Jakub Brzostowsk Poltechka Śląska Tomasz Wachowcz Uwersytet Ekoomczy w Katowcach WYKORZYSTANIE IDEI AUTOMATYCZNEGO GENEROWANIA POWIERZCHNI INDYFERENCJI DO BUDOWY SYSTEMU OCENY OFERT NEGOCJACYJNYCH W SYSTEMIE WSPOMAGANIA NEGOCJACJI NegoMaage Wprowadzee W procese welokryteralego podejmowaa decyzj decydet staje przed bardzo trudym problemem porówywaa waratów decyzyjych opsaych pewą lczbą kryterów, które zwykle pozostają ze sobą w koflkce. Koflkt mędzy kryteram sprawa, że zazwyczaj polepszee wartośc pozomu realzacj jedego kryterum odbywa sę kosztem pogorszea pozomów realzacj ych kryterów. Uchwycee tych zależośc oraz wycea różc w pozomach realzacj poszczególych kwest e są sprawą prostą, stąd też w aalze takch problemów decydeta ejedokrote stosuje sę formale metody modele podejmowaa decyzj. Isteje wele metod welokryteralego wspomagaa decyzj, różących sę założeam, ograczeam czy też metodologą aalzy preferecj. Wśród metod tych moża wyróżć p. MAUT Mult Attrbute Utlty Theory [Keeey Raffa 976], AHP [Saaty 980], metody sytetyczego przewyższaa ELECTRE [Roy 968], PROMETHE [Bras 98], czy metody operające sę a statystyczym pomarze odległośc, jak TOPSIS [Hwag Yoo 98] czy VIKOR [por. Oprcovc Tzeg 004].
3 Jakub Brzostowsk, Tomasz Wachowcz Metoda AHP opera sę a dekompozycj wyjścowego problemu decyzyjego a elemety składowe oraz welokrotym porówau wszystkch tych elemetów param. W ajprostszym przypadku dekompoujemy problem poprzez osobą specyfkację kryterów ocey, które muszą zostać porówae param w celu wyzaczea ch wag stotośc oraz waratów decyzyjych, które są porówywae param ze względu a każde z kryterów ocey z osoba, w celu wyzaczea ch rakgów jedokryteralych. Następe AHP dokouje agregacj tych wyków wyzacza globaly wektor skal odzwercedlający rakg waratów. Metoda ta, choć powszeche stosowaa, ma poważą wadę, zmusza bowem decydeta do dokoywaa ocey welu par elemetów procesu decyzyjego, co w dużych problemach decyzyjych może być kłopotlwe, ucążlwe skutkować brakem spójośc ocey. Metody wywodzące z MAUT, jak proste modele lowe, sprowadzają sę do wyzaczea systemu scorgowego, w ramach którego decydet określa wag kryterów oraz użyteczośc każdego pozomu realzacj opcj tych kryterów. Do oblczea scorgu waratu trzeba oblczyć średą ważoą pozomów realzacj wszystkch kryterów, gdze wartość opcj każdego kryterum jest wyzaczaa z jedokryteralej fukcj użyteczośc uprzedo skostruowaej dla każdego kryterum z osoba. Choć proste, metody operające sę a MAUT wymagają od decydeta arbtralego przypsaa oce do opcj, co e jest tucyje wymaga uprzedego przygotowaa matematyczego. Metody z klasy ELECTRE oraz PROMETHE operają sę a kocepcj przewyższea. W metodach tych określa sę pozom przewyższea jedego waratu przez drug dzęk badau różc w pozomach realzacj poszczególych waratów. Po określeu pozomu przewyższea p. za pomocą pewych predefowaych fukcj preferecj por. PROMETHEE dla każdej pary waratów, te pozomy są agregowae, aby stworzyć częścowy lub peły rakg rozpatrywaych waratów. Metody AHP, ELECTRE oraz PROMETHE kostruują rakg dla z góry daych zborów waratów e budują systemu scorgowego. Operając sę a de porówań param, metody te są bardzo wrażlwe a postać predefowaego zboru waratów decyzyjych przy ajdrobejszych jego zmaach mogą skutkować odwróceem rakgu [por. De Keyser Peeters 996]. Metody TOPSIS VIKOR wymagają z kole od decydeta zdecydowae ajmejszej gerecj w procedurę oblczeową. W wyzaczau rakgu waratów operują oe pewym systemem puktów referecyjych oraz statystyczą deą pomaru odległośc mędzy waratam a puktam referecyjym. Kotrowersyjy a ogół jest jedak dobór wykorzystywaej metryk bądź mary odległośc, która zastępuje tutaj fukcję
