Neoklasyczny model wzrostu

Neoklasyczny model wzrostu Krzysztof Makarski 1 Model 1.1 Za lożenia modelu Wst ep Ma wiele cech wspólnych z modelem Solowa. Oszczedności (oraz praca) sa endogeniczne. Oparty jest na mikropodstawach. Ponieważ oparty jest na mikropodstawach wprost mierzy dobrobyt konsumentów co daje naturalne kryterium oceny różnych polityk gospodarczych. W lasność kapita lu W podstawowej wersji modelu zak lada sie, że konsumenci posiadaja kapita l i wynajmuja go firmom. Latwo można pokazać, że jeżeli nie ma frykcji finansowych to nie ma znaczenia czy firmy czy gospodarstwa domowe sa w laścicielami kapita lu (pokaż to). Gospodarstwa domowe Reprezentatywne gospodarstwo domowe oferuje podaż pracy lt s firmom w zamian za p lace realna w t. Gospodarstwa domowe sa w laścicielami kapita lu i podejma decyzje inwestycyjne (wybieraja oszczedności - gospodarka zamknieta wiec oszczedności sa równe inwestycjom). Firmy przekazuja gospodarstwom domowym zyski w postaci dywidendy Π t (w równowadze doskonale konkurencyjnej zyski sa zero). Gospodarstwa domowe żyja wiecznie i wybieraja ścieżke konsumpcji c = (c 0, c 1, c 2,..., c t,...) oraz pracy l = (l0, l 1, l 2,..., l t,...). Chwilowa funkcja użyteczności o okresie t, u(c t, l t ) (na poczatku za lożymy dla uproszczenia u(c t, l t ) = log c t ) spe lnia > 0, u l (t) < 0 oraz u cc (t) < 0, gdzie i u l (t) to pochodne funkcji użyteczności ze wzgledu na odpowiednio c t i l t, a u cc to druga pochodna funkcji użyteczności po c t. (dodatnia i malejaca krańcowa użyteczność konsumpcji oraz ujemna krańcowa użyteczność z pracy). Gospodarstwa domowe sa niecierpliwe, zatem z punktu widzenia okresu 0 jednostka użyteczności w okresie t jest warta w okresie 0 β t. Użyteczność w cyklu życia dana jest za pomoca lub można to wyrazić krócej U( c, l) = β 0 u(c 0, l 0 ) + β 1 u(c 1, l 1 ) +... + β t u(c t, l t ) +... U( c, l) = β t u(c t, l t ) Co okres gospodarstwa domowe uzyskuja dochody z wynajmu pracy w t l t oraz z wynajmu kapita lu r t k t, gdzie r t oznacza stope wynajmu kapita lu (nie jest to stopa procentowa). Dochody te sa albo skonsumowane albo przeznaczone na inwestycje x t. c t + x t = w t l t + r t k t + Π t (1) 1

Kapita l akumulowany jest zgodnie ze standardowym równaniem ruchu k t+1 = (1 δ)k t + x t (2) gdzie δ stopa deprecjacji kapita lu. Czasami wygodne jest wyrugowanie x t przez podstawienie z jednego z (2) do (1), wówczas otrzymujemy c t + k t+1 = w t l t + (r t + 1 δ)k t + Π t Problem gospodarstwa domowego ma postać: β t u(c t, l t ) {c t,k t,l t} p.w.c t + k t+1 = w t l t + (r t + 1 δ)k t + Π t l t [0, 1], k 0 dane Rozwiazanie problemu konsumenta. Aby rozwiazać problem konsumenta skonstruujemy funkcje Lagranża (oznaczmy przez λ t mnożnik Lagranża na ograniczeniu budżetowym z okresu t): L = β t u(c t, l t ) λ t (c t + k t+1 w t l t (r t + 1 δ)k t Π t ) co można też zapisać w d luższej, ale bardziej przejrzystej wersji L = (β 0 u(c 0, l 0 ) +...β t u( c t, l t ) + β t+1 u(c t+1, l t+1 ) +...) [ λ 0 (c 0 + k 1 w 0 l 0 (r 0 + 1 δ)k 0 Π 0... + +λ t ( c t + k t+1 w t l t (r t + 1 δ)k t Π t + ] +λ t+1 (c t+1 + k t+2 w t+1 l t+1 (r t+1 + (1 δ)) k t+1 ) Π t+1 +... Nastepnie liczymy warunki pierwszego rzedu (czyli pochodne funkcji Lagranża ze wzgledu na c t i k t+1 ). Powyżej zaznaczone sa miejsca gdzie wystepuj a te zmienne: oraz warunek transwersalności 1 Upraszczajac L ct = β t λ t = 0 L lt = β t u l (t) + λ t w t = 0 L kt+1 = λ t + λ t+1 (r t+1 + 1 δ) = 0 λ t k t+1 = 0 t β t = λ t β t u l (t) = λ t w t λ t = λ t+1 (r t+1 + 1 δ) λ tk t+1 = 0 t Nastepnie einujemy λy. Podstawiajac z pierwszego równania pod λ t = β t i λ t+1 = β t+1 u c (t + 1) otrzymujemy β t u l (t) = β t w t β t = β t+1 u c (t + 1) (r t+1 + 1 δ) t βt k t+1 = 0 1 Warunek transwersalności nie b edzie wyprowadzany. Jest to warunek konieczny i s l uży do wykluczenia pewnych ścieżek (np. takiej prawie nic nie konsumujemy i tylko oszcz edzamy i tak w nieskończoność, co oczywiście jest nieoptymalne). Warunku tego należy po prostu nauczyć si e na pami eć. 2

