Drgania i Fale
Ruch oscylacyjny, drgania harmoniczne proste Ruch, w którym położenie ciała x(t) powtarza się, nazywamy drganiem. W ruchu harmonicznym prostym położenie ciała opisuje np. funkcja cosinus: x(t ) xm cos( t ) amplituda drgań prędkość v (t ) = przyspieszenie częstość kołowa faza początkowa dx (t) = ω x m sin (ω t +ϕ) dv (t ) a(t) = = ω x m cos(ω t +ϕ)= ω x
Przykład: wahadło sprężynowe F kx Zatem przemieszczenie bloku x(t) musi spełniać równanie (równanie ruchu oscylatora): d x k x 0 m Na blok o masie m działa siła proporcjonalna do wychylenia, ale skierowana przeciwnie do wychylenia. F kx ale d x m kx F ma Jego rozwiązaniem jest też np. funkcja typu: x(t ) xm cos( t ) gdzie częstość kołowa drgań wynosi: k m 3
Przykład: wahadło sprężynowe Energia potencjalna bloku E p kx kxm cos ( t ) E p (t ) Ek (t ) E p Ek const E p (t ) Ek (t ) Energia kinetyczna bloku Ek mv kxm sin ( t ) Całkowita energia bloku jest stała! - jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Cyklicznie energia kinetyczna zamienia się w energię potencjalną i odwrotnie. 4
Przykład: oscylator LC Sytuacja początkowa: naładowany tylko kondensator do ładunku Q 5
Przykład: oscylator LC Bilans energii Li q U UB UE C Energia na kondensatorze Całkowita energia nie zmienia się w czasie du d Li q di q dq Li 0 C C dq i Energia zgromadzona w cewce d q L q 0 C Q UB sin t C Rozwiązaniem tego równia jest: Wartość ładunku q oscyluje zgodnie z funkcją cos q Q UE cos t C C U B Li L Q sin t q Q cos t i dq Q sin t gdzie częstotliwość wyraża się LC 6
Wahadło sprężynowe coś co drga x(t ) q (t ) k v dx C i dq m mv Ek L kx EP k m Li UB q UE LC Oscylator LC Porównanie: wahadło oscylator LC C 7
Drgania tłumione, przykład: obwód RLC Wypromieniowana energia w postaci ciepła Joul a. Energia zgromadzona na C i L Li q U UB UE C du i R ubytek tej energii równy jest ciepłu Joul a W ogólnym przypadku równanie drgań tłumionych: d x dx 0x 0 równanie drgań tłumionych d q dq L R q 0 C q Qe t cos t następuje spowolnienie drgań: 0 R L R / L częstotliwość drgań bez tłumienia W wahadle sprężynowym: możliwym rozwiązaniem jest funkcja zanik amplitudy współczynnik tłumienia d x b dx k x 0 m m 0 k / m współczynnik tłumienia 0 /( LC ) częstość drgań własnych b / m 0 b m 8
Drgania tłumione, przykład: wahadło sprężynowe Siła, która tłumi drgania często jest proporcjonalna do wartości prędkości: F d = b v Więc równanie ruchu możemy zapisać: Możliwe rozwiązanie tego równania ma postać: Gdzie drgania przyjmują następujące parametry:: 0 k / m b / m 0 b m 9
Drgania tłumione, przykład: wahadło sprężynowe a) Drgania tłumione gdy: F d max =b v max ka b 0 m b) Drgania tłumione krytyczne gdy: F d max =b v max =ka b = 0 m c) Drgania aperiodyczne gdy: F d max =b v max ka b 0 m 0
Drgania wymuszone, przykład: obwód RLC układ RLC (drgający) pobudzany siłą zewnętrzną o częstości d Zmienna SEM o częstości d wymusza prąd w obwodzie oscylujący w tej samej częstości, pomimo iż sam układ ma swoją naturalną, własną częstość drgań 0 Zmienna SEM o częstości d może być np. wytwarzana przez obracającą się ramkę w polu magnetycznym (prądnica) ε ε m sin d t ale prąd płynący w obwodzie ( na skutek działania innych elementów ) może być przesunięty w fazie o i I m sin d t