Wykorzystae de automatyczego geerowaa powerzch dyferecj 33 ocey preferecj decydeta, a która może determować rakg uzyskay w wyku zastosowaa metody. Ne tylko oa może wpływać a uporządkowae waratów decyzyjych, gdyż podoby efekt ma wybór stosowaej formuły ormalzacj zmeych, wymagay we wcześejszych krokach algorytmu oblczeowego tych metod. Wybór właścwej dla daego zagadea metody welokryteralego podejmowaa decyzj e jest węc sprawą prostą. Sytuacja wspomagaa egocjacj, w szczególośc zaś budowy systemu ocey ofert egocjacyjych, ma róweż swoją specyfkę. W faze preegocjacyjej egocjatorzy przygotowują sę do procesu egocjacyjego, defując w sposób mej lub bardzej sformalzoway przestrzeń egocjacyją, co pozwala w jakmś stopu określć zbór kwest egocjacyjych oraz potecjalych zakresów zmeośc pozomów realzacj tych kwest [por. Lewck et al. 999]. Formale, warat egocjacyjy może być opsay zestawem pewych cech, co pozwala a zapsae takego waratu w postac wektora: k a = a, a, K a k D. W faze strukturyzacj problemu egocjatorzy muszą atomast wydzelć zestaw kwest, które podlegają egocjacjom. Warat jest węc odwzorowyway w przestrzeń kwest, która zwykle będze przedzałem k lczbowym: g : D [ c, d ] g a [ c, d ] gdze g jest fukcją przekształcającą warat w pozom realzacj -tej kwest egocjacyjej. Oferty propoowae przez stroy w toku egocjacj będą właśe pochodzć z tak zdefowaego zboru waratów. W zwązku z tym egocjatorzy oczekują, ż wykem aalzy ch preferecj będze kostruoway formale system ocey ofert egocjacyjych, a węc z puktu wdzea teor decyzj pewe system scorgowy. Klasycze algorytmy metody porówywaa param oraz TOPSIS VIKOR geerują jedye rakg waratów decyzyjych, dlatego też e zajdą tutaj zastosowaa. Jedye klasycza metoda MAUT pozwala a wygeerowae takego scorgu. Wymaga oa jedak od decydeta określea wag dla wszystkch kryterów ocey w kotekśce egocjacj rozumaych jako kweste egocjacyje oraz arbtralego oceaa zdekompoowaych elemetów problemu decyzyjego. W probleme egocjacyjym taka sytuacja e jest pożądaa, gdyż zbory potecjalych ofert, choć skończoe, mogą być eprzelczale duże, co czy proces defowaa oce chocażby jedye wybraych opcj stotych, czasochłoym ucążlwym, o le e z puktu wdzea praktyk zastosowaa ewykoalym. We wcześejszej pracy Autorów [Brzostowsk Wachowcz 0a], przedstawającej badaa ad aalzą preferecj w egocjacjach, omówoo sposób geerowaa systemu scorgowego ofert egocjacyjych, który a
34 Jakub Brzostowsk, Tomasz Wachowcz etape aalzy preferecj pozwala a wyelmowae koeczośc ważea kryterów ocey oraz a ocey pojedyczych opcj składowych tych ofert. Podejśce to zalazło zastosowae w systeme wspomagaa egocjacj NegoMaage [Brzostowsk Wachowcz 009]. W zapropoowaej metodze decydet kostruuje system scorgowy poprzez określee zborów waratów rówoważych dyferetych oraz przypsae tymże zborom pozomów użyteczośc poprzez operowae oceą jakoścową z predefowaej skal lgwstyczej. Zestaw tak określoych zborów waratów dyferetych wraz z przypsaym do ch użyteczoścam składa sę a system scorgowy ofert egocacyjych, który astępe może być wykorzystay w trakce egocjacj właścwych do ocey propozycj przedstawaych przez stroy. System Nego- Maage buduje ad każdym zborem waratów dyferetych rozkład prawdopodobeństwa w tak sposób, aby dla dowolego waratu moża było określć prawdopodobeństwo przyależośc tego waratu do daej warstwy zboru waratów dyferetych. W metodze aalzy preferecj systemu NegoMaage rozróżoo dwe czyośc o zgoła odmeym charakterze, maowce: proces kostrukcj systemu scorgowego, jako określee zboru warstw z przypsaem do ch użyteczośc oraz proces ocey waratu w trakce egocjacj właścwych. Ocea waratu odbywa sę poprzez oblczee prawdopodobeństw przyależośc waratu do wszystkch predefowaych wcześej przez egocjatora warstw oblczea splotu tychże prawdopodobeństw z użyteczoścam przypsaym do warstw. Jest to etap kalkulacj, realzoway automatycze e wymaga jakejkolwek terwecj ze stroy egocjatora. Proces kostrukcj systemu scorgowego wymaga jedakże już zaagażowaa ze stroy decydeta, koecze jest bowem zdefowae, a podstawe subektywych prześwadczeń, zborów waratów dyferetych. Im węcej tych zborów przykładów waratów opsujących te zbory, tym bardzej precyzyjy adekwate opsujący preferecje egocjatora system ocey otrzymamy. W ejszej pracy zostae przedstawoa propozycja automatyczej kostrukcj zborów waratów dyferetych a potrzeby systemu ocey ofert egocjacyjych, operająca sę a kocepcj przedstawoej przez Keeey a Raffę [976]. W kolejych częścach pracy zostaą przedstawoe podstawowe elemety teor zwązae z metodologczym uzasadeem wykorzystaa de powerzch dyferecj do wspomagaa egocjacj. W częśc perwszej zostae omówoy waruek odpowedośc współczyków trade-off, co pozwol późej wykorzystując skalowae cojot formale przedstawć algorytm geerowaa krzywych dyferecj. W dalszych częścach pracy dokoao uogóleń procedury a trzy lub wększą lczbę kwest egocjacyjych.