Upraszczajac otrzymujemy u l (t) = w t βu c (t + 1) = (r t+1 + 1 δ) t βt k t+1 = 0 Podsumowujac z problemu konsumenta otrzymujemy u l (t) = w t (3) βu c (t + 1) = (r t+1 + 1 δ) (4) t βt k t+1 = 0 (5) Z problemu konsumenta otrzymujemy (3)-(5). Zauważ, że jeżeli u(c t, l t ) = log c t to u l (t) = 0 co daje l t = 1 (leży na ograniczeniu). Interpretacja warunków pierwszego rzedu Zauważ, że warunek (3) to jest identyczny do warunku na optymalny wybór otrzymywanego na kursie średnio-zaawansowanej mikroekonomii, który mówi, że wartość bezwzgledna MRS równa jest stosunkowi cen (tutaj w t ) MRS (lt,c t) = u l (t) = w t (6) Podobna sytuacja wystepuje w przypadku warunku (4). Wówczas mamy wybór pomiedzy konsumpcja dziś i jutro, zatem z lewej strony bedziemy mieli MRS (ct,c t+1). Pytanie co jest stosunkiem cen. Zauważmy, że cena konsumpcji dziś i jutro musi być wyrażona w tych samych jednostkach, niech to bed a jednostki dobra konsumpcyjnego w okresie t. Z definicji cena dobra c t wynosi 1. Jeżeli konsument natomiast zrezygnuje z konsumpcji jednostki dobra dziś to jutro bedzie móg l kupić (r t+1 + 1 δ) jednostek c t+1. Oznacza to że 1 jednostka dobra c t+1 w okresie t kosztuje r t+1+1 δ. Zatem otrzymujemy MRS(ct,c t+1) = βu c (t + 1) = 1 1 = r t+1 + 1 δ (7) r t+1+1 δ Również warunek transwersalności (5) ma interpretacje ekonomiczna. t βt k t+1 = 0 (8) Zauważ, że β t oznacza krańcowa użytecznościa. Zatem ten warunek oznacza, że w nieskończoności gospodarstwa domowe trzymaja kapita l tylko wtedy jeżeli nie jest on nic wart. Firmy Firmy wynajmuja kapita l i prace od gospodarstw domowych i wykorzystuja je do produkcji. Celem firm jest maksymalizacja zysk. Mamy do czynienia z wieloma ma lymi firmami, które sa ceno-biorcami. Celem firm jest maksymalizacja zysku. W każdym okresie reprezentatywna firma rozwiazuje nastepuj acy problem (y t,l t,k t) y t r t k t w t l t p.w. y t = A t k α t l 1 α t Rozwiazuj ac za pomoca metody mnożników Lagranża dostajemy nastepuj ace warunki pierwszego rzedu r t = A t αkt α 1 lt 1 α (9) w t = A t (1 α)kt α lt α (10) oraz dodatkowo mamy funkcj e produkcji y t = A t k α t l 1 α t (11) 3

