7. DRGANIA ELEMENÓW KONSRUKCJI WYKONANYCH Z MAERIAŁÓW SPRĘŻYSO-LEPKO-PLASYCZNYCH 7.. Wstęp Celem niniejszego rozdziału monografii jest przedstawienie wyników symulacji dynamicznego zachowania się prostych elementów konstrukcji inżynierskich wykonanych z materiałów sprężysto-lepko-plastycznych. Analiza związków konstytutywnych była przedmiotem rozważań rozdz. 6. Symulacje drgań zostaną przeprowadzone z wykorzystaniem komercyjnego system metody elementów skończonych (MES) ABAQUS [4]. Omówimy wybrane aspekty problematyki całkowania numerycznego relacji fizycznych oraz przybliżymy metodykę implementacji modeli materiałów w programie ABAQUS przy wykorzystaniu tzw. procedur użytkownika [6]. 7.. Całkowanie relacji konstytutywnych Relacje konstytutywne, obok równań równowagi dynamicznej i związków geometrycznych, tworzą tzw. zagadnienie początkowo-brzegowe, mające postać sprzężonego układu równań różniczkowych. Dyskretyzacja równań ruchu względem zmiennych przestrzennych, np. za pomocą MES, prowadzi do układu równań różniczkowych zwyczajnych względem czasu, który rozwiązuje się przy zastosowaniu odpowiednich algorytmów bezpośredniego całkowania. Oddzielnym zagadnieniem jest całkowanie relacji konstytutywnych, które należy przeprowadzić niezależnie na każdym kroku. Istnieje wiele komercyjnych programów umożliwiających rozwiązywanie szerokiej klasy zagadnień początkowo-brzegowych z wykorzystaniem MES. Programy te mają rozbudowane biblioteki elementów skończonych oraz modeli materiałów, a także efektywne algorytmy do rozwiązywania nieliniowych zadań statyki i dynamiki. Niektóre z dostępnych programów (np. ABAQUS, ANSYS, LS-DYNA), mają otwartą strukturę i umożliwiają użytkownikowi zaprogramowanie własnych procedur dot. elementów skończonych, relacji konstytutywnych, modeli obciążenia itp. Dzięki temu, nie zachodzi potrzeba tworzenia całego środowiska MES i można skoncentrować się na wybranym aspekcie numerycznym. W kolejnych punktach przypomnimy podstawowe informacje o dyskretyzacji MES i algorytmach całkowania równań. Skupimy uwagę na implementacji modeli materiałów sprężysto-lepko-plastycznych w programie ABAQUS oraz omówimy możliwości wykorzystania procedur materiałowych użytkownika. Podstawowa trudność w implementacji numerycznej modeli materiałów przedstawionych w rozdz. 6, związana jest z koniecznością zastosowania procedury całkowania pochodnej stanu naprężenia, która zachowuje obiektywność relacji konstytutywnej (np. Belytschko i in. [], Crisfield [], De Souza Neto i in. [3]). Na podstawie znajomości stanu naprężenia w chwili t tn, oznaczonego jako τ n, dokonujemy jego uaktualnienia w chwili t t n. Procedura wyznaczenia tensora τ n, wymaga przeprowadzenia operacji całkowania w punkcie materialnym, zgodnie z zależnością tn tn τ τ τ dt, (7.) n n --