Drgania wymuszone obwód R v 0 v sin t R R m d vr VR sin d t v V ir R R sin d t R R ir I R sin d t 0 amplituda prądu VR IR R XR R Def. reaktancji opornościowej diagram wektorowy: wektory obracają się z częstością d prąd płynący w obwodzie nie jest przesunięty fazie
Drgania wymuszone obwód C vc VC sin d t qc CvC CVC sin d t dqc d CVC cos d t ponieważ cos d t sin( d t 90 ) V ic C sin d t 90 90 XC ic def. reaktancji pojemnościowej (oporność pojemnościowa) gdzie VC IC XC diagram wektorowy: wektory obracają się z częstością XC d C prąd płynący w obwodzie jest przesunięty fazie o 900. prąd płynący w obwodzie wyprzedza napięcie na kondensatorze 3
Drgania wymuszone obwód L vl VL sin d t dil vl dil VL sin d t L L vl L il dil ponieważ VL VL sin t cos d t d L d L cos d t sin( d t 90 ) VL sin d t 90 XL V gdzie I L L XL XL il diagram wektorowy: 90 d L wektory obracają się z prąd płynący w obwodzie jest przesunięty fazie o 900. częstością d def. reaktancji indukcyjnej prąd płynący w obwodzie opóźnia się (oporność indukcyjna) w stosunku do napięcia na cewce 4
Drgania wymuszone obwód RLC siła wymuszająca ε ε m sin d t prąd w obwodzie i I m sin d t Z II prawa Kirchoffa suma spadków napięć : v natężenie prądu w obwodzie: relacje między napięciami: R vc vl siła napięcie wymuszające drgania: na oporności - prąd jest w fazie z napięciem na pojemności - prąd wyprzedza napięcie o 90 0 na indukcyjności prąd spóźnia się do napięcia o 90 0 vr, vc, vl wektorowy bilans napięć : rzuty wektorów na os y 5
Drgania wymuszone obwód RLC v R vc vl Te napięcia są zmienne sinusoidalnie. To równanie jest spełnione dla dowolnej chwili czasu. Amplitudy tych napięć mają wektorową interpretację: Zatem amplitudy napięć występują w relacji: VR VL VC IR IX L IX C m m Amplituda prądu płynącego w obwodzie: I m R X L X C m Z Impedancja obwodu: Z R X L X C 6
Drgania wymuszone obwód RLC XL > XC Przesunięcie fazowe pomiędzy siłą wymuszającą a prądem w obwodzie > 0 (patrz rysunek, kąt pomiędzy wektorem m a IR (taki sam jak VR)) : bardziej indukcyjny tan VL VC VR XL = X C = 0 albo: tan X L XC R XL < XC < 0 bardziej pojemnościowy 7
Drgania wymuszone rezonans I m R X L X C m jest maksymalny gdy: Z X L XC więc: d d L d C d 0 LC Amplituda prądu I Rezonans występuje wtedy gdy częstość drgań siły wymuszającej równa jest częstości drgań własnych układu. Amplituda drgań w obwodzie może być bardzo duża. Przykład: L = 00 H, C = 00 pf oraz różne wartości R Energia doprowadzana przez zewnętrzną siłę gromadzi się w układzie. Gdy w obwodzie jest oporność (tłumienie) cześć tej energii zamienia się w ciepło (im większe R tym większe tłumienie). 8
Drgania wymuszone rezonans siła sprężystości F = kx siła wymuszająca drania F d =F 0 cos d t F o = mv Różniczkowe równanie drgań ma postać: d x dx 0 x= F d t m Po obliczeniach można wykazać że: amplituda przyjmuje wartości: A= Wahadło wchodzi w stan ustalonych drgań wymuszonych o tej samej częstości co siła wymuszająca : x= Acos d t 0 Drgania są przesunięte w fazie o f0 F0 m 0 d 4 d tg 0= d 0 d gdzie w częstość nietłumionych drgań własnych 0 wd częstość drgań wymuszonych 9
Drgania wymuszone rezonans A= F0 m 0 d 4 d Amplituda wychylenia wahadła osiąga wartość maksymalną przy częstości kołowej drgań: rez = 0 Szybki wzrost amplitudy przy zbliżaniu się częstości siły wymuszającej do wartości wrez nazywamy zjawiskiem rezonansu mechanicznego W miarę wzrostu wartości b maksima krzywych rezonansowych szybko maleją ( Amax ~ / b ) Straty energii układu drgającego, wywołane przez siły oporów są całkowicie skompensowane przez pracę wykonaną nad układem przez siłę wymuszającą 0
