PoniŜej przedstawiono standardowy tok otrzymywania charakterystyk częstotliwościowych: 1. Wyznaczenie transmitancji operatorowej. Wykonanie podstawienia s ωj. Wyznaczenie Re(G(jω )) oraz Im(G(jω ))-najczęściej poprzez pomnoŝenie przez sprzęŝenie mianownika 4. Wyznaczenie P(ω ) i Q(ω ) przynajmniej dla ω 0, ω ω s, ω + 5. Wykreślenie charakterystyki amplitudowo częstotliwościowej 6. Wyznaczenie M(ω ) oraz L(ω ) 7. Wyznaczenie zakresów przybliŝeń (ω <<ω s, ω >>ω s ) i odpowiednich wzorów L(ω ) dla nich 8. Obliczenie spadku na dekadę dla obydwóch zakresów 9. Wyznaczenie wartości L(ω ) dla jednej wartości ω z pierwszego zakresu i jednej z drugiego (mogą być punkty przecięcia z osiami) 10. Wykreślenie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej 11. Wyznaczenie wzoru na ϕ ( 1. Wyznaczenie ϕ ( przynajmniej dla ω 0, ω ω s, ω + 1. Wykreślenie logarytmicznej charakterystyki fazowej Uwaga: Trzy wartości ω są minimalna liczbą potrzebą do wykreślenia wszystkich charakterystyk. Aczkolwiek charakterystyki będą tym dokładniejsze, im więcej wartości ω zostanie uŝytych w tabeli. Sposób uŝycia powyŝszego algorytmu ręcznego wyznaczania charakterystyk został przedstawiony na poniŝszym przykładzie. PRZYKŁAD 1 Transmitancja operatorowa członu automatyki (jakiego??) jest dana wzorem: G ( s) s + 5 Wyznacz charakterystyki częstotliwościowe tego członu Rozwiązanie Jako, Ŝe zadanie zostało postawione w sposób, który podał juŝ w treści transmitancję, przechodzimy do punktu (w przeciwnym wypadku trzeba przekształcić problem poprzez modelowanie matematyczne do postaci transmitancji). Stąd. Stosujemy podstawienie s ωj G ( j j ω + 5 1
. Wyznaczono część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej: G ( j 5 jω + 5 5 jω jω 15 jω 15 jω 5 j ω 5 + ω Po uporządkowaniu: 15 jω 15 ω G ( j j Re( G( j) + Im( G( j) j P( + 5 + ω 5 + ω 5 + ω jq( ω ) Stąd: 15 P( 5 + ω ω Q( 5 + ω Wykonano tabelę argumentów:, ω 0, 5 + P ( 0 5 10 Q ( 0 0 10 Na jej podstawie wykreślono charakterystykę Nyquista (punkt 5 algorytmu):
Ad. 6 Wyznaczono M(: Ad. 7 15 (ω ) 15 + 9ω M ( P ( + Q ( + (5 + ω ) (5 + ω ) (5 + ω ) L( 0log M ( Jak widzimy, gdy ω<<5 to moŝemy w wyraŝeniu M( pominąć wpływ wyraŝenia ω, czyli 15 M ( 5 15 5 L( 0 log 5. 5 Jeśli natomiast ω>>5 to nie moŝemy pominąć w M( wpływu wyraŝenia ω. MoŜemy jednak pominąć wpływ stałych(5 w liczniku i 5 w mianowniku). Otrzymujemy wtedy M 9ω ( ω ) ( L( 0 log ω. ω Jest to podstawa do ręcznego wykreślenia charakterystyk Bodego(!!!) Ad. 8 Obliczenie spadku na dekadę dla obydwóch zakresów Do obliczenia tego spadku/wzrostu (tak naprawdę nachylenia prostej aproksymującej do osi log naleŝy posłuŝyć się związkiem: [ M (10ω ) log M ( )] L( 10 L( 0 log ω Czyli dla podanych przybliŝeń: ω<<5 L(10-L( 0 log -0log 0 5 5 Jest to prosta o równoległa do osi ω, o wartości L(0 log -4.469 5 ω>>5 L(10ω ) L( 0log 0log 10ω ω ω 1 0log 0 log10 0dB / dekadę 10ω Tak więc prosta z tego zakresu opada o 0 db na kaŝdą dekadę
