Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/14
Relacje Relacja E = {(x, x): x S} jest relacją równości w zbiorze S. Piszemy xex lub x=x lub (x, x) E. Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką, że xcy wtw gdy istnieje z S takie, że xaz i zby. Piszemy wtedy xaby. Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację potęgi, np. xaay = xa 2 y, xaaay = xa 3 y
Domknięciem relacji A w zbiorze S nazywamy relację A d w zbiorze S taką, że xa d y jeśli istnieje ciąg z 0 =x, z 1, z 2, z n-1, z n =y taki, że z 0 A z 1 A z 2 A A z n-1 A z n. Zatem xa d y wtw jeśli istnieje n takie, że xa n y. Lemat Domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacji: A d = A A 2 A 3 A n Relację odwrotną do A oznaczamy A -1.
Niech S będzie zbiorem n-elementowym i A relacją w S. Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n. Na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny wpisujemy 1 jeśli x i Ax j, w przeciwnym wypadku 0. Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez a ij, a całą macierz przez [a ij ]. Oczywiście istnieje n! różnych numeracji zbioru S, czyli n! różnych macierzy opisujących relację A w S. Macierz, której wszystkie elementy są zerami określa relację pustą. Macierz, której wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną. Macierz [δ ij ], gdzie δ ij =1 dla i=j oraz δ ij =0 dla i j, określa relację równości. Symbol δ ij nazywamy deltą Kroneckera. Macierz [δ ij ] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną.
Macierz [a ij ] = [1 δ ij ] określa relację nierówności. Tylko dla tych czterech relacji (pustej, pełnej, równości i nierówności) ich macierze pozostają niezmienione dla różnych numeracji zbioru S. Macierz Kroneckera: 1 0 0... 0 0 1 0... 0 0 0 1... 0............... 0 0 0... 1 Złożeniu relacji odpowiada iloczyn macierzy!
Niech R relacja w zbiorze S. Wprowadza się następujące własności relacji: zwrotność (x, x) R dla wszystkich x S symetria (x, y) R (y, x) R dla wszystkich x S, y S przechodniość (x, y) R i (y, z) R (x, z) R dla wszystkich x S, y S, z S Lematy Relacja R jest przechodnia wtw gdy R 2 R. Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = R d.
Relacja niezwrotna, to relacja, która nie jest zwrotna, tzn. (x, x) R dla pewnego x S Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna), to nowa własność: (x, x) R dla wszystkich x S Lematy Relacja zwrotna zawiera relację równości. Relacja pełna i relacja równości są zwrotne. Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną. Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej. Relacja pusta jest przeciwzwrotna.
Relacja asymetryczna, to relacja która nie jest symetryczna: (x, y) R i (y, x) R dla pewnych x S, y S Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną, gdy z dwu zależności xry, yrx co najmniej jedna jest nieprawdziwa: (x, y) R (y, x) R dla wszystkich x S, y S. Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną, gdy prawdziwość dwu zależności xry, yrx jest równoważna równości x i y: (x, y) R i (y, x) R wtw x=y.
Lematy Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej. Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A -1. Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy A A -1 =. Relacje pusta, pełna, równości i nierówności są symetryczne. Relacja pusta jest również przeciwsymetryczna. Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna. Relacja równości nie jest przeciwsymetryczna! Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy A A -1 E (gdzie E to relacja równości). Relacje pusta i równości są antysymetryczne.
Niech R relacja w zbiorze S. Wprowadza się kolejne własności relacji: spójność (x, y) R lub (y, x) R dla wszystkich x S słaba spójność (x, z) R i (y, z) R dla pewnego z S (x, y) R lub (y, x) R Relacja < w zbiorze liczb rzeczywistych jest Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest
Własności relacji a działania na relacjach Jeśli A, B są zwrotne to A B, A B, AB, A -1, A d są zwrotne. Jeśli A, B są przeciwzwrotne to A B, A B, A -1 są przeciwzwrotne. Jeśli A, B są symetryczne to A B, A B, A -1 są symetryczne. Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne. Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A -1 jest przeciwsymetryczna. Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja A B jest przeciwsymetryczna. Jeśli A, B są antysymetryczne to A B, A -1 są antysymetryczne. Jeśli A, B są przechodnie to A B, A -1 i A d są przechodnie.
