BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI MECHANIZMÓW PŁASKICH O JEDNYM STOPNIU SWOBODY

Autor ćwizenia J. Strzałko, rysunki B. Mianowski Ćwizenie 6 BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI MECHANIZMÓW PŁASKICH O JEDNYM STOPNIU SWOBODY 6.. Cel ćwizenia Celem ćwizenia jest teoretyzne i oświazalne wyznazenie położeń równowagi mehanizmu płaskiego oraz sprawzenie, zy znalezione położenia opowiaają stanom równowagi stałej, hwiejnej zy oojętnej. 6.. Wprowazenie Oiektem aań są następująe ukłay mehanizne: skłaająy się z wóh kół toząyh się po soie ez poślizgu i prętów połązonyh z kołem zewnętrznym (rys. 6.-a), złożony z trzeh prętów połązonyh ze soą przeguowo i wu sprężyn (rys. 6.-). a) ) Materialy yaktyzne Rys. 6.. Wiok aanyh ukłaów: a) koło zęate toząe się po nieruhomym kole, ) przeguowo połązone pręty Pierwszy z analizowanyh ukłaów (pokazany na rys. 6.-a) skłaa się z wóh kół toząyh się po soie ez poślizgu i prętów (płaskowników). Koło wewnętrzne jest nieruhome, a jego śroek jest połązony za pomoą łązników ze śrokiem koła zewnętrznego (ruhomego). Pręty przymoowane o koła zewnętrznego stanowią oatkowe oiążenie ziałająe na ukła. Rozpatrywany ukła może pozostawać w równowaze lu poruszać się ruhem płaskim w płaszzyźnie pionowej. Ukła ma jeen stopień swooy. Drugi ukła mehanizny (rys. 6.-) skłaa się z trzeh prętów połązonyh ze soą przeguowo. Końe wóh prętów są zamoowane za pomoą przeguów walowyh o nieruhomej ramy. Na wóh prętah umieszzone są tuleje, któryh położenia mogą yć zmieniane. Umożliwiają one zmianę oiążeń ziałająyh na ukła. Jeen z przeguów połązony jest z ostoją za pomoą wu sprężyn śruowyh walowyh. Rozpatrywany ukła może pozostawać w równowaze lu poruszać się w płaszzyźnie pionowej (ukła ma jeen stopień swooy). Pomiary okonywane na stanowiskah aawzyh polegają na poszukiwaniu oraz oenie stateznośi położeń równowagi ukłau. Wyniki pomiarów są porównywane z rezultatami olizeń prowazonyh na postawie analizy zmian energii potenjalnej określonej la moelu fizyznego aanego ukłau. Przy formułowaniu moelu przyjęto, że więzy nałożo- Katera Dynamiki Maszyn

