Egzaminy z Inżynierii Finansowej

Transkrypt

1 Egzaminy z Inżynierii Finansowej Włodzimierz Waluś Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Semestr zimowy 2002/2003

2 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Egzamin z dnia 28 stycznia 2003 Rozwiązania zadań Zadanie. (a) Dane są następujące wielkości: sześcio-miesięczna stopa depozytowa wynosi 6.00%, kwotowania kontraktów FRA na przyszłą stopę procentową wynoszą FRA6x2-6.20%, FRA2x8-6.30%, stopa dwuletniego kontraktu IRS wynosi 6.50%, ceny obligacji zerokuponowych, które zapadają za dwa i pół roku oraz za trzy lata, wynoszą odpowiednio B(2 2Y ) = oraz B(3Y ) = Wyznacz wartości czynników dyskontowych dla okresów czasu będących wielokrotnościami sześcio-miesięcznych okresów do trzech lat włącznie. W obliczeniach, dla uproszczenia, n przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu (n = 6, 2, 8, 24, 30, 36) wynosi 2 lat. (b) Rozpatrzmy jednowalutowy kontrakt wymiany procentowej typu fixed/float ze zmiennym nominałem o czasie trwania 3 lata. W trakcie trwania kontraktu nominał kontraktu jest redukowany o 20% początkowej wartości (tj. wartości w chwili zawarcia) po każdym rocznym okresie odsetkowym. Odsetki po stronie stałej (fixed leg) są płacone co roku, a po stronie zmiennej (float leg) co pół roku. Przy danych rynkowych podanych w punkcie (a) wyceń ten kontrakt, tzn. oblicz stopę stałej strony kontraktu, przy której wartość tego kontraktu w chwili zawarcia wynosi zero. Rozwiązanie (a) Czynniki dyskontowe ze stawki Depo: DF ( 2 Y ) = + R depo ( 2 Y ) 2 = = z FRA: oraz DF (Y ) = DF ( 2 Y ) + R FRA6x2 2 DF ( 2 Y ) = DF (Y ) + R FRA2x8 2 = = = , = z IRS (przy założeniu że IRS płaci roczne odsetki po nodze stałej):

3 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Korzystając z warunku NP V (noga zmienna) = NP V (noga stała), który przybiera w naszym przypadku postać otrzymujemy DF (2Y ) = R IRS DF (Y ) + R IRS DF (2Y ), DF (2Y ) = R IRSDF (Y ) + R IRS = = Gdyby przyjąć, że IRS płaci stałe odsetki co pół roku, zasada obliczania DF (2Y ) jest analogiczna tyle że mamy więcej rachunków. z obligacji zerokuponowych DF (2 2 Y ) = B(2 Y )/00 = 0.85 oraz DF (3Y ) = B(3Y )/00 = (b) Będą nam potrzebne 6M stopy forward F ( k 2 2 Y ) gdzie k =, 2,..., 5, bo nasz 3Y IRS (ze zmiennym nominałem) po stronie zmiennej płaci odsetki co pół roku. Dla pierwszego 6M okresu stopa odsetek jest już ustalona i jest to dana 6M stopa depozytowa. Dla dwóch następnych okresów są to podane stopy kontraktów FRA: Y, k+ F ( 2 Y, Y ) = R FRA6x2 oraz F (Y, 2 Y ) = R FRA2x8. Dla pozostałych trzech 6M okresów od k k+ 2 Y do 2 Y, gdzie k = 3, 4, 5, stopy forward wyznaczamy z wzoru ( F ( k 2 Y, k + DF ( k 2 Y ) = Y ) ) 2 DF ( k+ 2 Y ) /( 2 ). Po obliczeniach F ( 3 2 Y, 2Y ) = , F (2Y, 5 2 Y ) = , oraz F ( 5 2Y, 3Y ) = Nominał kontraktu zmienia się w czasie trwania kontraktu: w pierwszym roku wynosi, w drugim 0.80, a w trzecim Niech R oznacza szukaną stopę kontraktu IRS. Płatności nogi stałej wynoszą wtedy CF (Y ) = R, CF (2Y ) = R 0.8, CF (3Y ) = R 0.6. Natomiast płatności nogi zmiennej wynoszą: w pierwszym roku CF ( 2 Y ) = R depo 2 = 0, 03 CF (Y ) = R FRA6x2 2 = 0, 03,

4 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia w drugim roku oraz w trzecim roku CF ( 2 Y ) = R FRA2x CF (2Y ) = F ( 3 2 Y, 2Y ) CF (2 2 Y ) = F (2Y, 5 2 Y ) CF (3Y ) = F ( 5 2 Y, 3Y ) = 0, 0252, = 0, = 0, , = 0, NPV nogi zmiennej wynosi NP V (noga zmienna) = 6 CF ( k 2 Y ) DF (k 2 Y ) = k= Warunek na stopę R to równość NPV nogi stałej i NPV nogi zmiennej. Stąd R = NP V (noga zmienna) DF (Y ) + DF (2Y ) DF (3Y ) 0.6 = = Zadanie 2. Rozpatrzmy opcję amerykańską put na kurs wymiany S [PLN/USD] o czasie trwania 9 miesięcy, cenie wykonania 4.50 PLN/USD, i o nominale USD. Wyceń tę opcję na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: bieżący kurs wymiany wynosi 4.00 PLN/USD, zmienność kursu wymiany w rozpatrywanym okresie wynosi 25%, ceny amerykańskich bonów skarbowych wynoszą odpowiednio B USD (3M) = 99.00, B USD (6M) = 96.03, oraz B USD (9M) = 9.23, ceny polskich bonów skarbowych wynoszą odpowiednio B PLN (3M) = 97.00, B PLN (6M) = 92.5, oraz B PLN (9M) = W obliczeniach, dla uproszczenia, przyjmij, że 3M = 4 roku, 6M = 2 roku, oraz 9M = 3 4 roku. Rozwiązanie Jest to prawie standardowe zadanie na wycenę na drzewie dwumianowym. Prawie, bo jedynym odstępstwem od standardu jest to, że stopy procentowe nie są stałe w czasie trwania instrumentu pochodnego (sprawdzić to!). Wybieramy wariant, w którym, mimo że w każdym 3M okresie stopy procentowe są różne, drzewo będzie się rekombinować. W naszym przypadku, drzewo będzie się rekombinować jeśli współczynniki U i D określimy w następujący sposób U = exp(+σ t) oraz D = exp( σ t),