gdzie należy uwzględnić definicję pochodnej obiektywnej (patrz rozdz. 6.5), oraz związek konstytutywny, sformułowany względem tej pochodnej (rozdz. 6.6). W algorytmach całkowania relacji konstytutywnych, opisywanych najczęściej dla materiałów hyposprężysto-plastycznych, główna uwaga poświęcona jest metodzie całkowania obrotu naprężeń (np. Dunne i Petrinić [4], Simo [8]). W wielu systemach MES, korzysta się z tzw. współobrotowego (korotacyjnego) układu współrzędnych, który obraca się zgodnie ze spinem Ω. Układ ten wprowadzamy w następujący sposób. Korzystając z wybranej formy Ω, np. Ω W albo Ω R R albo Ω W RR (tensor względnego obrotu), generujemy grupę obrotów Q, zgodnie z relacją Q ΩQ przy Q t t I. (7.) Obrót tensora τ z nieruchomego układu współrzędnych, do układu współobrotowego, zachodzi zgodnie z relacją τˆ Q τq. (7.3) n Różniczkując powyższe wyrażenie względem czasu, dostajemy τˆ Q τ Ωτ τωq Q τ Q. (7.4) W nowym układzie współrzędnych, relacja konstytutywna przybiera prostą formę ˆ ˆ ˆ vp ˆ. (7.5) τ C D D Zakładamy, że wartości zmiennych opisujących model są znane w kroku n. Znamy również przyrost przemieszczenia u x n xn, w kroku obciążeniowym n. Możemy zatem wyznaczyć tzw. naprężenie próbne (trial stress) przy stałej wartości C, zakładając jawny schemat ekstrapolacyjny Eulera tr τˆ τ Dˆ C t. (7.6) W nieruchomym układzie odniesienia, naprężenie próbne ma wartość tr n tr n n n n n n Q τ Q Dˆ tq τ Q τˆ Q Q C. (7.7) Wyrażenie opisujące wielkość Dˆ, otrzymujemy wykorzystując rozkład biegunowy F RU D symff RUU U U R. Zatem zapisujemy n n n UU U U R Q Dˆ Q DQ Q R. (7.8) Powyższe wyrażenie można uprościć korzystając z tzw. uaktualnionego opisu Lagrange a, w którym zakładamy, jako konfigurację odniesienia, konfigurację w chwili t t n. Implikuje to tożsamość Qn I. Jeśli dodatkowo założymy, że Qt Rt, wtedy (7.8) przybiera formę n --
ˆ D UU U U. (7.9) Dyskretyzując (7.9) względem czasu, z zastosowaniem metody różnic centralnych, otrzymujemy Dˆ t UU U U n n, (7.a) jeśli U U n Un oraz U Un Un n. (7.b) Ostatecznie, dostajemy wartość naprężenia próbnego tr τ n R n τ n C UU U U n n R n. (7.) Wykorzystanie powyższego związku, wymaga odwrócenia tensora rozciągnięcia U. Prostsza forma relacji opisującej naprężenie próbne, może być uzyskana na bazie rozumowania przedstawionego w literaturze (np. Simo i Hughes [9]). Załóżmy, że U t jest dany za pomocą następującego odwzorowania t tn U t exp A, (7.) t gdzie tensor A jest poszukiwaną, stałą wielkością. Różniczkując (7.), otrzymujemy U A t tn t exp A. (7.3) t t Podstawiając (7) i (7.3) do równania (7.9), dostajemy prosty związek opisujący tensor prędkości deformacji Dˆ Dˆ A. (7.4) t Wartość tensora A można łatwo wyznaczyć, wykorzystując następujące tożsamości: Ut n exp I w konfiguracji odniesienia, oraz U tn exp An w konfiguracji aktualnej. Otrzymujemy zatem relację A n ln Un ln Un ln Fn Fn, (7.5) gdzie przyjęto oznaczenie U t n U n. Ostatecznie, możemy zastąpić wyrażenie (7.), przez następującą, znacznie prostszą, formułę opisującą naprężenie próbne -3-
tr τn Rn τn C An Rn. (7.6) Po wyznaczeniu naprężenia próbnego sprawdzamy warunek graniczny. Jeśli plastyczna p część stanu naprężenia τ, wykracza poza powierzchnie plastyczności, należy wykorzystać odpowiednie algorytmy korekcyjne. en etap rozważań pomijamy, gdyż gotowe rozwiązania można znaleźć w literaturze przedmiotu. Należy wyraźnie zaznaczyć, że dzięki zastosowanej w rozdz. 6 metodyce, polegającej na formułowaniu związków fizycznych a podstawie struktur reologicznych, wydzielenie części plastycznej od pozostałych deformacji trwałych, nie stanowi problemu. W ramach klasycznej teorii lepkoplastyczności, w wielu wypadkach nie jest to możliwe. 