PODSTAWY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ W wielu przypadkah : elekrmagneyzm, fizyka jądrwa, fizyka ząsek elemenarnyh (np. fn, neurn), galakyki ddalają się z prędkśiami bliskimi, efeky relaywisyzne w gwiazdah neurnwyh, pulsarah i zarnyh dziurah, związki relaywisyzne pmiędzy masą, energią i pędem. Psulay erii względnśi w kńu XIX w. Mawell i Herz zaprpnwali knepję świała jak prmieniwania elekrmagneyzneg. knepja eeru świelneg jak pierwneg i bezwzględneg układu dniesienia dla świała 887 r. eksperymen Mihelsna i Mrleya w elu sprawdzenia naury eeru świelneg i wyznazenia prędkśi świała względem nieg.
Alber A. Mihelsn (85 93) Nbel 907 Apsł świała ( Alberie Abrahamie Mihelsnie) Tmasz Kardaś i Szymn Kardaś Psępy Fizyki, Tm 55, Zeszy, s. 7 90 (004) Alber Abraham Mihelsn urdził się 9 grudnia 85 w Srzelnie. Mihelsnwie wyjehali ze Srzelna prawdpdbnie sierpnia 855 r. Wędrówkę rzpzęli z Hamburga, a jej elem była Ameryka (przez Nwy Jrk, Panamę, a na kńu San Franis). Laem 856 darli d elu pdróży. Alber Abraham Mihelsn ukńzył Akademię Marynarki Wjennej w Annaplis w 873 rku. Pierwsze pmiary prędkśi świała dknał w 877 r. W 887 zaprsił d współpray Edwarda Mrleya, kóry był hemikiem i udsępnił swje labrarium d dalszyh badań. Obydwaj deydująe pmiary przeprwadzili 8, 9 i lipa 887 r gdzinie raz 8, 9 i lipa gdz. 8. Sprawzdanie zayułwane On he relaie min f he Earh and he luminiferus eher publikwali w Amerian Jurnal f Siene,. 34, nr 03 z lispada 887 r. Ih wnisek był nasępująy; nie ma widznej różniy w prędkśi świała, niezależnie d kierunku, w kórym prusza się bserwar. W 907 r. uzyskał Nagrdę Nbla wspólnie z Mrleyem. Zmarł 9 maja 93 r.
Alber A. Mihelsn w Ryersn Physial Labrary w Chiag (96).
Jeżeli inerfermer jes w spzynku względem eeru ba prmienie przehdzą ę samą drgę pyzną. Prędkść świała względem eeru wynsi. Drga prmienia w kierunku zwieriadła wyniesie sąd ' l ' l ' Pdbnie zas pwru blizymy z równania '' prmienia Rys. 3.3 Shema inerfermeru Mihelsna użyeg d wyznazenia prędkśi świała względem Ziemi. sąd '' '' l l ' (3.9) ' Zaem, zas przebiegu prmienia wyniesie: ' '' l (3.0)
, Z ' Rys. 3.4. Względny ruh prmienia świała dbijająeg się d zwieriadeł Z i Z. Prmień przebiegnie drgę 0Z 0 w zasie Z drugiej srny drga a jes równa ' '' 00 0Z 0 0Z l l 0Z '' 0
sąd rzymamy l (3.) Widzimy, że. Prmień przebuje więej zasu niż prmień na przebyie swjej drgi. Warunki świadzenia Mihelsna-Mrleya ramię 0Z II d rbialneg biegu Ziemi wkół Słńa, prędkść eg ruhu Ziemi względem gwiazd 30 km/s, długśi ramin inerfermeru l 6 m, różnia dróg pyznyh prmieni /4 λ świała zielneg, p brie inerfermer 90 różnia dróg pyznyh prmieni /4 λ Wynik dświadzenia: nie udał się swierdzić zmiany brazu inerferenyjneg, wię i ruhu Ziemi względem eeru, prędkść świała jes aka sama, niezależnie d eg zy jes na mierzna przez bserwara w układzie sajnarnym, zy eż przez bserwara znajdująeg się w układzie pruszająym się ze sałą prędkśią względem świała, negaywny wynik dświadzenia Mihelsna-Mrleya spwdwał przewró w spsbie myślenia fizyków; pwsała knieznść głębszeg spjrzenia na naurę przesrzeni i zasu, nie ma wyróżnineg układu dniesienia. W 905 r. Einsein drzuił pjęie eeru i sfrmułwał szzególną zasadę względnśi: wszyskie prawa fizyki muszą być akie same we wszyskih układah inerjalnyh pruszająyh się względem siebie ruhem jednsajnym prsliniwym. Nie mżna eż swierdzić bezwzględneg spzynku jakiegklwiek układu.