5 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia bowiem wtedy U D =. W powyższym wzorze t = 4 obliczeniach otrzymujemy jest długością 3M okresu. Po U = exp( ) = oraz D = /U = Niestety, ponieważ stopy procentowe są różne w poszczególnych 3M okresach, prawdopodobieństwa martyngałowe dla tych okresów będą różne. I tak, w pierwszym 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p = e(r PLN r USD ) t D U D = B USD (3M) B PLN (3M) D U D = w drugim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi ( ) p 2 = e f PLN (3M,6M) f USD (3M,6M) t D U D = DF USD (3M,6M) DF PLN (3M,6M) D, U D gdzie f PLN (3M, 6M) oraz f USD (3M, 6M) są stopami forward na drugi okres, tzn. od 3M do 6M. Tych stóp nie będziemy wyliczać. Jak widać z powyższego wzoru wystarczy obliczyć czynniki, które dyskontują z chwili 6M do chwili 3M (czynnik dla PLN i tak będzie nam potrzebny przy wycenie opcji!) Wówczas, po obliczeniach, otrzymamy DF USD (3M, 6M) = B USD(6M) B USD (3M) = = 0.97, DF PLN (3M, 6M) = B PLN(6M) B PLN (3M) = = p 2 = w trzecim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi ( ) p 3 = e f PLN (6M,9M) f USD (6M,9M) t D U D = DF USD (6M,9M) DF PLN (6M,9M) D, U D gdzie f PLN (6M, 6M) oraz f USD (3M, 6M) są stopami forward na trzeci okres, tzn. od 6M do 9M. Czynniki, które dyskontują z chwili 9M do chwili 6M, wynoszą DF USD (6M, 9M) = B USD(9M) B USD (6M) = = , DF PLN (6M, 9M) = B PLN(9M) B PLN (6M) = =

6 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Wówczas, po obliczeniach, otrzymamy p 3 = Mamy już wszelkie dane by utworzyć proces cen na drzewie i wycenić na nim opcję. Najpierw wyznaczamy kursy wymiany na drzewie posuwając się od chwili t = 0 to t = 9M, po czym opcję wyceniany od końca, tzn. cofając się od chwili t = 9M do t = 0. Opiszemy dokładnie tylko wycenę opcji zakładając że proces kursów już wyznaczyliśmy, tzn. będziemy się tylko cofać. w t = 9M kursy wymiany wynoszą (w zależności od stanu ) S(9M, 3) = S U 3 = , S(9M, 2) = S U 2 D = , S(9M, ) = S UD 2 = , S(9M, 0) = S D 3 = Wówczas wypłaty z opcji wynoszą (= max(k S, 0), gdzie K = 4.5 PLN/USD) V (9M, 3) = 0, V (9M, 2) = 0, V (9M, ) = , V (9M, 0) = w t = 6M kursy wymiany wynoszą a wypłaty z opcji wynoszą S(6M, 2) = S U 2 = , S(6M, ) = S UD = 4, S(6M, 0) = S D 2 = , V (6M, 2) = 0, V (6M, ) = 0.5, V (6M, 0) = Z drugiej strony zdyskontowane do t = 6M wartości oczekiwane wypłat opcji w t = 9M wynoszą, odpowiednio P (6M, 2) = DF PLN (6M, 9M) ( p 3 V (9M, 3) + ( p 3 ) V (9M, 2) ) = 0, P (6M, ) = DF PLN (6M, 9M) ( p 3 V (9M, 2) + ( p 3 ) V (9M, ) ) = , P (6M, 0) = DF PLN (6M, 9M) ( p 3 V (9M, ) + ( p 3 ) V (9M, 0) ) = Opcja jest amerykańska, więc sprawdzamy czy optymalne jest jej wykonanie. Oznacza to, że porównujemy wartość z wypłaty V (6M, ) z P (6M, ) Zatem wartości tej opcji, równe max ( V (6M, ), P (6M, ) ), w t = 6M wynoszą P (6M, 2) = 0, P (6M, ) = 0.5, P (6M, 0) = w t = 3M kursy wymiany wynoszą S(3M, ) = S U = , S(3M, 0) = S D = ,

7 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia a wypłaty z opcji wynoszą V (3M, ) = 0, V (3M, 0) = Z drugiej strony zdyskontowane do t = 3M wartości oczekiwane wartości opcji w t = 6M wynoszą, odpowiednio P (3M, ) = DF PLN (3M, 6M) ( p 2 P (6M, 2) + ( p 2 ) P (6M, ) ) = , P (3M, 0) = DF PLN (3M, 6M) ( p 2 P (6M, ) + ( p 2 ) P (6M, 0) ) = Zatem wartości tej opcji, równe max ( V (3M, ), P (3M, ) ), w t = 3M wynoszą W końcu jesteśmy w t = 0. Wypłata z opcji wynosi P (3M, ) = , P (3M, 0) = V (0, 0) = 0.5. Z drugiej strony zdyskontowana do t = 0 wartość oczekiwana wartości opcji w t = 3M wynosi P (0, 0) = DF PLN (3M) ( p P (3M, ) + ( p ) P (3M, 0) ) = Zatem wartość tej opcji, równa max ( V (0, 0), P (0, 0) ), w t = 0 wynosi P (0, 0) = Obliczyliśmy cenę opcji za USD (w jednostkach PLN/USD). Opcja ma nominał USD. Zatem cena opcji o takim nominale wynosi P = USD PLN/USD = PLN. Zadanie 3. Załóżmy, że proces S(t), który opisuje ceny akcji niepłacącej dywidendy, spełnia równanie ds = µsdt + σsdw t. Zakładamy, że r - stopa wolna od ryzyka, µ - współczynnik dryfu akcji, oraz σ - zmienność akcji, są stałe. (a) Znajdź równanie, które spełnia proces S (n) (t) = (S(t)) n, gdzie n. (b) Wyprowadź wzór na wycenę opcji europejskiej, której wypłata w chwili wygaśnięcia T wynosi max(s (n) (T ) K n, 0).

