5. Strumienie płatności: renty

5. Strumienie płatności: renty Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 1 / 47

1 Motywacja, oznaczenia, założenia 2 Renta czasowa - wzory 3 Renta wieczysta 4 Renta geometryczna 5 Zakończenie renty czasowej 6 Stopa zwrotu rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 2 / 47

Definicja Rentą często nazywa się dowolny strumień płatności. Jednak dla nas rentą będzie strumień płatności polegający na wypłacaniu pewnych sum (rat) z wcześniej uzbieranych środków lub na podstawie umowy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 3 / 47

Definicja Rentą często nazywa się dowolny strumień płatności. Jednak dla nas rentą będzie strumień płatności polegający na wypłacaniu pewnych sum (rat) z wcześniej uzbieranych środków lub na podstawie umowy. Prostymi przykładami rent są comiesięczne wypłaty wynagrodzenia, czy emerytury, typowa renta z posiadanego kapitału, dywidendy z posiadania akcji, kupony z tytułu posiadania obligacji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 3 / 47

Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47

Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47

Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47

Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Przez R i oznaczamy wysokość i-tej raty renty. Jeśli wszystkie raty są równe, oznaczamy ich wysokość przez R. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47

Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Przez R i oznaczamy wysokość i-tej raty renty. Jeśli wszystkie raty są równe, oznaczamy ich wysokość przez R. Przez S i oznaczamy wartość renty po zakończeniu i-tego okresu płatności, zaktualizowaną na moment i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47

Podstawowe oznaczenia rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 5 / 47

Podstawowe oznaczenia Doprecyzujmy ostatni punkt: S i to wartość kapitału zawartego we wszystkich płatnościach do końca i-tego okresu płatności, zaktualizowana na koniec i-tego okresu płatności. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment wartości wszystkich rat renty wpłaconych do tego momentu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 5 / 47

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu Jak przy wpłatach, musimy ustalić dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania wypłat rent. Mogą być one dokonywane: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 6 / 47

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu Jak przy wpłatach, musimy ustalić dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania wypłat rent. Mogą być one dokonywane: z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2,..., N 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 6 / 47

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu Jak przy wpłatach, musimy ustalić dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania wypłat rent. Mogą być one dokonywane: z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2,..., N 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu. z góry, czyli na początku każdego okresu płatności, czyli w momentach 0, 1, 2,..., N 1. Taką sytuację oznaczają kreski nad danymi zmiennymi i oznaczeniami np. S k. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 6 / 47

Podstawowe założenia - model kapitalizacji Przy okazji wpłat analizowaliśmy różne modele kapitalizacji wkładów: złożony, prosty i polski. Dokładnie tak samo można analizować te modele w sytuacji rent. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 7 / 47

Podstawowe założenia - model kapitalizacji Przy okazji wpłat analizowaliśmy różne modele kapitalizacji wkładów: złożony, prosty i polski. Dokładnie tak samo można analizować te modele w sytuacji rent. Jednakże, z powodów wyjaśnionych wcześniej, model złożony jest najbardziej sensownym modelem wyceny w przygniatającej większości sytuacji, więc od tej pory tylko ten model będziemy analizować - zarówno w tej części wykładu, jak i w kolejnych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 7 / 47

Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47

Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47

Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r ef, taką, że OS ef = OK ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47

Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r ef, taką, że OS ef = OK ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. We wzorach będziemy częściej używać czynnika akumulacji q = 1 + r ef. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47

Raty różnej wysokości Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R i zamiast W i oraz kierunek przepływu kapitału. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 9 / 47

Raty różnej wysokości Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R i zamiast W i oraz kierunek przepływu kapitału. Zatem otrzymane wzory muszą być takie same, jak wzory otrzymane w wypadku wkładów. W szczególności, jeśli założymy, że wysokości rat są dowolne (R 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to: S k = R 1 q k 1 + R 2 q k 2 +... +... R k 1 q + R k. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 9 / 47

Raty różnej wysokości Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R i zamiast W i oraz kierunek przepływu kapitału. Zatem otrzymane wzory muszą być takie same, jak wzory otrzymane w wypadku wkładów. W szczególności, jeśli założymy, że wysokości rat są dowolne (R 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to: S k = R 1 q k 1 + R 2 q k 2 +... +... R k 1 q + R k. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 9 / 47

Renta - wzory Przy najczęstszym założeniu, że wszystkie raty są równe (R 1 = R 2 =... = R N = R), mamy: Renta, raty z dołu S k = R qk 1 q 1. Renta, raty z góry S k = Rq qk 1 q 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 10 / 47

Wartość aktualna renty Tak jak dla długów, możemy obliczać wartość aktualną renty, zgodnie ze wzorem: Wartość aktualna renty PV = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 11 / 47

