Pomir moułu sprężstości metu metoą ugięci pręt.. Ce ćwiceni: wncenie moułu sprężstości połużnej E (moułu Young ) że, uminium i mosiąu. Porównnie ugięć prętów wkonnch tego smego mteriłu o różnch kstłtch prekrojów poprecnch jenkowo ociążonch.. Prrą:. Litertur: cujnik egrow, ociążniki, prmt, pręt o różnch prekrojch poprecnch. 1. L. Kcperski,,. T. Drński, Ćwiceni ortorjne fiki, PWN 1976,. G. M. Fichtenho, chunek różnickow i cłkow, PWN 196. V. Wstęp. Zginnie pręt (rs. 1) powouje rociągnie jego górnej cęści i ścisknie jego onej - istnieje więc tki prekrój połużn (nwn powierchnią neutrną), którego wmir nie uegją minie (ini prerwn n rsunku 1 i 1). ) włókno F F i O O F i s 1. ) Pręt o ługości pon ginniu ; ) okstłcenie pręt w poiżu prekroju C; - onc kierunek prekroju pre ginniem, - położenie prekroju po gięciu, F i, F i - sił sprężstości iłjące n wrstw pręt; F = ( Fi + F ' i ) = 0 i 1
Pręt możn roptrwć jko iór cienkich włókien ( tworącch wrstw) rociągnch u ścisknch w procesie ginni, w eżności o ich położeni wgęem powierchni neutrnej. Jeno tch włókien ncone jest n rsunku 1 jko AB. ił sprężste F iłjące w górnch wrstwch prekroju C (powżej osi OO ) skierowne są o jego śrok (g pręt jest ociążon w śroku) u miejsc mocowni, sił sprężste F iłjące w onch wrstwch, skierowne są ku wonemu końcowi. ił ewnętrnch powoującch okstłcenie n rsunku nie ncono ( są one równe siłom sprężstości i preciwnie skierowne ). Jeżei pocątkow ługość pręt wnosi, promień krwin po ugięciu, wówcs min ługości włókn AB, położonego w oegłości o powierchni neutrnej, wniesie: = AB = ( + ) θ θ = θ ( 1 ) Korstjąc prw Hooke, możn neźć wrtość sił rociągjącej włókno: F = E = E ( ) gie onc powierchnię prekroju poprecnego włókn, E jest moułem sprężstości mteriłu pręt. um gericn wsstkich sił iłjącch w pręcie musi ć równ 0: E F = F = 0, ci = 0 ( ) Zwiąek () pow neźć położenie powierchni neutrnej. ił F iłjąc n pojence włókno m wgęem powierchni neutrnej moment N: N = F = E ( ) W prpku młch okstłceń możem jk poprenio ogrnicć się o neieni sum gericnej momentów: N E E = = ( 5 ) gie = nwne jest niekie momentem ewłności prekroju e wgęu n formne pooieństwo o momentu ewłności. V. Ugięcie pręt ociążonego jenostronnie. Złóżm, że ms pręt jest mł w porównniu msą ociążnik i że mł jest również krwin pręt. x x prekrój C F = mg s.. Ugięcie pręt mocownego jenm końcem i ociążonego ociążnikiem o msie m. optrm prekrój C pręt, w którm ił ukł sił ściskjącch poniżej powierchni neutrnej i rociągjącch powżej tej powierchni ( są to sił ewnętrne, preciwne o sił sprężstości nconch n rsunku 1 ). Moment tch sił, n pre (5), w wrunkch
równowgi giętego pręt jest równ momentowi sił ewnętrnej ci momentowi sił ciężkości ociążnik: E = m g ( x) ( 6 ) gie jest promieniem krwin w otoceniu prekroju C, x jest oegłością prekroju o miejsc mocowni. Promień krwin wrż się nnm poręcników ni 1 worem: = + 1 x x Poniewż krwin jest ro mł, tą : x ( 7 ) możn pominąć w porównniu jenością: 1. ( 7 ) x m g x x = ( ) m g x i = x + C. E x E Z wrunku x = 0 ( x = 0 ), możn neźć stłą cłkowni C = 0. owiąnie osttniego równni różnickowego pow neźć ugięcie końc pręt o : o = 1 m g E V. Ugięcie pręt ociążonego w śroku. ( 8 ) W prpku, g pręt poprt jest n ou końcch ( ptr rs. ) i ociążon w śroku, sił rekcji iłjące w miejscch poprci mją wrtość mg/. cujnik pomirow P = mg s.. Pomir ugięci pręt ociążonego w śroku i poprtego n ou końcch. Jeżei pręt m ługość ( onc oegłość pomię prmtmi; recwist ługość pręt jest ocwiście więks), ugięcie w śroku jest tkie smo, jk ugięcie pręt wukrotnie krótsego, mocownego jenm końcem i ociążonego wukrotnie mniejsą msą. Tk 1 Ptr np. G. M. Fichtenho, chunek różnickow i cłkow, PWN 196.