8 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Przy wyprowadzaniu wzoru możesz wykorzystać znane Ci formuły Blacka-Scholesa na wycenę opcji europejskich. Rozwiązanie (a) Skorzystamy z wzoru Ito df = ( f t który w przypadku f(s) = S n, daje nam d(s n ) = f + µs S + ) 2 σ2 S 2 2 f S 2 dt + σs f S dw t, ( 0 + µs ns n + 2 σ2 S 2 n(n )S n 2) dt + σs ns n dw t. Po uporządkowaniu i podstawieniu S (n) = S n, otrzymujemy następujące równanie d(s (n) ) = (nµ + 2 n(n )σ2 )S (n) dt + nσs (n) dw t. (b) Rachunek z punktu (a) możemy przeprowadzić w świecie wolnym od ryzyka. Wówczas, w powyższych równaniach zamiast stopy µ kładziemy stopę wolną od ryzyka r. W szczególności otrzymamy d(s (n) ) = (nr + 2 n(n )σ2 )S (n) dt + nσs (n) d W t, gdzie W t jest odpowiednio dobranym procesem Winera. Rozwiązanie tego równania w chwili czasu T ma postać ( (nr S (n) (T ) = S (n) (0) exp + 2 n(n )σ2 ) 2 (nσ) 2 )T + nσ Wt. Podstawiając oraz ( ((n G 0 = S (n) ) (0) exp )r + 2 n(n )σ2) T ˆσ = nσ, możemy zapisać to nasze rozwiązanie w postaci S (n) (T ) = G 0 exp ((r 2 ˆσ2 )T + ˆσ W ) t. Możemy więc potraktować naszą opcję jako opcję na proces G(t), który (w świecie wolnym od ryzyka) spełnia równanie dg = rgdt + ˆσGd W t,

9 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia z warunkiem początkowym G(0) = G 0. Cena opcji call o cenie wykonania K n, której instrumentem podstawowym jest G(t), wynosi gdzie oraz C = G(0)Φ(d ) exp( rt )K n Φ(d 2 ), d = ln (G(0)/Kn ) + (r + 2 ˆσ2 )T ˆσ T d 2 = d ˆσ T. Teraz wystarczy wrócić do pierwotnych oznaczeń i zmiennych. Po wykonaniu podstawień i stosownych uproszczeń, otrzymamy następujący wzór na cenę potęgowej opcji call C = exp ( (n )(r + 2 nσ2 )T ) S n (0)Φ(d ) exp( rt )K n Φ(d 2 ), gdzie wyrażenia na d i d 2 mają następującą postać d = ln (S(0)/K) + (r + (n 2 )σ2 )T σ T,, oraz d 2 = d nσ T = ln (S(0)/K) + (r 2 σ2 )T σ T. Zadanie 4. Niech S(t) oznacza cenę akcji, która nie płaci dywidendy. Rozpatrzmy binarne opcje europejskie call: o funkcji wypłaty H(S(T ) K), put: o funkcji wypłaty H(K S(T )), gdzie K jest ceną wykonania, T jest czasem trwania opcji, a H oznacza funkcję Heaviside a (H(x) = gdy x 0, oraz H(x) = 0 gdy x < 0). (a) Wyprowadź tzw. parytet call-put dla opcji binarnych, czyli związek pomiędzy ceną opcji call oraz ceną opcji put. (b) Przy założeniach identycznych jak przy dowodzie formuł Blacka-Scholesa na cenę waniliowych (tzn. prostych, klasycznych) opcji, wyprowadź wzór na cenę binarnej opcji europejskiej call. Przyjmij następujące oznaczenia: r - stopa wolna od ryzyka, σ - zmienność akcji. Wypisz dokładnie założenia przy których przeprowadzasz wyprowadzenie wzoru na cenę opcji. Wypisując wzór zastosuj notację analogiczną do przyjętej w standardowych formułach Blacka-Scholesa.

10 Rozwiązanie Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia (a) Rozpatrzmy portfel złożony z binarnej opcji call i binarnej opcji put. Z definicji tych opcji wynika, że wypłata z tego portfela w chwili T, niezależnie od wartości S(T ), wyniesie. Zatem dzisiejsza wartość tego portfela wynosi exp( rt ). Z drugiej strony dzisiejsza wartość tego portfela jest sumą dzisiejszych wartości obu opcji. Mamy zatem związek (parytet binarnych opcji call-put) C binary + P binary = exp( rt ). (b) Zakładamy, że cena akcji S(t) spełnia (w świecie wolnym od ryzyka) równanie ds = rsdt + σsdw t. Zatem S(T ) = S(0) exp ((r ) 2 σ2 )T + σw t. Zgodnie z zasadą wyceny innstrumentów pochodnych w świecie wolnym od ryzyka C binary = exp( rt )E(H(S(T ) K)) = exp( rt )E( {S(T )>K} ). Ale warunek S(T ) > K jest równoważny następującej nierówności W T > ln(k/s(0)) (r 2 σ2 )T σ gdzie jak pamiętamy W T N(0, T ). Proces W T możemy zapisać jako W T = T Z T, gdzie Z T N(0, ). Tak więc, warunek wykonania opcji call zapiszemy jako, Z T > ln(k/s(0)) (r 2 σ2 )T σ T = d 2, gdzie standardowo Stąd d 2 = ln(s(0)/k) + (r 2 σ2 )T σ T C binary = exp( rt )E( {ZT > d 2 }) = exp( rt )P(Z T > d 2 ) = exp( rt )P(Z T < d 2 ) = exp( rt )Φ(d 2 ), gdzie skorzystaliśmy z symetrii rozkładu N(0, ), a Φ jest dystrybuantą rozkładu N(0, )..