7.3. Dyskretyzacja równań zagadnienia początkowo-brzegowego W przypadku dyskretyzacji MES, względem zmiennych przestrzennych zakładamy, że e ciało podzielone jest na ne podobszarów B (elementów skończonych). Aproksymacja funkcji ruchu (pola przemieszczeń) w każdym elemencie prowadzi do następującej relacji x X t N Xx t,, (7.7) gdzie N jest macierzą funkcji kształtu elementu, natomiast xe - wektorem współrzędnych węzłów w elemencie. Dyskretyzacja równań ruchu (6.), przy wykorzystaniu zasady prac wirtualnych albo zasady Hamiltona (np. Zienkiewicz i aylor [3]), prowadzi do następującego układu równań różniczkowych zwyczajnych względem czasu gdzie macierz mas M oraz wektory sił zewnętrznych e σ int Ma f extr f, (6.8a) ne extr f i wewnętrznych int f są postaci: M NN db, (6.8b) n B e ne extr f bn db qn d, (6.8c) n e e B s ne int f. (6.8d) σ σ N db n B e W systemie ABAQUS nieliniowe zagadnienia dynamiczne są rozwiązywane z wykorzystaniem metod bezpośredniego całkowania równań stanu [5]. Dostępne są dwa moduły obliczeniowe ABAQUS/Explicit i ABAQUS/Standard. W module Explicit, równania ruchu całkowane są przy użyciu metody różnic centralnych (metoda jawna). Natomiast moduł Standard wykorzystuje niejawny algorytm zaproponowany przez Hilbera, Hughesa i aylora (978), który oparty jest na klasycznym schemacie różnicowym Newmarka, gdzie wprowadzono dodatkowy parametr tłumienia /3; [5]. Parametr umożliwia -4-
eliminowanie tzw. szumu numerycznego, związanego z wysokimi częstościami, który pojawia się w zagadnieniach rozwiązywanych przy użyciu algorytmów ze zmiennym krokiem całkowania. Kolejna różnica występująca w algorytmach całkowania w programie ABAQUS, związana jest z postacią macierzy mas elementu. W module Explicit ma ona formę diagonalną, dzięki czemu możliwe jest rozprzężenie równań ruchu. Moduł Standard wykorzystuje tzw. konsystentną formę macierzy mas tzn. taką, gdzie stosuje się te same funkcje kształtu, które występują w opisie pola przemieszczeń (Belytschko i in. [], Zienkiewicz i aylor [3], Rakowski i Kacprzyk [7], Kleiber i in. [6]). W komercyjnych systemach MES procedura całkowania równań ruchu (6.8) jest niezależna od metody całkowania relacji konstytutywnej. akie podejście wynika z modułowej struktury tych programów. Całkując równania ruchu, otrzymujemy pełną informację o przemieszczeniach i prędkościach w węzłach konstrukcji. Na tej podstawie obliczane są gradienty przemieszczenia i gradienty prędkości oraz odpowiednie miary odkształceń. a informacja jest wykorzystywana w module konstytutywnym, na poziomie każdego z elementów skończonych, gdzie całkowane są relacje konstytutywne. Następnie, na podstawie uaktualnionego stanu naprężenia w każdym elemencie, można wyznaczyć globalny wektor sił wewnętrznych (6.8d) i rozpocząć kolejny krok całkowania równania ruchu (6.8a). 