Wykorzystae de automatyczego geerowaa powerzch dyferecj 35 W ostatej sekcj, a przykładze systemu NegoMaage, zostae przedstawoa kompleta procedura budowy systemu ocey ofert egocjacyjych wykorzystujących komplety mechazm formaly omówoy we wcześejszych częścach pracy.. Waruek odpowedośc współczyków trade-off addytywa fukcja użyteczośc Jedym z stotych elemetów zwązaych z geerowaem powerzch czy zborów dyferecj jest zagadee aalzy trade-off terpretacj współczyków trade-off. W aalze preferecj współczyk te defują relacje mędzy zmeającym sę wartoścam pozomów realzacj pewych kryterów ocey. Dzęk ch określeu decydet jest śwadomy tego, w jak sposób słabe pozomy realzacj ektórych kwest mogą zostać zrekompesowae przez wyższe lepsze, bardzej preferowae opcje ych kryterów. W tej częśc pracy zostae przytoczoa kocepcja waruku odpowedośc współczyków trade-off Keeey ego Raffy [976]. Waruek te ma zastosowae w automatyczym geerowau zboru waratów erozróżalych dyferetych a podstawe kocepcj waratów margalych. Warat margaly jest waratem, w którym pozomy realzacj wszystkch kwest przyjmują wartośc rezerwacj tj. ajgorsze pozomy realzacj tej kwest akceptowae przez decydeta 3 poza jedą kwestą, której pozom realzacj jest róży od pozomu rezerwacj. Wartość -tej kwest X ależy do zboru pozomów rozdzelczośc ograczoego pozomem rezerwacj oraz pozomem aspracj: X = [ l, r ] R. Warat jest atomast reprezetoway przez elemet ze zboru = X gdze jest lczbą rozpatrywaych kwest. Aalzę odpowedośc współczyków trade-off przeprowadzmy a prostym przykładze. Rozważmy cztery pukty w przestrze waratów decyzyjych, opsae dwoma kwestam egocjacyjym X Y, tj. A x, y, B x, y, C x, y, D x, y, przedstawoe a rys.. Współczyk te są róweż zwae współczykam wymay lub kompesacj, lub stopam zastąpea. Pozomy rezerwacj są róweż zwae w lteraturze pozomam zastrzeżoym decydeta. 3 W probleme maksymalzacj będą to ajższe wartośc kwest a jake egocjator decydet jest sę w stae zgodzć, podczas gdy w probleme mmalzacj ajwyższe dopuszczale akceptowale przez decydeta wartośc tej kwest.
36 Jakub Brzostowsk, Tomasz Wachowcz Rys.. Współczyk trade-off zgode z addytywą fukcją użyteczośc Źródło: Keeey Raffa [976]. Aalzując rys. przedstawoe a m formacje o możlwej kompesacj wartośc oce, łatwo odczytamy, że:. W pukce A x, y zwększee pozomu realzacj kwest Y o wartość b jest warte zapłacea wartośc a w przestrze kwest X.. W pukce B x, y zwększee pozomu realzacj kwest Y o wartość c jest warte zapłacea wartośc a w przestrze kwest X. 3. W pukce C x, y zwększee pozomu realzacj kwest Y o wartość b jest warte zapłacea wartośc d w przestrze kwest X. W kosekwecj tak przedstawoych formacj pojawa sę pytae, le warte jest w przestrze kwest X w pukce D x, y zwększee pozomu realzacj kwest Y o c jedostek? * Mówmy, że waruek odpowedośc współczyków trade-off jest spełoy, jeśl ów przyrost jest wart zapłace d w przestrze kwest X to bez względu a wartośc x, y, x, y, a, b, c oraz d. Okazuje sę, że waruek te jest spełoy, jeśl fukcja użyteczośc jest określoej postac. Defcja.. Struktura preferecj jest addytywa wtedy tylko wtedy, gdy steje fukcja użyteczośc odzwercedlająca tę strukturę preferecj, która może być wyrażoa w astępującej postac:
Wykorzystae de automatyczego geerowaa powerzch dyferecj 37 v x, y = v x v y. X + Y Twerdzee.. Struktura preferecj jest addytywa wyraża sę w postac formuły, wtedy tylko wtedy, gdy waruek odpowedośc współczyków trade-off jest spełoy.. Geerowae krzywych dyferecj skalowae cojot Załóżmy, że mamy addytywą postać fukcj użyteczośc postac, co mplkuje spełee waruku odpowedośc współczyków trade-off. Rozpatrzymy teraz zagadee geerowaa krzywych dyferecj dla kolejych wartośc fukcj użyteczośc. Nech x 0 oraz y 0 będą ajższym możlwym pozomam realzacj kolejo dla kwest X oraz Y, ajgorszym dla decydeta. Wobec tak określoego puktu początkowego całą tę procedurę da sę zapsać etapam w zgrubym algorytme:. Defujemy v x0, y0 = u0, gdze u 0 jest ajższą wartoścą użyteczośc przypsaą do ajgorszego rozważaego waratu.. Następe określamy wartość u, która jest pewym wybraym przez decydeta pozomem użyteczośc. Prosmy decydeta o zdetyfkowae dwóch waratów margalych x 0, y oraz x, y 0, które zapewą mu użyteczość jakość a pozome u. Decydet określa zatem dwa erozróżale waraty, dla których pozom realzacj jedej z kwest przyjmuje wartość mmalą, atomast wartość pozomu realzacj drugej kwest zostaje odpowedo zwększoa do takego pozomu, aby waraty osągęły wartość użyteczośc u. Waraty te są dyferete, a wypłaty z m zwązae, w sese użyteczośc, rówe, co moża zapsać 0 0 0 0 y x, y x, y, v x, y = u = v x,. 3. Aalzujemy teraz koleją wartość użyteczośc rówą u. Decydet obera taką wartość użyteczośc u, którą zapewa warat x, y, zbudoway z ezastrzeżoych pozomów realzacj waratów margalych określoych w perwszym kroku. Wzorem poprzedego kroku, dla owo zdefowaego pozomu użyteczośc u decydet określa dwa waraty margale, dyferete mędzy sobą jedocześe dyferete z waratem x, y, tj. 0 0 u x, y x, y x, y v x, y =. 3
