepło).
Siła a energia potencjalna Siła a energia potencjalna- przypadek jednowymiarowy Jeślisiłazachowawczamatylkojednąskładową F = F e x,zaś współrzędnepunktów AiBsąrówne aib,to: zatem B E p (b) E p (a) = F dr = A F(b) = de p dx x=b b a Fdx,
Siła a energia potencjalna Siła a energia potencjalna- przykłady Siła sprężysta. Energia potencjalna sprężyny ściśniętej o x jest równa: E p = 1 2 kx2. Stąd, siła sprężystości jest dana przez F spr = d ( ) 1 dx 2 kx2 = kx. Siła grawitacji przy powierzchni Ziemi. Energia grawitacyjna jest równa Siła grawitacji E p = mgh. F = d mgh = mg. dh
Siła a energia potencjalna Przypadek trójwymiarowy- gradient W ogólnym przypadku, energia potencjalna jest funkcją x, y, z: E p = E p (x,y,z).wtedy E p (x,y,z) x Operator F = E p x e x E p y e y E p z e z = E p. E p (x+ x,y,z) E p (x,y,z) = lim x 0 x = x e x + y e y + z e z nazywamy gradientem. Argumentem gradientu jest funkcja skalarna, zaś wynikiem- funkcja wektorowa. Gradient skalara jest wektorem.
Siła a energia potencjalna Gradient i powierzchnie ekwipotencjalne Gradient funkcji skalarnej jest wektorem o następujących właściwościach: jest to wektor prostopadły do płaszczyzny ekwipotencjalnej z tego wynika, że kierunek działania siły jest prostopadły dopowierzchniekwipotencjalnej: F = Ep. jest to wektor, który pokazuje kierunek najszybszego wzrostufunkcji E p. Proste przykłady prostopadłości siły i powierzchni ekwipotencjalnych: siła grawitacji w stałym polu grawitacyjnym siłagrawitacji,elektrostatyczna r 2
Siła a energia potencjalna Gradient i powierzchnie ekwipotencjalne Dowód powyższych faktów jest następujący: Różniczkafunkcjiwieluzmiennych E p (x,y,z)wyrażasię wzorem: de p = E p x dx+ E p y dy + E p z dz = E p d r. Jeśli d rleżynapowierzchniekwipotencjalnej,to de p = 0, czyli E p d r = 0,cooznacza,że E p d r,czyli E p jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej Jeśli rozpatrzymy dwie bardzo bliskie siebie powierzchnie ekwipotencjalneodpowiadającewartościom E p i E p +de p, to najkrótszą linią łączącą te powierzchnie jest linia do nich prostopadła, czyli odpowiadająca kierunkowi gradientu. Oznaczato,żezmiana de p jestnajszybszawkierunku gradientu.