Ruch falowy
Ruch falowy-fale mechaniczne
Fale podłużne np. fale dźwiękowe 3
Ruch falowy-fale powierzchniowe 4
Matematyczne równanie falowe h Matematyczne równanie falowe (jednowymiarowe): h h x v t A x rozwiązaniem mogą być funkcje typu: h( x, t ) A cos( kx t ) A = amplituda = długość fali f = częstotliwość = częstość kołowa T = okres fali v = prędkość fali k = liczba falowowa albo: h( x, t ) Ae i (kx t ) albo kombinacje liniowe tych funkcji co fizycznie oznacza możliwość nakładania się fal v f k k f T f T 5
Energia transportowana przez fale E= k A Dla drgającej cząstki energia: Dlatego natężenie fali wynosi I= energia/czas A powierzchnia Gdy fala rozchodząca się w przestrzeni jest falą kulistą I= moc moc powierzchnia 4 r r I w tym przypadku amplituda maleje zgodnie z : I A A r r 6
Natężenie fali, zależność od amplitudy i częstotliwości k m k = m = E= k A = m A energia/czas powierzchnia moc I= powierzchnia I= I A 7
Fale elektromagnetyczne spektrum w próżni wszystkie fale e-m rozchodzą się z prędkością c 3.0 08 m/s James Clerk Maxwell (w połowie XIX w.) wykazał, że światło jest falą elektromagnetyczną = rozprzestrzeniającą się falą zmiennego pola elektrycznego i magnetycznego. Światło widzialne podlega prawom elektrodynamiki. Zakres fal elektromagnetycznych rozciąga się o wiele szerzej niż zakres światła widzialnego. 8
Fale elektromagnetyczne jak powstają biegnąca fala e-m., która rozprzestrzenia się z pewną prędkością transformator źródło energii c 3.0 08 m/s linia transmisyjna oscylator LC Antena antena to drgający dipol elektryczny w którym oscyluje ładunek elektryczny Fale elektromagnetyczne o wysokich częstotliwościach (promieniowanie X, gamma, światło widzialne) są emitowane przez obiekty o rozmiarach atomów decydują efekty znane w fizyce kwantowej. Fale elektromagnetyczne o niższych częstotliwościach mogą być generowane przez obwody drgające LC Falę e-m. emituje ładunek elektryczny, który porusza się ruchem przyspieszonym! 9
Fale elektromagnetyczne czym są Model fali e-m: czoło fali kierunek fali długość fali Fale elektromagnetyczne to drgające pole elektryczne i magnetyczne rozchodzące się w przestrzeni (te drgające pola indukują się nawzajem tworząc falę) Wektory pól elektrycznego i magnetycznego są do siebie prostopadłe pole elektryczne pole magnetyczne Z równań Maxwell a wynikają ważne zależności B B 0 0 x t Wektory pól elektrycznego i magnetycznego drgają prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali e-m, więc iloczyn wektorowy E B wskazuje ten kierunek. Fale e-m są falami poprzecznymi Rozwiązaniami mogą być funkcje: E E 0 0 x t E Em sin kx t B Bm sin kx t Są to równania falowe opisują drgania falowe wektorów B i E 30
Matematyczne równanie falowe h Matematyczne równanie falowe (jednowymiarowe): h h x v t A x rozwiązaniem mogą być funkcje typu: h( x, t ) A cos( kx t ) A = amplituda = długość fali f = częstotliwość = częstość kołowa T = okres fali v = prędkość fali k = liczba falowowa albo: h( x, t ) Ae i (kx t ) albo kombinacje liniowe tych funkcji co fizycznie oznacza możliwość nakładania się fal v f k k f T f T 3
