LV Olimpiada Fizyczna (005/006) Zadania zawodów I stopnia cz eść I Zadanie 1 W którym wagoniku kolejki górskiej trzeba siedzieć (rozważmy tylko pierwszy i środkowy), aby odczuwana przez pasażera si la dociskajaca go do siedzenia by la najwieksza? W którym wagoniku trzeba siedzieć, aby odczuwana przez pasażera si la dociskajaca go do oparcia by la najwieksza? Tor kolejki znajduje sie p laszczyźnie pionowej i sk lada sie z elementów w kszta lcie luku o takim samym promieniu oraz odcinków prostych (patrz rysunek 1). D lugość każdego z fragmentów jest wieksza od d lugości kolejki. Pomijamy tarcie i opór powietrza. rys. 1 Rozwiazanie 1 Si la dociskajaca do siedzenia jest suma si ly odśrodkowej i prostopad lej do toru sk ladowej si ly cieżkości. Jest ona najwieksza w najniższym punkcie toru (najwieksza predkość i najwieksza wartość sk ladowej si ly cieżkości) dla pasażera siedzacego najbliżej środka kolejki. Niech dla danego po lożenia kolejki g s (i) oznacza styczna do toru kolejki sk ladowa przyspieszenia grawitacyjnego w wagoniku o numerze i. Jeśli wagoniki maja wraz z pasażerami te sama mase M, to styczne do toru przyspieszenie kolejki a s jest równe a s = [Σ i Mg s (i)]/σ i M, czyli jest średnia arytmetyczna ze wszystkich g s (i). Odczuwana przez pasażera o masie m, siedzacego w wagoniku i, si la dociskajaca go do oparcia jest równa m(g s (i) a s ). Ta wielkość może być najwieksza dla skrajnych wagoników. Z tego samego rozumowania wynika, że najmniejsza wartość tej si ly jest w środku kolejki. Odp: Si la dociskajaca pasażera do siedzenia jest najwieksza w środku kolejki. Si la dociskajaca pasażera do oparcia jest najwieksza w pierwszym wagoniku. Uwaga dla sprawdzajacych: W treści tego zadania wydrukowanej przez Delte zrobiono pomylke i drugie pytanie sformu lowano nastepuj aco: W którym wagoniku trzeba siedzieć, aby odczuwana przez pasażera si la dociskajaca go do oparcia by la najmniejsza? Prawidlowa odpowiedź na to pytanie to w środkowym wagoniku. Jeśli z pracy uczestnika wynika, że rozwiazywa l zadanie w wersji podanej przez Delte, to te odpowiedź należy uznać. Zadanie Dla jakich katów nachylenia równi po lożony na nia jednorodny, sześcienny klocek przewróci sie? Wspó lczynnik tarcia klocka o równie wynosi µ. Rozwiazanie Niech α bedzie katem nachylenia równi. 1
Rozważmy najpierw przypadek, gdy klocek si e zsuwa. Zachodzi to, jeśli równoleg la do równi sk ladowa si ly ci eżkości jest wieksza od si ly tarcia, czyli gdy mg sin α > µmg cos α. Aby klocek si e przewróci l, moment si ly tarcia wzgl edem środka masy klocka musi być wi ekszy od maksymalnego momentu si ly reakcji pod loża wzgl edem tego środka, czyli µmg a cos α > mg a cos α. Oznacza to, że w tym przypadku (tgα > µ) musi być µ > 1. Gdy klocek sie nie zsuwa, czyli dla tgα µ, wygodnie jest rozważyć momenty si l wzgledem ewentualnej osi obrotu klocka O. W chwili, gdy klocek zaczyna sie przewracać, moment si ly tarcia oraz moment si ly reakcji równi wzgledem osi O sa równe 0. Zatem klocek sie przewróci, jeśli moment (wzgledem O) równoleg lej