7.4. Procedury użytkownika w programie ABAQUS W ramach modułu konstytutywnego, w każdym elemencie skończonym (w punktach Gaussa elementu skończonego), należy przeprowadzić trzy operacje:. określić wartość tensora naprężenia na końcu kroku czasowego;. zaktualizować wartości zmiennych wewnętrznych (np. parametry wzmocnienia, odkształcenia plastyczne itp.); σ 3. obliczyć wartość stycznego tensora konstytutywnego (jakobianu) J :. ε Ostatni punkt jest opcjonalny i zależy od przyjętego algorytmu całkowania równań ruchu. Jakobian jest wykorzystywany przez system do budowy macierzy sztywności elementu skończonego, będącej stycznym operatorem w zastosowanej metodzie iteracyjnej. W przypadku rozwiązywania równań ruchu metodami jawnymi (moduł ABAQUS/Explicit), określanie wartości jakobianu nie jest wymagane. W wielu komercyjnych programach MES istnieją rozbudowane biblioteki materiałów o nieliniowych własnościach. Nie oznacza to jednak, że nie zachodzi konieczność opracowywania nowych modeli albo procedur całkowania relacji fizycznych. W programie ABAQUS istnieje możliwość implementacji związków konstytutywnych przez użytkownika. Opracowany algorytm należy zaprogramować w języku FORRAN i dołączyć do systemu za pośrednictwem odpowiednich procedur. Oprócz wielu procedur pomocniczych, istnieją dwie główne procedury materiałowe związane z odpowiednimi modułami obliczeniowymi: UMA w module Standard i VUMA w module Explicit. W niniejszym rozdziale monografii wszystkie modele materiałów sprężysto-lepko-plastycznych zostały zaprogramowane w ramach jednej z wymienionych procedur. W wykorzystanych przez autora algorytmach kluczową rolę odgrywa jawna, różniczkowa postać relacji konstytutywnych. Dane wejściowe dotyczące stanu naprężenia i odkształcenia zostają przekazane przez system ABAQUS do procedur materiałowych, po uprzednim ich obrocie do tzw. współobrotowego układu współrzędnych, który obraca się sztywno z materiałem. W przypadku dodatkowych zmiennych wewnętrznych, użytkownik jest zmuszony do -5-
cm samodzielnego dokonania procedury obrotu wielkości tensorowych. W ramach procedury UMA, można do tego celu wykorzystać pomocniczą procedurę ROSIG. 7.5. Przykładowe symulacje drgań prostych elementów konstrukcyjnych W niniejszym podrozdziale przedstawimy wyniki symulacji drgań elementów konstrukcji, uzyskane w programie ABAQUS. Modele materiałów sprężysto-lepkoplastycznych, sformułowane w rozdz. 6, zostały zaimplementowane przy wykorzystaniu procedur UMA i VUMA. Należy zaznaczyć, że programowanie autorskich algorytmów w ramach wymienionych procedur nie jest zagadnieniem trywialnym. Z drugiej strony takie podejście daje pełną kontrolę nad procesem całkowania relacji fizycznych. Ponadto wielu z wykorzystanych tu modeli nie znajdziemy w bibliotece materiałowej systemu ABAQUS (np. modele Malverna i Szwedowa). Prezentowane wyniki dotyczą zarówno jedno- jak i trójwymiarowych elementów konstrukcyjnych. Przyjmowano obciążenia o charakterze cyklicznym oraz impulsowym. W jednym z przykładów analizowano również zagadnienie uderzenia. 7.5.. Drgania belki wspornikowej poddanej działaniu impulsu siły Rozpatrujemy dynamikę sprężysto-lepkoplastycznej belki wspornikowej o przekroju prostokątnym (rys. 7.), obciążonej w środku rozpiętości prostokątnym impulsem siły o wartości P 7 kn i czasie trwania t,5 s. Belka wykonana jest z materiału Binghama. 