Fale elektromagnetyczne zależności między E i B z prawa indukcji Faraday a E ds d B B ( B )(h dx ) E ds ( E de )h Eh hde E B x t z prawa indukcji Maxwell a B ds 0 0 d E B ds ( B db)h Bh hdb B E 0 0 x t d B db h dx db h de h dx E ( E )(h dx) d E de h dx de h db h dx 3
Fale elektromagnetyczne zależności między E i B ponieważ to: E Em sin kx t B Bm sin kx t z def. prędkości fali E B x t E kem cos(kx t ) x B Bm cos(kx t ) t B E 0 0 x t B kbm cos(kx t ) x E Em cos(kx t ) t c k Em c Bm () Em () Bm 0 0 ( / k ) E c B 0 0 33
Transport energii i wektor Pointing a Fale elektromagnetyczne niosą energię! Wartość energii przenoszonej przez falę na jednostkę powierzchni i na jednostkę czasu jest opisywana przez wektor Poiting a S E B 0 Liczbowo: (energia / czas) moc S powierzchnia powierzchnia c S EB E B 0 c 0 0 wymiar J W s m m Fala e-m przenosi energię zarówno w polu elektrycznym i magnetycznym, każde z nich przenosi tyle samo energii - gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego są sobie równe wzdłuż całej fali e-m. 0 E 0 (cb) 0 B B ue ub 0 0 0 Można definiować tzw. intensywność padającej energii fali jako średnia wartość S (energia / czas) I Sśrednie Em sin (kx t ) średnie Em Esk c 0 c 0 powierzchnia średnie c 0 sin (kx t ) średnie 34
Transport pędu, ciśnienie wywierane przez fale e.-m. Fale elektromagnetyczne niosą także pęd! Tzn. że mogą wywierać ciśnienie na obiekty na które padają. Ale ciśnienie to jest stosunkowo małe. zakładając, że w czasie Dt na powierzchnię pada promieniowanie o energii U obiekt całkowicie pochłania promieniowanie U (całkowita absorpcja) to pęd jaki otrzymał obiekt wynosi: p= c jeśli obiekt całkowicie odbija promieniowanie to pęd jaki otrzymał obiekt wynosi: p= U c (całkowite odbicie) 35
Transport pędu, ciśnienie wywierane przez fale e.-m. Ciśnienie wywierane przez fale e.-m. można wyrazić: P= F dp d U du / = = = A A A c c A gdzie (du/)/a stanowi wektor Pointinga S P= S c (całkowita absorpcja) P= S c (całkowite odbicie) Promieniowanie słoneczne daje ciśnienie na powierzchni Ziemi ok. 4.57x0 6 N/m 36
Polaryzacja fali elektromagnetycznej Fale elektromagnetyczne spolaryzowane liniowo płaszczyzna oscylacji wektor E drga w jednej płaszczyźnie Fale elektromagnetyczne niespolaryzowane wektor E drga w różnych przypadkowych płaszczyznach przypadkowo można przedstawić to jako złożenie dwóch fal spolaryzowanych linowo o prostopadłych płaszczyznach polaryzacji rzuty wektora E na osie y 37
Polaryzatory Polaryzator przepuszcza tylko jedną składową wektora natężenia pola E dlatego natężenie promieniowania zmniejsza się dwukrotnie kierunek podającego promieniowania I0 I prom. niespolaryzowane Polaryzator prom. spolaryzowane Odpowiednio ustawione polaryzatory mogą skręcać płaszczyznę polaryzacji ale natężenie promieniowania zmniejsza się Kierunek polaryzacji I I 0 cos 38
Przykład: Skręcanie płaszczyzny polaryzacji przez ciekłe kryształy polaryzator ciekłe kryształy substancje organiczne, które mają cząsteczki o długich molekułach (które są dipolami elektrycznymi) polaryzator światło przechodzi światło padające NC OCnHn+ ciekły kryształ: skręcony nematyk światło padające odpowiednio ustawione długie cząsteczki decydują o własnościach optycznych ciekłych kryszt. światło zostaje zablokowane przyłożone pole elektryczne 39