38 Jakub Brzostowsk, Tomasz Wachowcz 4. Na podstawe wcześejszych defcj decydeta dokoujemy skalowaa, przyjmując, że y x, y x,. 4 Powyższa rówoważość jest spełoa, jeśl zachodz waruek odpowedośc współczyków trade-off. Jeśl porówamy rys. oraz możemy zaobserwować, że waruek odpowedośc współczyków trade-off mplkuje, że odległość w przestrze kwest X pomędzy puktam B D mus być rówa d dlatego też pukty D E są dyferete. 5. Zakładając, że dyferetość mędzy puktam D E zachodz, decydet określa pozom użyteczośc u 3 dla astępej krzywej dyferecj, zawerającej waraty x, y oraz x, y. Następe decydet defuje waraty margale dla tego pozomu wartośc użyteczośc, tj. x = u. 5 3, y0 x, y x, y x0, y3 v x, y 6. Koleje krzywe dyferecj dla zwększających sę wartośc użyteczośc są geerowae w sposób aalogczy. Powyższy proces geerowaa krzywych dyferecj zlustrowao w forme grafczej a rys.. 3 Rys.. Geerowae krzywych dyferecj z waruku odpowedośc współczyków trade-off Źródło: Keeey Raffa [976].
Wykorzystae de automatyczego geerowaa powerzch dyferecj 39 3. Powerzche dyferecj w przypadku trzech kwest egocjacyjych Obece będze omawae zagadee rozszerzea kocepcj defowaa krzywych dyferecj z poprzedej częśc pracy a zagadee decyzyje egocjacyje, uwzględające trzy krytera ocey kweste. Defcja 3.. [Keeey Raffa 976]. Warat decyzyjy o kosekwecjach x ', y' jest warukowo preferoway względem waratu o kosekwecjach x '', y' ' przy daym z ' wtedy tylko wtedy, gdy x ', y', z' jest preferowae od x '', y' ', z'. Warukowa dyferecja jest defowaa w sposób aalogczy do preferecj z defcj, dlatego też moża mówć o warukowych krzywych dyferecj w przestrze X Y przy daym z '. Prowadz to w kosekwecj do astępującej defcj: Defcja 3.. [Keeey Raffa 976]. Para kwest X Y jest preferecyje ezależa od kwest Z, jeśl preferecje warukowe w przestrze X Y przy daym z ' e zależą od z '. Załóżmy, że para kwest { X, Y} jest preferecyje ezależa od Z. Jeśl spełoe jest astępujące zdae: wtedy jest róweż spełoe zdae: z x, y, z' x, y, ', 6 Z x, y, z x, y, z z. 7 Mając zdefowae zależośc preferecyje mędzy kryteram ocey waratów decyzyjych, możemy przystąpć do zdefowaa fukcj użyteczośc dla problemu decyzyjego o trzech kryterach. Twerdzee 3.. [Keeey Raffa, 976]. Fukcja użyteczośc v może zostać wyrażoa w postac addytywej: v x, y, z = v x + v y v z, 8 X Y + gdze v X, v Y oraz v Z są jedokryteralym fukcjam użyteczośc, wtedy tylko wtedy, gdy { X, Y} jest preferecyje ezależe od Z, { X, Z} jest preferecyje ezależe od Y oraz { Y, Z} jest preferecyje ezależe od X. Z
40 Jakub Brzostowsk, Tomasz Wachowcz Defcja 3.3. [Keeey Raffa 976]. Jeśl każda para kwest jest preferecyje ezależa od swojego dopełea, to kweste są param preferecyje ezależym. W poprzedej częśc pracy omówoo kostrukcję krzywych dyferecj w przestrze dwóch kryterów kwest egocjacyjych. Procedurę rozpoczęto od ustalea wartośc x 0, y 0 oraz odpowadającej m użyteczośc zerowej. Następe pytalśmy decydeta o określee x y, budując a ch podstawe waraty margale, a w kolejym etape o x oraz y. Waruek odpowedośc współczyków trade-off został wykorzystay po to, by uzasadć dyferecję waratów x, y x, y. Teraz użyjemy de preferecyjej ezależośc param, aby dokoać aalogczej procedury budowy zborów waratów dyferetych w przestrze trzech kwest:. Decydet dobera wartośc x 0, y 0 oraz z 0, aby zachodzł waruek: v x = u, 9 0, y0, z0 gdze u 0 jest ajższą możlwą wartoścą użyteczośc.. Decydet określa wartośc x, y oraz z w celu skostruowaa waratów margalych takch, że: 0 x, y0, z0 x0, y, z0 x0, y0, z, 0 u = v x, y, z = v x, y, z = v x, y,. 0 0 0 0 0 0 z 3. Z kroku drugego wemy, że x, y0 x0, y przy daym z 0, dlatego też pukty x, y 0, x 0, y muszą być warukowo dyferete róweż przy daym z. Jako kosekwecję tej obserwacj otrzymujemy astępujące stwerdzee: 0 0 z x, y, z x, y,. Podobe, drug krok skutkuje dyferecją x, z0 x0, z przy daym y Z preferecyjej ezależośc {X, Z} od Y wyka róweż dyferecja 0., z0 x0, z x przy daym y, czyl: x, y, z0 x0, y, z. 4. Prosmy decydeta o określee takch wartośc x, określoego u zachodzło: y oraz z, aby dla x, y0, z0 x0, y, z0 x0, y0, z x, y, z0 3 u = v x, y, z = v x, y, z = v x, y, z = v x, y, 4 0 0 0 0 0 0 z0
