Promieniowanie cia la doskonale czarnego

Rozdzia l 2 Promieniowanie cia la doskonale czarnego 2.1 Wste ι p 1. Stosunek zdolności emisyjnej dowolnego cia la do jego zdolności absorpcyjnej jest sta ly i równy zdolności emisyjnej cia la doskonale czarnego prawo Kirchhoffa). Eλ, T) Aλ, T) = E Cλ, T) ; 2.1) z definicji cia la doskonale czarnego jego zdolność absorpcyjna A C = 1. 2. Wzór Plancka na rozk lad energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego Eλ, T) = 2πhc2 1 λ 5 hc ), 2.2) gdzie T jest temperatura ι cia la doskonale czarnego, λ - d lugość fali promieniowania, c - pre ι dkość fali elektromagnetycznej w próżni, k - sta la Boltzmanna. 21

22 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO Rys. 2-1 Wykres funkcji Eλ, T ) rozk ladu energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego dla różnych temperatur cia la w zależności od d lugości λ emitowanej fali. 2.2 Zadania 2.2.1. Znaleźć ilość energii wypromieniowanej przez S lońce, jaka przechodzi w cia ι gu jednej sekundy przez powierzchnie ι równa ι 1 m 2 ustawiona ι prostopadle do biegu promieni w odleg lości równej średniej odleg lości Ziemi od S lońca. Za lożyć, że powierzchnia S lońca emituje energie ι jak cia lo doskonale czarne. zanie: Za lóżmy, że energia E 11, która ι wypromieniowuje jednostka powierzchni S lońca w cia ι gu jednej sekundy jest jednakowa dla ca lej jego powierzchni. Jeśli przyja ι ć, że S lońce jest kula ι o promieniu R, to w cia ι gu jednej sekundy ca la powierzchnia S lońca emituje w pe lny ka ι t bry lowy energie ι E 1 = 4πR 2 E 11. 1) W jednostkowy ka ι t bry lowy emitowana jest w cia ι gu jednej sekundy energia E Ω1 = E 1 4π = E 11R 2. 2)

2.2. ZADANIA 23 Ka ι t bry lowy odpowiadaja ι cy elementowi powierzchni S umieszczonemu prostopadle do biegu promieni w odleg lości od S lońca Ω S = S 2. 3) Ca lkowita energia przechodza ι ca przez te ι powierzchnie ι w cia ι gu jednej sekundy E S = E Ω1 Ω S = E 1 S 4π 2. 4) Na jednostke ι tej powierzchni pada w cia ι gu jednej sekundy ilość energii E 11 = E S S = ) 2 R E 11. 5) Ponieważ za lożyliśmy, że S lońce promieniuje energie ι jak cia lo doskonale czarne, wie ι c zwia ι zek mie ι dzy ca lkowita ι ilościa ι energii wypromieniowanej w cia ι gu jednej sekundy przez jednostke ι powierzchni S lońca i jej temperatura ι T otrzymamy ca lkuja ι c wyrażenie na rozk lad energii w widmie cia la doskonale czarnego Eλ, T) wzgle ι dem λ po ca lym zakresie widma E 11 = lub Eλ, T)dλ = 2πhc 2 1 hc ) dλ λ 5 = 2π5 15 k 4 h 3 c 2 T 4 ; 6) E 11 = σt 4, 7) gdzie σ = 5,67 1 8 W/m 2 )K 4 jest sta la ι Stefana. Korzystaja ι c z 5) i 7) - prawo Stefana-Boltzmanna) mamy E 11 = σ ) 2 R T 4. 8) Podstawiaja ι c dane liczbowe R = 6,95 1 8 m i = 1,49 1 11 m) otrzymujemy przyjmuja ι c T = 576 K E 11 = 1374 W/m 2. 9) Wyliczona wielkość nosi nazwe ι sta lej s lonecznej, S. 2.2.2. Obliczyć o ile zmienia sie ι w cia ι gu jednej sekundy masa S lońca w wyniku emisji promieniowania. Za lożyć, że S lońce promieniuje jak cia lo doskonale czarne. zanie: Powierzchnia S lońca w cia ι gu jednej sekundy wysy la energie ι E 1 = 4πr 2 E 11, 1)

