Zadanie R to rata miesi czna, odsetki w k-tej racie to ods k = R( v 8 k ), a spªata kapitaªu wyra»a si wzorem kap k = Rv 8 k, gdzie v = (, 5) /6. Dany jest ukªad nierówno±ci z którego wynika Rv 8 N R( v 8 N ), Rv 8 M R( v 8 M ), N 8 δ ln(, 5),, M 8 ln(4/) 45, 6, δ gdzie δ = ln(, 5)/6, zatem N =, M = 46, ODP = M N = 4. Zadanie i = ODP to stopa zwrotu w funduszu umorzeniowym. Dla pierwszego kredytu odsetki netto wyra-»aj si wzorem 458, 48 = 4 65 (5 4X), gdzie X jest roczn rat wpªacan na fundusz umorzeniowy, zatem Xs 4 i = 5. Dla drugiego kredytu 7, 97 = 65 (5 Y ), Y s i = 5. Wzory na X i Y podstawiamy do odpowiednich równa«, rozpisujemy wzory na warto±ci przyszªe rent i otrzymujemy ukªad równa«od i ( + i) 4 i = 4, 64, ( + i) i =, 848. Niech x = ( + i) 4, wyznaczmy i w zale»no±ci od x z pierwszego równania powy»ej i podstawmy do drugiego, otrzymujemy trójmian kwadratowy postaci x + x + (, 848 ) =, 4, 64 x <, x, 46499886 = ( + i) 4, ODP %. Warto zauwa»y,»e dysponuj c kalkulatorem z funkcj solve informacja o drugim kredycie jest zupeªnie niepotrzebna. Zadanie K = ODP, z tre±ci zadania wynika ukªad równa«k = Xv +, 5Xv +... +, 5 v X + 5v + Y v 4 + (Y )v 5 +... + (Y )v 5, 7659, = X( +, 5 +... +, 5 ) + 5 + Y + K, K = (X + Y )a 8 + 449, 74v 9, LKU,
który sprowadza si do liniowego ukªadu postaci K X a,5v,5 Y v a = 5v v 4 (Ia), K + Xä i=,5 + Y = 7659, 5 + +, K Xa 8 Y a 8 = 449, 74v 9, gdzie a,5v oznacza warto± dzisiejsz renty skalkulowan przy czynniku dyskontuj cym =, 5v. Rozwi zaniem ukªadu s X, Y 5 i ODP = K 4857, 4 5. Zadanie 4 NP V = a () 5 + 8v 5 a (6) ZAD( /) = v + a () ZAD() = a () + 8v a (6) + 6v 8 a (4), ODP = ods + ods 6. v + 8v 5 a (6) + 6v 6 a (4). + 6v 5 a (4). ods = (ZAD( /) ZAD()) = v 5 + 8a (6) v ( v ) + 6v 5 a (4) ( v ). ZAD(6 /) = v + 8v a (6) ZAD(6) = 8a (6) + 6v a (4). + 6v 6 a (4). ods 6 = (ZAD(6) ZAD(6 /)) = v 6 + 6v a (4) ( v ). ODP = a (4) [6(v5 v 6 )+6(v v 6 )]+8a (6) (v v 5 )+ v + v 6 +v v 5 +v 6 v 6. ODP = a (4) [4 i() v 6 + 8 i(6) v 5 ]+ a(6) i() v 5 Zadanie 5 () +a i () v (6) +a i(6) v + i() v + i(6) v 6 = C. Dane jest S = 4, r =, 8, T = /. Skoro opcja jest at-the-money to strike K = S = 4. C =, 5987 = N(d ), zatem d = N (, 5987) =, 5. Ze wzoru na d, 5 = d = ln( S K ) + (r +, 5σ )T σ T powstaje równanie kwadratowe na σ, którego rozwi zania to, i, 8, skoro σ <, 5 to σ =,. Kalkulujemy d = d σ T =, 5. Niech teraz C(S, T ) oznacza cen europejskiej opcji call z czasem do wykonania T, gdy cena akcji wynosi S. Zgodnie z MBS wyceniamy C (S, T ), 7897. Je±li uczestnik rynku stosuje delta-hedging to zajmuje odpowiedni pozycj w akcjach, tak by pochodna jego portfela po cenie akcji byªa =. Zatem warto± portfela w chwili t = to V () = N(d)S C (S, T ), 94767. Zerowy zyska/strata po dniu oznacza,»e V ()exp(, 8/65) = V (/65), st d V (/65) =, 5987S /65 C(S /65, / /65), 9467. Teraz kolejno wyceniamy opcje C(S /65, / /65) dla S /65 z odpowiedzi A,B,C,D,E i sprawdzamy czy zachodzi powy»sze równanie. Najbli»ej jest dla A, gdy S /65 = 4, 4, to V (/65), 946765, ODP = S /65 S, 4. LKU,