do równi sk ladowej si ly cieżkości bedzie wiekszy od momentu (wzgledem O) prostopad lej do równi sk ladowej si ly cieżkości, czyli gdy mg a sin α > mg a cos α. Odp: Klocek sie przewróci gdy 1 < tgα, czyli 45 < α < 90, ale tylko jeśli µ > 1. Dla µ 1 klocek nigdy sie nie przewróci. Zadanie 3 Termometr Galileusza to kilka kulek zanurzonych w wodzie. W zależności od temperatury wody cześć z nich wynurza sie, a cześć opada na dno. Przyjmijmy, że kulka ma, niezależnie od temperatury, promień R = 1, 5 cm. Z jaka dok ladnościa powinna być ustalona masa takiej kulki, aby pomiar temperatury odbywa l sie z dok ladnościa 1 C? Potrzebne dane znajdź w tablicach. Rozwiazanie 3 Oznaczmy przez β wspó lczynnik rozszerzalności objetościowej wody. Przy wzroście temperatury o 1K masa wody zajmujacej objetość (4/3)πR 3 = 14, 1 cm 3 zmaleje o β 1 K 14, 1 g i z taka dok ladnościa powinna być określona masa kulki. Ponieważ wspó lczynnik rozszerzalności objetościowej wody zależy od temperatury, ta dok ladność bedzie zależa la od zakresu temperatur, w którym ma dzia lać nasz termometr. Przyjmijmy, że tym zakresem jest np. 15 C 30 C (termometry Galileusza to zwykle termometry pokojowe), co odpowiada wspó lczynnikowi β zmieniajacemu sie od 1, 5 10 4 K 1 do 3, 0 10 4 K 1. Biorac najmniejsza rozszerzalność z rozpatrywanego przedzia lu (określona przez najniższa temperature), szukana dok ladność wynosi 1, 5 10 4 14, 1 g 10 3 g. Odp: Wymagana dok ladność masy kulki zależy od zakresu temperatur, w których ma dzia lać termometr. W termometrze mierzacym temperatury od 15 C, szukana dok ladność powinna wynosić 10 3 g. Zadanie 4 Do sufitu przyczepiono nitke na której zawieszono cia lo o masie m. Pod tym cia lem zawieszono na drugiej nitce cia lo o takiej samej masie. Podaj przyspieszenie obu cia l tuż po przecieciu górnej nitki oraz opisz jakościowo dalszy ruch tych cia l. Rozważ dwie możliwości: a) nitki sa idealnie nierozciagliwe b) nitki sa w istocie gumkami o dużej sta lej spreżystości. Rozwiazanie 4 a) Oba cia la bed a spada ly z przyspieszeniem g. b) Tuż po przecieciu górnej nitki napreżenie dolnej nitki sie nie zmieni, zatem górne cia lo bedzie sie porusza lo z przyspieszeniem g, a dolne z zerowym przyspieszeniem. W miare
jak nitka bedzie sie skracać przyspieszenie górnego cia la bedzie mala lo, a dolnego ros lo aż do momentu, gdy nitka osiagnie swoja d lugość swobodna. Od tej chwili oba cia la bed a porusza ly sie z przyspieszeniem ziemskim, ale górne cia lo bedzie mia lo w każdym momencie wieksz a predkość, wiec bed a sie do siebie zbliża ly. Może wiec zajść zderzenie, ale na podstawie treści zadania nie można określić, co bedzie dalej. Zadanie 5 Rozważmy dwie ramki z drutu (patrz rysunek ). Pierwsza obraca sie ze sta l a predkości a katow a. P lynie w niej prad I. Rozpatrzmy nastepuj ace chwile: a) gdy p laszczyzny ramek sa do siebie równoleg le; b) gdy sa do siebie prostopad le. W którym z tych przypadków moment si ly dzia lajacy na druga ramke jest najwiekszy? W która strone jest skierowany? ω I rys. Rozwiazanie 5 W przypadku