Baanie stanów równowagi mehanizmów płaskih o jenym stopniu swooy ne na ukła są iealne, zaś oiążenia wywołane są przez siły zahowawze uwzglęniony jest jeynie wpływ sił iężkośi oraz sił oziaływania sprężyn (la ukłau z rys. 6.-). Siły oporu powstająe w łożyskah toznyh i siły taria pomięzy zęami kół są pominięte. Opróz eksperymentu w ramah ćwizenia przewiziana jest symulaja komputerowa moelu wirtualnego analizowanego ukłau. 6.3. Teoretyzny opis zjawiska Równania równowagi ukłau mehaniznego można otrzymać w różny sposó na przykła na postawie: warunków równowagi ukłau (suma wszystkih sił zewnętrznyh ziałająyh na ukła i suma momentów tyh sił wzglęem owolnego punktu muszą yć równe zero), twierzenia o energii potenjalnej (la ukłaów zahowawzyh w położeniu równowagi energia potenjalna spełnia warunki koniezne o istnienia jej ekstremum), zasay pra przygotowanyh (la ukłaów o więzah iealnyh suma pra przygotowanyh na przemieszzeniah wirtualnyh jest równa zeru), sił uogólnionyh (przyjmująyh zerowe wartośi w położeniu równowagi). Położeniem równowagi statyznej ukłau nazywa się takie położenie, w którym znajuje się on przez owolnie ługi zas, jeżeli w hwili pozątkowej znajował się on w tym położeniu, a prękośi wszystkih jego punktów yły równe zeru. Ukła, który w hwili pozątkowej nie znajował się w położeniu równowagi, może zmierzać o położenia równowagi, oalać się o niego, pozostawać w stałej oległośi lu osylować wokół położenia równowagi. 6.3.. Rozaje równowagi Rozróżnia się trzy rozaje równowagi: stałą, hwiejną i oojętną. Równowagą stałą nazywa się taki rozaj równowagi, przy którym, po niewielkim wyhyleniu ukłau z zajmowanego położenia, ukła wraa o położenia wyjśiowego ąź wykonuje wahania wokół tego położenia. Równowagą hwiejną nazywa się taki rozaj równowagi, przy którym najmniejsze wyhylenie ukłau z zajmowanego położenia równowagi powouje ruh ukłau ąź przejśie o innego położenia alo wahania wokół nowego położenia równowagi. Równowagą oojętną nazywa się taki rozaj równowagi, przy którym każe małe wyhylenie ukłau z zajmowanego położenia równowagi powouje przejśie ukłau o innego położenia równowagi. W teorii stateznośi położenie harakteryzująe się równowagą stałą nazywane jest stateznym położeniem równowagi. Niestateznym położeniem równowagi określa się takie położenie, w którym równowaga ukłau jest hwiejna lu oojętna. Materialy yaktyzne 6.3.. Zasaa Dirihleta Można wykazać prawziwość poniższego twierzenia, nosząego nazwę zasay Dirihleta. Położenie ukłau materialnego (o więzah iealnyh) znajująego się w zahowawzym polu sił, w którym energia potenjalna osiąga minimum, jest położeniem równowagi stałej. Warunki koniezne i wystarzająe istnienia lokalnego minimum energii potenjalnej (V) ukłau o jenym stopniu swooy (VV(q )) są określone zależnośiami: V q V 0, q > 0. (6.) Szzególnym przypakiem zasay Dirihleta jest twierzenie Toriellego. Położeniem równowagi stałej nieswoonego ukłau materialnego o więzah iealnyh, znajująego się w jenoronym polu sił iężkośi jest takie położenie, w którym śroek iężkośi znajuje się w najniższym z możliwyh położeń. Katera Dynamiki Maszyn

Rys. 6.. Punkt materialny umieszzony na powierzhni w położeniah równowagi: trwałej (), hwiejnej (), oojętnej (3) oraz funkja przestawiająa przekrój powierzhni Materialy yaktyzne Rys. 6.3. Energia potenjalna V punktu (o masie m0 kg) pozostająego na powierzhni pokazanej na rys. 6.. (a); V V jej pohone V ' () oraz V '' () x x 6.. Analiza moeli fizyznyh aanyh ukłaów 6... Baane oiekty i ih moele fizyzne Stanowiska przygotowane o wykonania ćwizenia są pokazane na rysunkah 6. i 6.5. Ćwizenie nr 6 Katera Dynamiki Maszyn 3

Baanie stanów równowagi mehanizmów płaskih o jenym stopniu swooy Rys. 6.. Wiok stanowiska aawzego 6-A Baany mehanizm (rys.6.) został zuowany z wóh kół zęatyh () i () połązonyh ze soą łąznikiem (3). Na kole () znajuje się pręt (5). Więzy zewnętrzne jak i więzy wewnętrzne (przeguy łąząe elementy, łożyska) są traktowane jako więzy iealne. Drugi z aanyh mehanizmów (rys.6.5) został zuowany z trzeh prętów (), () i (3) połązonyh ze soą przeguami. Na prętah () i () znajują się przesuwne tuleje () i (5), które mogą yć moowane w owolnym położeniu. Przegu E ukłau jest połązony z ostoją za pomoą wu sprężyn (6) i (7). Materialy yaktyzne Rys. 6.5. Wiok stanowiska aawzego 6-B Moel fizyzny tego ukłau (rys.6.5) skłaa się z pięiu iał (trzeh prętów i wu tulei) oraz wu sprężyn traktowanyh jako nieważkie elementy. Więzy zewnętrzne (łąząe pręty z ramą) jak i więzy wewnętrzne (przeguy łąząe pręty) traktowane są jako więzy iealne. Rozpatrywane ukłay posiaają jeen stopień swooy, a wię wszystkie zmienne można wyrazić w zależnośi o jenej współrzęnej uogólnionej (). W przypaku, gy ukła jest poany ziałaniu sił iężkośi, a ponato zawiera elementy sprężyste, jego ałkowitą energię potenjalną określa się z zależnośi V i N j K j j, (6.) ( ) Q z i i i j Katera Dynamiki Maszyn gzie: Q i iężar iała i (N oznaza lizę iał w ukłazie), z i współrzęna śroka iężkośi iała i, j sztywność sprężyny j (K oznaza lizę sprężyn w ukłazie),

