STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj.
Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ.
X, Y cech adae rówocześe. X X X... X Y Y Y... Y 3
4 ) ) ) ) ), Y Y X X Y Y X X S S Y X Cov R Y X
Uwaga: a) ) ) ) ) ) 5
R X X Y ) X Y Y ) XY 6
Estmator R jest estmatorem zgodm asmptotcze eocążom współczka korelacj ρ. Estmator te ma asmptotcze rozkład ormal ρ N, ρ, próa mus ć ardzo lcza ). 7
Uwaga. +R U l -R +ρ N l, -ρ -3, ). Jeśl ρ, to R U - -R ma rozkład T. 8
Zatem przedzał ufośc dla współczka korelacj ρ próa ardzo lcza) ma postać: R u α R R ; R + uα R współczk korelacj z pró, lczeość pró, α pozom ufośc, u α odcztujem w talc z zależośc Φ u α ) α/ 9
Dla małch pró ) przedzał ufośc dla współczka korelacj ρ ma postać: A B e e ; A B e + e +, gdze + R uα A l R 3, + R uα B l + R 3 u α odcztujem w talc z zależośc Φ u α ) α/
Werfkacja hpotez dotczącch współczka korelacj. Zakładam, że cecha X,Y) ma rozkład ormal,. Wsuwam dwe hpotez: H ρ ρ ), H - jedą z trzech poższch hpotez. Rozpatrujem statstkę zór krtcz wg tael: H Statstka U Zór krtcz Odczt k ρ K ; k > < k; + ) Φ k ) α / ρ ρ > ρ +R +ρ -R -ρ l - l -3 K < k; + ) Φ k ) α ρ < K ; k > Φ k ) α ρ Deczje: Jeśl U K to H odrzucam, Jeśl U K to e ma podstaw do odrzucea H.
Przkład. Badao zależość mędz wdatkam a reklamę a wsokoścą sprzedaż. Dla pró 4 elemetowej otrzmao r,8. Sprawdzm a pozome stotośc,5 hpotez: H ρ,85) H ρ,85).
Rozwązae. Wartość statstk wos u -,86. Zór krtcz ma postać K ;,96 > <,96; + ) Poeważ u K to e ma podstaw do odrzucea H. 3
B adae stotośc współczka korelacj Wsuwam dwe hpotez: H ρ ) rak korelacj pomędz zmem), H jedą z trzech poższch hpotez. Rozpatrujem statstkę zór krtcz wg tael: H Statstka U Zór krtcz Odczt k ρ ; k > < k; + ) ρ > R R P T > k K ) α K < k;+ ) P T > k) α ρ < K ; k > T > k) α P Deczje: Jeśl u K to H odrzucam, Jeśl u K to e ma podstaw do odrzucea H. 4
Woskowae dla współczków regresj β + Nech ędze prostą regresj, a ˆ + prostą regresj wzaczoą a podstawe pró. β 5
6 Współczk, prostej regresj wzaczam stosując metodę ajmejszch kwadratów MNK). Chcem wzaczć mmum fukcj: *) e S ) ) ˆ ), gdze e ˆ azwam resztam modelu regresj. Uwaga. e
MNK: Należ wzaczć prostą regresj tak a suma pól kwadratów ła mmala. 7
8 Olczając pochode cząstkowe fukcj *) przrówując je do zera otrzmujem układ rówań ormalch: ) ) ) ) S S
9 Rozwązując otrzma układ rówań otrzmam wzor a przlżoe wartośc współczków ) ) ) ) ) ), cov X X Y s Y X r s s
Waracja resztowa: Waracja resztowa to średa z pól kwadratów zudowach a resztach odzwercedlająca stopeń dopasowaa prostej regresj do dach statstczch. Nech e $, gdze $ + wted e s e czl s e ) r s s Y e e s e s ozacza średe stadardowe) odchlee od prostej regresj.