a) moment si ly jest równy 0 bo ewentualne si ly dzia lajace miedzy ramkami leża w ich p laszczyźnie. W przypadku b) strumień pola magnetycznego przechodzacy przez druga ramke ma nieznikajac a pochodna wzgledem czasu, co wywo luje w niej si l e elektromotoryczna i w efekcie przep lyw pradu. Wytworzony prad bedzie taki, żeby przeciwstawić sie zmianom strumienia pola magnetycznego, czyli druga ramka bedzie przeciwstawia la sie obrotowi pierwszej. Tak wiec w przypadku b) pierwsza ramka bedzie ciagn e la druga za soba. Uwaga: w tym rozważaniu pomineliśmy samoindukcje ramki. Odp: Moment si ly dzia lajacy na druga ramke jest wiekszy w przypadku b). Bedzie on skierowany zgodnie z kierunkiem obrotu pierwszej ramki. Zadanie 6 Rozważmy proces, w którym objetość jednoatomowego gazu doskona lego ulega zwiekszeniu od V do V + V, a jego ciśnienie zmienia sie od p do p + α V, gdzie V jest bardzo ma le. Dla jakich α w tym procesie ciep lo jest dostarczane do gazu? Rozwiazanie 6 Z I zasady termodynamiki Q = U W = U + p V. Dla jednoatomowego gazu doskona lego U = (3/)nRT = (3/)pV. Zatem Q = [(3/)pV ] + p V = (5/)p V + (3/)V p = (5/)p V + (3/)αV V. Odp: Q > 0 dla α > (5/3)p/V. Przypadek α = (5/3)p/V odpowiada stycznej do adiabaty. 3
Zadanie 7 Jaś przeprowadzi l nastepuj ace doświadczenie fizyczne: ciagn a l pud lo po pod lodze za sznurek przyczepiony do dynamometru, sprawdzajac, jakiej wymaga to si ly. Zgodnie z jego zapiskami ciagn a l to pud lo ruchem jednostajnym, najpierw poziomo, a potem z ta sama (różna od zera) si l a pod katem α = 60 (patrz rys. 3). Zgodnie z prawami fizyki: a) jest to możliwe na każdym pod lożu, trzeba tylko odpowiednio dobrać si l e do wspó lczynnika tarcia (jak?) b) Jaś pomyli l sie; taka sytuacja jest niemożliwa (dlaczego?) c) taka sytuacja jest możliwa tylko dla ściśle określonej wartości wspó lczynnika tarcia (jakiej?). rys. 3 Rozwiazanie 7 Gdy ciagniemy pud lo ruchem jednostajnym, si ly, które na nia dzia laja, musza być w równowadze. Jeśli przez µ oznaczymy wartość wspó lczynnika tarcia skrzyni o pod loże, to warunek równowagi poziomych sk ladowych si l ma postać: µmg = F, gdy skrzynie ciagniemy si l a F skierowana poziomo; µ(mg F sin α) = F cos α, gdy skrzynie ciagniemy si l a F pod katem α do poziomu. Rozwiazaniem tego uk ladu, gdy µ 0 (µ = 0 nie spe lnia warunków zadania, bo wówczas si la by laby równa zeru) jest µ = (1 cos α)/ sin α = tg(α/). Dla α = 60 µ = 3/3. Odp: Prawid lowa jest odpowiedź c), µ = 3/3. Zadanie 8 Rozważmy jednorodny pret zawieszony na pionowych nitkach przymocowanych do jego końców. Obok prawego końca preta na trzeciej nitce wisi kulka. Pret jest poziomy. W pewnej chwili równocześnie przecinamy nitke, na której wisi kulka oraz nitke przywiazan a do prawego końca preta. Tuż po przecieciu nitek przyspieszenie którego punktu bedzie wieksze: środka kulki czy prawego końca preta? Rozwiazanie 8 Przyspieszenie katowe preta o d lugości l jest równe ɛ = mg(l/)/i = mg(l/)/(ml /3) = (3/)g/l. Zatem przyspieszenie prawego końca preta wynosi a = (3/)g. Odp: Przyspieszenie