Oczyszczanie sie rynków Model domkniety jest za pomoca warunków na oczyszczanie sie rynków. Mamy w modelu trzy rynki do oczyszczenia: rynek dóbr, rynek pracy i rynek wynajmu kapita lu. Warunek na oczyszczanie sie rynku dóbr ma nastepuj ac a postać c t + x t = y t (12) Podstawiajac z (2) c t + k t+1 = y t + (1 δ)k t (13) otrzymujemy Natomiast warunek oczyszczania sie rynku pracy i rynku wynajmu kapita lu wprowadzamy za pomoca notacji. Zauważ, że zarówno w problemie gospodarstwa domowego oznaczamy podaż pracy i kapita lu, odpowiednio l t i k t ta sama litera co popyt na prace i kapita l w problemie firmy. 1.2 Równowaga Równowaga doskonale konkurencyjna Definicja 1.1 Równowaga doskonale konkurencyjna sk lada sie z endogenicznej alokacji {c t, l t, k t+1, y t } oraz endogenicznych cen {r t, w t } spe lniajacych (przy danych k 0, A t, β, δ) {c t, l t, k t+1 } rozwiazuje problem konsumenta przy danych cenach oraz k 0. {c t,k t+1,l t} β t u(c t, l t ) p.w.c t + k t+1 = w t l t + (r t + 1 δ)k t + Π t l t [0, 1], k 0 dane dla każdego t, (l t, k t, y t ) rozwiazuje problem producenta przy danych cenach (y t,l t,k t) y t r t k t w t l t p.w.y t = A t k α t l 1 α t rynki sie oczyszczaja c t + k t+1 = y t + (1 δ)k t W lasności modelu Równania opisujace gospodarke Problem konsumenta. Z problemu konsumenta otrzymaliśmy (3)-(5). Problem producenta u l (t) βu c (t + 1) Z problemu producenta otrzymaliśmy (9)-(11) = w t (14) = (r t+1 + 1 δ) (15) t βt u (t) k t+1 = 0 (16) r t = A t αkt α 1 lt 1 α (17) w t = A t (1 α)kt α lt α (18) y t = A t kt α lt 1 α (19) 4

Warunek na oczyszczanie si e rynków (ograniczenie zasobowe) c t + k t+1 = A t k α t l 1 α t + (1 δ)k t (20) Zachowanie gospodarki w warunkach równowagi konkurencyjnej jest w pe lni opisane równaniami (14)-(20). Zauważ, że gdybyśmy dodatkowo chcieli zbadać zachowanie inwestycji to moglibyśmy wykorzystać do tego równanie na akumulacj e kapita lu (2). 1.3 W lasności Efektywna alokacja Nast epnie sprawdzimy czy alokacja doskonale konkurencyjna jest efektywna. Najpierw musimy zdefiniować co to znaczy efektywna. Zauważ, że ponieważ mamy do czynienia z modelem z reprezentatywnym konsumentem alokacja efektywna powinna maksymalizować jego użyteczność przy danym ograniczeniu zasobowym. Definicja 1.2. Alokacja {c t, l t, k t, y t } jest efektywna, jeżeli rozwiazuje problem spo lecznego planisty β t u(c t, l t ) {c t,k t+1,l t,y t} p.w. c t + k t+1 = A t kt α lt 1 α y t = A t kt α lt 1 α l t [0, 1], k 0 dane + (1 δ)k t Zauważ, że funkcja produkcji (y t = A t kt α lt 1 α ) nie jest ograniczeniem wiaż acym, ponieważ y t nie wystepuje ani w żadnym innym ograniczeniu ani w funkcji celu. Zatem konstruujac Lagranżjan możemy zignorować to równanie. Problem przybiera postać β 0 u(c 0 ) +...β t u(c t ) + β t+1 u(c t+1 ) +... {c t,k t+1,l t} p.w. c 0 + k 1 = A 0 k α 0 l 1 α 0 + (1 δ)k 0 c 1 + k 2 = A 1 k α 1 l 1 α 1 + (1 δ)k 1 c t + k t+1 = A t k α t l 1 α t.. + (1 δ)k t Lagranżjan ( ) L = β 0 u(c 0, l 0 ) +...β t u( c t, l t ) + β t+1 u(c t+1.l t+1 ) +... [ λ 0 (c 0 + k 1 A 0 k0 α l0 1 α (1 δ)k 0 ) +...+ + λ t ( c t + k t+1 A t kt α 1 α l t (1 δ)kt )+ ] + λ t+1 (c t+1 + k t+2 A t+1 kt+1 α lt+1 1 α (1 δ) k t+1 ) +... Skracajac zapis otrzymujemy L = β t u(c t, l t ) λ t [c t + k t+1 A t kt α lt 1 α (1 δ)k t ] Nastepnie policzymy warunki pierwszego rzedu (pochodne Lagranżjana ze wzgledu na c t, l t i k t+1 ). Powyżej zaznaczone sa miejsca gdzie wystepuj a te zmienne: L ct = β t λ t = 0 L lt = β t u l (t) + λ t (1 α)a t kt α lt α = 0 L kt+1 = λ t + λ t+1 (A t+1 αkt+1 α 1 t+1 + 1 δ) = 0 5