11 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca 2003 Egzamin 2 (poprawkowy) z dnia 4 marca 2003 Rozwiązania zadań Zadanie. (0 punktów) Rozpatrzmy dwa typy obligacji o zmiennym oprocentowaniu. Obligacja A - wypłaca co pół roku kupon, obliczany według referencyjnej 6M stopy rynkowej (wartość której jest ustalana przez rynek przed rozpoczęciem kolejnego okresu odsetkowego), oraz w terminie wykupu zwraca nominał. Obligacja B - półroczne kupony obliczane według referencyjnej 6M stopy rynkowej są kapitalizowane (dopisywane do nominału) na końcu każdego okresu odsetkowego a skapitalizowana kwota odsetek jest wypłacana wraz z nominałem w terminie wykupu. (a) Wyprowadź wzory na teoretyczną cenę tych obligacji w chwili czasu leżącej wewnątrz okresów odsetkowych. Wzory doprowadź do postaci, które nie będą zawierały explicite stóp forward. (b) Załóżmy, że 6M stopa rynkowa wynosiła 8 miesięcy temu: 0%, 5 miesięcy temu: 9%, 2 miesiące temu: 8%, oraz że aktualna cena (brudna) obligacji A, której bieżący okres odsetkowy zaczął się 5 miesięcy temu, wynosi 03.50, aktualna cena (brudna) obligacji B, której pierwszy okres odsetkowy zaczął się 8 miesięcy temu, wynosi Oblicz aktualną stopę kontraktu FRAx4 przy założeniu, że obie obligacje są sprawiedliwie wyceniane przez rynek. W s k a z ó w k a : Brak informacji o terminie zapadalności tych obligacji nie jest przypadkowy. Rozwiązanie (a) Wycena teoretyczna obligacji Obligacja A Kupony zapłacone przez obligację nie mają wpływu na bieżącą cenę obligacji. Rozpatrzmy zatem tylko przyszłe płatności generowane przez obligację. Niech t < t 2 <... < t M oznaczają terminy płatności; t jest najbliższym terminem płatności, a t M terminem zapadalności w którym następuje wypłata kuponu i zwrot nominału. Przepływy pieniężne generowane przez taką obligację wyglądają następująco C(t ) = R N w chwili t, C(t 2 ) = F 2 2 N w chwili t 2,. C(t M ) = F M M N + N w chwili t M,

12 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca gdzie R jest rynkową stopą procentową wartość, której została ustalona przez rynek tuż przed (zwykle dwa dni robocze) rozpoczęciem bieżącego okresu odsetkowego, a F i dla i = 2,..., M są stopami, których wartości będą w przyszłości ustalone przez rynek. i oznaczają długości okresów odsetkowych. Wyceniając taką obligację za stopy F i bierze się bieżące stopy forward na kolejne okresy odsetkowe od t i do t i. Stopy te spełniają warunek DF (t i ) ( + F i i ) = DF (t i ), gdzie DF (t) oznacza czynnik dyskontujący z chwili t do chwili bieżącej. Bieżąca cena takiej obligacji jest równa wartości bieżącej przepływów pieniężnych generowanych przez tą obligację M P A = C(t i )DF (t i ) i= = R NDF (t ) + N M F i i DF (t i ) + NDF (t M ). i=2 Ponieważ, jak łatwo wynika z warunku na stopy F i, F i i DF (t i ) = DF (t i ) DF (t i ), wzór na cenę obligacji można znacznie uprościć. Mianowicie P A = R NDF (t ) + N M (DF (t i ) DF (t i )) + NDF (t M ) i=2 = R NDF (t ) + NDF (t ) = ( + R )NDF (t ). Tak więc, wartość bieżąca strumienia przepływów generowanych przez tą obligację pokrywa się z wartością bieżącą pojedyńczego przepływu pieniężnego w wysokości który następuje w chwili t, to znaczy N + R N, P A = ( + R )NDF (t ). Inne, być może bardziej objaśniające, wyprowadzenie powyższego wzoru na wycenę takiej obligacji jest następujące. Obliczamy kolejno zdyskontowane do chwil t i, gdzie i = M,...,, wartości (przyszłych w stosunku do t i ) przepływów pieniężnych tej obligacji. Przepływ pieniężny tej obligacji następujący w chwili t M wynosi ( + F M M )N. Zdyskontowana do t M wartość tego przepływu wynosi N, bowiem czynnik dyskontowy za okres

13 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca od t M do t M jest równy /( + F M M ). Podobnie, dyskontowana do t M 2 wartość przepływów: F M M N następującego w t M, oraz ( + F M M )N następującego w t M, również wynosi N, bowiem ( F M M N + + F M M (F M M + ) N = N. + F M M ) ( + F M M ) N = + F M M Postępując dalej w analogiczny sposób pokazujemy, że zdyskontowana do chwili t wartość przyszłych w stosunku do t przepływów pieniężnych tej obligacji wynosi N. Ta wartość w połączeniu z kuponem R N płatnym w t daje nam przepływ, którego wartość bieżąca jest ceną obligacji. Uwaga: Z powyższych rozważań wynika również, że wartość obligacji o zmiennym kuponie na początku każdego okresu odsetkowego jest równa jej nominałowi, tzn. cena za 00 wynosi 00 (obligacja jest wyceniana at par). Wynika to również z wzoru na cenę P A, bowiem na początku okresu odsetkowego ( + R )DF (t ) =. Komentarz: Zwracam uwagę, że bardzo podobne rozumowanie było przedstawione na wykładzie przy omawianiu wyceny kontraktów wymiany procentowej IRS. Obligacja B Ta obligacja w czasie jej trwania nie wypłaca kuponów. Kupony są kapitalizowane co okres odsetkowy i ich wypłata następuje wraz z nominałem w terminie wykupu tej obligacji. Niech t < t 2 <... < t M oznaczają terminy kapitalizacji kuponów; t jest pierwszym terminem kapitalizacji (który zaczął się w chwili t 0 ), a t M terminem zapadalności w którym następuje wypłata skapitalizowanych odsetek i zwrot nominału. Niech k M oznacza numer bieżącego okresu odsetkowego. Zatem, wartości R, R 2,..., R k stopy rynkowej na pierwsze k okresów odsetkowych zostały już (w przeszłości), tj. w chwilach t 0 < t <... < t k (dokładniej tuż przed), ustalone przez rynek. Natomiast, wartości stopy rynkowej na przyszłe okresy odsetkowe [t i, t i ), gdzie i = k +,... M będą dopiero ustalone. Tak jak w przypadku poprzedniej obligacji, do bieżącej wyceny tej obligacji jako wartości tych przyszłych stóp bierzemy stopy forward F i na odpowiednie okresy odsetkowe. Wówczas, dzisiejsza projekcja kwoty skapitalizowanych kuponów wraz z nominałem płatnych w terminie wykupu obligacji wynosi C(t M ) = ( + R )... ( + R k k ) ( + F k+ k+ )... ( + F M M )N. Ceną tej obligacji jest wartość bieżąca tego przepływu pieniężnego, a więc P B = C(t M )DF (t M ).

