Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126

...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent jest cen jak dªu»nik musi zapªaci wierzycielowi za czasowe przekazanie i u»ytkowanie w okre±lonym okresie czasu warto±ci maj tkowej. ±w. Šukasz Czy-rata-mojego-kredytu-nie-jest-za-wysoka-tcm75-36398.pdf 2 / 126

Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = 0.07 1.35 = 135% 100% = 1 0.0234 = 2.34% 0.5% = 0.005 0.5 = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% 300 15% = 300 15 zatem cena wynosi 345zª(300 1.15 = 345) 1 100 = 45zª gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi 60 100% = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 5 / 126

Punkt procentowy Punktem procentowym (pp)nazywamy ró»nic pomi dzy wielko±ciami wyra»onymi procentowo. pp = w k w p gdzie w k jest warto±ci ko«cow a w p jest warto±ci pocz tkow. w poprzednim przykªadzie ró»nica wynosiªa pp = 20% 15% = 5pp je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, wi c obni»yªa si o pp = 9% 18% = 9pp Minus wskazuje kierunek zmiany, czyli spadek o 9 punktów procentowych. Oblicz, ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli bank obni»yª oprocentowanie o jeden pp? Dotychczas wynosiªo 8.34%. 8.34% 1pp = 7.34% 11 / 126

Zmiany wzgl dne w procentach Zmiana wzgl dna w procentach wynosi w = w k w p w p 100% = pp w p 100% Je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, to o ile si zmieniªa? w = 9% 18% 18% 100% = 9pp 18% Stopa bezrobocia zmniejszyªa si o 50%. 0.09 100% = 100% = 0.5 100% = 50% 0, 18 O ile procent bank zwi kszyª oprocentowanie kwartalnych lokat bankowych, je»eli wzrosªo ono z 4% do 5.2%? oraz w = 5.2% 4% 4% pp = 5.2% 4% = 1.2pp 100% = 1.2pp 4% 0.0012 100% = 100% = 0.3 100% = 30% 0.04 Oprocentowanie lokat bankowych wzrosªo o 1.2pp, czyli o 30%. 15 / 126

Przykªad Ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli wynosiªo ono 6%, a podniesiono je o 20%? 6% + 20% 6% = 0.06 + 0.2 0.06 = 0.06 + 0, 012 = 0.072 = 7.2% Nowe oprocentowanie kredytu wynosi 7.2% Bank centralny obni»yª podstawow stop procentow o 10%. Dotychczas wynosiªa ona 5%. Ile b dzie wynosi? 5% 10% 5% = 0.05 0.1 0.05 = 0.05 0, 005 = 0, 045 = 4.5% Nowa stopa procentowa wynosi b dzie 4.5%. 18 / 126

Przykªad Ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli wynosiªo ono 6%, a podniesiono je o 20%? 6% + 20% 6% = 0.06 + 0.2 0.06 = 0.06 + 0, 012 = 0.072 = 7.2% Nowe oprocentowanie kredytu wynosi 7.2% Bank centralny obni»yª podstawow stop procentow o 10%. Dotychczas wynosiªa ona 5%. Ile b dzie wynosi? 5% 10% 5% = 0.05 0.1 0.05 = 0.05 0, 005 = 0, 045 = 4.5% Nowa stopa procentowa wynosi b dzie 4.5%. 19 / 126

Zadanie Mateusz kupuje wymarzona gr video. Gdy kasjerka oznajmia mu cen tej gry, Mateusz wydaje okrzyk (zdziwienia). To niemo»liwe, musiaªa pani przestawi cyfr jedno±ci i cyfr dziesi tek! Przykro mi odpowiada mu kasjerka od wczoraj wszystkie gry video podro»aªy o 20%! Cena, która zapªaciª Mateusz, jest liczb caªkowit mniejsz od 100zª. Jaka jest ta cena? 20 / 126