3 Przyjęto następujące wartości stałych materiałowych: gęstość 785 kg/m, moduł Younga E GPa, statyczna granica plastyczności (test rozciągania) 3 MPa oraz współczynnik lepkości 6 MPas. Przygotowanie modelu geometrycznego belki wraz z warunkami brzegowymi i obciążeniem, wykonano w module ABAQUS/CAE. Zbudowano siatkę MES składającą się z węzłów i elementów belkowych typu B (opis elementów patrz []). Rozpatrywano dynamikę układu w czasie t ;,3s. x Pt x cm x 3,5 m,5 m x 3 Rys. 7.. Schemat belki i przekroju poprzecznego Wybrane wyniki analizy pokazano na kolejnych rysunkach. Wykres na rys. 7. przedstawia historię przemieszczeń swobodnego końca belki. Po zdjęciu obciążenia, przy t,5[s], konstrukcja drga wokół niezerowego położenia równowagi, co świadczy o pojawieniu się stref uplastycznionych w belce. Wykresy linii ugięcia belki, w wybranych chwilach, przedstawiono na rys. 7.3 i 7.4. Odpowiadają one odpowiednio fazie drgań wymuszonych i swobodnych. -6-
w [m] w [m] w [m] -. -....3.4.5.6.5..5..5.3 t [s] Rys. 7.. Drgania swobodnego końca belki...3.4.5 t =.995 s t =.995 s t =.995 s t =.3995 s.6.5.5.5 3 x [m] Rys. 7.3. Wykresy linii ugięcia belki w wybranych chwilach drgania wymuszone x -3 - -5 - t =.666 s t =.335 s t =.9995 s t =.666 s -5 5.5.5.5 3 x [m] Rys. 7.4. Wykresy linii ugięcia belki w wybranych chwilach drgania swobodne -7-
M [Nm] M [Nm] Na rysunku 7.5 przedstawiono pętle histerezy w przekroju przypodporowym. Wykresy sporządzono we współrzędnych odkształcenie-naprężenie (rys. 7.5a skrajna górna warstwa przekroju) oraz krzywizna-moment zginający (rys. 7.5b). 4 x 8 a x 5 b 3.5.5 [N/m ] - - -.5 - -.5 - -.5-3 - 3 4 [] x -3-3 -.5 -.4 -.3 -. -.. [/m] Rys. 7.5. Pętle histerezy w przekroju przypodporowym: naprężenie-odkształcenie (a) oraz moment-krzywizna (b). Wykresy na kolejnych rysunkach przedstawiają przebieg czasowy momentu zginającego w utwierdzeniu (rys. 7.6), wykresy momentów zginających w wybranych chwilach (rys. 7.7) oraz rozkłady naprężeń w przekroju dla wybranych chwil (rys. 7.8). x 5 - - -3.5..5..5.3 t [s] Rys. 7.6. Wykres zmienności momentu zginającego w przekroju przypodporowym -8-
z [m] z [m] z [m] z [m] M [Nm] M [Nm] M [Nm] M [Nm] x 5 -.5 t =.3995 s x 4 - t =.7995 s - -.5 - -.5.5.5.5 3 x [m] 4 6 8.5.5.5 3 x [m] -5 t =.995 s x 4 - t =.5995 s - 5 5-8 -6-4 -.5.5.5 3 x [m].5.5.5 3 x [m] Rys. 7.7. Wykresy momentów zginających w belce w wybranych chwilach -. t =.495 s -. t =.4995 s -.5 -.5.5.5. -3 - - 3 [N/m ] x 8. -3 - - 3 [N/m ] x 8 -. t =.7495 s -. t =.9995 s -.5 -.5.5.5. -3 - - 3 [N/m ] x 8. -3 - - 3 [N/m ] x 8 Rys. 7.8. Rozkłady naprężeń w utwierdzeniu w wybranych chwilach -9-
7.5.. Symulacja uderzenia w blachownicę spawaną W niniejszym punkcie zaprezentujemy wyniki symulacji zachowania się elementu konstrukcyjnego poddanego uderzeniu. Rozpatrujemy trójwymiarową belkę wspornikową o długości 3 m, wykonaną ze spawanej blachownicy o przekroju dwuteowym IKS-6. Symulacja polega na uderzeniu w poprzek belki (środek rozpiętości wspornika), nieodkształcalnej gładkiej bryły o masie 3 kg. Wykonano cztery symulacje uderzenia przyjmując za każdym razem inny model materiału belki: sprężysty, sprężysto-idealnie plastyczny (rys. 7.9a), sprężysto-lepko-plastyczny Malverna (7.9b) oraz sprężysto-lepkoplastyczny Binghama (7.9c). Parametry materiałowe zestawiono w tablicy 7.. W przypadku modelu sprężystego założono dwie wartości stałych materiałowych: K i G. Rys. 7.9. Schematy reologiczne materiałów dyssypacyjnych zastosowanych do symulacji (podprzestrzeń dewiatorowych naprężeń i odkształceń) ablica 7.. Parametry materiałowe analizowanych modeli. [kg/m 3 ] K [GPa] G [GPa] G [GPa] k [MPa] [MPas] 78 67 77 77 73 5 v Rys. 7.. Widok zdeformowanej konstrukcji na tle siatki MES z naniesionymi warstwicami naprężeń zastępczych HMH (materiał sprężysto-idealnie plastyczny) --