14 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca Ponieważ, jak wynika z definicji stopy forward, ( + F i i )DF (t i ) = DF (t i ), wzór na wycenę tej obligacji możemy, postępując rekurencyjnie od końca, zwinąć do następującej postaci P B = ( + R )... ( + R k k )NDF (t k ). Zatem wycena takiej obligacji jest taka sama jak wycena pojedyńczego przepływu finansowego w wysokości ( + R )... ( + R k k )N następującego w chwili t k, tj. w najbliższym momencie kapitalizacji odsetek. Uwaga: Z wzorów na wycenę tych obligacji wynika ważny fakt. Otóż, te obligacje są niewrażliwe na stopy procentowe o terminach dłuższych niż termin najbliższej płatnosci kuponu w przypadku obligacji typu A lub termin najbliższej kapitalizacji odsetek w przypadku obligacji typu B. Uzbrojeni w wiedzę z punktu (a) możemy rozwiązać zagadnienie postawione w punkcie (b). (b) Obliczenie stopy kontraktu FRAx4 Stopa kontraktu FRAx4 jest 3M stopą forward na okres czasu zaczynający się za M (jeden miesiąc) i kończący się za 4M (cztery miesiące). Obliczamy ją z wzoru ( ) DF (M) R FRAx4 = F (M, 4M) = DF (4M) / (M,4M), gdzie (M,4M) = 4 jest długością okresu czasu od M do 4M. Tak więc musimy wyznaczyć czynniki dyskontowe DF (M) oraz DF (4M). Wyznaczymy je korzystając z ceny obligacji A i ceny obligacji B. Czynnik dyskontowy DF (M) Aktualna cena (brudna) obligacji A, której bieżący okres odsetkowy zaczął się 5 miesięcy temu, wynosi Rynkowa 6M stopa procentowa, ustalona 5 miesięcy temu, a więc stopa według której obliczony został kupon tej obligacji płatny w chwili M (od dziś), wynosiła 9%. Zatem, jest bieżącą wartością przepływu pieniężnego o wysokości ( ) 00 = 04.50, 2 który nastąpi za M od dziś. Zatem, zakładając, że ta obligacja jest sprawiedliwie wycenia przez rynek, musi zachodzić równość = DF (M). Stąd, obliczamy DF (M) = =

15 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca Czynnik dyskontowy DF (4M) Aktualna cena (brudna) obligacji B, której pierwszy okres odsetkowy zaczął się 8 miesięcy temu, wynosi Rynkowa 6M stopa procentowa, ustalona 8 miesięcy temu, a wiec stopa według której obliczony został pierwszy kupon tej obligacji, wynosiła 0%. Stopa rynkowa dla drugiego (aktualnie trwającego) okresu odsetkowego, została ustalona 2 miesiące temu i wynosiła 8%. Zatem, jest bieżącą wartością przepływu pieniężnego o wysokości ( ) ( ) 00 = 09.20, 2 2 który nastąpi za 4M od dziś. Zatem, zakładając, że ta obligacja jest sprawiedliwie wycenia przez rynek, musi zachodzić równość = DF (4M). Stąd, obliczamy DF (4M) = = Teraz możemy już obliczyć stopę FRAx4 R FRAx4 = ( ) / 4 = %. Zadanie 2. (0 punktów) Dane są następujące kwotowania kurs wymiany PLN/USD: , punkty swapowe PLN/USD wynoszą dla 3M: , oraz dla 6M: , PLN 3M Depo: 4.00%, PLN FRA3x6: 5.00%, USD FRA3x6: 2.00%. (a) Oblicz stopę 3M depozytu dolarowego przy założeniu, że w okresie 3M na rynku nie ma możliwości do arbitrażu. (b) Czy przy powyższych danych istnieją na rynku w okresie do 6M możliwości do arbitrażu? Jeśli tak, opisz strategię arbitrażową i oblicz dzisiejszą wartość wolnego od ryzyka zysku (od nominału transakcji arbitrażowej 00 PLN). Rozwiązanie (a) Stopa depozytowa 3M dla USD Niech S = PLN/USD oznacza kurs spotowy wymiany USD na PLN. 3M terminowy kurs wymiany PLN/USD wynosi F 3M = S + 3M punkty swapowe = = PLN/USD.

16 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca Między terminowym kursem wymiany F 3M a kursem bieżącym (kursem spotowym) S, przy braku arbitrażu, zachodzi następujący związek (tzw. parytet stóp procentowych) F 3M = S + rpln 3M + r USD 3M 3M, 3M gdzie r3m PLN, rusd 3M oznaczają 3M stopy depozytowe dla PLN i USD, odpowiednio, a 3M jest długością okresu 3M depozytu. Korzystając z tego wzoru możemy wyznaczyć szukaną stopę r3m USD. Mianowicie ( ) S r3m USD ( ) = + r PLN 3M 3M / 3M. F 3M Po wstawieniu danych do powyższego wzoru otrzymujemy ( ( r3m USD = ) ) / = 0, %. (a) Możliwość arbitrażu na rynku do 6M Niech F 6M oznacza 6M terminowy kurs wymiany. Przy braku możliwości do arbitrażu w segmencie rynku terminowego od 3M do 6M, kurs ten oraz kurs F 3M muszą spełniać warunek (parytet stóp forward) F 6M = F 3M + f 3M,6M PLN (3M,6M) + f3m,6m USD, (3M,6M) gdzie f3m,6m PLN, f 3M,6M USD są stopami forward 3M depozytów dla PLN i USD na okres od 3M do 6M, odpowiednio, a (3M,6M) jest długością tego okresu. Stopy forward na ten okres mamy dane jako kwotowania stóp kontraktów FRA f PLN 3M,6M = R PLN FRA6x9 oraz f USD 3M,6M = R USD FRA6x9. Sprawdzamy czy powyższy warunek zachodzi. Z jednej strony mamy kwotowanie F 6M = S + 6M punkty swapowe = = PLN/USD. Z drugiej strony, z parytetu stóp forward, 6M kurs wymiany wynosiłby = Tak więc, ceny na rynku depozytowym implikują wyższy kurs terminowy niż kurs z terminowego rynku walutowego. Zatem jest okazja do arbitrażu. Dolar w terminie 6M jest na rynku walutowym tańszy niż cena dolara jaką możemy uzyskać z 3M lokat terminowych.

