Fizyka na usługach inżynierii finansowej 1 Plan referatu 1. Zwiazek ekonomii z naukami ścisłymi 2. Ekonofizyka 3. Metody fizyki w inżynierii finansowej Bładzenie przypadkowe Uniwersalność Korelacje Macierze przypadkowe... 4. Podsumowanie
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 2 Wielcy prekursorzy Spekulacje: Newton, Gauss I can calculate the motions of heavenly bodies, but not the madness of people. Isaac Newton Rachunek prawdopodobieństwa: Pascal, Laplace Procesy stochastyczne: Bachelier, Einstein, Smoluchowski, Wiener Teoria portfela Macierze przypadkowe: Markovitz Wigner
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 3 Louis Bachelier, Teoria Spekulacji, 1900 X t+1 = X t + ξ t, ξ t = 0, ξ t ξ s = σ 2 δ ts prawo rynku finansowego (ruchy Browna) rozkład prawdopodobieństwa cen, wycena kontraktów (czasowych), martyngały, arbitraż, efektywność rynku,... Następcy: X t+1 = X t e ξ t Przykład arbitrażu: Euro/USD = 1.2, USD/ZL=3.0, EURO/ZL=4.0 90 EURO 360 ZL 120 USD 100 EURO
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 4 Ekonofizyka Matematyka finansowa = Fizyka finansowa doświadczalna: ogromne ilości danych teoria: metody fizyki statystycznej Workshop on Econophysics, Budapeszt, 06.1997 J.-P. Bouchaud and M. Potters, Theory of Financial Risks: From Statistical Physics to Risk Management, Cambridge University Press R.-N. Mategna and H.E. Stanley, An Introduction to Econophysics Correlations and Complexity in Finance, Cambridge University Press Econophysics? Phynance? J.-P. Bouchaud
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 5 Metody fizyki w inżynierii finansowej Procesy stochastyczne: ruchy Browna, równania Langevina, równania Fokkera-Plancka; Uniwersalność: niezależność od szczegółów; przykład: centralne twierdzenie graniczne; Macierze przypadkowe: funkcje Greena, diagramatyka Feynmana, rozwinięcie kolorowe;...
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 6 Teoria macierzy przypadkowych Wigner: nowy typ fizyki statystycznej do opisu kwantowego układu wielu ciał p(h)dh = exp [ N2 ] tr H2 dh gdzie H = H odległość między poziomami: p W (x) = π 2 x exp [ π 4 x2] prawdopodobieństwo 1 0.8 0.6 Wigner Poisson data PSfrag replacements 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 λ/ λ
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 7 Zastosowanie modeli macierzowy przypadkowych kwantowe układy wielu ciał teoria lokalizacji szkła spinowe chaos kwantowy QCD - operator Diraca rozwinięcie 1/N (diagramatyka planarna) kombinatoryka węzłow, pseudowezłów, meandrów... 2d grawitacja kwantowa, struny niekrytyczne hipoteza Riemanna statysyka wielu stopni swobody... sui generis gałaź fizyki matematycznej
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 8 Macierze kowariancji N zmiennych przypadkowych: X i, i = 1,..., N Macierz kowariancji: C ij = X i X j X i X j Dla prostoty: X i = 0 C ij = X i X j g replacements Doświadczalna macierz kowariancji: T pomiarów Xi : x it, t = 1,..., T x it T PSfrag replacements N x it N T r = N/T, (r < 1) r = N/T, (r < 1) c ij = 1 T T t=1 x it x jt c = x x τ c = 1 T xxτ
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 9 Rozkład wartości własnych macierzy przypadkowych Przykład: nieskorolowane identyczne zmienne C ij = X i X j = δ ij = ρ C (λ) = δ(λ 1) PSfrag replacements Pytanie: ρ c (λ)? c ij δ ij + ɛ ij gdzie ɛ ij O(1/ T ) Granice: N and r = N/T = const Wishart: ρ c (λ) = 1 2πrλ (λ+ λ)(λ λ ) gdzie λ ± = (1 ± r) 2 5 4 r=1.0 r=0.4 r=0.1 r=0.01 ρc(λ) 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 λ 2.5 3 3.5 4
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 10 Sygnał i szum w macierzy korelacji Problem wprost: ρ C (λ) = ρ c (λ) Problem odwrotny ρ c (λ) = ρ C (λ) Rzeczywisty problem λ 1,..., λ N = ρ C (λ) Wynik zależy od r = N T : np. r 0 ρ c(λ) ρ C (λ) matematyka fizyka biologia telekomunikacja teoria informacji matatyka finansowa (problem portfela)...
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 11 Wybór portfela Zysk, ryzyko, dywersyfikacja (H. Markovitz) N i=1 p i = 1, X = N Zysk: X = N i=1 i=1 p i X i p i X i Ryzyko: σ 2 (X) = ij p i C ij p j = i λ i v 2 i Zasada wyboru portfela: zminimalizować ryzyko przy oczekiwanym zysku Jak wyliczyć C ij? Dane historyczne: R it = ln P it P it 1 = x it = R it R i c ij = 1 T T t=1 x it x jt ρ c (λ) ρ C (λ)
Obserwacje empiryczne Fizyka na usługach inżynierii finansowej 12 c ij = 1 T T t=1 x it x jt gdzie x it = R it R i σ i 6 6 4 4 ρ(λ) 2 Market ρ(λ) 0 0 20 40 60 λ 2 0 0 1 2 3 λ PRL 83(7), 1467 (1999) by Bouchaud, Cizeau, Laloux, Potters C vs. c, pojedyncze piki = sektory Uniwersalność = Potrzebne precyzyjniejsze metody analizy!
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 13 Zwiazek między C and c (2004) 295. Burda, Görlich, Jarosz, Jurkiewicz, Physica A343 g(z) = 1 N 1 Tr z c = 1 N N i=1 1 z λ i 1 x ± i0 + = P V 1 x iπδ(x) = ρ(x) = 1 π Im g(x+i0+ ) 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 14 Momenty spektralne m k = ρ c (λ)λ k dλ, M k = ρ C (λ)λ k dλ m 1 = M 1 m 2 = M 2 + rm1 2 m 3 = M 3 + 3rM 1 M 2 + r 2 M1 3... M 1 = m 1 M 2 = m 2 rm 2 1 M 3 = m 3 3rm 1 m 2 + 2r 2 m 3 1.... Odszumiane macierzy kowariancji Wykorzystanie niestatystycznej informacji w wyznaczaniu C
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 15 Podsumowanie Teoria macierzy przypadkowych Teoria portfela (odszumianie macierzy kowariancji) Perspektywy Instrumenty pochodne Arbitraż statystyczny Szukanie korelacji w danych Transakcje w internecie...
Fizyka na usługach inżynierii finansowej 16 Podziękowania Instytut Fizyki UJ i Centrum Badań Układów Złożonych im. Marka Kaca J. Jurkiewicz, M. A. Nowak, G. Papp, I.Zahed Z. Burda, J. Jurkiewicz, M.A. Nowak, Is Econophysics a Solid Science?, Acta Physica Polonica B34 (2003) 87, cond-mat/0301096 Z. Burda, Fizyka i zarzadzanie ryzykiem finansowym, Postępy Fizyki 57 z.3 (2006) 118 Dziękuję za uwagę!