j okształenie sprężyny j. Położenie równowagi, zgonie z zasaą Dirihleta, jest wyznazane na postawie równania ( ) V 0. Ćwizenie nr 6 (6.3) Oeny stanu równowagi okonuje się, sprawzają znak rugiej pohonej energii potenjalnej V(). W przypaku stanu równowagi stałej w położeniu określonym kątem i (i,...k) winno yć V gzie k oznaza lizę rozwiązań równania (6.3). ( ) i > 0, i,... k, (6.) 6... Określenie położeń równowagi i aanie ih stateznośi la moelu złożonego z kół zęatyh Moel fizyzny aanego ukłau (rys. 6.) skłaa się z ztereh iał (i,...). Przyjęto, że współrzęną uogólnioną jest kąt określająy wyhylenie łąznika (3) z położenia pionowego (rys. 6.6). Materialy yaktyzne Rys. 6.6. Współrzęna uogólniona oraz położenia śroków iężkośi iał Jeno z iał ukłau jest nieruhome, zatem energię potenjalną można przestawić w postai i 3 ( ) i V Q i z i, (6.5) gzie: Q i iężar iała i, z i współrzęna śroka iężkośi iała i. Współrzęne opisująe położenia poszzególnyh punktów rozpatrywanego ukłau można wyrazić w zależnośi o współrzęnej uogólnionej (określająej wyhylenie łąznika (3) z położenia pionowego (rys. 6.6)). Dla ułatwienia olizeń wprowazono pomonizy kąt orotu koła zewnętrznego θ. Współrzęne śroków iężkośi krążka ruhomego, łąznika i pręta są określone jako: ( R ) os r z, z X os, (6.6) L ( R r) os X osθ z, (6.7) 3 p Katera Dynamiki Maszyn gzie R oraz r oznazają promienie nieruhomego i ruhomego koła, natomiast X L i X p są współrzęnymi śroków iężkośi łąznika (C L ) i pręta (C P ) w lokalnyh ukłaah współrzęnyh. Po uwzglęnieniu, że 5

Baanie stanów równowagi mehanizmów płaskih o jenym stopniu swooy otrzymuje się przy zym gzie: i 3 i Q z i i Q Q 3 ( R r) ( R r) r θ, (6.8) os Q X os R r r ( R r) os X os, p L (6.9) Q mr g, Q ml g, Q3 m p g. (6.0) Energia potenjalna analizowanego ukłau może yć przestawiona jako ( χ ) M ( ) V A os Bos, (6.) ( Q Q3 ) ( R r) Q X L A, (6.) B Q3 X p. (6.3) Przykłaowy wykres energii potenjalnej rozpatrywanego ukłau w funkji kąta, uzyskany la określonego R r stosunku promieni kół χ jest pokazany na rys. 6.7. r Materialy yaktyzne Rys. 6.7. Przykłaowy przeieg energii potenjalnej w funkji kąta la ukłau złożonego z kół zęatyh Określenie położeń równowagi i ih rozaju wymaga olizenia pierwszej i rugiej pohonej energii potenjalnej wzglęem współrzęnej uogólnionej. Pohone energii potenjalnej przyjmują formę: V ( A os B os( χ) ) A Bχ ( χ ), (6.) V ( A Bχ ( χ) ) A os Bχ os( χ). (6.5) Na postawie poanyh zależnośi można określić warunki, jakie muszą yć spełnione, ay położenie określone kątem 0 yło położeniem równowagi stałej. Katera Dynamiki Maszyn 6