oraz warunek transwersalności 2 Upraszczajac λ t k t+1 = 0 t β t = λ t β t u l (t) = λ t (1 α)a t kt α lt α λ t = λ t+1 (A t+1 αkt+1 α 1 t+1 + 1 δ) tk t+1 t = 0 Nastepnie einujemy λy. Podstawiajac z pierwszego równania pod λ t = β t i λ t+1 = β t+1 u c (t + 1) otrzymujemy Upraszczajac otrzymujemy β t u l (t) = β t (1 α)a t kt α lt α β t = β t+1 u c (t + 1) (A t+1 αkt+1 α 1 t+1 + 1 δ) t βt u (t) k t+1 = 0 u l (t) βu c (t + 1) = (1 α)a t k α t l α t (21) = A t+1 αk α 1 t+1 l1 α t+1 + 1 δ (22) Ponadto mamy jeszcze funkcj e produkcji oraz ograniczenie zasobowe Optymalna alokacja jest w pe lni opisana równaniami (21)-(25). t βt k t+1 = 0 (23) y t = A t k α t l 1 α t (24) c t + k t+1 = A t k α t l 1 α t + (1 δ)k t (25) Interpretacja warunków pierwszego rzedu Warunek optymalności wewnatrzokresowej wymaga aby krańcowa stopa substytucji (MRS (lt,c t)) jest równa krańcowej stopie technicznej substytucji (MRT S (lt,c t)) po jakiej technologia pozwala wymieniać czas wolny na konsumpcje, czyli krańcowej produktywności pracy. MRS(lt,c u l (t) t) = = (1 α)a tkt α lt α = MRT S(lt,c t) (26) Natomiast warunek optymalności miedzyokresowej mówi, że krańcowa stopa substytucji pomiedzy konsumpcja dziś a konsumpcja jutro musi być równa stopie transformacji po jakiej można wymieniać konsumpcje dziś na konsumpcje jutro (MRT S ct,c t+1 ). MRT S ct,c t+1 pokazuje ile jednostek c t+1 możemy uzyskać - przy danej technologii - za jednostke c t. MRS (ct,c t+1) = MRT S (ct,c t+1) (27) Aby znaleźć MRT S sprawdzimy co sie stanie jeżeli zrezygnujemy z jednostki konsumpcji dziś. W tym celu wykorzystamy warunek c t + k t+1 = y t + (1 δ)k t = A t kt α lt 1 α + (1 δ)k t. Zauważmy, że jeżeli tej jednostki konsumpcji nie skonsumujemy to bedziemy mogli ja zainwestować, co da nam jutro jednostke kapita lu wiecej. Zatem liczba jednostek konsumpcji jutro zwiekszy sie o A t+1 αkt+1 α 1 l1 α t+1 + (1 δ) MRT S(ct,c t+1) = At+1 αkt+1 α 1 l1 α t+1 + (1 δ) 2 Tak jak poprzednio nie b edziemy wyprowadzali tego warunku. 6