24 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO gdzie r jest promieniem S lońca, E 11 zaś ilościa ι energii emitowanej przez 1 m 2 powierzchni S lońca w cia ι gu jednej sekundy, przy czym E 11 = σt 4. 2) W wyrażeniu 2) T oznacza temperature ι powierzchni S lońca, σ zaś jest sta la ι równa ι 5,67 1 8 W/m) 2 )K 4. Po podstawieniu 2) do 1) otrzymujemy E 1 = 4πr 2 σt 4. 3) Korzystaja ι c ze zwia ι zku: E = mc 2 mamy Po podstawieniu danych liczbowych dostajemy m 1 = E 1 c 2 = 4πσ c 2 r2 T 4. 4) m 1 = 4,5 1 9 kg/s, co w porównaniu z masa ι S lońca, która jest równa 2 1 3 kg, jest wartościa ι bardzo ma la ι. 2.2.3. Kulke ι o promieniu R zawieszono na nici be ι da ι cej z lym przewodnikiem ciep la. Ca lość umieszczono w naczyniu, z którego odpompowano powietrze. Kulka promieniuje energie ι jak cia lo doskonale czarne nie poch laniaja ι c przy tym żadnej energii. Po jakim czasie temperatura kulki obniży sie ι od temperatury pocza ι tkowej T 1 do temperatury T 2? Ge ι stość materia lu, z którego wykonana jest kulka wynosi ρ. zanie: Ca lkowita ilość energii wypromieniowanej w cia ι gu jednej sekundy przez jednostke ι powierzchni cia la doskonale czarnego o temperaturze T jest równa wzór 7) z zadania 2.2.1) E 11 = σt 4. 1) W cia ι gu jednej sekundy ca la powierzchnia kulki wypromieniowuje energie ι E 1 = 4πR 2 σt 4. 2) W cia ι gu czasu dt temperatura kulki obniży sie ι o wartość dt, przy czym kulka straci energie ι E 1 dt = mc k dt, 3) gdzie m jest masa ι kulki, c k - ciep lo w laściwe materia lu kulki. Z 2) i 3) mamy dt = mc k dt 4πR 2 σ T 4, 4) a zatem t = mc T2 k dt 4πR 2 σ T 1 T 4 = mc k 1 12πR 2 σ T2 3 ) T1 3. 5)

2.2. ZADANIA 25 Ale m = 4 3 πρr3, 6) wie ι c t = c kρr 9σ 1 T 3 2 ) [ T1 3 = ρc kr 9σT2 3 1 T2 T 1 ) 3 ]. 7) Dla T 1 T 2 wyrażenie 7) można uprościć i otrzymujemy t = ρc kr 9σ 1 T 3 2. 8) Dla kulki żelaznej ρ = 7,9 1 3 kg/m 3, c k = 4,6 1 2 J/kg K)) o promieniu R =,1 m, dla temperatur T 1 = 15 K i T 2 = 3 K otrzymujemy czas ostygania t = 7,3 godz. Jeśli powierzchnia kulki jest szara zdolność absorpcyjna A nie jest funkcja ι d lugości fali absorbowanego promieniowania: zdolność emisyjna ǫ jest równa zdolności absorpcyjnej A) to t = ρc kr 9ǫσT 3 2 [ 1 T2 T 1 ) 3 ]. 9) 2.2.4. Średnia temperatura cia la ludzkiego wynosi 31 K. Określić d lugość fali promieniowania λ max wysy lanego przez cz lowieka, odpowiadaja ι ca ι maksimum funkcji rozk ladu emitowanej przez niego energii. Przyja ι ć, że cia lo ludzkie promieniuje jak cia lo doskonale czarne. Rys. 2-2 Zależność funkcji Eλ, T ) rozk ladu energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego, λ max jest wartościa ι d lugości fali, przy której funkcja Eλ, T ) osia ι ga maksimum.