17 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca Opłaca się kupić tanio w terminie 6M dolara i jednocześnie go przez transakcje depozytowe sprzedać po wyższej cenie. Teraz widzimy co musimy zrobić: (a) tanie kupno dolara w 6M: zawieramy transakcję FX forward na termin 6M kupna dolara po cenie PLN/USD, (b) wygenerować drogą sprzedaż dolara w 6M - robimy to tak: ) kupujemy transakcję USD FRA3x6 ze stopą 2.00% - to zapewnia nam możliwość finansowania się w USD (pożyczenia dolarów) po tej stopie na okres od 3M do 6M; 2) zawieramy transakcję FX forward na termin 3M sprzedaży dolara po cenie PLN/USD - sprzedaż pożyczonych w 3M dolarów; 3) sprzedajamy transakcję PLN FRA3x6 ze stopą 5.00% - to zapewnia nam możliwość ulokowania PLN otrzymanych ze sprzedaży pożyczonych w 3M USD po tej stopie na okres od 3M do 6M. Niezależnie od tego jak się będą kształtować kursy i stopy procentowe w przyszłości, nasz bilans w 6M będzie wyglądał następująco (licząc od USD pożyczonego w 3M): + otrzymamy zwrot z lokaty w PLN w kwocie ( ) = PLN, musimy zwrócić pożyczone USD na kwotę ( ) =.005 USD, które kupujemy po PLN/USD (mamy zagwaratnowane przez zawartą transakcję FX forward) - musimy na to wydać = PLN. Zatem zostaje nam w 6M z tej operacji = PLN na USD pożyczone w terminie 3M. Uwaga: Dlaczego strategię opisaną (b) określamy jako sprzedaż dolarów w terminie 6M? Otóż, w 6M otrzymamy PLN z tytułu wygaśnięcia lokaty złotowej, oraz jednocześnie musimy zwrócić (oddać z odsetkami) pożyczone dolary - można powiedzieć że sprzedajemy USD (to oddawanie dolarów) za PLN (bo złote otrzymamy), a więc wymiana walutowa. Możemy, wyliczyć kurs po jakim ta wymiana się odbędzie w tej części strategii. Powinien on wynieść PLN/USD (dlaczego?). Tak jest w istocie, bo jak widać z rachunków opisujących bilans naszej tranaskacji arbitrażowej, w 6M mamy wymianę.005 USD za PLN, czyli kurs tej wymiany wynosi PLN/.005 USD = PLN/USD. Wartość bieżąca zysku od nominału transakcji 00 PLN w 3M. W 3M ten nominał jest wart 00/ = USD. Zatem nasz zysk od takiego dolarowego nominału będzie wynosił = PLN. Bieżąca wartość tej kwoty wynosi przy założeniu, że stopy dla PLN są w rynku. = PLN, Uwaga: Czy to dużo czy mało zależy od nominału transkacji. Duzi gracze zawierają takie transakcje na nominał rzędu PLN. Zysk na takiej transakcji (wolnej od ryzyka) zrealizowany w 6M od dzisiaj wyniesie PLN.

18 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca Zadanie 3. (5 punktów) Wypłata opcji azjatyckiej call w chwili t T (T jest czasem wygaśnięcia opcji) wynosi gdzie K jest ceną wykonania a max(a(t) K, 0), A(t) = n n S(t i ) jest dyskretną średnią arytmetyczną naliczoną do chwili t na podstawie wartości cen akcji w chwilach t < t 2 <... < t n t. Jeśli t < t, to A(t) = 0. Ostatnia chwila czasu t N z której wartość ceny akcji jest uwzględniana do obliczenia średniej pokrywa się z czasem wygaśnięcia opcji T. Rozpatrzmy 9-cio miesięczną amerykańską opcję azjatycką call na akcję (niepłacącą dywidendy). Cena wykonania tej opcji wynosi K = 05 PLN. Dyskretna średnia arytmetyczna jest obliczana w chwilach t i = (3i)M, gdzie i = 0,, 2, 3. Wyceń tę opcję na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: bieżąca cena akcji wynosi 00 PLN, zmienność akcji wynosi %, 3M stopa procentowa wynosi.77%, stopa FRA3x6: 9.53%, stopa FRA6x9: 8.4%. Rozwiązanie i= Współczynniki U i D określamy w następujący sposób U = exp(+σ t) oraz D = exp( σ t), wtedy U D =. W powyższym wzorze t = 4 otrzymujemy jest długością 3M okresu. Po obliczeniach U = exp( ) = oraz D = /U = Ponieważ stopy procentowe są różne w poszczególnych 3M okresach, prawdopodobieństwa martyngałowe dla tych okresów będą różne. I tak, w pierwszym 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p = ( + r PLN(3M) t) D U D = ( ) = w drugim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p 2 = ( + f PLN(3M, 6M) t) D U D = , gdzie za stopę forward f PLN (3M, 6M) na drugi okres, tzn. od 3M do 6M należy wziąźć stopę kontraktu FRA3x6.

19 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca w trzecim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p 3 = ( + f PLN(6M, 9M) t) D U D = , gdzie f PLN (6M, 9M) = R FRA6x9. Będą nam również potrzebne czynniki, które dyskontują z końców kolejnych 3M okresów na ich początki. I tak, czynnik, który dyskontuje z chwili 3M do chwili 0 obliczamy z wzoru DF (3M) = + r PLN (3M) t = = czynnik, który dyskontuje z chwili 6M do chwili 3M obliczamy z wzoru DF (3M, 6M) = + f PLN (3M, 6M) t = = czynnik, który dyskontuje z chwili 9M do chwili 6M obliczamy z wzoru DF (6M, 9M) = + f PLN (6M, 9M) t = = Zaczynamy od wyznaczenia procesu cen S na drzewie. Będziemy od razu wyznaczać średnie cen A oraz wartość wypłaty V z tytułu realizacji opcji w danym węźle. w t = 0 S(0) = 00 A(0) = 00 V (0) = max(00 05, 0) = 0 w t = 3M S(3M, U) = A(3M, U) = 2 (S(0) + S(3M, U)) = V (3M, U) = max( , 0) = S(3M, D) = A(3M, D) = 2 (S(0) + S(3M, D)) = V (3M, D) = max( , 0) = 0 w t = 6M S(6M, UU) = A(6M, UU) = 3 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UU)) = V (6M, UU) = max( , 0) = S(6M, UD) = 00 A(6M, UD) = 3 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UD)) = V (6M, UD) = max( , 0) =