Zadanie 6 BUO (bez utraty ogólno±ci) niech S =. Strata= K ( S()). Zatem ODP = K ( E(S() S() < )). Przy S = i korzystaj c ze wzorów na warto± oczekiwan i wariancj rozkªadu log-normalnego wynika,»e µ =, 5 ln, 4 oraz σ = ln, 4. Zatem E(S() S() < ) = x exp ( (ln x+,5 ln,4) ) x π ln,4 ln,4 dx P(S() < ) P(S() < ) = P(ln S() < ), ale ln S() N(µ; σ ), zatem po unormowaniu Teraz, 5 ln, 4 P(S() < ) = Φ( ) Φ(, ). ln, 4 exp ( (ln x+,5 ln,4) ) ln,4 dx = ln x = u = π ln, 4 gdzie X N(, 5 ln, 4; ln, 4), zatem po unormowaniu exp ( (u,5 ln,4) ) ln,4 du = P(X < ), π ln, 4 St d (ln x +, 5 ln, 4) exp( )dx = Φ (, 5 ln, 4) Φ(, ). π ln, 4 ln, 4 ln, 4 ( Φ(, ) ) ODP K, 5K. Φ(, ) Zadanie 7 S() = A(). Z braku arbitra»u S() exp(, 4) = E(S()) = A()E(exp(, 5Z)., 5Z N(;, 5 ). Wiemy,»e dla X N(; σ ) zachodzi Eexp(X) = exp(, 5σ ), st d A() = S()exp(7/8). ODP = e,4 E max(s(), A()e,5Z ) = e / S()Emax(e 7/8, e,5z ) Niech teraz Y N(; /6), zachodzi + Emax(e 7/8, e,5z ) = Emax(e 7/8, e Y ) = e 7/8 4e x P(Y < 7/8) + e 8x dx. 7/8 π Po unormowaniu Y i przeksztaªceniu caªki do g sto±ci pewnego rozkªadu normalnego jest Emax(e 7/8, e,5z ) e 7/8 Φ(, 5) + e / P(W > 7/8), gdzie W N(/6; /6), st d Emax(e 7/8, e,5z ) e 7/8 Φ(, 5) + e / ( Φ(, 85)), zatem ODP S()e / ( e 7/8 ( Φ(, 5)) + e / Φ(, 85) ), 8S(). LKU,
Zadanie 8 Inwestor chce zmaksymalizowa oczekiwan stop zwrotu. EX =, 5 to jest tyle samo, co z inwestycji w lokat w okresie pierwszego roku, inwestor wybierze inwestycje w instrument I, poniewa» oczekiwana stopa zwrotu w okresie roku jest identyczna jak na lokacie i jest szansa,»e stopa zwrotu z inwestycji w I b dzie wi ksza ni», 5, a gdyby zainwestowaª w lokat nie miaªby mo»- liwo±ci wypªacenia pieni dzy w chwili t = i zmiany inwestycji na I. Zatem + ODP = E( + R )( + R ), gdzie R jest stale równe X, a R jest funkcj od (X, X ), tak,»e R (X, X ) = max(, 5; E(X X )), czyli zwraca oczekiwan stop zwrotu za drugi rok inwestycji, jak wybierze inwestor znaj c realizacje X. Zauwa»my,»e dla X [, 5;, ] jest R (X, X ) = X i R (X, X ) =, 5 wpp. Zatem + ODP = E( + R )( + R ) = =,5 x ODP %., x ( + x )( +, 5)dx dx + ( + R (x ))( + R (x, x ))dx dx, x,5 ( + x )( + x )dx dx, 465. Zadanie 9 Drzewo cen akcji wygl da nast puj co Nasza przestrze«probabilistyczna to Ω = {ω = (x x x ), x i {U, D}, i =,, }, gdzie np. (UDD) oznacza,»e w pierwszym kroku cena akcji wzrosªa, a w drugim i trzecim spadªa. Niech W (, ω) oznacza wypªat z opcji, je±li zrealizowaª si scenariusz ω, przykªadowo W (, UDD) = max(; 5; ; 8) min(; 5; ; 8) = 45. ODP = exp(, )E (W (, )), gdzie E oznacza warto± oczekiwan wzgl dem miary martyngaªowej (neutralnej wzgl dem ryzyka). Obliczamy 4 LKU,
p = (R D)/(U D), 67857957, gdzie U =, 5, D =, i R = exp(, ). Zatem ODP = exp(, ) ω Ω W (, ω)p (ω). Poni»ej w kolumnach kolejno: ω, W (, ω) i P (ω): ω =UUU W (, ω) = 95, 5 P (ω) =p ω =UUD W (, ω) = 56, 5 P (ω) =p ( p ) ω =UDU W (, ω) = 5 P (ω) =p ( p ) ω =DUU W (, ω) = 45 P (ω) =p ( p ) ω =DDU W (, ω) = 6 P (ω) =p ( p ) ω =DUD W (, ω) = P (ω) =p ( p ) ω =UDD W (, ω) = 45 P (ω) =p ( p ) ω =DDD W (, ω) = 48, 8 P (ω) =( p ) ODP = exp(, )(95, 5p + 6, 5p ( p ) + p ( p ) + 48, 8( p ) ) 4,. Zadanie K i to koszt i-tej strategii od storny rmy A, zatem K = 8, 584 = 6, 7, bo rma A chce osªoni nale»no± w kwocie 8 PLN. K (K) = (, 95v +, 95, 9 v +, 95, 9, 85v ) K%, bo rma A spªaci skªadk za dany rok tylko gdy B nie zbankrutuje. Skoro bank nie pobiera mar»y to K musi by równy kosztowi CDSa od strony banku. Koszt CDS od strony banku to K bank = (, 5 +, 95, +, 95, 9, 5) 8v, bo bank wypªaca rmie A 8 PLN w momencie t = je±li rma B zbankrutuje w okresie [, ]. Skoro K = K bank to K 8, 58599. Teraz szukamy K, takiego,»e K = K ( K), zatem K = (, 95v +, 95, 9 v +, 95, 9, 85v ) K, st d K 8, 99864747 i ODP = ( K K)/K, %. 5 LKU,