Wartość aktualna renty Tak jak dla długów, możemy obliczać wartość aktualną renty, zgodnie ze wzorem: Wartość aktualna renty PV = S N q N. S N oczywiście oznacza S N lub S N, w zależności od kontekstu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 11 / 47

Wartość aktualna renty Tak jak dla długów, możemy obliczać wartość aktualną renty, zgodnie ze wzorem: Wartość aktualna renty PV = S N q N. S N oczywiście oznacza S N lub S N, w zależności od kontekstu. Będzie to kluczowy wzór w wielu zagadnieniach związanych z rentą. PV może być ceną, jaką inwestor jest gotów zapłacić za pozyskanie danej renty, jeśli szuka stopy zwrotu r ef na okres płatności lub też kapitałem początkowym, z którego jest wypłacana renta i który ma wystarczyć na cały czas jej trwania, jeśli jest inwestowany według warunków oprocentowania. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 11 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 4 = 0, 05 na kwartał. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + r) 1 3 = 1, 0164. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + r) 1 3 = 1, 0164. Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + r) 1 3 = 1, 0164. Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. Jako, że pieniądze są wypłacane na początku miesiąca, używamy wzoru na S 36. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? q = 1, 0164, N = 36 S 36 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 13 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? q = 1, 0164, N = 36 S 36 = 1500q q36 1 q 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 13 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? q = 1, 0164, N = 36 S 36 = 1500q q36 1 q 1 = 74007, 0659. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 13 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? To jeszcze nie koniec zadania, bo S 36 to wartość całej renty zaktualizowanej na koniec jej wypłacania (czyli na za 3 lata). K = PV = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 14 / 47

Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? To jeszcze nie koniec zadania, bo S 36 to wartość całej renty zaktualizowanej na koniec jej wypłacania (czyli na za 3 lata). K = PV = S 36 q 36 = 41204, 5862. Odp: Kapitał początkowy konieczny do wypłacenia tej renty wynosił co najmniej 41204,5862 PLN. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 14 / 47

Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47

Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47

Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. Na przykład w ten sposób można zaplanować sobie wypłaty emerytury, bez zakładania długości życia na tej emeryturze. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47

Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. Na przykład w ten sposób można zaplanować sobie wypłaty emerytury, bez zakładania długości życia na tej emeryturze. Taki format mogą też przybrać wypłaty z niektórych inwestycji (np. obligacji wieczystych, zwanych konsolami), a także przydaje się on przy fundamentalnej wycenie akcji. Dla ustalenia uwagi, bez utraty ogólności, zakładamy, że mamy zawsze do czynienia z tzw. rentą pewną - czyli wypłacaną niezależnie od tego, czy odbiorca żyje i od jakichkolwiek innych okoliczności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47

Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47

Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Załóżmy, że rata takiej renty wynosi R w, renta jest wypłacana z dołu i obowiązuje stopa procentowa r, taka, że OS = OK = OP (w innym wypadku używamy stopy względnej i efektywnej tak, by dopasować te okresy), a q = 1 + r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47

Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Załóżmy, że rata takiej renty wynosi R w, renta jest wypłacana z dołu i obowiązuje stopa procentowa r, taka, że OS = OK = OP (w innym wypadku używamy stopy względnej i efektywnej tak, by dopasować te okresy), a q = 1 + r. Wtedy PV = K musi być równe sumie zaktualizowanych na moment 0 rat takiej renty: PV = K = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47

Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Załóżmy, że rata takiej renty wynosi R w, renta jest wypłacana z dołu i obowiązuje stopa procentowa r, taka, że OS = OK = OP (w innym wypadku używamy stopy względnej i efektywnej tak, by dopasować te okresy), a q = 1 + r. Wtedy PV = K musi być równe sumie zaktualizowanych na moment 0 rat takiej renty: PV = K = R w q 1 + R w q 2 +... = R w q i. i=1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47

Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47

Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47

Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Ze wzoru na sumę tego szeregu otrzymujemy zależność: PV = K = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47

Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Ze wzoru na sumę tego szeregu otrzymujemy zależność: PV = K = R wq 1 1 q 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47

Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Ze wzoru na sumę tego szeregu otrzymujemy zależność: PV = K = R wq 1 1 q 1 = R w q 1 = R w r. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47

Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru Oczywiście, analogicznie możemy obliczyć ten sam wzór przy założeniu, że renta jest wypłacana z góry: PV = K = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 18 / 47

Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru Oczywiście, analogicznie możemy obliczyć ten sam wzór przy założeniu, że renta jest wypłacana z góry: PV = K = R w + R w q 1 +... = R w q i = i=0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 18 / 47

Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru Oczywiście, analogicznie możemy obliczyć ten sam wzór przy założeniu, że renta jest wypłacana z góry: PV = K = R w + R w q 1 +... = R w q i = i=0 = R w 1 q = R wq. 1 r rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 18 / 47

Renta wieczysta - wzory Podsumowując, otrzymujemy następujące wzory na wartość kapitału K potrzebnego do wypłaty renty wieczystej w wysokości R w : Renta wieczysta, raty z dołu Renta wieczysta, raty z góry K = R w r. K = R wq. r rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 19 / 47

Maksymalna renta wieczysta Te wzory łatwo przekształcić tak, by otrzymać wzory na maksymalną możliwą rentę wieczystą wypłacaną z kapitału K: Maksymalna renta wieczysta z dołu R w = Kr. Maksymalna renta wieczysta z góry R w = Kr q. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 20 / 47

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera. Dlatego Kr jest to maksymalna wysokość renty wieczystej z dołu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera. Dlatego Kr jest to maksymalna wysokość renty wieczystej z dołu. Analogiczną analizę można przeprowadzić dla renty wieczystej z góry. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

Renty czasowe i wieczyste - nazewnictwo Wspomnę jeszcze, że w niektórych źródłach rentę czasową nazywa się annuitetem, a wieczystą perpetuitetem. Nie wymagam znajomości tego nazewnictwa. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 22 / 47

Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47

Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47

Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Jednakże, nie chce wypłacać kolejnych rat emerytury w stałej wysokości: potrzebuje uwzględnić inflację, wynoszącą i w czasie OP. Dlatego każda kolejna rata musi być 1 + i = a razy większa. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47

Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Jednakże, nie chce wypłacać kolejnych rat emerytury w stałej wysokości: potrzebuje uwzględnić inflację, wynoszącą i w czasie OP. Dlatego każda kolejna rata musi być 1 + i = a razy większa. W ten sposób kolejne raty emerytury układają się w ciąg geometryczny: R, Ra, Ra 2,... Jakiego wzoru można użyć do oszacowania wielkości potrzebnego kapitału? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru Załóżmy, że renta jest wypłacana z dołu, pierwsza rata wynosi R i przewidziane jest N rat. Wtedy, dla każdego k N: S k = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 24 / 47

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru Załóżmy, że renta jest wypłacana z dołu, pierwsza rata wynosi R i przewidziane jest N rat. Wtedy, dla każdego k N: k S k = Rq k 1 + Raq k 2 + Ra 2 q k 3... + Ra k 1 = Ra i 1 q k i. i=1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 24 / 47

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Zatem, jeśli a q: S k = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Zatem, jeśli a q: S k = Rq k 1 (aq 1 ) k 1 aq 1 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Zatem, jeśli a q: S k = Rq k 1 (aq 1 ) k 1 aq 1 1 = R qk a k q a. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 26 / 47

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Jeśli a = q, to po prostu każdy element sumy tego ciągu jest równy Rq k 1, więc: S k = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 26 / 47

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Jeśli a = q, to po prostu każdy element sumy tego ciągu jest równy Rq k 1, więc: S k = nrq k 1. Analogicznie można wyprowadzić wzory na wartość renty geometrycznej z góry. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 26 / 47

Renta geometryczna - wzory Renta geometryczna z dołu Renta geometryczna z góry R qk a k S k =, q a; q a nrq k 1, q = a. Rq qk a k S k =, q a; q a nrq k, q = a. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 27 / 47

Renta geometryczna - komentarz Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie wartości aktualnej) prowadzimy dokładnie tak samo jak dla renty stałej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 28 / 47

Renta geometryczna - komentarz Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie wartości aktualnej) prowadzimy dokładnie tak samo jak dla renty stałej. Zauważmy, że renta stała też jest rentą geometryczną, ale dla ilorazu a = 1. Wzory po podstawieniu a = 1 się zgadzają, więc tak naprawdę wystarczy pamiętać wzory na rentę geometryczną i wzory na rentę stałą wynikają z nich natychmiast. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 28 / 47

Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47

Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47

Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,08 2 = 0, 04 na pół roku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47

Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,08 2 = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47

Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,08 = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04. 2 Obliczmy najpierw kapitał początkowy: 40 = R w = 0, 04K 1, 04 K = 1040. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47

Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47

Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47

Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47

Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku). Zatem, korzystając z zależności pomiędzy K, a S 20 : 1040 = K = S 20 (1, 04) 20 S 20 = 2278, 7681. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47

Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? N = 20, S 20 = 2278, 7681, q = 1, 04, a = 1, 025, q a. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 31 / 47

Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? N = 20, S 20 = 2278, 7681, q = 1, 04, a = 1, 025, q a. Wystarczy te dane podstawić do wzoru na rentę geometryczną z dołu: 2278, 7681 = S 20 = R q20 a 20 q a R = 28, 6969. Odp: Pierwsza rata takiej renty może wynosić maksymalnie 28,6969. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 31 / 47