Alber Einsein lied frm 879 955 Brn: 4 Marh 879 in Ulm, Würemberg, Germany Died: 8 April 955 in Prinen, New Jersey, USA Nbel 9 Einsein nribued mre han any her sienis he mdern isin f physial realiy. His speial and general heries f relaiiy are sill regarded as he ms saisfary mdel f he large-sale unierse ha we hae.
Firs Slay Physis Cnferene, Brussels, 9. Delegaes aending he s f he Slay Physis Cnferenes whih were iniiaed by Belgian hemis and indusrialis Ernes Slay (838-9). The 9 nferene disussed urren quesins f mleular and kinei hery. Thse presen inluded suh luminaries as Marie Curie (867-934), Ernes Ruherfrd (87-937), Alber Einsein (879-955), Ma Plank (858-947) and Paul Langein (87-946).
Transfrmaje Galileusza nie dpwiadają psulam erii względnśi, pnieważ według nih prędkść świała jes równa w różnyh układah inerjalnyh. Teria względnśi piera się na dwóh psulaah: szzegółwej zasadzie względnśi; sałśi prędkśi świała w próżni.
Transfrmaje Lrenza Układ inerjalne (Rys. 3.5): 0 jes w spzynku, 0 prusza się prędkśią ns w kierunku si, w hwili 0 ze wspólneg pząku układów 0 i 0 wysłany jes prmień świała w kierunku punku P. r r Rys. 3.5 Układ 0 prusza się ze sałą prędkśią względem sajnarneg układu 0.
Współrzędne punku P w układah 0 i 0 Wówzas Czasy i są różne!, y, z, i, y, z, r ; r (3.) Na pdsawie wyrażeń (3.) rzymujemy: y y z z (3.3) a pnieważ y y raz z z (3.4) Związki ransfrmayjne pmiędzy układami 0 i 0 pwinny spełniać pewne warunki frmalne: ransfrmaja musi być liniwa; zn. zdarzeniu w jednym układzie inerjalnym musi dpwiadać pjedynze zdarzenie w drugim układzie jednznaznie kreślnyh współrzędnyh, ruh jednsajny musi przekszałać się w ruh jednsajny, dla małyh prędkśi ransfrmaja musi sprwadzić się d ransfrmaji Galileusza.
W związku z pwyższym ( ) ( ) b a z z y y γ (3.5) gdzie γ, a raz b są sałymi. Wsawiają wyrażenia (3.5) d równania (3.4) ( ) ( ) ( ) 0 a b a b a γ γ γ Pnieważ wyrażenie jes żsamśiw równe zeru, wię 0 0 0 a b a b a γ γ γ (3.6) Pwyższe równania rzwiązujemy względem sałyh γ, a i b. Orzymujemy wedy a γ (3.7)
raz b (3.8) Oznazenia ( ) γ / zynnik Lrenza / β Wzry ransfrmayjne (3.5) przybierają eraz psać: ( ) z z y y β γ β γ β (3.9)
Transfrmaja dwrna: ( ) z z y y β γ β γ β (3.0) Transfrmaja hlenderskieg fizyka H.A. Lrenza z 890 r.
Knsekwenje ransfrmaji Lrenza Ddawanie prędkśi Klasyzne praw ddawania prędkśi r r r (3.) ma granizny zakres zasswania ylk d małyh prędkśi. W elu wyprwadzenia prawa relaywisyzneg musimy użyć ransfrmaji Lrenza (3.9). Prędkść w układzie 0 d d, zaś w układzie 0 d d. Różnizkują pierwsze i sanie równanie (3.9) rzymujemy: d d d ; β sąd d d d d d d d d d d d β d d
Wię saeznie (3.) gdy prędkśi i mają en sam kierunek. W przeiwnym przypadku, musimy zmienić znaki w ym wzrze na Gdy <<,. Względna prędkść dwóh sygnałów świelnyh pruszająyh się w przeiwne srny wynsi: / ( ) ( )
Skróenie długśi Z erii względnśi wynika, że iała ruhme dznają skróenia swih wymiarów w kierunku ih ruhu. Załóżmy, że pewien prę ma długść l i prusza się wraz z układem 0. Prę en w układzie 0 spzywa i płżny jes równlegle d si. Długść eg pręa w układzie 0 l (3.3) B A W układzie 0, prę en będzie się pruszał z prędkśią. W elu wyznazenia długśi l eg pręa w układzie 0 należy wyznazyć w ej samej hwili współrzędne jeg kńów B i A, gdy je prę mija. Z ransfrmaji Lrenza (3.9) mamy: Wbe eg B B ; ( / ) A A ( / ) ( / ) B A ( B A ) Widzimy wię, że długść l bserwar w układzie 0 eni jak l l (3.4) a wię krószą. Pdbnie będzie w syuaji dwrnej bserwara w układzie 0.