20 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca S(6M, DU) = 00 A(6M, DU) = 3 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DU)) = V (6M, DU) = max( , 0) = 0 S(6M, DD) = A(6M, DD) = 3 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DD)) = V (6M, DD) = max( , 0) = 0 w t = 9M S(9M, UUU) = A(9M, UUU) = 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UU) + S(9M, UUU)) = V (9M, UUU) = max( , 0) = S(9M, UUD) = A(9M, UUD) = 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UU) + S(9M, UUD)) = V (9M, UUD) = max( , 0) = S(9M, UDU) = A(9M, UDU) = 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UD) + S(9M, UDU)) = V (9M, UDU) = max( , 0) = S(9M, U DD) = A(9M, UDD) = 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UD) + S(9M, UDD)) = V (9M, UDD) = max( , 0) = 0 S(9M, DUU) = A(9M, DUU) = 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DU) + S(9M, DUU)) = V (9M, DUU) = max( , 0) = 0 S(9M, DU D) = A(9M, DUD) = 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DU) + S(9M, DUD)) = V (9M, DUD) = max( , 0) = 0 S(9M, DDU) = A(9M, DDU) = 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DD) + S(9M, DDU)) = V (9M, DDU) = max( , 0) = 0 S(9M, DDD) = A(9M, DDD) = 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DD) + S(9M, DDU)) = V (9M, DDD) = max( , 0) = 0 Zauważmy, że choć drzewo z procesem cen rekombinuje się, to drzewo z procesem średnich jest rozdzielone i niestety to po tym rozdzielonym drzewie będziemy musieli poruszać się dokonując wyceny opcji. Oczywiście wycenę przeprowadzamy zaczynając od końca, tzn. cofając się od chwili t = 9M do t = 0. W każdym węźle obliczamy zdyskontowaną wartość oczekiwaną wartości opcji widzianych z tego węzła w stanie Up i Down w następnym okresie i porównujemy ją wypłatą jaką byśmy otrzymali w przypadku realizacji opcji - wartość opcji w tym węźle jest liczbą większą z nich. w t = 6M E(6M, UU) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, UUU)+( p 3 ) V (9M, UUD)) = P (6M, UU) = max(e(6m, UU), V (6M, UU)) =

21 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca E(6M, UD) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, UDU)+( p 3 ) V (9M, UDD)) = P (6M, UD) = max(e(6m, UD), V (6M, UD)) = E(6M, DU) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, DUU) + ( p 3 ) V (9M, DUD)) = 0 P (6M, DU) = max(e(6m, DU), V (6M, DU)) = 0 E(6M, DD) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, DDU) + ( p 3 ) V (9M, DDD)) = 0 P (6M, DD) = max(e(6m, DD), V (6M, DD)) = 0 w t = 3M E(3M, U) = DF (3M, 6M) (p 2 P (6M, UU) + ( p 2 ) P (6M, UD)) = P (3M, U) = max(e(3m, U), V (3M, U)) = E(3M, D) = DF (3M, 6M) (p 2 P (6M, DU) + ( p 2 ) P (6M, DD)) = 0 P (3M, D) = max(e(3m, D), V (3M, D)) = 0 W końcu jesteśmy w t = 0. E(0) = DF (3M) (p P (3M, U) + ( p ) P (3M, D)) = P (0) = max(e(0), V (0)) = Uff! Cena opcji wynosi PLN. Zadanie 4. (5 punktów) Rozpatrzmy (waniliowe) opcje europejskie o czasie trwania T, które są w chwili bieżącej at-the-money forward, to znaczy takie których cena wykonania K i bieżąca cena akcji S spełniają warunek K = S exp((r δ)t ), gdzie r jest stopą wolną od ryzyka, a δ jest stopą (ciągłej) dywidendy. Pokaż, że w tym przypadku ceny opcji call i put są takie same i wynoszą ( ) ( V = e δt S Φ( 2 σ T Φ ) ) 2 σ T. Ponadto, pokaż, że dla małych wartości σ T, zachodzi przybliżony wzór V 0.4 e δt S σ T. W powyższych wzorach σ oznacza zmienność akcji, a Φ dystrybuantę rozkładu N(0, ). Rozwiązanie Parytet call-put dla waniliowych opcji europejskich oznacza, że C(S, r, δ, σ, T, K) P (S, r, δ, σ, T, K) = e δt S e rt K. Dla opcji które są w chwili bieżącej (t = 0) at-the-money forward, prawa strona powyższej tożsamości wynosi zero. Stąd C(S, r, δ, σ, T, K) = P (S, r, δ, σ, T, K),

22 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca które dla uproszczenia notacji oznaczymy przez V. Z wzorów Blacka-Scholesa, wypisanego dla opcji call, mamy V = e δt S Φ(d ) e rt KΦ(d 2 ), gdzie oraz Ponieważ S/K = e (r δ)t, to d = ln (S/K) + (r δ + 2 σ2 )T σ T d 2 = d σ T., d = (r δ)t + (r δ + 2 σ2 )T σ T = 2 σ T, i wówczas d 2 = d σ T = 2 σ T. Stąd, oraz jeszcze raz korzystając z równości e δt S = e rt K, otrzymujemy ( ) ( V = e δt S Φ(d ) exp( rt )KΦ(d 2 ) = e δt S Φ( 2 σ T Φ ) ) 2 σ T. Ponieważ ) ( Φ( 2 σ T Φ ) 2 σ T = + 2π 2 σ T 2 σ T e 2 x2 dx, to dla małych wartości σ T, możemy posłużyć się następującym przybliżeniem gdyż 2π 0.4. V e δt S + 2 σ T 2π 2 σ T dx = e δt S 2π σ T 0.4 e δt S σ T, Zadanie 5. (5 punktów) Europejska opcja pay-later call jest opcją, której wypłata w chwili wygaśnięcia opcji T wynosi max(s(t ) K, 0), a jej posiadacz płaci wystawcy premię Q w chwili wygaśnięcia opcji tylko wtedy gdy S(T ) K. Wyznacz wartość premii Q. Rozwiązanie Długa pozycja w europejskiej opcji pay-later call jest identyczna z portfelem złożonym z (a) kupionej waniliowej opcji europejskiej call, oraz (b) sprzedanej binarnej opcji europejskiej call o nominale Q,