Wykorzystae de automatyczego geerowaa powerzch dyferecj 4 Aby kostruować koleje zbory waratów dyferetych, musmy odpowedzeć a pytae, skąd wemy bez waruku odpowedośc współczyków trade-off, że prawdzwe będze astępujące stwerdzee: 0 z0 x, y, z x, y,. 5 Najperw musmy wykazać, że zachodz x, y, z0 x, y, z oraz x, y, z0 x, y, z, a wówczas korzystając z przechodośc relacj dyferecj potwerdzmy prawdzwość aszego stwerdzea 5. Wemy, że zachodz: 0 0 0 z x, y, z x, y,. 6 Jako że {X, Z} jest preferecyje ezależe od Y, możemy zameć y 0 a y w stwerdzeu 6, co skutkuje prawdzwoścą stwerdzea: 0 z W sposób aalogczy wykażemy róweż, że x, y, z x, y,. 7 0 z x, y, z x, y,. 8 Z podstawea prawych stro stwerdzeń 6 7 udowadamy prawdzwość 5. Powyższa procedura pokazuje, jak w przestrze trzech kwest moża skostruować powerzche dyferecj w przypadku addytywej struktury preferecj. 4. Uogólee procedury geerowaa powerzch dyferecj a przypadek z dowolą lczby kwest Rozpatrzmy teraz przypadek decyzyjy z wększą lczbą kryterów ocey. Przyjmemy, że dyspoujemy zestawem kwest X, X, K, X s, X s +, K, X. Dzelmy te zestaw a dwa podzestawy Y oraz Z, tj. Y = X, K, X } Z = { X, K, X }. 9 { s s Podzał 9 może być jakmkolwek podzałem wyjścowego zestawu kwest deksy mogą być permutowae bez utraty ogólośc, dlatego też będzemy zakładać, że zestaw Y zawera jakekolwek s kwest z całego zestawu wyjścowego, a Z jest jego dopełeem.
4 Jakub Brzostowsk, Tomasz Wachowcz Defcja 4.. [Keeey Raffa 976]. Jeśl y', y'' Y oraz z' Y, wówczas będzemy mówć, że y ' jest warukowo dyferete z y '' przy daym z ', wtedy tylko wtedy, gdy y', z' y' ', z'. 0 Defcja 4.. [Keeey Raffa 976]. Zestaw Y jest preferecyje ezależy od swojego dopełea Z, wtedy tylko wtedy, gdy warukowa struktura preferecj w przestrze Y przy daym z ' z' Z e zależy od z '. Symbolcze, Y jest preferecyje ezależe od Z, wtedy tylko wtedy, gdy dla pewego z ' zachodz: y', z' y' ', z' y', z y' ', z, z Z, y, y' ' Y. Defcja 4.3. [Keeey Raffa 976]. Kweste X, X, K, X są wzajeme preferecyje ezależe, jeśl każdy podzbór Y tychże kwest, jest preferecyje ezależy od uzupełającego zboru kwest od swojego dopełea w zborze wszystkch kwest. Twerdzee 4.. [Keeey Raffa 976]. Przy daych kwestach X, X, K, X, gdze 3, addytywa fukcja użyteczośc v x, x, K, x v x, = = gdze v jest fukcją użyteczośc w zborze X steje wtedy tylko wtedy, gdy kweste są wzajeme preferecyje ezależe. W poprzedch częścach pracy przedstawoo procedurę skalowaa cojot służącą do geerowae krzywych dyferecj w przestrze dwóch kwest oraz aalogczą procedurę służącą do geerowaa powerzch dyferecj w przestrze trzech kwest. Waruek wzajemej preferecyjej ezależośc pozwala a geerowae powerzch dyferecj w przestrze dowolej lczby kwest. Przy założeu addytywej struktury preferecj powerzche te mogą zostać wygeerowae w astępujący sposób:. Defcję rozpoczyamy od powerzch dyferecj z ajższym pozomem użyteczośc. Zakładając, że rozpatrujemy kwest kryterów decydet ajperw dobera pukty margale x, x, x, take, że 0 0 0
Wykorzystae de automatyczego geerowaa powerzch dyferecj 43 v x0, x0, K, x0 = u0, 3 gdze u 0 jest ajższą możlwą wartoścą użyteczośc. Perwsza powerzcha dyferecj składa sę zatem z jedego puktu.. Decydet jest proszoy o określee waratów margalych, dla drugej powerzch dyferecj. x, x0, K, x0 x0, x, K, x0 M x0, x0, K, x W przypadku tworzoych waratów margalych, zgode z defcją, wszystke kweste zostały ustawoe a wartość x 0 z wyjątkem jedej kwest, której wartość została ustawoa a x. Kolejych waratów margal- ych staow astępą powerzchę dyferecj, do której decydet przypsuje pozom użyteczośc u. W zwązku z tym:, x0,, x0 = v x0, x, K, x0 = Kv x0, x0, K, x v x K = u. 4 3. Do kolejej trzecej powerzch dyferecj dodaje sę owe waraty, a podstawe wedzy zdobytej podczas geerowaa drugej powerzch dyferecj. Waraty trzecej powerzch dyferecj są tworzoe w sposób astępujący: a używamy puktów margalych perwszych dwóch powerzch: x0, x0, K, x0, x, x, K, x ; b tworzymy zbór waratów S 3, tak że: S 3 = { xk, xk, K, xk k + k + L + k = k {0,}}. 5 Zbór S 3 staow część powerzch trzecej zawera wszystke waraty, dla których dole deksy sumują sę do dwójk oraz deksy te są ze zboru { 0,}. Taka metoda geerowaa waratów jest uogóleem metody geerowaa waratów przedstawoej w poprzedch rozdzałach.