Liniwe rzmiary iała są największe w ym układzie, względem kóreg iał spzywa. Skróenie długśi zahdzi ylk w przypadku długśi mierznyh równlegle d kierunku ruhu względneg. Lrenz i Fizgerald uważali, że zjawisk skróenia (knrakji) przedmiu jes spwdwane pewną siłą działająą na en przedmi w zasie jeg przehdzenia przez sajnarny eer. Einsein udwdnił, że skróenie jes właśiwśią samej przesrzeni jak akiej i że bezwzględny lub wyróżniny spśród innyh układ dniesienia nie isnieje.
Wydłużenie przedziałów zaswyh y y A A y A O O Rys. 3.6. Punk A znajduje się w spzynku względem układu 0. Dwa zdarzenia w punkje A zahdzą według bserwara 0 w hwili A i B. Przedział zasu między dwma zdarzeniami T A B (3.5) Rzważmy eraz ę samą parę zdarzeń, ale bserwwaną z układu 0, pruszająeg się równlegle d si układu 0, z prędkśią względną. T B (3.6) A
W układzie 0 warśi współrzędnyh przesrzennyh pierwszeg zdarzenia nie będą akie same jak drugieg zdarzenia, jak był w układzie spzynkwym 0. Chwili pząkwej A dpwiada współrzędna A, hwili kńwej B współrzędna B. Z ransfrmaji Lrenza (3.9) mamy A A ( / ) ( / ) A ; P djęiu srnami yh równśi, rzymujemy Ale B A T i wbe eg zyli T T T ( / B )( B ( / ) T ( / ) B A ( / ) ( / ) ) B (3.7) T < T Przedział zasu, kóry rzdziela dwa nasępująe p sbie zdarzenia, w każdym układzie pruszająym się względem układu spzywająeg, jes dłuższy niż w układzie spzywająym. Pruszająe się zegary hdzą wlniej niż zegary w spzynku. Pwyższe wniski ssują się d wszyskih zjawisk, również d presów bilgiznyh: paradks bliźnią rzpad meznów μ (τ. 0 6 s,, l 660 m)
Mehanika relaywisyzna Masa i pęd Pęd iała masie bezwładnej m i prędkśi r jes definiwany jak r r p m (3.8) Praw zahwania pędu izlwaneg układu ząsek jes najbardziej fundamenalnym prawem fizyki. m r i i ns (3.9) i Zbazymy jak zahwuje się pwyższe równanie gdy zassujemy ransfrmaję Lrenza dla pruszająyh się układów współrzędnyh. Przewidują kmplikaje dyząe masy jakie mgą pwsać, wyróżniamy masę spzynkwą m mierzną w naszym układzie dniesienia. Masa widziana z pruszająeg się układu dniesienia nie jes równa m, ale jes dwrnie prprjnalna d zynnika Lrenza m m γm β (3.37) Masa iała nie jes zaem w gólnśi sała ani aka sama dla wszyskih bserwarów, ale jes wielkśią kóra: zależy d układu dniesienia z jakieg jes bserwwana jes równa m kiedy iał jes w spzynku w układzie dniesienia z kóreg jes bserwwane.
γ m/m 4 3 Właśiwśi zynnika Lrenza γ pwdują, że masa saje się bardz duża i w kńu zbliża się d nieskńznśi, kiedy prędkść względna zbliża się d. Wyrażenie relaywisyzne na pęd ma psać r r r p m γm (3.38) a na zahwanie pędu układu izlwaneg n n r r mi i γ mi i ns (3.39) i i 0 0.5.0 / Zależnść zynnika Lrenza γ m/m d ssunku prędkśi
Definija siły Drugie praw Newna r r dp d r F (m ) (3.40) d d Zróżnizkwanie eg równania prwadzi d r r d r dm F m (3.4) d d gdzie m znaza eraz γm.