prawego końca preta bedzie wieksze niż środka kulki. Zadanie 9 Powietrzny kondensator p laski ma ma pojemność C p = 10 10 F, a odleg lość miedzy ok ladkami jest równa d = mm. Miedzy ok ladki tego kondesatora wlano ciecz o sta lej dielektrycznej ɛ w = 3 i oporze w laściwym ρ = 10 4 Ωm, ca lkowicie wype lniajac jego wnetrze. Jakie jest nateżenie pradu p lynacego miedzy ok ladkami kondensatora, jeśli zosta l on pod l aczony do źród la o takim napieciu, że ladunek na każdej z ok ladek jest równy co do wartości Q = 10 9 C? Rozważmy kondensator walcowy (o promieniach: wewnetrznym r = mm i zewnetrznym R = 4mm) o pojemności (poczatkowej) również równej C p, miedzy ok ladki którego wlano α 4
te sama ciecz. Jakie bedzie nateżenie pradu p lynacego miedzy jego ok ladkami, jeśli zostanie on pod l aczony do źród la o takim napieciu, że ladunek na każdej z ok ladek bedzie równy co do wartości Q = 10 9 C? Rozwiazanie 9 Rozważmy bardzo cienka warstwe dielektryka (naszej cieczy) o grubości b, rozciagaj ac a sie od jednej z ok ladek kondensatora w kierunku drugiej. Zmiana potencja lu w poprzek tej warstwy jest równa U = be, gdzie E jest nateżeniem pola elektrycznego ( wzd luż warstwy, czyli równolegle do ok ladki, potencja l sie nie zmienia). Zatem nateżenie pradu p lynacego przez warstwe jest równe I = U/(ρb/S) = ES/ρ. Z drugiej strony, korzystajac z prawa Gaussa otrzymamy, że ladunek na ok ladce jest równy Q = ɛ 0 ɛ w ES. Z tych dwóch równań wyznaczamy I. Odp: I = Q/(ɛ 0 ɛ w ρ) = 3, 8 ma. Wynik ten nie zależy od kszta ltu kondensatora i jego pojemności! Zadanie 10 Z równi pochy lej o kacie nachylenia 45, z wysokości h spuszczono na pod loge: a) jednorodna kulke; b) jednorodny sześcian; c) jednorodny graniastos lup o podstawie trójkata równobocznego po lożony ściana boczna na równi (patrz rys. 4). W którym przypadku pozioma predkość cia la na pod lodze bedzie najwieksza? Tarcie i opór powietrza zaniedbujemy. Cia la sa ma le w porównaniu z wysokościa h. rys. 4 a) b) c) Rozwiazanie 10 Zgodnie z zasada zachowania energii predkości każdego z cia l na końcu równi bed a takie same. Przy uderzeniu cia la w pod loge pojawia sie bardzo duża si la reakcji pod logi skierowana w góre. W przypadku kulki i sześcianu, ich środek masy znajduje sie dok ladnie nad punktem przy lożenia tej si ly, co spowoduje gwa ltowne przyspieszenie pionowe cia la, ale nie spowoduje jego obrotu. Ponieważ w tym momencie przestanie dzia lać si la reakcji równi, nie zmieni sie predkość pozioma cia la. W przypadku graniastos lupa o podstawie trójkata równobocznego si la reakcji pod logi spowoduje jego gwa ltowne obracanie sie. Gdyby w czasie tego obrotu nie by lo równi, to krawedź graniastos lupa, która przed obrotem znajdowa la sie na równi, przesune laby sie poniżej jej powierzchni. Ponieważ jednak równia jest, to pojawi sie pochodzaca od niej dodatkowa si la reakcji. Ta si la ma niezerowa sk ladowa pozioma, a wiec zwiekszy pozioma predkość graniastos lupa. Odp: Najwieksz a predkość pozioma bedzie mia l graniastos lup o podstawie trójkata równobocznego. Zadanie 11 Transformator sk lada sie z uzwojenia pierwotnego oraz uzwojenia wtórnego nawinietych na rdzeń. Gdy do uzwojenia pierwotnego pod l aczony jest prad zmienny o napieciu skutecznym 30V, a obwód wtórny jest rozwarty, to napiecie skuteczne na zaciskach obwodu wtórnego jest równe 3V, a prad p lynacy przez obwód pierwotny ma nateżenie skuteczne 10mA. Jakie bedzie nateżenie skuteczne pradu p lynacego w obwodzie wtórnym, 5