Ponieważ otrzymujemy MRS(ct,c t+1) = βu c (t + 1) βu c (t + 1) = A t+1αkt+1 α 1 l1 α t+1 + (1 δ). Twierdzenia Dobrobytu Możemy teraz sformu lować i udowodnić I i II Tw. Dobrobytu. Zaczniemy od I Twierdzenia. Twierdzenie 1.1 (I Twierdzenie Dobrobytu, FWT). Każda równowaga doskonale konkurencyjna (przy pewnych za lożeniach) jest efektywna. Dowód. Aby udowodnić to twierdzenie wystarczy pokazać, że jeżeli równania (3)-(20) sa spe lnione to spe lnione sa równania (21)-(25). Podstawiajac pod w t i r t z (17) i (18) do równań (14) i (15) otrzymujemy równania (21) i (22) u l (t) βu c (t + 1) = w t = A t (1 α)k α t l α t (28) = r t+1 + 1 δ = A t αk α 1 t+1 + 1 δ (29) Ponieważ pozosta le równania maja taka sama postać w obydwu wersjach to alokacja doskonale konkurencyjna jest efektywna. Teraz II Twierdzenie Dobrobytu. Twierdzenie 1.2 (II Twierdzenie Dobrobytu, SWT). ]. Dowolna alokacja efektywna może być zdecentralizowana jako alokacja doskonale konkurencyjna. Dowód. Rozważmy alokacje efektywna {c t, l t, k t, y t }. Wiemy, że spe lnia ona warunki (21)-(25). Nastepne możemy skonstruować ceny {w t, r t } wykorzystujac (17)-(18). Wówczas alokacja efektywna oraz te ceny spe lniaja (14)-(20), wiec stanowia równowage doskonale konkurencyjna. Obydwa twierdzenia sa ważne. Pierwsze mówi, że zasoby nie sa marnowane w równowadze doskonale konkurencyjnej. Drugie daje nam równoważność pomiedzy alokacja efektywna a doskonale konkurencyjna. Dzieki temu czesto możemy rozwiazać zwykle prostszy problem centralnego planisty zamiast szukać równowagi bezpośrednio. Potem wystarczy tylko skonstruować ceny wykorzystujac równania (17)-(18). Dodatkowo (równie ważne) wskazuja one na informacyjna role cen w równowadze doskonale konkurencyjnej. Wszelkie zaburzenia systemu cenowego prowadza do nieefektywności. Dynamika w modelu Ramsey a Za lóżmy u(c t, l t ) = log c t oraz δ = 1. Ten przypadek można rozwiazać analitycznie. Problem spo lecznego planisty {c t,k t+1,l t} β t ln c t p.w. c t + k t+1 = A t kt α lt 1 α l t [0, 1] Ponieważ l t nie wyst epuje w funkcji użyteczności to l t = 1 + (1 δ)k t Nast epnie wykorzystamy metod e wyedukowanego zgadni ecia. Zgadujemy, że stopa oszcz edności s jest sta la c t = (1 s) y t = sa t k α t 7

a nastepnie sprawdzimy czy warunki (21)-(25) sa spe lnione. Z (25) podstawiajac δ = 1 otrzymujemy oraz z (22) c t + k t+1 = y t (1 s) A t kt α + k t+1 = A t kt α k t+1 = sa t kt α = sy t c t+1 = A t+1 αkt+1 α 1 βc t (1 s)a t+1 kt+1 α β(1 s)a t kt α = A t+1 αk α 1 t+1 k t+1 = αβa t k α t co daje oraz TVC (23) s = αβ 1 t βt k t+1 = β t 1 c t t (1 αβ)a t kt α αβa t kt α Oznacza to, że nasze zgadni ecie okaza lo si e prawid lowe = t β t αβ (1 αβ) = 0 k t+1 = αβa t k α t Oznacza to, że stopa oszcz edności jest sta la i dla tych parametrów model Ramsey a zachowuje si e tak jak model Solowa. Rysunek Podstawowa zaleta modelu Ramsey a w stosunku do modelu Solowa sa mikropodstawy (co pozwala na analize skutków polityki) oraz metryke (dobrobyt konsumenta) pozwalajac a porównywać różne polityki. Przyk lad Rozważ model Ramseya o parametrach β = 0, 99, α = 0, 36, A = 1, δ = 0, 07 Wnioski warunki pierwszego rz edu doprowadź do dwóch równań z dwoma niewiadomymi c t oraz k t. zgadujac c 0 symuluj gospodarke na 200 okresów w przód. tak dobierz c 0 aby przynajmniej przez 150 okresów gospodarka znajdowa la sie na ścieżce do stanu ustalonego. Model Ramsey a replikuje stylizowane fakty. Jest to model egzogenicznego wzrostu (A t jest egzogeniczne). Ponieważ ma mikropodstawy możemy wykorzystywać go do analizy polityki. Ponieważ mamy w modelu użyteczność reprezentatywnego konsumenta to możemy wykorzystać ja jako kryterium do porównywania różnych polityk ilościowo. Podkreśla informacyjna role cen (jako przekaźnika informacji od firm do gospodarstw domowych). 8