44 Jakub Brzostowsk, Tomasz Wachowcz 4. Decydet jest proszoy o dodae waratów margalych do trzecej powerzch dyferecj: x, x0, K, x0 x0, x, K, x0 M x0, x0, K, x Te waraty powy być dyferete do waratów wygeerowaych przez procedurę uprzedo dla tej powerzch. 5. Dodajemy do czwartej powerzch waraty, a podstawe wartośc puktów margalych x0, x0, K, x0, x, x, K, x, x, x, K, x perwszych trzech powerzch. Waraty dla czwartej powerzch dyferecj są geerowae w sposób astępujący: S 4 = k k k { x, x, K, x k + k + L + k = 3 k {0,,}}. 6 Zbór S 4 staow zbór waratów dyferetych dla czwartej powerzch. Te zbór zawera waraty, dla których dole deksy sumują sę do trójk e zawera jeszcze waratów margalych. 6. Decydet jest proszoy o dodae do czwartej powerzch waratów margalych astępującej postac: x3, x0, K, x0 x0, x3, K, x0 M x0, x0, K, x3 7. Decydet kotyuuje procedurę dodawaa waratów margalych do astępych powerzch, kończąc a powerzch m-tej, która jest ostatą powerzchą zawerającą waraty margale. 8. Automatycze uzupełamy koleje powerzche, dodając do każdej z ch waraty w astępujący sposób: Sl = { xk, xk, K, xk k + k + L + k = l k {0,,, K, m}}. 7 Zbór S l m l p staow powerzchę dyferecj zawerającą waraty, dla których dole deksy sumują sę do l oraz dole deksy e przekraczają. S jest ostatą powerzchą dyferecj. m p+
Wykorzystae de automatyczego geerowaa powerzch dyferecj 45 Powyższa procedura jest odpoweda dla struktury preferecj, dla której zachodz waruek wzajemej preferecyjej ezależośc. Poadto waruek ów zachodz, gdy struktura preferecj jest addytywa. Mmo że w tej pracy e zakłada sę wzajemej preferecyjej ezależośc, procedura adaje sę do wygeerowaa wstępej postac zestawu powerzch dyferecj, a astępe korekty waratów w ramach tychże powerzch tak, aby waraty były zgode z ogólejszą formą eaddytywej struktury preferecj decydeta. 5. System ocey ofert egocjacyjych operających sę a deklarowaych powerzchach dyferecj W poprzedch rozdzałach przedstawoo procedurę automatyczego geerowaa powerzch dyferecj, którą wykorzystuje sę w systeme wspomagaa egocjacj NegoMaage. Ręcze geerowae zborów waratów dyferetych jest ucążlwe, lecz zwykłe, automatycze wygeerowae powerzche dyferecj są zgode jedye z addytywą postacą fukcj użyteczośc. Jako że we wspomagau egocjacj w systeme NegoMaage e zakłada sę addytywośc, powerzche po automatyczym wygeerowau muszą być ręcze zmodyfkowae, by odzwercedlać elowe preferecje. W systeme NegoMaage egocjator defuje preferecje, określając ajperw odwzorowae pozomów skal lgwstyczej w wartośc umerycze, a astępe lczbę kwest egocjacyjych oraz lczbę powerzch dyferecj. Są to podstawowe dae ezbęde do zdetyfkowaa ogólej struktury problemu egocjacyjego. Dalsza strukturyzacja problemu wymaga od egocjatora zdefowaa zakresów zmeośc pozomów realzacj wszystkch kwest egocjacyjych wraz z określeem mootoczośc tychże kwest. W obecej wersj systemu w egocjacjach są dopuszczae jedye kweste loścowe lub jakoścowe, o zdefowaych ekwwaletach umeryczych. Dwa główe oka defowaa struktury problemu egocjacyjego w NegoMaage przedstawoo a rys. 3. Lewa formatka z rys. 3 pozwala a kalbrację przyjętej skal lgwstyczej, zdefowae ekwwaletów umeryczych skal 4 oraz określee lczby warstw powerzch dyferecj klas jakośc potecjalych ofert egocjacyjych oraz lczby kwest. Druga formatka prawa pozwala a detyfkację z azwy kwest egocjacyjych oraz poprzez określee skrajych wartośc 4 Podstawy teoretycze takego ych sposobów kalbracj skal lgwstyczej moża zaleźć p. w pracy [Jadd et al. 008]. Dokłady ops podwójej, ztegrowaej skal lgwstyczej wykorzystaej w NegoMaage moża zaleźć w pracy: [Brzostowsk Wachowcz 0b].