więc posukiwne ugięcie otrmm postwijąc mg/ i /, w miejsce ociążeni i ługości, o woru (8) : m g = 1 o ( 8 ). 8 E V. Pomir i oprcownie. Oicm ter moment ewłności prekroju prpku prekroju prostokątnego (rs. ). s.. Prostokątn prekrój poprecn pręt o wmirch. Moment ewłności prekroju wnosi: = = = = = 0 0 1. 0 0 π D prekroju kołowego otrmm: =. 6 Ze wiąku (8) njiem wówcs ugięcie 1 m g o = ( prekroju prostokątnego), E or m g = o ( prekroju kołowego). π E Otrmiśm więc iniową eżność pomię msą ociążnik i ugięciem o = k m, gie 1 g k = pręt o prekroju prostokątnm ( 9 ), E or g k = pręt o prekroju kołowm ( 9 ). π E Mierąc wiekość ugięci różnch ms ociążnik, otrmujem wniki ukłjące się w poiżu prostej o ncheniu k. Znjąc wrtość współcnnik k możn e worów (9) u (9) neźć wrtość moułu sprężstości połużnej mteriłu, którego wkonno pręt: E= 1 g prekrój k prostokątn; g E = π k prekrój ( 10 ). kołow
Pomir. 1. Dokonć nieęnch pomirów prętów, które użte ostną w ćwiceniu (prmetr potrene o oiceni momentu ewłności prekroju or oegłość pomię prmtmi, n którch spocwją pręt).. D prętów o prekroju kołowm (u prostokątnm) mierć wiekość ugięci różnch ms ociążnik. Z uwgi n sposó mocowni cujnik pomirowego wskne jest wkonnie pomirów pocąws o mksmnego ociążeni pęt, ejmując koejno owżniki, tk końcówk cujnik ł popchn w górę, nie opł w ół po wpłwem włsnego ciężru i iłni wewnętrnej sprężn. Prkłow tek pomirów, g pręt pocątkowo ociążono n = 6 ociążnikmi. Te 1 Lp i =1...7 Ociążenie [kg] Wsknie cujnik s i 10 - [m] Ugięcie oi = s 7 - s i 10 - [m] 1 6 x 0,5 = 1,5 1,5 1,61 5 x 0,5 = 1,5 1,5 1, 6 1 x 0,5 = 0,5,59 0,7 7 0,86 0. porąić wkres oi = f(m) i metoą njmniejsch kwrtów neźć współcnnik k ncheni prostej.. Korstjąc e woru (10) neźć wrtość E moułu sprężstości połużnej mteriłu ( moułu Young). 5. Oicć łą E pomiru moułu Young. V. Zstosownie. Ze woru (8) wnik, że ugięcie pręt jest owrotnie proporcjonne o, tn. więksjąc, więksm oporność pręt n ginnie ( mniejsm o ). Nie interesuje ns ocwiście njprosts sposó więkseni momentu popre użcie grusch prętów. Zgnienie poeg n otrmniu możiwie użej stwności pręt o łożonej ługości, g sponujem okreśoną iością mteriłu. Dtego w rugiej cęści oświceni prewiino pomir ugięci jenkowo ociążonch prętów o iżonej msie i jenkowej ługości, ec o różnch kstłtch prekrojów poprecnch. Wniki wgonie jest erć w tei (stron nstępn). 5
Te Kstłt prekroju poprecnego Ociążenie [kg] Ugięcie mierone [m] Ugięcie oicone [m] Osttnią koumnę tei pełnim w oprciu o wór (8), korstjąc e njomości moułu sprężstości neionego w -ej cęści oświceni. Moment ewłności prekroju różnch prętów są łącone o instrukcji ( możn je oicć tk jk roiono to w cęści V ). Ptni Zneźć stosunek ugięć pręt o kstłcie iter H, mocownego jk n rsunku 5, poniżej. C wnik pokrw się intuicjnmi ocekiwnimi? 0,5 5 1,5 0,5 P P ) ) c) s. 5. Pręt o prekroju w kstłcie iter H; P - ociążenie pręt. 6
DODATEK Moment ewłności prekrojów = 1 = 1 0,5 0,5 0,5h 0,5h c H c = H 1 c + 1 = H h c 1 1 π D = 6 = π ( ) D 6 D D 7