1.4 Podsumowanie Podsumowanie Model Ramsey a to model który jest zbudowany na podstawach mikroekonomicznych. Bardzo wiele kluczowych modeli makroekonomicznych bazuje na nim. Pozwala na ilościowe porównywanie polityk. FWT oraz SWT sa spe lnione, zatem nie musimy znajdować równowagi bezpośrednio. Jak pokażemy później model można rozwiazać za pomoca iteracji funkcji wartości. W lasności można analizować za pomoca narzedzi matematycznych. Tylko prosty przyk lad można rozwiazać analitycznie. 2 Dodatek 2: Model Ramsey a w czasie ciag lym 2.1 Hamiltonian Continuous time Ramsey model. Continuous time Ramsey model. Consider the standard continuous Ramsey model with the utility function u(c t ) = c1 θ t 1 θ and the production function y t = A t k α t l 1 α t. Define a social planner allocation. Answer. Social planner allocation is an allocation (k t, c t, y t, l t, i t ) such that it satisfies the social planner problem 0 subject to e ρt u (c t ) dt i t + c t = y t = f(k t ) k t = i t (n + δ)k t Define an equilibrium in this economy. Answer. Denote N population, n growth rate of population, l t average hours. The production function in aggregate form Y t = F (K t, N t l t ), using the CRS and dividing both sides by N t we get y t = F (k t, l t ). Since in equilibrium l t = 1 (exogenous labor) y t = f(k t ) F (k t, 1) A competitive equilibrium is an allocation (k t, c t, y t, l t, i t ) and prices (w t, r t ) satisfying (k t, i t, c t ) solves the consumer problem given prices 0 subject to (y t, k t, l t ) solves the firm problem given prices e ρt u (c t ) dt i t + c t = w t + r t k t k t = i t (n + δ)k t y t w t l t r t k t subject to y t = F (k t, l t ) 9

markets clear c t + i t = y t Using Hamiltonian find the dynamic behavior of this economy. Answer. From firms problem w t = λ t F l (k t, l t ) r t = λ t F k (k t, l t ) λ t = 1 First notice that since in equilibrium l t = 1 we get r t = F k (k t, 1) = f (k) And using Euler s theorem for homogeneous functions we get Substituting Simplifying the consumers problem we get. F (k t, l t ) = k t F k (k t, l t ) + l t F l (k t, l t ) f(k t ) = k t f (k t ) + F l (k t, l t ) w t = F l (k t, l t ) = f(k t ) k t f (k t ) Constructing the present value Hamiltonian FOCs are: Solving 0 e ρt u (c t ) dt subject to k t + c t = w t + r t k t (n + δ)k t H = e ρt u(c t ) + λ t (w t c t + r t k t (n + δ) k t ) H c = 0 λ t = H k k t + c t = w t + r t k t (n + δ)k t t λ t k t = 0 e ρt u (c t ) = λ t λ t = λ t (r t (n + δ)) Since u(c t ) = c1 σ t 1 σ Substituting and simplifying λ t = c σ t e ρt λ t = σc σ 1 t e ρt ρc σ t e ρt λ t = λ t (r t (n + δ)) σc σ 1 t e ρt ρc σ t e ρt = e ρt c σ t (r t (n + δ)) σc 1 t ρ = (r t (n + δ)) c t = 1 σ [r t (n + δ + ρ)] 10

Substituting for r t from the firm problem c t = 1 σ [f (k t ) (n + δ + ρ)] Or alternatively we can constructing the current value Hamiltonian FOCs are: Solving H = u(c t ) + λ t (w t c t + r t k t (n + δ) k t ) H c = 0 λ t = ρλ t H k k t + c t = w t + r t k t (n + δ)k t t λ t k t = 0 u (c t ) = λ t λ t = ρλ t λ t (r t (n + δ)k t ) Since u(c t ) = c1 σ t 1 σ Substituting and simplifying Substituting for r t from the firm problem λ t = c σ t λ t = σct σ 1 σc σ 1 t = ρc σ t c σ t (r t (n + δ)) c t = 1 σ [r t (n + δ + ρ)] c t = 1 σ [f (k t ) (n + δ + ρ)] Next take k t + c t = w t + r t k t (n + δ)k t and substitute from the firms problem k t = f(k t ) k t f (k t ) + f (k t )k t c t (n + δ)k t k t = f(k t ) c t (n + δ)k t Thus the dynamics of the economy in competitive equilibrium can be described by the following equations c t = 1 σ [f (k t ) (n + δ + ρ)] k t = f(k t ) c t (n + δ)k t plus the TVC. Notice that this conditions are exactly the same as for the social planner problem. Thus the rest of the analysis we made earlier applies here (saddle path stability). 11