Zakończenie renty czasowej W porównaniu z zadaniami z wkładów oszczędnościowych, w zadaniach z rent czasowych może pojawić się nowy problem - czas i sposób wymuszonego zakończenia wypłat. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 32 / 47

Zakończenie renty czasowej W porównaniu z zadaniami z wkładów oszczędnościowych, w zadaniach z rent czasowych może pojawić się nowy problem - czas i sposób wymuszonego zakończenia wypłat. O ile wpłacać kapitał na jakiś program oszczędnościowy można potencjalnie w nieskończoność, to wypłacać można tylko wtedy, gdy jakiś kapitał do wypłacania nam zostaje... rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 32 / 47

Zakończenie renty czasowej W porównaniu z zadaniami z wkładów oszczędnościowych, w zadaniach z rent czasowych może pojawić się nowy problem - czas i sposób wymuszonego zakończenia wypłat. O ile wpłacać kapitał na jakiś program oszczędnościowy można potencjalnie w nieskończoność, to wypłacać można tylko wtedy, gdy jakiś kapitał do wypłacania nam zostaje... Rozważamy zatem zadanie typu: przy danym modelu oprocentowania, na ile wypłat rent w wysokości R wystarczy kapitał K? Dodatkowo, mało prawdopodobne, by wypłaty tej samej wysokości DOKŁADNIE wyczerpały dany kapitał, więc powstaje dodatkowe pytanie - jakiej wysokości będzie ostatnia wypłata? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 32 / 47

Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47

Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47

Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. Pechowo, to równanie jest dość podobne do równania na kapitał uzbierany po N wpłatach: K = S N (ale od niego się różni). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47

Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. Pechowo, to równanie jest dość podobne do równania na kapitał uzbierany po N wpłatach: K = S N (ale od niego się różni). Prawdopodobnie dlatego studenci często je mylą na sprawdzianach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47

Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. Pechowo, to równanie jest dość podobne do równania na kapitał uzbierany po N wpłatach: K = S N (ale od niego się różni). Prawdopodobnie dlatego studenci często je mylą na sprawdzianach. Wystarczy jednak pamiętać, że równania końca renty używamy tylko w wypadku wypłaty rent i wszystko będzie dobrze... rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47

Rozwiązanie równania - problem No dobrze, użyliśmy równania końca renty do obliczenia liczby rat i otrzymaliśmy wynik, który niemal na pewno nie jest całkowity, np. 11, 7. Co on oznacza? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 34 / 47

Rozwiązanie równania - problem No dobrze, użyliśmy równania końca renty do obliczenia liczby rat i otrzymaliśmy wynik, który niemal na pewno nie jest całkowity, np. 11, 7. Co on oznacza? Otóż w tym przypadku wynik zaokrąglamy w dół, gdyż okazuje się, że możemy np. wypłacić 11 rent danej wysokości i jeszcze coś nam zostanie z kapitału, ale nie tyle, by wypłacić dwunastą rentę tej samej wysokości. Czyli N w praktyce będzie największą liczbą całkowitą nie większą niż rozwiązanie równania końca renty. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 34 / 47

Rozwiązanie równania - problem No dobrze, użyliśmy równania końca renty do obliczenia liczby rat i otrzymaliśmy wynik, który niemal na pewno nie jest całkowity, np. 11, 7. Co on oznacza? Otóż w tym przypadku wynik zaokrąglamy w dół, gdyż okazuje się, że możemy np. wypłacić 11 rent danej wysokości i jeszcze coś nam zostanie z kapitału, ale nie tyle, by wypłacić dwunastą rentę tej samej wysokości. Czyli N w praktyce będzie największą liczbą całkowitą nie większą niż rozwiązanie równania końca renty. Dygresja: w trakcie rozwiązywania równania końca renty trzeba rozwiązać równanie wykładnicze. Może to być niemożliwe, gdyż wymagałoby obliczenia logarytmu liczby ujemnej. Taka sytuacja oznacza, że równanie to nie ma rozwiązania, więc renta o danej wielkości jest wieczysta, nie czasowa! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 34 / 47

Pozostały kapitał Zanim zastanowimy się, gdzie wliczyć kapitał pozostały po N okresach płatności (oznaczmy go przez K N ), policzymy, ile go zostało. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 35 / 47

Pozostały kapitał Zanim zastanowimy się, gdzie wliczyć kapitał pozostały po N okresach płatności (oznaczmy go przez K N ), policzymy, ile go zostało. Oczywiście, będzie to kapitał startowy zaktualizowany na moment N pomniejszony o zaktualizowaną na moment N wartość renty: K N = Kq N S N. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 35 / 47