Na rysunku 7. przedstawiono widok zdeformowanej konstrukcji wykonanej z materiału sprężysto-idealnie plastycznego, z naniesioną siatką MES, na tle warstwic naprężeń zastępczych Hubera-Misesa-Hencky ego. rwałe deformacje konstrukcji zlokalizowane są w strefie uderzenia wgniecenie górnej półki i wyboczenie środnika, oraz w strefie utwierdzenia wyboczenie dolnej półki. Rys. 7.. Przemieszczenia wybranego węzła konstrukcji (patrz rys. 7.), przy różnych modelach materiału Rys. 7.. Zmiana prędkości ruchu sztywnego ciała uderzającego w belkę (składowa pionowa) Analizowano również przemieszczenia pionowe wybranego punktu konstrukcji położonego na górnej półce w strefie uderzenia (węzeł zaznaczony na rys. 7.). Wyniki przedstawiono na rys. 7. oraz 7.. Zestawienie, sporządzone dla czterech modeli materiału belki, pokazuje zróżnicowaną podatność na przyłożone obciążenie. Model sprężysty nie wykazuje trwałych przemieszczeń po zdjęciu obciążenia (utrata kontaktu pomiędzy belką a --
sztywną bryłą), obserwuje się drgania wokół położenia równowagi. Najbardziej podatna jest konstrukcja z materiału sprężysto-idealnie plastycznego, której trwałe przemieszczenia w analizowanym punkcie wynoszą ok. 9 [cm]. Krzywe przemieszczeń dla materiałów sprężystolepkoplastycznych sytuują się pomiędzy wykresami dla modelu sprężystego i sprężystoidealnie plastycznego. Wykresy pokazane na rys. 7., przedstawiają zmienność prędkości przemieszczeń pionowych sztywnego ciała, które uderza w belkę. W chwili początkowej prędkość wynosi v 8[m/s]. Po odbiciu (utracie kontaktu z belką), ciało porusza się z prędkością o przeciwnym znaku, która jest mniejsza od bezwzględnej wartości prędkości początkowej, i wynosi nspr v 6,7 [m/s], w przypadku odbicia od belki sprężystej, oraz v [m/s], przy spr k uderzeniu w konstrukcję wykonaną z dowolnego materiału o własnościach dyssypacyjnych. Uzyskany wynik pokazuje, iż na podstawie tzw. współczynnika restytucji nie można wyciągać wniosków o własnościach materiałów, gdyż pomimo istotnych różnic w zachowaniu się konstrukcji wykonanej z trzech modeli niesprężystych, uwidocznionych na nspr rys. 7., ich współczynniki restytucji są takie same i wynoszą r v / v,. Uzyskana wartość r, zależy nie tylko od własności materiału belki, ale również od geometrii i warunków brzegowych zadania. k k 7.5.3. est cyklicznego obciążania modelu Szwedowa W niniejszym punkcie przedstawiamy wyniki obliczeń numerycznych zachowania się materiału opisywanego relacjami Szwedowa. Model matematyczny został wprowadzony do systemu ABAQUS za pośrednictwem procedury VUMA, w której należało zaprogramować relacje zaprezentowane w rozdz. 