Ćwizenie nr 6 6..3. Określenie położeń równowagi i aanie ih stateznośi la moelu złożonego z prętów i sprężyn Poonie jak poprzenio, rozpatrywany ukła ma jeen stopień swooy, a wię wszystkie zmienne można wyrazić w zależnośi o jenej współrzęnej uogólnionej. Jako współrzęna uogólniona został przyjęty kąt oznazająy wyhylenie prętów BE i CD z położenia pionowego (rys. 6.8). Moel fizyzny tego ukłau skłaa się z pięiu iał (i,...5) i wóh nieważkih elementów sprężystyh (j, ). Więzy zewnętrzne (łąząe pręty z ramą) jak i więzy wewnętrzne (przeguy łąząe pręty) traktowane są jako więzy iealne. Energię potenjalną moelu można przestawić w postai gzie: Q i iężar iała i, z i współrzęna śroka iężkośi iała i, j sztywność sprężyny j, j okształenie sprężyny j. V i 5 j j j, (6.6) ( ) Qz i i i j Rys. 6.8. Moel fizyzny ukłau złożonego z prętów Współrzęne opisująe położenia poszzególnyh punktów rozpatrywanego ukłau można wyrazić w zależnośi o współrzęnej uogólnionej (oznazająej wyhylenie prętów BE i CD z położenia pionowego (rys. 6.8)). Zatem: z os, z os, (6.7) z 3 os, (6.8) z os, z os, (6.9) 5 5 gzie oznaza ługośi prętów (BE, CD i ED), natomiast i 5 są oległośiami śroków iężkośi tulei () i (5) opowienio o punktów B i C. Po uwzglęnieniu, że gzie Q i Q oznazają iężary prętów () i () otrzymuje się przy zym Materialy yaktyzne Q Q, (6.0) i 5 Qi z i 3 5 5 i ( Q Q Q Q ) os M os, (6.) Katera Dynamiki Maszyn 7

Baanie stanów równowagi mehanizmów płaskih o jenym stopniu swooy M Q. (6.) Q3 Q Q55 Wyłużenia sprężyn (zgonie z rys. 6.8) można olizyć z zależnośi: FE FE, (6.3) 0 CE CE, (6.) 0 gzie przez 0 i 0 oznazono okształenia sprężyn przy pionowym położeniu prętów () i (). Długośi oinków CE, CE i FE można określić na postawie geometrii ukłau: CE, (6.5) π CE, (6.6) ( FE ) ( ) FE os. Energia potenjalna analizowanego ukłau może yć przestawiona jako V ( ) M os. Przykłaowe wykresy energii potenjalnej rozpatrywanego ukłau w funkji kąta i współzynnika sztywnośi sprężyn oraz położenia oiążników są pokazane na rys.6.9. a) Materialy yaktyzne ) (6.7) (6.8) Rys. 6.9. Energia potenjalna ukłau: a) VV(,) w funkji kąta wyhylenia ( ) i sztywnośi sprężyn ( ), ) VV(, ) w funkji kąta wyhylenia ( ) i położenia oiążników ( 5 ) Katera Dynamiki Maszyn 8

Ćwizenie nr 6 9 Określenie położeń równowagi i ih rozaju wymaga olizenia pierwszej i rugiej pohonej energii potenjalnej wzglęem współrzęnej uogólnionej. Pohone energii potenjalnej przyjmują formę: M V, (6.9) os M V, (6.30) przy zym: ( ) ( ) os FE FE, (6.3) os π, (6.3) ( ) ( ) ( ) ( ), os os 3 FE FE FE FE (6.33) π. (6.3) Na postawie poanyh zależnośi można określić warunki, jakie muszą yć spełnione, ay położenie określone kątem 0 yło położeniem równowagi stałej. Warunki te są następująe: 0 0 0 0 V, (6.35) 0 0 0 > M V. (6.36) 6.5. Opis stanowisk aawzyh i przeiegu pomiarów 6.5.. Mehanizm złożony z kół zęatyh Stanowisko przygotowane o wykonania ćwizenia jest pokazane na rysunku 6., a aany mehanizm na rysunku 6.0. Rys. 6.0. Położenie pozątkowe ukłau Katera Dynamiki Maszyn Materialy yaktyzne