jeśli pod l aczymy do niego źród lo pradu zmiennego o napieciu skutecznym 3V, a styki obwodu pierwotnego bed a rozwarte? Opór omowy obu obwodów oraz impedancje źróde l pradu możemy pominać. Prad w obu przypadkach ma czestotliwość 50Hz. Rozwiazanie 11 Stosunek liczby zwojów obwodu pierwotnego do wtórnego jest równy 30 V/3 V = 10. Stosunek indukcyjności obwodu pierwotnego L pierwotny do indukcyjności obwodu wtórnego L wtórny jest równy kwadratowi stosunku liczby zwojów, czyli 10. Zatem prad p lynacy w obwodzie wtórnym, przy rozwartym obwodzie pierwotnym, bedzie równy I wtórny = U wtórny ωl wtórny = U wtórny ωl pierwotny /10 = U pierwotny ωl pierwotny 10 = 100 ma. Odp: Nateżenie skuteczne pradu w obwodzie wtórnym w rozpatrywanym przypadku bedzie wynosić 100 ma. Zadanie 1 Pasażerowie balonu w pewnym momencie stwierdzili, że ich balon zaczyna opadać. Postanowili podskakiwać, tak aby jak najkrócej dotykać nogami pod logi kosza balonu. Czy taki sposób postepowania zmniejszy średnia predkość opadania balonu? Przyjmij, że balon, wraz z koszem i linami, jest sztywny i że si la oporu powietrza jest proporcjonalna do kwadratu predkości. Rozwiazanie 1 Gdyby si la oporu nie zależa la od predkości, to przesuniecia balonu wzgledem środka masy uk ladu balon + pasażerowie nie mia lyby wp lywu na ruch tego środka masy. Ponieważ jednak si la oporu rośnie proporcjonalnie do kwadratu predkości balonu, to średnia wartość tej si ly jest wieksza niż si la odpowiadajaca predkości średniej (wieksze predkości daja wiekszy wk lad niż mniejsze). Skoro średnia si la oporu wzrośnie, to zmaleje średnia predkość opadania balonu. Odp: Takie postepowanie zmniejszy średnia predkość opadania balonu. Zadanie 13 Podobno Alberta Einsteina do stworzenia Szczególnej Teorii Wzgledności doprowadzi lo rozważanie, co dzieje sie z naszym odbiciem w lustrze, jeśli poruszamy sie z predkości a zbliżona do predkości świat la. Rozważmy analogiczny, nierelatywistyczny problem: ultraszybki nietoperz lecacy z predkości a v = 17 m s wzgledem powietrza ogl ada przy pomocy ultradźwieków swoje odbicie w lusterku trzymanym równolegle do kierunku lotu. Pod jakim katem w stosunku do tego kierunku bedzie on widzia l to odbicie? Nietoperz jest ma ly w porównaniu z odleg lościa od lusterka. Predkość dźwieku w powietrzu u = 344 m s. Rozważ zagadnienie: a) w uk ladzie powietrza; b) w uk ladzie nietoperza. Rozwiazanie 13 a) Aby po odbiciu dźwiek dotar l do nietoperza, musi być wys lany pod takim katem, by sk ladowa jego predkości wzd luż kierunku lotu nietoperza by la równa v. Oznacza to, że cos α = u/v, gdzie α kat, jaki tworzy kierunek