23 Inżynieria Finansowa - Egzamin 2-4 marca mających tą samą cenę wykonania K i ten sam termin wygaśnięcia T. Zatem cena P opcji pay-later call w chwili zawarcia transakcji jest sumą wartości początkowych długiej pozycji w opcji waniliowej i krótkiej pozycji w opcji binarnej P = P vanilla call Q P binary call. Początkowy koszt europejskiej opcji pay-later call wynosi zero. Stąd Ponieważ, dla akcji niepłacącej dywidendy Q = P vanilla call P binary call. P vanilla call = S(0) Φ(d ) e rt KΦ(d 2 ), oraz, jak już wyjaśniliśmy przy okazji poprzedniego egzaminu (patrz Zadanie 4 z tego egzaminu), P binary call = e rt Φ(d 2 ), po prostych przekształceniach otrzymamy Q = e rt S(0) Φ(d ) Φ(d 2 ) K, gdzie d oraz d 2 mają standardowe znaczenia, takie jak we wzorach Blacka-Scholesa.

24 Inżynieria Finansowa - Egzamin 3-6 kwietnia Zasady i uwagi Egzamin 3 (poprawkowy II) z dnia 6 kwietnia Rozwiązania zadań rachunkowych muszą zawierać objaśnienia do wykonywanych obliczeń pokazujące i uzasadniające przyjęty sposób rozwiązywania. Za brak objaśnień będą odejmowane punkty, w skrajnych przypadkach wszystkie. 2. Każde zadanie proszę napisać na osobnej i podpisanej kartce. Proszę pisać wyraźnie! 3. Nie wolno ściągać. Osoby przyłapane na ściąganiu zostaną usunięte z egzaminu z oceną niedostateczną. 4. Osoby, które chcą otrzymać informację o wyniku egzaminu pocztą elektroniczną, proszę o podanie adresu (czytelnie!). 5. W obliczeniach, dla uproszczenia, przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu wynosi n 2 lat. Treść zadań Zadanie. (5 punktów) Rozpatrzmy opcję na 000 akcji firmy ABC. Bieżąca cena akcji wynosi S = 00 PLN, a ich zmienność σ = 20%. Cena tej opcji wynosi V = 2599 PLN. Delta opcji wynosi = 55.68, a gamma Γ = Oblicz (przybliżoną) cenę tej opcji po upływie 3 dni, przy założeniu, że wszystkie pozostałe wielkości, od których zależy cena opcji, nie uległy zmianie w tym czasie. Przyjmij, że stopa procentowa wolna od ryzyka, kapitalizowana w sposób ciągły, wynosi 7.00%, oraz załóż, że akcja nie płaci dywidendy w czasie trwania opcji. Zadanie 2. (0 punktów) Dane są następujące kwotowania: cena 3M opcji ATM (at-the-money) kupna miliona USD za PLN (to jest opcji call na kurs wymiany PLN/USD o nominale milion USD) wynosi: PLN, bieżący kurs PLN/USD wynosi: (PLN za USD), 3M punkty swapowe PLN/USD wynoszą: , 3M stopa (kapitalizowana w sposób ciągły) dla PLN wynosi: 7.00%. Przy założeniu, że na rynku nie ma możliwości do arbitrażu, (a) oblicz cenę 3M opcji ATM (at-the-money) kupna PLN za USD, (b) 3M depozytową stopę (wolną od ryzyka) dla USD. Przypomnienie: Mówimy, że opcja jest ATM (at-the-money) jeśli bieżąca cena instrumentu podstawowego opcji jest równa cenie wykonania opcji.

25 Inżynieria Finansowa - Egzamin 3-6 kwietnia Zadanie 3. (0 punktów) Terminowa opcja call na akcje to kontrakt, w którym posiadacz tego kontraktu w ustalonej chwili w przyszłości T otrzymuje europejską opcję call na te akcje z ceną wykonania opcji równą S(T ) (cenie akcji w chwili T ) o czasie trwania T 2. Wyznacz cenę dzisiejszą (to jest w t = 0) tej opcji terminowej. W tym celu: (a) Pokaż, że cena opcji ATM (at-the-money) call jest wprost proporcjonalna do bieżącej ceny akcji. (b) Korzystając z (a) wyznacz wartość opcji terminowej w chwili T. (c) Korzystając z ogólnej metody wyceny instrumentów pochodnych oblicz dzisiejszą cenę opcji terminowej. Załóż, że stopa wolna od ryzyka, dywidenda, oraz zmienność akcji są stałe w okresie czasu do T + T 2, oraz, że cena akcji spełnia standardowy model stosowany przy wypowadzeniu wzorów Blacka-Scholesa. Zadanie 4. (5 punktów) Wypłata opcji azjatyckiej call ze średnią ceną wykonania (ang. average strike option) w chwili t T (T jest czasem wygaśnięcia opcji) wynosi gdzie max(s(t) A(t), 0), A(t) = n n S(t i ) jest dyskretną średnią arytmetyczną naliczoną do chwili t na podstawie wartości cen akcji w chwilach t < t 2 <... < t n t. Jeśli t < t, to A(t) = 0. Ostatnia chwila czasu t N z której wartość ceny akcji jest uwzględniana do obliczenia średniej pokrywa się z czasem wygaśnięcia opcji T. Rozpatrzmy europejską opcję azjatycką call ze średnią ceną wykonania na akcję (niepłacącą dywidendy), której kontraktowy czas trwania wynosi 5 miesięcy. Dyskretna średnia arytmetyczna jest obliczana w chwilach t i = (3(i ))M, gdzie i =, 2, 3, 4, 5, 6. Oś czasu jest wyskalowana w następujący sposób: zawarcie kontraktu nastąpiło w chwili t = 0, bieżącą chwilą czasu jest t = 6M, to jest, 6 miesięcy od daty zawarcia kontraktu. Wyceń tę opcję w chwili t = 6M na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: w chwili zawarcia kontraktu cena akcji wynosiła S(0) = 80 PLN, po 3M od momentu zawarcia kontraktu cena akcji wynosiła S(3M) = 90 PLN, i= bieżąca cena akcji wynosi S(6M) = 00 PLN, zmienność akcji wynosi %, bieżąca 3M stopa procentowa wynosi.77%, stopa FRA3x6: 9.53%, cena obligacji zerokuponowej zapadającej w 9M (od chwili bieżącej) wynosi