6.6.. W przykładzie testowym badamy zachowanie się pojedynczego, trójwymiarowego elementu skończonego C3D8, poddanego cyklicznemu ścinaniu, które było wymuszane kinematycznie. Rozpatrzono wpływ stałej lepkości na kształt pętli histerezy. Przyjęte wartości parametru lepkości postaciowej wynoszą (trzy testy):, MPa s, 5, MPa s i, MPa s. Pozostałe wielkości 3 materiałowe mają te same wartości w trzech testach: 78 kg/m, E GPa, E, E,, 3, MPa k 5,47 MPa. Wartość granicy plastyczności k, 3 obliczono wykorzystując znaną relację k / 3, wynikającą z warunku HMH, gdzie oznacza granicę plastyczności z testu rozciągania/ściskania. Podobnie, na podstawie przyjętych wartości modułów Younga E i E oraz współczynnika Poissona, łatwo wyznaczamy moduły ścinania, gdyż zachodzi zależność G E / /. Wykresy zamieszczone na rys. 7.3 7.5, pokazują poprawność zaproponowanego algorytmu. Łatwo widać, że stosując sformułowane relacje, można wiernie odzwierciedlić zjawisko nieliniowego wzmocnienia w szerokim zakresie parametrów opisujących wrażliwość materiału na prędkość deformacji. We wszystkich przeprowadzonych symulacjach nie zachodziła konieczność przyjęcia dodatkowego podziału kroku czasowego w stosunku do wartości obliczonej automatycznie przez system ABAQUS. Oczywiście, przy małych wartościach stałej lepkości może dojść do utraty zbieżności, co związane jest z faktem, iż struktura sformułowanych związków nie pozwala na uzyskanie przejścia granicznego do idealnej plastyczności przy. Z drugiej strony, jak wykazano w rozdz. 6 niniejszej monografii, przejście to jest możliwe, jeśli przyjmiemy E. --
Rys. 7.3. Pętla histerezy materiału Szwedowa dla,[mpas] Rys. 7.4. Pętla histerezy materiału Szwedowa dla 5,[MPas] Rys. 7.5. Pętla histerezy materiału Szwedowa dla,[mpas] -3-
Wykresy na rys. 7.3 7.5 pokazują wzrost sztywności modelu materiału towarzyszący zwiększaniu parametru lepkości. W przypadku bardzo dużej wartości, jak na rys. 7.5, pętla histerezy, sporządzona dla ustalonej częstości wymuszenia, odpowiada modelowi sprężysto-plastycznemu ze wzmocnieniem kinematycznym. 7.5.4. Drgania belki trójwymiarowej wykonanej z materiału Malverna Analizujemy zachowanie się trójwymiarowej belki wspornikowej 7 cm, wykonanej ze sprężysto-lepko-plastycznego materiału Malverna. Konstrukcja obciążona jest impulsem ciśnienia na górnej powierzchni. Intensywność obciążenia wynosi q,5 MPa, natomiast czas trwania t,3s. Przyjęto następujące wartości stałych materiałowych (por. rys. 6. w rozdz. 6.6.): gęstość 3 78kg/m, K 67GPa, G G 77GPa, 3 k 3 MPa, dev 5MPas. Wybrane wyniki analizy zaprezentowano na rys. 7.6 7.8. Przedstawiają one kolejno widok zdeformowanego wspornika w wybranej chwili (przemieszczenia powiększono 3- krotnie), z nałożonymi warstwicami naprężeń zastępczych. Dalej pokazano wykres drgań wybranego węzła położonego na końcu wspornika (rys. 7.7) oraz pętlę histerezy w wybranym elemencie strefy przypodporowej (rys. 7.8). v p Rys. 7.6. Widok zdeformowanego wspornika w wybranej chwili z naniesionymi warstwicami naprężeń zastępczych Zgodnie z wykresem pokazanym na rys. 7.7, po zdjęciu obciążenia (przy t,3s ), konstrukcja wykonuje drgania, tłumione lepkościowo, wokół niezerowego położenia równowagi, co świadczy o uplastycznieniu pewnych jej obszarów. Przebieg pętli histerezy (rys. 7.8), pokazuje, że naprężenia podłużne w analizowanym elemencie przekraczają wartość statycznej granicy plastyczności 3[MPa]. Znaczne przekroczenie wartości, spowodowało uplastycznienie strefy przypodporowej belki. Jak łatwo stwierdzić, trwałym wartościom przemieszczeń i odkształceń towarzyszą niezerowe naprężenia wewnętrzne (rys. 7.8). -4-