Relaywisyzna energia kineyzna Oblizamy praę wyknaną w elu zwiększenia prędkśi ząski d zera d kńwej warśi. Zakładamy, że siła i przesunięie mają en sam kierunek. Energia kineyzna, kóra jes rezulaem pray wyknanej nad ząską r r r K F dr (3.4) zyli d d F (m ) d d upraszza się d psai 0 m m d m( / ) ( / ) ( / ) d [ ( / ) ] F [ ( m / ) ] 3 / P uwzględnieniu ej zależnśi w wyrażeniu (3.4) mamy r Pnieważ dr K r, ( ) r d d d 3 / d d (3.43) r 0 m [ ( ) ] / 3 / r m m, a d r d d d r dr, wię
d ] ) / ( [ m K r / 0 3 p sałkwaniu daje m ) / ( m K i saeznie ( ) m m K (3.44) Chiaż wyrażenie wyprwadzn dla przypadku szzególneg, jes n gólne i zawsze się ssuje. Wyrażenie (3.44) mżemy z ławśią zredukwać d psai m ) / ( K, kiedy <<. Rzwijamy równanie (3.44) w szereg 4 4 4 0 8 3 8 3 m... m m K / Kiedy / 0, wyższe pęgi / mżna zaniedbać m m K
Energia ałkwia Z równania (3.44) wynika, że praa przebna na zwiększenie energii kineyznej iała wynsi K m ) (m m ) (m m ) ( Δ m) (m (3.45) Zaem zmiana prędkśi (energii kineyznej) wywła zmianę masy Δ m m m. W plu sił zahwawzyh, praw zahwania energii ma psać K U K U ns (3.46) Na pdsawie równań (3.45) i (3.46) rzymujemy K K U U ( Δ m) zyli K K U U Δ m (3.47) Pnieważ energia spzynkwa jes zdefiniwana jak E m, energia ałkwia będzie zdefiniwana jak E E K (3.48) a skr E m (m m ), E m (3.49) Ta definija energii ałkwiej w mehanie relaywisyznej nie zawiera energii penjalnej.
Równważnść masy i energii wyrażna wzrem (3.49) jes jedną z najważniejszyh knsekwenji szzególnej erii względnśi. Inny użyezny związek mże być rzymany wprs z wyrażenia na masę 4 4 m m Pnieważ p m, wię mżna również zapisać w psai Jeżeli iał prusza się z bardz dużą prędkśią, m m ( / ) m. E E p (3.50) E jes d pminięia w prównaniu z p i E p (3.5) Dla bardz dużyh prędkśi, E jes eż małe w prównaniu z K i z równania (3.49) wynika, że, zyli na pdsawie (3.48) mamy E K K p (3.5) Jeszze inny związek zawierająy ałkwią energię rzymuje się różnizkują równanie (3.50) de dp Wbe eg, jeżeli iał prusza się z prędkśią świała, raz de dp, zyli Dla p 0, E E, a wię p E E p p m ns (3.53)
Tymzasem z równania (3.50) wynika, że E E p (3.54) E E p (3.55) zyli birą pd uwagę bydwa równania, mamy E E p (3.56) Prównanie równań (3.54) i (3.56) nasuwa wnisek, że E 0, zyli m 0. Inazej mówią, jeżeli iał prusza się z prędkśią świała, jeg energia spzynkwa raz masa spzynkwa muszą być równe zeru. Słuszne pwinn być akże swierdzenie dwrne: jeżeli jakaś maeria nie ma masy spzynkwej, zyli energii spzynkwej, musi pruszać się z prędkśią świała. Chiaż z klasyzneg punku widzenia iał nie mże mieć masy równej zeru, jes pprawny relaywisyzny pis akih ząsek jak fn i neurin.
Ogólna eria względnśi T dyhzas rzważaliśmy, nazywamy szzególną erią względnśi w dróżnieniu d gólnej erii względnśi. Pierwsza z nih była ałkwiie rzwinięa przez Einseina w 905 r., pdzas gdy druga w zasadzie w 9 r. Ogólna eria względnśi sanwi współzesną erię grawiaji. W erii grawiaji Newna siła F G m m r działa nayhmias, a znaza, że sygnał bądź energia przekazywane są nayhmias d masy m d masy m. W en spsób naruszne jes jedn z pdsawwyh załżeń erii względnśi, że żaden sygnał (żadna psać energii) nie mże się rzhdzić z prędkśią większą d prędkśi świała. Einsein sanął przed knieznśią sfrmułwania relaywisyznej erii iężkśi. Ogólna eria względnśi dgrywa dużą rlę w dziale asrfizyki zwanej ksmlgią naue pwsaniu, rzmiarah i budwie Wszehświaa. Wyjaśnia na akie zjawiska jak: zwiększenie długśi fali przy emiwaniu świała przez iała dużej masie, zakrzywienie prmienia świelneg przehdząeg w pbliżu pwierzhni Słńa w kierunku śrdka Słńa, zy eż mehanizm pwsawania zw. zarnyh dziur.