Baanie stanów równowagi mehanizmów płaskih o jenym stopniu swooy Mehanizm został zuowany z wóh kół zęatyh ( i ) toząyh się po soie ez poślizgu i wóh prętów (łąznika 3 i pręta 5). Na pręie (5) może yć zamoowany oatkowy oiążnik. Do ozytu położenia łąznika (3) określająego kąt wyhylenia używany jest kątomierz (6). 6.5.. Przeieg pomiarów. Ustawić pręt (5) w położeniu pionowym (zoaz rys. 6.0). Osiąga się to przy pomoy nakrętki, którą reguluje się położenie koła () tak, ay wspomniany pręt zajął położenie pionowe.. Następnie, wyhylają elikatnie ukła z położenia pionowego, należy sprawzić rozaj równowagi tego położenia. 3. Oraają pręt (5) zwiększać kąt wyhylenia, poszukują nowyh położeń równowagi ukłau. W przypaku znalezienia innyh położeń równowagi należy określić ih rozaj. Baania przeprowaza się la położeń łąznika (3) w zakresie poanym przez prowaząego zajęia. Wyniki zapisać w taeli 6.. Lp. Lp. Położenie równowagi Taela 6.. Wyniki aań oświazalnyh Przeział kąta - Rozaj równowagi Uwagi -- ra ra ra -- --... Energia potenjalna Pierwsza pohona Taela 6.. Wyniki olizeń teoretyznyh Druga pohona Kąt Przeział kąta t Rozaj równowagi V t V t V t t - t t -- J J/ra J/ra ra ra ra -- --... 6 Lp. Położenie równowagi (teoria) Taela 6.3. Porównanie wyników aań oświazalnyh i teoretyznyh Położenie równowagi (eksperyment) Błą ezwzglęny Błą wzglęny t / t 00 -- ra ra ra % --... 6 Uwagi Uwagi Materialy yaktyzne Katera Dynamiki Maszyn 0

6.5.3. Mehanizm złożony z prętów i sprężyn Ćwizenie nr 6 Stanowisko aawze o wykonania ćwizenia jest pokazane na rysunkah 6.5, 6.8 i 6.. Naiąg sprężyny (6) można regulować za pomoą śruy (8). Wyhylenie ukłau jest ogranizone zerzakami (0) i (). Do ozytu położenia (kąta wyhylenia ) pręta () używa się kątomierza (9). 6.5.. Przeieg pomiarów Rys. 6.. Postawowe elementy stanowiska o aań Kolejność postępowania przy wykonywaniu ćwizenia jest następująa:. Uruhomić program komputerowy przygotowany la tego ćwizenia.. Rozwiązać zaanie la ukłau i anyh pokazanyh na ekranie monitora. 3. Dokonać wstępnego wyoru kompletu sprężyn i sprawzić zy la wyranego zestawu sprężyn i ustalonyh położeń tulei ukła ma wa różne położenia równowagi. W tym elu należy ustawić przesuwne tuleje () i (5) w owolnym położeniu i zamoować sprężyny zgonie z rys.6.8. Za pomoą nakrętki (8) opasować ustawienie sprężyny (6) tak, ay położenie pionowe pręta () yło położeniem równowagi. Następnie, wyhylają elikatnie ukła z położenia pionowego w graniah 30, należy sprawzić rozaj równowagi położenia pionowego. W przypaku znalezienia innyh położeń równowagi należy określić ih rozaj. Takie same aania należy przeprowazić się la innyh położeń tulei () i (5). Materialy yaktyzne. Przeprowazić pomiary potrzene o wyznazenia sztywnośi sprężyn. Współzynniki sztywnośi sprężyn ( i ) należy wyznazyć na roze eksperymentalnej. Wykorzystywane są wie metoy oświazalnego wyznazania sztywnośi sprężyn: a) poprzez wyznazenie wyłużeń sprężyn przy zaanyh oiążeniah (taela 6.), ) przez wyznazenie okresu rgań swoonyh oiążnika zawieszonego na sprężynie (taela 6.5). 5. Umieśić sprężyny na właśiwyh miejsah i przeprowazić pomiary kąta w położeniah równowagi. Zanotować wartośi kąta w położeniah równowagi i rozaje równowagi. Do olizeń teoretyznyh należy przyjąć następująe ane: ługośi prętów (mierzone mięzy osiami przeguów) 50 m, iężary prętów () i () Q Q 0,8 N, a pręta (3) Q 3,7 N, śroki iężkośi prętów znajują się w połowie oległośi mięzy osiami przeguów, iężary tulei przesuwnyh Q Q 5,65 N. Pozostałe wielkośi, to jest wyłużenie sprężyn w położeniu ukłau określonym kątem 0 ( 0, 0 ) oraz położenia tulei przesuwnyh (, 5 ), określa się przez pomiar ługośi opowienih oinków. Katera Dynamiki Maszyn