Rys. 7.7. Wykres drgań wybranego węzła na końcu wspornika Rys. 7.8. Pętla histerezy w wybranym elemencie strefy przypodporowej (składowe odkształcenia i naprężenia w kierunku podłużnym) 7.6. Zakończenie Wyniki obliczeń komputerowych zaprezentowane w niniejszym rozdziale monografii wskazują na duże możliwości systemu ABAQUS w zakresie symulacji dynamicznych. Szczególnie istotna, z badawczego punktu widzenia, jest otwartość programu, polegająca na możliwości wprowadzania autorskich modeli materiałów. Należy zaznaczyć, że pokazane przykłady dotyczyły bardzo prostych elementów konstrukcji. Ich celem było przede wszystkim zwrócenie uwagi na różnice w dynamicznej odpowiedzi ustrojów, związane z przyjęciem różnych modeli materiałowych. Odrębnym zagadnieniem jest również problematyka identyfikacji stałych materiałowych, szczególnie trudna ze względu na wpływ częstości wymuszenia. Metodyka formułowania i implementacji związków konstytutywnych, prezentowana w rozdz. 6 i 7 monografii, może być z powodzeniem stosowana w odniesieniu do szerokiego spektrum aplikacji. Przykładowo w pracach autora [, ] wykorzystano modele materiałów sprężysto-lepko-plastycznych do analizy dynamiki i pełzania nawierzchni drogowych wykonanych z mieszanek mineralno-asfaltowych. Inny przykład stanowią materiały z pamięcią kształtu (SMA) [5, ], gdzie również możliwe jest formułowanie relacji -5-
konstytutywnych na podstawie struktur reologicznych z uwzględnieniem wrażliwości materiału na prędkość deformacji. 7.7. Literatura [] Belytschko., Liu W.K., Moran B.: Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. Wiley, London. [] Crisfield M.A.: Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Vol. I and II, John Wiley & Sons, 99. [3] De Souza Neto E.A., Perić D., Owen D.R.J.: Computational Methods for Plasticity. heory and Applications. Wiley, 8. [4] Dunne F., Petrinić N.: Introduction to Computational Plasticity. Oxford Univ. Press, New York 5. [5] Grzesikiewicz W., Zbiciak A.: Dynamic problem formulation for Shape Memory Alloys. Machine Dynamics Problems, Vol. 8., No. 3 (4), 3-8. [6] Kleiber M. [red.]: Komputerowe metody mechaniki ciał stałych. Mechanika techniczna t. XI, PWN, Warszawa 995. [7] Rakowski G., Kacprzyk Z.: Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji. OWPW, wyd. II popr., Warszawa 5. [8] Simo J.C.: Numerical Analysis and Simulation of Plasticity. Handbook of Numerical Analysis, Vol. VI, Elsevier, Stanford 998. [9] Simo J.C., Hughes.J.R.: Computational inelasticity. Springer Verlag, New York 998. [] Zbiciak A.: Application of elasto-visco-plastic constitutive model for asphalt pavement creep simulation. Archives of Civil Engineering, 54, 3, pp. 635-647, 8. [] Zbiciak A.: Constitutive modelling and numerical simulation of dynamic behaviour of asphalt-concrete pavement. Engineering ransactions, 56, 4, pp. 3-34, 8. [] Zbiciak A.: Dynamic analysis of pseudoelastic SMA beam. International Journal of Mechanical Sciences, 5,, pp. 56-64,. [3] Zienkiewicz O.C., aylor R.L.: he Finite Element Method. Fifth edition. Butterworth- Heinemann, Oxford. [4] ABAQUS Analysis User s Manual, Ver. 6.9. Dassault Systèmes, 9 [5] ABAQUS heory Manual, Ver. 6.9, Dassault Systèmes, 9 [6] ABAQUS User Subroutines Reference Manual, Ver. 6.9, Dassault Systèmes, 9-6-