26 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO zanie: Zależność mie ι dzy λ max i T znajdujemy z równania gdzie deλ, T) dλ Eλ, T) = 2πhc2 1 λ 5 hc =, 1) ) jest wzorem Plancka daja ι cym rozk lad energii w widmie cia la doskonale czarnego. Podstawiaja ι c 2) do 1) i wykonuja ι c różniczkowanie otrzymujemy równanie ) hc hc 5 ) + hc λ 6 kt λ 7 [ hc Po podstawieniu do 3) zmiennej pomocniczej i uporza ι dkowaniu równania otrzymamy ) 2) ] 2 =. 3) hc = x 4) xe x e x = 5. 5) Równanie przeste ι pne 5) można rozwia ι zać na przyk lad metoda ι graficzna ι przyk lad rozwia ι zania równania przeste ι pnego w zadaniu 6.2.7)), ska ι d otrzymuje sie ι wartość x max = 4,965, a wie ι c λ max = hc 4,965 kt 2,9 mm K ; prawowiena). 6) T Podstawiaja ι c T = 31 K dostajemy d lugość fali λ max = 9,5 1 6 m leża ι ca ι w bliskiej podczerwieni. 2.2.5. Ca lkowita ilość energii promieniowania o d lugościach fali zawartych w przedziale λ, ) emitowanego w cia ι gu jednej sekundy przez jednostke ι powierzchni cia la promieniuja ι cego energie ι jak cia lo doskonale czarne, wynosi P. Znaleźć temperature ι tego cia la wiedza ι c, że λ jest znacznie wie ι ksze od d lugości fali λ max odpowiadaja ι cej maksimum funkcji rozk ladu energii Eλ, T) w widmie cia la doskonale czarnego. zanie: Ze wzoru Plancka na zdolność emisyjna ι cia la doskonale czarnego mamy εν, T) = 2πh ν 3 c 2 hν kt ), ν = c λ. 1)

2.2. ZADANIA 27 Ca lkowita moc promieniowania o cze ι stościach z przedzia lu,ν ), odpowiadaja ι cego przedzia lowi λ, ), wysy lanego przez jednostke ι powierzchni cia la doskonale czarnego = 2πh c 2 P = ν ν εν, T)dν = 2) ν 3 hν kt ) dν. 3) Dla λ λ max co odpowiada niskim cze ι stościom, takim że hν kt) możemy rozwina ι ć w szereg funkcje ι wyste ι puja ι ca ι w mianowniku wyrażenia podca lkowego. Dostajemy wówczas ) hν 1 + hν kt kt hν kt. 4) Podstawiaja ι c 4) do 3) otrzymamy a zatem P = 2πh c 2 ν kt h ν2 dν = 2 3 πkt c 2 ν3 = 2 3 πckt λ 3, 5) T = 3 λ 3 P 2π ck. 6) Zak ladaja ι c, że mierzymy emitowana ι energie ι w przedziale d lugości fali powyżej λ = 2 1 5 m i że P =,313 W/m 2, otrzymujemy temperature ι źród la T = 289 K λ max dla cia la o tej temperaturze be ι dzie równe 1 6 m, to znaczy, że relacja λ λ max warunkuja ι ca s luszność stosowania wzoru 6) nie jest spe lniona i znaleziona ι wartość temperatury należy traktować jako orientacyjna ι, co w przypadku tak wysokich temperatur może być wystarczaja ι ce). 2.2.6. Określić temperature ι powierzchni Ziemi zak ladaja ι c, że S lońce promieniuje energie ι jak cia lo doskonale czarne o temperaturze T S i że temperatura Ziemi jest jednakowa na ca lej powierzchni. Rozpatrzyć dwa przypadki: 1. Ziemia jest cia lem szarym. 2. Ziemia poch lania tylko promieniowanie o cze ι stościach z wa ι skiego przedzia lu cze ι stości. zanie: Moc promieniowania S lońca poch laniana przez Ziemie ι jest równa zad. 2.2.1) ) 2 P a = AπRZσ 2 RS TS 4, 1)

