Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest bezartoścoy. Dlatego też zykle obok yku pomaru podaje sę elkość błędu pomaroego, yrażoą jedostkach elkośc merzoej. Błędem pomaroym azyamy ezgodość yku pomaru z rzeczystą artoścą elkośc merzoej. Wszystke błędy pomaroe możemy podzelć a systematycze, przypadkoe grube. Błąd systematyczy pozostaje stały co do artośc bezzględej zaku czase ykoyaa elu pomaró tej samej elkośc tych samych arukach pomaroych. Błąd te zmea sę raz ze zmaą arukó pomaru, p. zmaą cśea, temperatury otoczea, lgotośc, tp. Częstym przyczyam ystępoaa błędu systematyczego są błędy zorcoaa mary /lub błędy kalbracj przyrządu (toru) pomaroego, błąd paralaksy, błąd zązay z zastosoaem ełaścej metody pomaroej, td. Wększość błędó systematyczych moża yelmoać stosując coraz dokładejsze przyrządy pomaroe, stosując sę do zaleceń produceta oraz proadzając automatyzację pomaró. Przyczyy postaaa błędó przypadkoych e są zazyczaj zae możle do ustalea. Merząc elokrote tą samą elkość pomaroą aet ajdokładejszym przyrządem za każdym razem otrzymamy eco y yk, poeaż każdy z takch pomaró obarczoy jest błędem przypadkoym. Błędó tych e moża zazyczaj yelmoać, ale moża określć ch pły a ostateczy yk elkośc merzoej. Błędy grube ykają głóe z estaraośc lub edostateczej edzy osoby ykoującej pomar. Są oe stosukoo łate do zauażea yelmoaa. Ich przyczyam ajczęścej są: błędy odczytu yku, pomyłk zapse (przestaee kropk dzesętej), zamaa jedostek, przyjęce złego zakresu pomaroego, tp. Ze zględu a sposób zapsu elkośc błędu rozróża sę błędy bezzględe zględe. Błąd bezzględy ozacza odchylee yku pomaru od artośc rzeczystej podaay jest jedostkach elkośc merzoej, p. t ± t (,56 ± 0,08) s. Błąd zględy yrażay jest stosukem błędu bezzględego do elkośc merzoej δ () Zykle oprócz yku pomaru podaje sę błąd procetoy, czyl błąd zględy ażoy procetach, p. a (6,3 ± 0,4) ms -, δ,5% Z pomarem elkośc prostej mamy do czyea óczas, gdy marę elkośc fzyczej otrzymujemy poprzez bezpośred pomar jedym przyrządem, p. pomar apęca za pomocą oltomerza lub oporu za pomocą omomerza. Z kole pomary elkośc złożoych ymagają pomaró elu elkośc prostych p. oblczee oporu a podstae pomaró apęca atężea prądu płyącego przez odbork.. BŁĄD POMIARU WIELKOŚCI PROSTEJ Dokładość przyrządu pomaroego określa mmalą artość błędu systematyczego, który popełamy ykoując pomary tym przyrządem. Dlatego też dla ększośc przyrządó pomaroych proadzoo pojęce tz. klasy, a przyrządy są kostruoae tak sposób, by yk pomaró e różły sę od artośc rzeczystej o ęcej ż o artość odpoadającą klase przyrządu. Zatem klasa merka to błąd procetoy odpoadający maksymalemu skazau merka a daym zakrese (maksymalej artośc stosoaego zakresu pomaroego). Iaczej móąc jest to maksymaly błąd zględy dla daego zakresu. Dokładość skal (podzałk) merka jest uzależoa od klasy przyrządu. Najmejsza artość pojedyczej dzałk a skal przyrządu azya sę dokładoścą odczytu lub rozdzelczoścą. W peych przypadkach dopuszcza sę stosoae dokładośc odczytu ększej ż dokładość podzałk, p. tedy
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: gdy teresuje as różca skazań jedego przyrządu, a podzałk skal są ystarczająco odległe. Wóczas za błąd pomaru przyjmuje sę artość ½ lub ¼ artośc podzałk... ANALOGOWE MIERNIKI ELEKTRYCZNE Dokładość merkó aalogoych określaa jest przez błąd procetoy odpoadający maksymalemu ychyleu skazók (górej gracy zakresu). Zatem błąd bezzględy pomaru określa sę astępująco: klasa zakres X () 00 Błąd bezzględy e zależy ęc od artośc elkośc merzoej, atomast błąd zględy będze zększał sę przy spadku elkośc merzoej. Błąd zględy określoy jest zorem: Przykład X klasa zakres δ X [%] (3) ychylee ychylee Watomerzem klasy dla zakresu prądoego 0,5 A apęcoego 00 V zmerzoo moc żarók P 45,3 W. Oblczyć błędy pomaru. Błąd bezzględy pomaru yos ( 0,5 00) P 0, 5 W, 00 atomast błąd zględy yos ( 0,5 00) δ, %. 45,3 Zatem ostatecze moża zapsać: P (45,3 ± 0,5) W, δ, %.. MIERNIKI ELEKTRONICZNE CYFROWE Klasa ększośc merkó cyfroych yos 0,5, a ęc błąd bezzględy elkośc merzoej yos: X 0,5 skazae ± + 00 aga ostatej cyfry (4) Waga ostatej cyfry zależy od stosoaego zakresu yos p. ; 0,; 0,0; 0,00 jedostek elkośc merzoej. Jedak przypadku ększośc merkó uersalych yk pomaró obarczoe są zdecydoae ększym błędem ż to yka ze zoru, dlatego też celu oblczea błędu pomaroego zasze ależy korzystać ze skazóek zaartych strukcj obsług merka. Przykład Merkem cyfroym typu AVIDSEN 0750 zmerzoo apęce stałe U,47 V (a zakrese 0 V) oraz atężee prądu płyącego przez odbork I 5, ma (a zakrese 0 ma). Określć błąd bezzględy zględy obu pomaró.