46 Jakub Brzostowsk, Tomasz Wachowcz pozomów realzacj kwest wyzaczee dopuszczalej przestrze egocjacyjej. Negocjator określa róweż w sposób ogóly pożąday porządek wartośc pozomów realzacj tej kwest ozaczee mootoczośc. Rys. 3. Formatk defowaa struktury problemu w NegoMaage W kolejym kroku aalzy preferecj egocjator jest proszoy o podae przykładów ofert reprezetujących każdą z zadeklarowaych przez ego warstw. Posługując sę arzędzem grafczym, egocjator buduje hperkostkę o kształce zależym od wybraych przez ego pozomów realzacj wszystkch kwest z jakch ma sę składać oferta. Po dodau jedej oferty do warstwy jest proszoy o zadeklarowae jeszcze klku waratów ależących do tej samej warstwy o tej samej jakośc, a różących sę pozomam realzacj kwest od oferty perwszej. Im węcej takch hperkostek zadeklaruje egocjator, tym bardzej precyzyjy system ocey otrzyma w efekce. Take operacje egocjator powtarza dla wszystkch zadeklarowaych powerzch dyferecj. Następe dla każdej klasy jakośc ofert egocjacyjych system kostruuje rozkład prawdopodobeństwa ad odpowadającą tej klase powerzchą dyferecj [Brzostowsk Wachowcz 0]. Najperw zbór waratów dyferetych jest dzeloy a klastry a podstawe algorytmu statystyczej klasteryzacj, a astępe dla każdego klastra jest budoway rozkład ormaly prawdopodobeństwa przyależośc waratów do klastera. Ostatecze rozkłady dla wszystkch klastrów są agregowae, by stworzyć welomodaly rozkład prawdopodobeństwa ad
Wykorzystae de automatyczego geerowaa powerzch dyferecj 47 całym zborem waratów dyferetych. Oblczea te są realzowae przez system z pomęcem terakcj z użytkowkem egocjatorem. Użytkowk przypsuje jedye do każdego zboru waratów dyferetych pozom lgwstyczej użyteczośc. W efekce otrzymuje sę węc zestaw rozkładów prawdopodobeństwa wraz z lgwstyczym oceam jakośc użyteczoścam przypsaym do każdej z powerzch dyferecj. Tak zestaw daych staow system scorgowy, który może być użyty do ocey dowolej oferty egocjacyjej z predefowaej wcześej przestrze egocjacyjej zboru ofert dopuszczalych. Przykład defowaa oferty a potrzeby daej klasy oraz komplete zdefowaą klasę z ofertam ją reprezetującym hperkostkam z wyestymowaym dla ej pozomem użyteczośc przedstawoo a rys. 4. Rys. 4. Deklaracja oferty obraz powerzch dyferecj w systeme NegoMaage W faze egocjacj właścwych system scorgowy może zostać użyty do ocey dowolego waratu wybraego przez egocjatorów ze zboru waratów dopuszczalych. Aby oceć propoowaą ofertę egocjacyją, NegoMaage ajperw wyzacza pozomy przyależośc wybraego waratu do poszczególych warstw, czyl prawdopodobeństwa lokalzacj waratu a poszczególych powerzchach dyferecj. W astępym kroku jest wyzaczay splot sekwecj prawdopodobeństw z sekwecją użyteczośc suma loczyów prawdopodobeństw pozomów użyteczośc dla wszystkch warstw. Taka agregata staow wartość oczekwaą użyteczośc dla oceaego waratu w forme ocey umeryczej jest prezetowaa egocjatorow rys. 5.