Baanie stanów równowagi mehanizmów płaskih o jenym stopniu swooy Nr pomiaru Taela 6.. Wyznazanie sztywnośi sprężyn poprzez pomiary wyłużeń Oiążenie Długośi sprężyn Wyłużenia sprężyn Sztywnośi sprężyn i Q i Q i Sprężyna Sprężyna Sprężyna Sprężyna Sprężyna Sprężyna l i l i l i l i l (i-) l i l i l (i-) i i -- N N m m m m N/m N/m 0.0.9.9.9 3.99.8.9 3.9.7.9 5.99.6.9 Wartośi śrenie: Taela 6.5. Wyznazanie sztywnośi sprężyn przez pomiary okresów wahań Nr Oiążenie Masa Okresy rgań oiążnika Sztywnośi sprężyn pomiaru Sprężyna Sprężyna Sprężyna Sprężyna i Q i m i T i T i i i -- N kg s s N/m N/m.99.6 0.5.0.99.6 0.5.0 3.99.6 0.5.0... Wartośi śrenie: 6.6. Baanie stateznośi położeń równowagi z wykorzystaniem programów Mathematia i Working Moel Materialy yaktyzne Spejalna proeura napisana la systemu Mathematia może yć wykorzystana o wyznazenia przeiegu energii potenjalnej ukłau w funkji kąta. Taka proeura pozwala na rozszerzenia zakresu analizy prowazonej w tym ćwizeniu i umożliwia wyznazenie położeń równowagi i określenie stateznośi tyh położeń. Eksperyment przeprowazony na stoisku oświazalnym można uzupełnić poprzez oserwaję zahowania moelu wirtualnego aanego ukłau utworzonego w systemie Working Moel. Analiza zahowania ukłau w systemie Working Moel przeiega w następująy sposó: W oknie eytora grafiznego programu Working Moel należy narysować moel ukłau i wprowazić wartośi parametrów przyjętyh w aaniah oświazalnyh. Przeprowazić eksperymenty na moelu wirtualnym, polegająe na oserwowaniu ruhu ukłau la zaanyh położeń pozątkowyh. Na rysunku 6. zostały pokazane ekrany programu Working Moel z wioznymi moelami aanyh mehanizmów oraz przeiegiem zmian energii potenjalnej ukłau (w zależnośi o położenia mehanizmu). Katera Dynamiki Maszyn

Rys. 6.. Moele wirtualne ukłaów i przeiegi zmian energii potenjalnej w zasie 6.7. Opraowanie wyników pomiarów i sprawozanie 6.7.. Sprawozanie Ćwizenie nr 6 W sprawozaniu należy zamieśić: a) wyznazone oświazalnie położenia równowagi ( i ) i opowiaająe im rozaje równowagi (taela 6.), ) zestawienia wyników pomiarów oświazalnyh i olizeń teoretyznyh (taele 6. i 6.3), ) wykresy harakterystyk sprężyn otrzymane na postawie pomiarów wyłużeń (taela 6.), ) wykresy energii potenjalnej w funkji kąta (la ou aanyh ukłaów), e) oserwaje i wnioski wynikająe z przeprowazonyh eksperymentów. 6.8. Pytania sprawzająe Materialy yaktyzne. Co to jest położenie równowagi?. Sharakteryzować rozaje równowagi iała. 3. Jakie twierzenia pozwalają określić położenie równowagi w potenjalnym polu sił?. Poać zależnośi, które wykorzystuje się o olizenia energii potenjalnej sił sprężystyh i grawitayjnyh? 5. Narysować przykłaowy wykres energii potenjalnej i omówić harakterystyzne punkty. 6. Dlazego położenia równowagi la aanyh w ćwizeniu ukłaów są wyznazane numeryznie? 7. Co to jest moel fizyzny i moel matematyzny ukłau mehaniznego? Katera Dynamiki Maszyn 3