28 ROZDZIA 2. PROMIENIOWANIE CIA A DOSKONAE CZARNEGO gdzie jest średnia ι odleg lościa ι Ziemi od S lońca, R S jest promieniem S lońca, a R Z - promieniem Ziemi; dla cia la szarego zdolność absorpcyjna A nie jest funkcja ι d lugości absorbowanego promieniowania. Moc wypromieniowana przez Ziemie ι P e = A 4πR 2 ZσT 4 Z, 2) dla cia la szarego zdolność absorpcyjna, A, jest równa jego zdolności emisyjnej ε). Warunek równowagi termodynamicznej ma postać ska ι d T Z = P a = P e, 3) RS 2 T S. 4) Po podstawieniu danych liczbowych: R S = 7 1 8 m, = 1,5 1 11 m i T S = 6 K otrzymamy temperature ι powierzchni Ziemi T Z 29 K. 5) Wartość ta jest bliska średniej rzeczywistej temperaturze powierzchni Ziemi. W przypadku gdy Ziemia poch lania promieniowanie selektywnie P a = πrz 2 2πhc 2 λ 5 λ hc S ) moc zaś wypromieniowana przez powierzchnie ι Ziemi P e = 4πRZ 2 2πhc 2 λ 5 λ hc Z Jak poprzednio, warunek równowagi ma postać ska ι d RS ) 2 1 hc S ) 2 RS, 6) ). 7) P a = P e, 8) ) = zuja ι c 9) wzgle ι dem T Z otrzymujemy T Z = hc λk 1 { ) 2 [ 2 hc ln R S S 4 hc Z ). 9) ) ] }. 1) + 1

2.3. ĆWICZENIA 29 Podstawienie w miejsce λ d lugości fali λ max odpowiadaja ι cej maksimum funkcji rozk ladu energii Eλ, T) w widmie promieniowania S lońca, pozwala znacznie uprościć wyrażenie 1). Ponieważ ) hc = 4,965) 1, λ max kt S wie ι c jedynke ι w wyrażeniu ) hc S można zaniedbać. Ponieważ również 2/R S ) 2 1, to można także zaniedbać jedynke ι w mianowniku wyrażenia 1) wyste ι puja ι ca ι poza nawiasem kwadratowym. Uproszczone wyrażenie 1) ma postać 4,965 T Z = T S ),29 T S. 11) 2 2 ln + 4,965 R S Podstawiaja ι c T S = 6 K otrzymujemy T Z = 1743 K. Widać, że za lożenie iż Ziemia jest cia lem szarym jest bardziej poprawne. 2.3 Ćwiczenia 2.3.1. W bańce opróżnionej z powietrza umieszczono drucik wolframowy o średnicy d =,1 mm. Jakie powinno być nate ι żenie pra ι du elektrycznego p lyna ι cego przez drucik, aby jego temperatura T = 2 K by la sta la? Zak ladamy, że w lókno wypromieniowuje energie ι jak cia lo doskonale czarne i że straty cieplne spowodowane przewodnictwem ciep la można pomina ι ć. Opór w laściwy drutu ρ = 5,5 1 8 Ωm. Odpowiedź: i = πdt 2 dσ 6,4 A. 2 ρ 2.3.2. Temperatura cia la doskonale czarnego wynosi t 1 = 127 C. Po podwyższeniu temperatury ca lkowita moc wypromieniowywana przez cia lo wzros la n - krotnie. O ile stopni wzros la przy tym temperatura cia la? Odpowiedź: T = T 1 4 n ) 75,6 K dla n = 2. 2.3.3. Sta la s loneczna, to znaczy ilość energii promieniowania s lonecznego, która przechodzi w cia ι gu jednej sekundy przez powierzchnie ι 1 m 2 ustawiona ι prostopadle do kierunku biegu promieni w pobliżu powierzchni Ziemi na