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 3 Korzystając z strukcj obsług określamy dokładość pomaró dla użytych zakresó pomaroych: ) błąd pomaru: ± 0,5% ±D, rozdzelczość 0 mv ) błąd pomaru: ± % ±D, rozdzelczość 0 µa astępe określamy błędy bezzględe ykoaych pomaró 0,5,47 ) X ± + 0,0 ± 0,0835 V ± 0, 08 V 00 5, ) X ± + 0,0 ± 0,7 ma ± 0, ma 00 oraz błędy zględe 0,08 ) δ 0,64%,47 0, ) δ,3% 5, zapsujemy yk pomaró ) U (,47 ±0,08) V, δ 0,64% ) I (5, ±0,) ma, δ,3%. 3. UŚREDNIANIE WARTOŚCI POMIAROWYCH 3.. WARTOŚĆ ŚREDNIA, JEJ BŁĄD ORAZ ODCHYLENIE STANDARDOWE W elu przypadkach ykouje sę klkukrote pomary tej samej elkośc fzyczej, celu uzyskaa jak ajdokładejszego yku pomaru. Błąd pojedyczego pomaru e jest marą dokładośc daej metody pomaroej. Jeśl ykoujemy serę pomaró, to każdy z tych pomaró obarczoy jest ym błędem. Wartość średa ser pomaroej zdefoaa jest jako: (5) atomast odchylee stadardoe pojedyczego pomaru: σ lm (6) ( ) W przypadku skończoej, ezbyt dużej lczby pomaró dobre oszacoae odchylea stadardoego daje astępujący zór: σ (7) ( ) W arukach rzeczystych mamy do czyea zaróo z błędam przypadkoym σ jak systematyczym o. Błąd całkoty defuje sę jako średą geometryczą. błędó: + o σ (8)
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 4 Oblczając odchylee stadardoe średej ależy uzględć częścoe kompesoae sę odchyłek ujemych dodatch. Stąd błąd śred kadratoy oblczamy g zoru: σ ( ) ( ) (9) skąd po podstaeu yrażea opsującego średą arytmetyczą otrzymamy: σ ( ) (0) Przykład 3 Pomar czasu realzacj doolego zdarzea ykoao 0-krote, a yk pomaru zestaoo pożej. Oblczyć czas śred zdarzea oraz śred błąd kadratoy. Lp. t t 5, 3,04 4,5 0,5 3 4,8 9,04 4 5,0 5 5 5,3 34,09 6 4,9,0 7 5, 8,0 8 5, 3,04 9 5,0 5 0 4,8 9,04 49,8 44,5 Wartość średa yos t 4,98 s 5,0 Błąd śred kadratoy artośc średej oblczoy g zoru (0) yos σ 44,5 (49,8) 0 0,7578 0, ( ) Zatem czas śred yos t (5 ± 0,) s 0(0 ) s
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 5 3.. ŚREDNIA WAŻONA Metodę średej ażoej stosujemy óczas, gdy chcemy oblczyć artość średą klku ezależych pomaró tej samej elkośc fzyczej ykoaych z różą dokładoścą. Oczyste jest, że pomar dokładejszy jest lepszy od pomaru mej dokładego, zatem róże pomary będą mały róży pły a yk oblczeń. W celu ykoaa oblczeń metodą średej ażoej ależy proadzć pojęce ag - określoej zorem (), przy czym stałą a ależy dobrać tak sposób by artośc ag były dogode dla dalszych oblczeń. a () ( ) Średa ażoa yrażoa jest zorem: a błąd maksymaly średej: Gdy szystke pomary obarczoe są takm samym błędem lub prae takm samym to zór () staje sę yrażeem opsującym średą arytmetyczą. W przypadku, gdy ag są odrote proporcjoale do kadratu odchyleń stadardoych artośc średch z ser pomaroych, ależy oblczyć błąd śred kadratoy (odchylee stadardoe) średej ażoej g zoru: gdze Przykład 4 () (3) ε σ (5) ( ) ε (6) Oblczyć średą ażoą jej błąd z astępujących trzech ezależych ykó pomaró: ) M (,5 ± 0,) A ) M (,68 ± 0,8) A 3) M (,48 ± 0,6) A Przyjmujemy artość stałej a. Średą ażoą jej błąd maksymaly oblczamy ze zoró () (3). Schemat oblczeń przedstaoo tabelce.,5 0, 69,4 74,9 8,33,68 0,8 30,9 8,8 5,56 3,48 0,6 39,0 96,7 6,4 --- --- 39,3 354,4 0,3