dźwieku z kierunkiem lotu nietoperza. Zatem nietoperz musi patrzeć pod katem θ = 180 α, aby zobaczyć swoje odbicie. Podstawiajac wartości liczbowe otrzymamy θ = 10. b) W uk ladzie nietoperza dźwiek porusza sie wzd luż prostej prostopad lej do jego kierunku lotu. Jednak nietoperz widzi nie kierunek rozchodzenia sie dźwieku, tylko kierunek prostopad ly do czo la fali dźwiekowej. To oznacza, że jak w pkt a), nietoperz bedzie widzia l swoje odbicie pod katem 10 w stosunku do kierunku lotu. 6
Odp: Nietoperz bedzie widzia l swoje odbicie pod katem 10 w stosunku do kierunku swojego lotu. Zadanie 14 Rozważmy cienki, jednorodny krażek, zrobiony z materia lu promieniotwórczego emitujacego promienie γ. Jak zależy od kierunku obserwacji: a) nateżenie promieniowania termicznego; b) nateżenie promieniowania γ wysy lanego przez ten krażek? Zak ladamy, że punkt obserwacji jest daleko od krażka, promieniowanie nie jest po drodze poch laniane, a krażek promieniuje termicznie jak cia lo doskonale czarne. Rozwiazanie 14 a) Nateżenie promieniowania termicznego jest proporcjonalne do cos θ, gdzie θ jest katem miedzy osia symetrii obrotowej krażka, a kierunkiem obserwacji ilość promieniowania termicznego wysy lanego przez cia lo w kierunku danego punktu jest proporcjonalna do powierzchni tego cia la widzianej przez ten punkt. b) Dla kierunków obserwacji nie leżacych w p laszczyźnie krażka nateżenie promieniowania γ nie zależy od kata obserwacji, gdyż każde jadro promieniuje niezależnie od pozosta lych w losowo wybranym kierunku i nie jest absorbowane przez inne jadra. Gdy kierunek obserwacji leży dok ladnie w p laszczyźnie krażka, nateżenie obserwowanego promieniowania może być mniejsze niż w pozosta lych przypadkach. Zadanie 15 Marek zawiesi l na spreżynce cieżarek o masie m = 100g. W stanie równowagi d lugość rozciagnietej spreżynki by la równa l = 1m. Nastepnie wprawi l cieżarek w pionowe drgania. Ze zdziwieniem stwierdzi l, że po pewnym czasie cieżarek drga l nie w pionie, ale w poziomie jak wahad lo. Jak to wyjaśnisz? Ile by la równa sta la spreżystości spreżynki? Rozwiazanie 15 Rozważana sytuacje można porównać z rozhuśtywaniem huśtawki przy pomocy przysiadania i wstawania. Najefektywniej można to robić wstajac tak, by być wyprostowanym, gdy huśtawka jest w najniższym punkcie. Ponieważ jest ona tam dwukrotnie w czasie okresu swoich drgań, zatem czestotliwość wstawania (i przysiadów) powinna być dwa razy wieksza od czestotliwości drgań huśtawki. W rozważanym przypadku oznacza to, że k/m = g/l, gdzie k jest sta l a spreżystości spreżynki. Zatem k = 4(g/l)m 4 N/m. Oczywiście aby spreżynka mog la sie rozbujać w poziomie, jej poczatkowe drgania nie moga być idealnie pionowe (a w praktyce nigdy nie sa idealnie pionowe). Huśtawke można również rozbujać, choć dużo mniej efektywnie, wstajac n (gdzie n = 1,, 3,...) razy rzadziej niż podano powyżej. Oznacza to, że rozważana sytuacja jest możliwa również, gdy k/m = g/l/n). Odp: Sta la spreżystości mog la być równa k = (4/n )(g/l)m (4/n ) N/m, gdzie n jest liczba naturalna. 7