Zadania matematyki nansowej Pieni dz otrzymany dzisiaj jest wi cej wart, ni» pieni dz otrzymany jutro. inacja, która zmniejsza warto± pieni dza pieni dz otrzymany dzisiaj mo»na zainwestowa i w przyszªo±ci otrzyma zysk. Konsekwencj zmiennej warto±ci pieni dza w czasie jest to,»e przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju dziaªa«maj cych skutki nansowe, zachodzi konieczno± porównania kwot pieni»nych pochodz cych z ró»nych okresów. Badanie zmiany warto±ci pieni dza w czasie jest jednym z wa»niejszych zada«(klasycznej) matematyki nansowej. 24 / 126

W zale»no±ci od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustali warto± pieni dza rozwa»ane s dwa odmienne zagadnienia ustalenie przyszªej warto±ci pieni dza (ang. future value), któr b dziemy oznacza jako F V ustalenie obecnej, tera¹niejszej, zaktualizowanej, bie» cej warto±ci pieni dza (ang. present value), któr b dziemy oznacza jako P V Ró»nic mi dzy warto±ci przyszª danej kwoty pieni dzy, a jej warto±ci aktualn nazywa si procentem (odsetkami) (ang. interest) i jest oznaczana przez I. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane, nazywa si czasem oprocentowania. 29 / 126

Stop procentow (ang. interest rate) nazywamy stosunek odsetek do warto±ci pocz tkowej kwoty, która je wygenerowaªa w okre±lonym okresie czasu r = F V P V P V Pan Kowalski po»yczyª z banku 2000zª na rok czasu i po jego upªywie ma odda 2360zª. Wtedy stopa procentowa tej operacji wynosi r = 2360 2000 2000 czyli stopa procentowa jest równa 18%. = 0.18 34 / 126

Stop procentow (ang. interest rate) nazywamy stosunek odsetek do warto±ci pocz tkowej kwoty, która je wygenerowaªa w okre±lonym okresie czasu r = F V P V P V Pan Kowalski po»yczyª z banku 2000zª na rok czasu i po jego upªywie ma odda 2360zª. Wtedy stopa procentowa tej operacji wynosi r = 2360 2000 2000 czyli stopa procentowa jest równa 18%. = 0.18 35 / 126

Nominalna stopa procentowa Stopa nominalna r n, to stopa podawana przez banki lub inne instytucje nansowe, bez uwzgl dnienia takich czynników jak inacja, deacja, ryzyko, niepewno± itp. 36 / 126

Realna stopa procentowa Realna stopa procentowa r real, to stopa uwzgl dniaj ca inacj (i) r real = rn i 1 + i Wyznacz realn stop procentow, je»eli wiadomo,»e stopa nominalna banku centralnego wynosi 5%, a roczna stopa inacji jest równa 3.5%. r real = Realna stopa procentowa wynosi 1.45%. 5% 3.5% 1 + 3.5% = 0.015 1.035 = 1.45% 37 / 126

Zasada Fischera Hipoteza Fishera - wy»sza inacja prowadzi do odpowiednio wy»szych nominalnych stóp procentowych st d r real = rn i 1 + i r n = r real (1 + i) + i Irving Fisher 40 / 126

Faktyczna stopa procentowa Faktyczna stopa procentowa r f, to stopa uwzgl dniaj ca podatek dochodowy o zysków z inwestycji kapitaªowych T - stopa podatku r f = r n(1 T ) Oblicz faktyczne oprocentowanie lokaty bankowej o nominalnym oprocentowaniu 3.4%. r f = 3.4%(1 19%) = 3.4 0.81 = 2.754% 41 / 126

Faktyczna stopa procentowa Faktyczna stopa procentowa r f, to stopa uwzgl dniaj ca podatek dochodowy o zysków z inwestycji kapitaªowych T - stopa podatku r f = r n(1 T ) Oblicz faktyczne oprocentowanie lokaty bankowej o nominalnym oprocentowaniu 3.4%. r f = 3.4%(1 19%) = 3.4 0.81 = 2.754% 42 / 126

Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 43 / 126

Zasada oprocentowania prostego Odsetki(procent) oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Cechy procentu prostego Je±li procent obliczmy za czas skªadaj cy si z kilku okresów, to procent nale»ny za ka»dy okres jest obliczany od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci tego okresu (procent naliczamy zawsze od takiego samego kapitaªu). Procent obliczony za ka»dy z tych okresów dodajemy do kapitaªu pocz tkowego dopiero po zako«czeniu ustalonego czasu oprocentowania (procent prosty nie podlega kapitalizacji) Je»eli ulokowano w banku na rok kwot 1000 zª, to naliczane odsetki w kolejnych miesi cach nie b d sukcesywnie powi kszaªy pierwotnej kwoty lokaty, lecz mog by sukcesywnie wypªacane posiadaczowi. Odsetki uzyskane w ka»dym miesi cu b d takie same, pod warunkiem,»e nie zmieni si stopa oprocentowania. 49 / 126

Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 54 / 126

Przykªad 1 Jak warto± osi gnie kapitaª pocz tkowy 500zª, przy rocznej stopie 12% po 4 latach? P v = 500zª, r = 12%, t = 4 F v = P v (1 + rt) = 500(1 + 0.12 4) = 740 po 198 dniach? t = 198 360 = 0.55 F v = P v (1 + rt) = 500(1 + 0.12 0.55) = 533 po 10 miesi cach? t = 10 12 = 0.83 F v = P v (1 + rt) = 500(1 + 0.12 0.83) = 550 63 / 126

Wiele oblicze«nansowych wymaga znajomo±ci dwóch faktów 1 jaka jest liczba dni pomi dzy dwoma datami 2 jak zamieni liczb dni na liczb lat 67 / 126

Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 70 / 126

Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami rok kalendarzowy Ka»da data ma przyporz dkowan liczb od 1 do 365 (366). Ró»nic dat obliczamy jako ró»nic odpowiednich liczb. np. liczba dni pomi dzy 30.05 a 10.06 wynosi 11, poniewa» 30.05 to 150 a 10.06 to 161, wi c liczba dni to 161-150=11. rok bankowy Dla roku bankowego utworzona jest równie» tabela dni. Liczb dni pomi dzy dwoma datami oblicza si jako ró»nic odpowiednich liczb. Daty, które nie s uwzgl dnione nie s "liczone". np. liczba dni pomi dzy 30.05 a 10.06 wynosi 10, poniewa» 30.05 to 150 a 10.06 to 160, wi c liczba dni to 160-150=10. Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsze jest obliczanie dokªadnej liczby dni, a dla dªu»nika - bankowej liczby dni. 77 / 126

Zamiana liczby dni na liczb lat rok kalendarzowy rok bankowy t k = t b = liczba dni 365 liczba dni 360 Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsza jest zamiana na lata bankowe, a dla dªu»nika - na lata kalendarzowe. 80 / 126

W rezultacie rozró»niania czasu bankowego i czasu kalendarzowego dochodzi do czterech ró»nych wariantów obliczania czasu oprocentowania w latach. Obliczanie czasu oprocentowania w latach bankowych na podstawie kalendarzowej liczby dni nazywamy reguª bankow. Liczba dni pomi dzy 30.05 a 10.06 wynosi w roku kalendarzowym 11 w roku bankowym 10 liczba dni - rok kalendarzowy liczba dni - rok bankowy liczba lat t k t k = 11 365 = 0.0301 t k = 10 365 = 0.0274 liczba lat t b t b = 11 360 = 0.0305 t b = 10 360 = 0.0277 Dla wierzyciela najkorzystniejszy jest rachunek wedªug reguªy bankowej. 83 / 126

Przykªad Obliczmy odsetki proste od po»yczki 15 tys zª, udzielonej na okres od 5 marca do 18 sierpnia przy rocznej stopie 11.5%. I = P v rt = 15000 11.5% t = 15000 0.115 t = 1725 t Liczba dni pomi dzy 5.03 a 18.08 wynosi w roku kalendarzowym 166 w roku bankowym 163 liczba dni - rok kalendarzowy liczba dni - rok bankowy liczba lat t k 1725 166 163 = 784.52zª 1725 365 365 = 770.34zª liczba lat t b 1725 166 163 = 795.42zª 1725 360 360 = 781.04zª 86 / 126