Ad. 9 Wyznaczenie wartości L(ω ) dla jednej wartości ω z pierwszego zakresu i jednej z drugiego Znając kąty nachylenia dla prostych z obydwóch zakresów naleŝy znać juŝ tylko po jednym punkcie z kaŝdego, aby móc narysować aproksymowaną charakterystykę częstotliwościową modułu. - Przyjmijmy, Ŝe 10 - <<5, zatem dla pierwszego zakresu L(10 - ) 0 log 5-4.469 - Następnie przyjmijmy, Ŝe 10 >>5, zatem dla drugiego zakresu: L(10 ) 0 log 0log 0log10 4.469 40 44. 469 10 Podane wartości ω są tylko przykładem. W rzeczywistości moŝna tu stosować dowolne ω. Ad. 10 Wykreślenie charakterystyki: -naniesienie na wykres punktu z pierwszego zakresu: -na następnej dekadzie(czyli 10 -+1 ) nanosimy punkt, który ma wartość mniejszą o spadek na dekadę. Oczywiście akurat w tym przypadku mamy do czynienia z funkcją stałą, więc w następnej dekadzie rysujemy punkt o tej samej wartości L(ω ): 4
-przeciągamy linię przerywaną przez zadane punkty: -naniesienie na wykres punktu z drugiego zakresu: -na poprzedniej dekadzie(czyli 10-1 ) nanosimy punkt, który ma wartość większą o spadek na dekadę. Jako, Ŝe charakterystyka opada, to na poprzedniej dekadzie punkt będzie wyŝej niŝ ten na dekadzie (o 0 db): 5
-przeciągamy linię przerywaną przez zadane punkty: (!)Wszystkie powyŝsze operacje powinny być wykonywane na tym samym wykresie. Jednak, ze względu na czytelność tego przykładu, były wykonywane na kilku(!) W tym momencie wykres powinien wyglądać następująco: W punkcie przecięcia wykresów moŝna odczytać ω s : 6
Z wykresu odczytujemy ω 10 0. 66 s 4. 57. Zatem przybliŝenie ω s 5 nie było obarczone duŝym błędem. PrzybliŜa nam on takŝe prawdziwą logarytmiczną amplitudowoczęstotliwościową charakterystykę. PoniŜej zaprezentowano tą charakterystykę, uzyskaną w pakiecie Matlab : NaleŜy koniecznie zauwaŝyć, iŝ charakterystyka wykreślona ręcznie jest najbardziej niedokładna właśnie dlaω (!) s Ad. 11 Wyznaczenie wzoru na ϕ ( Przekształcając wzór: ϕ ( Otrzymujemy dla zadanego przykładu: argg ( j arc tg Q( P( ϕ ( ω arc tg 5 + ω arc tg 15 5 + ω ω Ad. 1 Wyznaczono tabelę:, ω 0, 5 + ϕ ( [rad] 0 π π 4 5 7
Ad. 1 Wykreślono charakterystykę fazowo-częstotliwościową Uwaga: Dla powyŝszej charakterystyki naleŝałoby wyznaczyć wartości jeszcze dla 1 ω ω s oraz 5 ω 5ω s, a następnie aproksymować tą charakterystykę odpowiednimi asymptotami ukośnymi. Taki zabieg pozwoli na dokładniejsze jej wyznaczenie. Jednak przed tym procesem naleŝy zastanowić się nad problemem, jaka właściwie dokładność potrzebujemy. Ten zabieg bywa czasochłonny a tylko w niewielkim stopniu poprawia wygląd charakterystyki (moŝna lepiej zobaczyć wypukłość funkcji). Jeśli zaleŝy nam na bardzo dobrej dokładności, to duŝo szybszym i przyjemniejszym sposobem będzie wykorzystanie komputera. 8