Proszę zapoznać się z operacjami na macierzach: str. 154-175 podręcznika Ross&Wright a (z pominięciem pojęć i przykładów dotyczących grafów). Wiele powyŝszych faktów pochodzi z ksiąŝek: J.A.Szrejder: Równość, podobieństwo, porządek. WNT. Warszawa 1975 K.A.Ross, Ch.R.B. Wright: Matematyka dyskretna. WN PWN Warszawa 1996 Dalsze rozwaŝania o relacjach stanowią ponadto fragmenty artykułu: A.Łachwa: Podobieństwo zbiorów, Acta Academiae Modrevianae. Informatyka, Kraków 2008, s. 105-112.
Niemal codziennie używamy pojęcia podobieństwa i wskazujemy rzeczy podobne do siebie. Na pierwszy rzut oka jest to pojęcie proste. Jednak informatyk musi nadać im tak precyzyjny sens, by nadawały się na elementy budowanego modelu rzeczywistości lub na operacje wchodzące w skład tworzonej metody obliczeniowej. Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głównie do budowania zbiorów (zbiór składa się z elementów podobnych!). I choć termin zbiór może być pojmowany na wiele sposobów (por. wykład pierwszy) oraz często zastępujemy go terminami typ encji czy klasa obiektów, nie zmienia to istoty sprawy. Łącząc elementy w zbiór podejmujemy decyzję, na czym ma polegać ich podobieństwo.
Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozróżnialność, a nie równość. Równość jest szczególnym przypadkiem nierozróżnialności i szczególnym przypadkiem podobieństwa. Tradycyjne podejście do badania podobieństwa polega na tym, by najpierw określić miarę podobieństwa, a następnie badać związki między obiektami podobnymi.
Równość w matematyce jest eksplikowana przez relację równoważności. Relacja ta, to relacja jednocześnie zwrotna, symetryczna i przechodnia. Dzieli ona uniwersum, na którym jest określona, na klasy równoważności: klasy obiektów równoważnych, a podział taki jest rozłączny i zupełny. Równość (jednakowość, identyczność) jest zatem przede wszystkim binarną relacją równoważności określoną na pewnym uniwersum. Ponadto jest wartością względną, zależy od sytuacji czy punktu widzenia obserwatora (na danym uniwersum można zwykle zdefiniować różne relacje równoważności). I wreszcie równość oznacza zastępowalność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji. Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność, możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim, ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą.
Podobieństwo obiektów danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją i jest relacją zwrotną, i zarazem symetryczną. Nie jest zaś wymagana przechodniość, a to dlatego, że obiekty podobne nie są identyczne: nieznacznie różnią się od siebie i te drobne różnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektów całkowicie różnych od tych początkowych. Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa różniące się tylko jedną literą, np. możemy w taki sposób przekształcić słowo kot w słowo lew : kot kos los lis lin len lew.
Zbiór U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji. Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa. W szczególności okazuje się, że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementów uniwersum U w taki sposób, że elementami podobnymi są te, które mają co najmniej jedną wspólną cechę. Jeśli A i B są tolerancjami to A B, A B, A -1, A d są tolerancjami. Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją równoważności zawierającą A. Jeśli A jest zwrotna to A A -1, A A -1, A A -1 są tolerancjami.
Dwa zbiory dystrybutywne są równe, gdy mają te same elementy. Zbiory dystrybutywne są równoważne, gdy można wskazać pewne identyczne cechy tych zbiorów, np. równoliczność. W matematyce podobieństwo zbiorów dystrybutywnych często definiuje się nie jako relację tolerancji, lecz jako szczególną relację równoważności równokształtność. Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne, gdy mają te same kąty i proporcje: mają taki sam kształt, ale mogą mieć różną wielkość. W algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi, gdy mają ten sam kształt z dokładnością do współczynników liczbowych. Przykłady takie można mnożyć.