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 6 Średa ażoa yos 354,4 M,54 39,3 Błąd maksymaly średej ażoej 0,3 M 0,4 39,3 Zatem ostateczy yk yos M (,54 ± 0,4) A 4. WYZNACZANIE BŁĘDÓW WELKOŚCI ZŁOŻONEJ W praktyce pomaroej bardzo często mamy do czyea z koeczoścą yzaczea artośc elkośc fzyczej, która jest fukcją elu zmeych. Wartośc tych zmeych yzacza sę p. czase pojedyczych lub klkukrotych pomaró laboratoryjych, a astępe yk podstaa sę do yrażea ogólego. Jedak każdy z pomaró prostych obarczoy jest peym błędem, uzależoym od dokładośc użytego przyrządu pomaroego. Naszym zadaem jest określee błędu oblczoej elkośc złożoej. 4.. METODA POCHODNEJ LOGARYTMICZNEJ Metodę pochodej logarytmczej stosuje sę óczas, gdy aalzoae złożoe yrażee jest loczyem elkośc prostych yrażoych doolych potęgach a : y A a (6) Po zlogarytmoau oraz zróżczkoau róaa (6) otrzymamy: l y l A + dy y d a a l (7) Jeżel poszczególe różczk róau (7) potraktoać jako błędy maksymale oraz uzględmy ajbardzej ekorzystą sytuację tz. zsumujemy szystke błędy borąc ch bezzględe artośc to błąd zględy yzaczea elkośc złożoej moża oblczyć sposób astępujący: y y a (8) Jeżel zaś poszczególe elkośc proste merzylśmy elokrote oblczalśmy odchylea stadardoe od artośc średej to błąd zględy ależy oblczyć ze zoru (9): S y S a (9) y
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 7 Przykład 5 Pomar rezystacj oporka ęgloego przeproadzoo metodą techczą przy zastosoau merka cyfroego MASTECH MY 67. Mlamperomerzem dokoao pomaró atężea prądu (DC) a zakrese 400 ma, którego artość yosła 50 ma, z kole pomar apęca ykazał 6,8 V a zakrese 40 V. Stosując prao Ohma yzaczyć rezystację oporka oraz oblczyć błąd yzaczea tej elkośc. Z praa Ohma oblczamy rezystację U 6,8 R 7, Ω 3 I 50 0 Korzystając z strukcj obsług merka oblczamy błędy bezzględe elkośc merzoych prostych. Odczytujemy sposób yzaczea błędu dla mlamperomerza: ±,% W ± D; D 0, ma oblczamy błąd pomaru atężea:, 50 I ± + 0, ± 3, ma 00 Odczytujemy sposób yzaczea błędu dla oltomerza: ± 0,5% W ± D; D 0 mv oblczamy błąd pomaru apęca: 0,5 6,8 U ± + 0,0 ± 0,054 V ± 0, 06 V 00 Stosując zór (8) oblczamy artość błędu zględego: U I + R U I 0,06 3, + 0,0088 + 0,08 0,06 (~,6%) R 6,8 50 oraz błędu bezzględego 7, 0,06 0,5875 0, 6Ω zapsujemy yk końcoy: R ( 7, ± 0, 6)Ω 4.. METODA RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ Metodę różczk zupełej moża stosoać praktycze każdym przypadku yzaczaa błędu maksymalego (lub odchylea stadardoego) elkośc złożoej. Jeśl przyjąć, że szukaa elkość jest fukcją klku zmeych: to różczka zupeła tej fukcj przyjme postać: y f,,..., ) (0) ( dy d + d +... + d () a po zastąpeu różczek przyrostam skończoym otrzymamy: y + +... + ()
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 8 Przyrostom skończoym (podobe jak poprzedo) ależy przypsać ses fzyczy błędó. Uzględając regułę dodaaa błędó otrzymamy ostatecze: y + +... + (3) lub aczej y (,,..., ) (4) Jeżel zaś poszczególe elkośc proste chodzące skład aszej fukcj złożoej merzylśmy elokrote oblczalśmy odchylea stadardoe od artośc średej to odchylee stadardoe średej arytmetyczej elkośc złożoej ależy oblczyć ze zoru: S y (,,..., ) S (5) Przykład 6 Dla daych jak przykładze 5 oblczyć rezystację oporka oraz yzaczyć jej błąd metodą różczk zupełej. Rezystacja oporka oraz błędy pomaró elkośc prostych (patrz przykład 5) yoszą: U R 7, Ω ; I ±3, ma ; U ±0, 06 V I Korzystając ze zoru (3) lub (4) yzaczamy różczkę zupełą: d U d U U + I du I di I U I U + I I 0,06 6,8 0,003 + 0,588 0,6 Ω 0,5 (0,5) zapsujemy yk końcoy: R ( 7, ± 0, 6)Ω LITERATURA []. Respodosk R.: Laboratorum z fzyk. Skrypt Poltechk Śląskej r 834. Glce 994. []. Poprask R., Salejda W.: Ćczea laboratoryje z fzyk. Część. Zasady opracoaa ykó pomaró. Ofcya ydacza PWr, Wrocła 999.