Stopa podokresowa Podokresem oprocentowania nazywamy dowolny okres b d cy ustalon cz ±ci roku, stop podokresow nazywamy stop procentow ustalon dla tego podokresu. Oznaczmy k - liczba podokresów, których ª czna dªugo± jest równa dªugo±ci roku r k - stopa podokresowa m k - czas oprocentowania wyra»ony w podokresach Odsetki w podokresie obliczmy ze wzoru I = P v r k m k Warto± kapitaªu ko«cowego liczymy ze wzoru F v = P v (1 + r k m k ) Najcz stsze podokresy póªrocze k = 2 kwartaª k = 4 miesi c k = 12 tydzie«k = 52 dzie«k = 365 87 / 126

Przykªad Odsetki za kredyt w wysoko±ci 90 000zª, wynosz 18454zª kwartalnie. Oblicz stop kwartaln tego kredytu. k = 4, I = 1845zª, P v = 90000zª, m 4 = 1, I = P v r 4m 4 r 4 = I = 1845 = 0.0205 = 2.05% P v m 4 90000 1 88 / 126

Zasada równowa»no±ci stóp procentowych Stopy procentowe s równowa»ne, je±li przy ka»dej z nich kapitaª pocz tkowy P v generuje w czasie t odsetki I o identycznej warto±ci. Mno» c podokresow stop r k przez odpowiadaj cy jej parametr k, otrzymamy równowa»n roczn stop r. Dziel c roczn stop r przez k, otrzymamy podokresow stop równowa»n dla podokresu, którego dªugo± jest równa 1/k roku. 89 / 126

Przykªad 2 Pewien klient ulokowaª w banku kwot 2600zª. Po jakim czasie otrzyma on odsetki w wysoko±ci 390zª, je»eli stopa procentowa wynosi 1.25% kwartalnie? roczna stopa procentowa wynosi obliczamy czas trwania lokaty t t = r = 1.25% 4 = 5% I P v r = 390 2600 5% = 390 2600 0.05 = 390 130 = 3 90 / 126

Zmienne stopy procentowe Warto± przyszªa kapitaªu, je»eli stopy procentowe s zmienne F v = P v (1 + r 1t 1 + r 2t 2 +... + r nt n) stopy procentowe r i oraz czas t i musz by zawsze wyra»one dla takich samych okresów obliczaj c ko«cow kwot lokaty bankowej lub wielko± uzyskanych odsetek nie uwzgl dniamy faktycznej stopy procentowej, czy podatku dochodowego itp. 91 / 126

Zadania 1 Odsetki od 2-letniej lokaty o staªym oprocentowaniu s naliczane po terminie. Pani X, która wpªaciªa na lokat 2300zª, odebraªa przy jej likwidacji 3047,50zª. Obliczy roczn stop oprocentowania lokaty. 2 Po»yczka 2700zª otrzymana na pocz tku roku b dzie spªacana w 3 ratach na koniec lipca, listopada i grudnia. W ka»dej racie b dzie spªacana 1/3 pocz tkowej kwoty po»yczki oraz bie» ce odsetki proste obliczane przy miesi cznej stopie 1,2%. Oblicz wysoko± rat. 3 Po jakim czasie oprocentowania prostego przy rocznej stopie 12,5% warto± depozytu 4800zª 1 podwoi si 2 zwi kszy si o 25% 3 zwi kszy si o 3000zª 4 Obliczy roczne odsetki proste od lokaty 4500zª, je±li stopa procentowa w skali roku wynosi 7% w I kwartale i zmniejsza si o 0,5 pp w ka»dym nast pnym kwartale. Oblicz roczn stop oprocentowania tej lokaty. 5 Obliczy procent prosty nale»ny za okres od 3maja 2008 do 11 listopada 2008, od kwoty 100zª, przyjmuj c roczn stop procentow 26% 94 / 126

Dyskonto Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. Kwot o któr nale»y pomniejszy F v aby otrzyma P v nazywamy dyskontem. Znaczenia dyskonta dyskonto proste dyskonto skªadane powy»sze s przykªadem dyskonta rzeczywistego(matematycznego) dyskonto handlowe dyskonto obliczane przy u»yciu stopy dyskontowej, a nie stopy procentowej.(odsetki s obliczane z góry a nie z doªu) 102 / 126