Współczk determacj ) ) ) ), cov ) ) ) ˆ r S S Y X e R Y X + Uwaga:, R
Stadardowe łęd oszacowaa współczków prostej regresj. ) ) s s e ) ) ) ) ) s s s s s X e +
3 Stosujem eked zaps X Y s s )) )) ˆ ± ± + lu ) ˆ )) )) e s s s X Y ± + ± ±
Przedzał ufośc dla β,, ; dla pozomu ufośc α mam: β uα S ); + uα S ) gdze u α odcztujem z talc rozkładu Studeta: T > u ) α P α. S ) stadardowe łęd współczków prostej regresj. 4
Werfkacja hpotez dla β,, ; dla pozomu stotośc α rozpatrujem test dla poszczególch parametrów β,,. Wsuwam dwe hpotez: H β β ), H jedą z trzech poższch hpotez. 5
Rozpatrujem statstkę zór krtcz wg tael: H Statstka Zór krtcz Odczt k β ; k > < k; + ) β β > β β U β S ) K T > k) α P K < k;+ ) T > k) α β < K ; k > P T > k) α P Deczje: Jeśl u K to H odrzucam, Jeśl u K to e ma podstaw do odrzucea H. 6
Uwaga Jeśl adam stotość parametru β to przjmujem β tz. H β ) W modelach regresj pożądae jest odrzucee hpotez H β ). Przkład Z populacj dla której X, Y) ma rozkład ormal porao próę elemetową olczoo, że prosta regresj z pró ma postać: Y,35,4 X,5),) Na pozome stotośc,5 sprawdź stotość współczka β. 7
Rozpatrujem hpotez H β ) H β < ) Wartość statstk wos u 4., Zór krtcz ma postać K ;, 66 >. Poeważ olczoa wartość statstk ależ do zoru krtczego to odrzucam hpotezę H β ), zatem wk testu e podważa stotośc współczka β. 8
Progoza puktowa to przewdwaa wartość zmeej Y odpowadająca wartośc τ zmeej X. * τ) + τ 9
3 Stadardow łąd progoz ) ) + + + + e e S S S τ τ τ τ gdze S e odchlee resztowe
łąd względ progoz puktowej: δ τ S τ * τ % 3
Progoza przedzałowa dla poz. ufośc α. * * τ ) u S ; τ ) + u α u α odcztujem z talc rozkładu Studeta: τ T > u ) α P α. α S τ 3
Badae lowośc fukcj regresj - test ser. Badam populację ze względu a dwe cech X Y. Losujem próę - elemetową, ). Na podstawe tej pró chcem sprawdzć cz fukcja regresj jest lowa. Prostm testem do werfkacj tej własośc jest test ser. Nech + ędze prostą regresj wzaczoą a podstawe pró metodą ajmejszch kwadratów. Elemetom pró przpsujem smol a lu : a - gd > +, pukt leż ad prostą) - gd elemetów dla którch zachodz rówość e rozpatrujem). Sere to podcąg złożoe z jedakowch smol. < + pukt leż pod prostą) 33
Rozpatrujem hpotez H fukcja regresj jest lowa), H fukcja regresj e jest lowa), Stosujem statstkę: U lcza ser Zór krtcz: K ; k> gdze k odcztujem z talc dla pozomu stotośc α lcz oraz, gdze - lcza smol a, - lcza smol, Deczje: Jeśl U K to H odrzucam, Jeśl U K to e ma podstaw do odrzucea H. 34
Przkład. Badao zależość mędz wkam testów z dwóch przedmotów przeprowadzom w pewej uczel. Dla pró wlosowach studetów otrzmao astępujące lcz puktów: X 6 4 33 47 55 7 77 8 9 94 Y 5 34 6 83 9 4 4 33 5 45 7 Prosta regresj z pró ma postać Y + 5. Sprawdzm a pozome stotośc,5 hpotezę że zależość mędz tm cecham jest lowa. 35
Rozwązae. Otrzmam astępując cąg smol:,, a, a, a, a,,,,,, Lcza ser wos u 3 Z talc rozkładu ser odcztujem K ; 3> Poeważ u K to odrzucam hpotezę H, zatem możem sądzć, że zależość mędz wkam testów e jest lowa. 36