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 9 DODATKI Tablca. Uchyby pomaroe merka cyfroego typu MASTECH model MY67 Fukcja Zakres Rozdz. Błąd pomaru Uag Pomar apęca stałego DC, V Pomar apęca przemeego AC, V Pomar atężea prądu DC, A Pomar atężea prądu AC, A Pomar rezystacj R, Ω 400 mv 4 V 40 V 400 V 000 V 400 mv 4 V 40 V 400 V 750 V 0, mv mv 0 mv 0, V V 0, mv mv 0 mv 0, V V ± 0,8% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,8% W ± D ------- ± 0,6% W ± 0,% Z ± 3D ± 0,6% W ± 0,% Z ± 3D ± 0,6% W ± 0,% Z ± 3D ±,% W ± 3D użyteczy zakres częstotlośc pomaroej od 40 Hz do 400 Hz 400 µa 0,µA ± 0,8% W ± D 4 ma µa ± 0,8% W ± D 40 ma 0 µa ± 0,8% W ± D 400 ma 0, ma ±,% W ± D 0 A 0 ma ±,0% W ± 5D 400 (0-00) µa 400 (0-300) µa 400 (30-400) µa 4 ma 40 ma 400 ma 0 A 400 Ω 4 kω 40 kω 400 kω 4 MΩ 40 MΩ 0,µA 0,µA 0,µA µa 0 µa 0, ma 0 ma 0, Ω Ω 0 Ω 00 Ω kω 0 kω ± 0,8% W ± 0,4% Z ± 3D ±,5% W ± 0,4% Z ± 3D ± 0,8% W ± 0,4% Z ± 3D ± 0,8% W ± 0,4% Z ± 3D ± 0,8% W ± 0,4% Z ± 3D ±,% W ± 0,4% Z ± 3D ± 3,0% W ± 0,4% Z ± 3D ± 0,8% W ± 3D ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ±,% W ± D ma. 000 V ma. 750 V rms ma. 500 ma maks. 0 A ma. 500 ma rms ma. 0 A rms W skazae merka D aga ostatej cyfry yśetlacza (rozdzelczość) Z zakres
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 0 Tablca. Uchyby pomaroe merka cyfroego typu AVIDSEN model 0750 Fukcja Zakres Rozdz. Błąd pomaru Uag Pomar apęca stałego DC, V Pomar apęca przemeego AC, V Pomar atężea prądu DC, A Pomar rezystacj R, Ω 0, V V 0 V 00 V 000 V 00 V 750 V 0, mv mv 0,0 V 0, V V 00 mv V ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ±,% W ± 0 D ±,% W ± 0 D użyteczy zakres częstotlośc pomaroej od 45 Hz do 450 Hz 0, ma 0, µa ± % W ± D ma µa ± % W ± D 0 ma 0 µa ± % W ± D 00 ma 00 µa ±,% W ± D 0 A 00 ma ± % W ± D 00 Ω 000 Ω 0 kω 00 kω 000 kω 0, Ω Ω 0 Ω 0, kω kω ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ± % W ± D ma. 0 V ma. 750 V ma. 750 V ma. 750 V ma. 0 V ma. 750 V rms ma. 750 V rms ma. 00 ma ma. 00 ma ma. 00 ma ma. 00 ma brak bezpeczka W skazae merka D aga ostatej cyfry yśetlacza (rozdzelczość)