48 Jakub Brzostowsk, Tomasz Wachowcz Rys. 5. Formatka ocey jakośc użyteczośc wybraej oferty egocjacyjej Podsumowae Przedstawoe w ejszej pracy rozważaa mały a celu przyblżee de budowy systemu ocey ofert egocjacyjych systemu scorgowego w ogólośc, operającego sę a kocepcj powerzch dyferecj. Tak system powstaje a podstawe daych wejścowych wprowadzaych przez egocjatora w postac przykładów kompletych ofert egocjacyjych, którym towarzyszą pewe ocey ops użyteczośc, p. defowae z użycem skal lgwstyczej. Waraty podobe tworzą warstwy klastry tej samej jakośc. Aby z tak zdefowaej struktury preferecj moża było woskować o ocee dowolej oferty egocjacyjej, pobraej z predefowaego zboru waratów dopuszczalych, muszą być jedak spełoe pewe założea co do postac preferecj współczyków wymay trade-off. W zwązku z tym w ejszej pracy skupoo sę a przypomeu wybraych de weloatrybutowej teor użyteczośc, wykorzystywaych do tworzea systemu ocey ofert egocjacyjych. Wywodząc z waruku odpowedośc współczyków trade-off w kla-
Wykorzystae de automatyczego geerowaa powerzch dyferecj 49 syczym ujęcu welokryteralym, przedstawoo kolejo sposób geerowaa krzywych dyferecj dla tego przypadku oraz jego uogólee a przypadek trzech lub węcej kwest egocjacyjych kryterów. Przyblżoo róweż system ocey ofert operających sę a tym uogóleu, zamplemetoway w postac modułu aalzy preferecj systemu wspomagaa egocjacj NegoMaage. Propoowaa procedura aalzy preferecj może być alteratywą do klasyczych systemów operających sę a prostych, addytywych fukcjach scorgowych. Procedura ta e wymaga bowem od egocjatorów żmudego etucyjego przypsywaa abstrakcyjych puktów ocey użyteczośc do wszystkch kwest egocjacyjych ch pozomów realzacj co w przypadku dużych problemów egocjacyjych może być wręcz ewykoale w rozsądym, przezaczoym a przygotowae do egocjacj czase. Wymaga oa jedye od egocjatora zdefowaa przykładów ofert kotraktów reprezetatów pewych klas jakośc p. waratów bardzo dobrych, średch, merych tp.. Klasom tym są przypsywae ocey lgwstycze, których ekwwalety umerycze w postac ocey lczbowej moża otrzymać dzęk wcześejszej kalbracj tej skal. Aalzując astępe podobeństwo zgłaszaych w toku egocjacj waratów do klas reprezetowaych w postac warstw powerzch dyferecj zapropoowae w pracy arzędze formatycze jest w stae, poprzez stosowe uogólea, wyzaczyć oceę końcową wyrażoą zarówo w postac termów lgwstyczych użytej skal ztegrowaej, jak poprzez umerycze ocey. Potwerdzee aplkacyjośc użyteczośc takej metody aalzy preferecj wymaga jedakże stosowych testów a eksperymetalych grupach egocjatorów. Symulacje egocjacyje plauje sę przeprowadzć a grupach egocjujących studetów keruków formatyczych matematyczych. Lteratura Bras J.P. 98: Lgeere de la decso. Elaborato dstrumets dade a la decso. Methode PROMETHEE. I: Lade a la Decso: Nature, Istrumets et Perspectves Daver. Eds. R. Nadeau, M. Ladry. Presses de Uverste Laval, Quebec, Caada. Brzostowsk J., Wachowcz T. 009: Coceptual Model of ens For Supportg Preferece Elctato ad Couterpart Aalyss. I: Proceedgs of GDN 009: A Iteratoal Coferece o Group Decso ad Negotato. Eds. D.M. Klgour, Q. Wag. Wlfred Laurer Uversty. Brzostowsk J., Wachowcz T. 0a: Preferece Cosstecy Aalyss the Negotato Offers Evaluato System based o the Cocept of Idfferece Set ad Exteded Lgustc Scales. IWoMCDM Ustroń 0.
50 Jakub Brzostowsk, Tomasz Wachowcz Brzostowsk J., Wachowcz T. 0b: Użyce skal lgwstyczych do opsu użyte czośc w procese aalzy preferecj. Ogólopolska Koferecja Naukowa Modelowae Preferecj a Ryzyko Ustroń 0. De Keyser W., Peeters P. 996: A Note o the Use of PROMETHEE Multcrtera Methods. Europea Joural of Operatoal Research, No. 89. Hwag C.L., Yoo K. 98: Multple Attrbute Decso Makg: Methods ad Applcatos. Sprger-Verlag, Berl. Jadd O., Hog T.S., Frouz F., Yusuff R.M., Zulkfl N. 008: TOPSIS ad Fuzzy Mult-Objectve Model Itegrato for Suppler Selecto Problem. Joural of Achevemets Materals ad Maufacturg Egeerg, 3. Keeey R., Raffa H. 976: Decsos wth Multple Objectves: Prefereces ad Value Tradeoffs. Cambrdge Uversty Press. Lewck R., Sauders D., Mto J. 999: Negotato. The MacGraw-Hll Compaes, Bosto. Oprcovc S., Tzeg G.H. 004: Compromse Soluto by MCDM Methods: A Comparatve Aalyss of VIKOR ad TOPSIS. Europea Joural of Operatoal Research, No. 56. Roy B. 968: Classemet et chox e présece de pots de vue multples la méthode ELECTRE. La Revue d Iformatque et de Recherche Opératoelle RIRO, No. 8. Saaty T. 980: The Aalytc Herarchy Process. McGraw Hll, New York. Saaty T.L., Alexader J.M. 989: Coflct Resoluto: The Aalytc Herarchy Approach. Praeger, New York. AUTOMATED GENERATION OF INDIFFERENCE SURFACES FOR THE FORMATION OF NEGOTIATION OFFER S SCORING SYSTEM IN THE NEGOTIATION SUPPORT SYSTEM NegoMaage Summary I ths paper we dscuss the mechasm for buldg the egotato offers scorg system by meas of the automatcally geerated dfferece surfaces. We troduce the classc approach based o trade-off aalyss frst, that derves from multple attrbute value theory ad preset ts applcato for the smplest case of two- ad three-crtera decso problem. The we aalyze ts geeralzato for the cases wth more tha three decso crtera, whch volves also the teracto wth decso maker. Fally we preset the models software mplemetato that s appled the egotato support system called NegoMaage.