Podobieństwo zbiorów rozmytych Zbiorem rozmytym jest ogół tych elementów pewnego uniwersum, które można powiązać myślowo w całość na podstawie jakieś ich własności, zwykle nieostrej. Dwa zbiory rozmyte określone na pewnym uniwersum są identyczne wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element tego uniwersum należy do tych zbiorów w tym samym stopniu. Podobnie definiuje się inkluzję zbiorów rozmytych: zbiór rozmyty A jest zawarty w zbiorze rozmytym B (określonym na tym samym uniwersum, co A) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element uniwersum należy do zbioru A w stopniu nie większym niż należy do zbioru B.
Tak rozumiane równość i inkluzja zbiorów rozmytych są wprawdzie formalnie poprawne i eleganckie, ale mają niewielkie znaczenie z punktu widzenia metod obliczeniowych. Po pierwsze dlatego, że w przypadku uniwersum nieskończonego (lub skończonego, ale bardzo) nie moglibyśmy sprawdzić, czy odpowiednia relacja zachodzi. Po drugie zaś dlatego, że zdefiniowane wyżej dwie ostre własności zwykle nie mają zastosowania przy przetwarzaniu rozmytej informacji. Rozmytość to przecież niewyraźność i niepewność. Niewielkie różnice w sposobie rozumienie tej niepewności (niewielkie różnice w wartościach funkcji przynależności) nie powinny decydować o tak istotnych własnościach jak równość i zawieranie.
Rozmycie ostrego znaczenia inkluzji sprowadza się do tego, że własność zawierania się jednego zbioru w drugim będzie rozumiana jako stopniowalna: od stopnia 0 oznaczającego niezawieranie, poprzez przypadki zawierania częściowego, do stopnia 1 oznaczającego zawieranie całkowite. Dodatkowo oczekuje się, że taka rozmyta własność będzie zwrotna (A A w stopniu 1) i antysymetryczna (jeżli A B w stopniu α i B A w stopniu β, to A jest podobne do B w stopniu α β). Oryginalny sposób obliczania rozmytej inkluzji wprowadziłem w swojej książce o zbiorach rozmytych. Pomysł mój opierał się na obserwacji, że stopień częściowego zawierania się zbioru A w zbiorze B ma nas informować o tym, jak mają się do siebie części zbioru A, które wystają poza zbiór B, do części zbioru A, które mieszczą się wewnątrz zbioru B.
Wzrokowo potrafimy to łatwo ocenić:
Założyłem, że wzór na obliczanie stopnia zawierania się zbiorów powinien być na tyle prosty, by dało się go łatwo stosować w rozmaitych sytuacjach praktycznych. Nie możemy więc obliczać powierzchni, długości krzywych, czy maksymalnych odległości między dowolnymi krzywymi. Wykorzystuję dwa łatwe do policzenia wskaźniki wysokość oraz nośnik. Wysokością zbioru rozmytego A nazywa się najwyższy stopień przynależności, i oznacza przez h(a). Nośnikiem zbioru rozmytego A nazywa się podzbiór tych elementów uniwersum, dla których stopień przynależności jest niezerowy, i oznacza przez supp(a).
Ostatecznie wzór na obliczanie stopnia zawierania się zbioru rozmytego A w zbiorze rozmytym B ma postać: 1 dla hex =0 dg(a B) = 0 dla hex hin lub sex sin lub hin =0 (1 sex / sin) T (1 hex / hin) wpp
Równość dwóch zbiorów ostrych zachodzi wtedy, gdy pierwszy z nich zawiera się w drugim, a drugi w pierwszym. Podobieństwo zbiorów rozmytych mogę więc zdefiniować, jako mniejszy ze stopni tych dwóch rozmytych inkluzji: dg(a B) = dg(a B) dg(b A). Inną propozycją obliczania podobieństwa zbiorów rozmytych jest podobieństwo oparte na metryce. Dla zbiorów rozmytych na uniwersum skończonym można przyjąć np. tzw. odległość dwudzielną: k(a, B) = 1 A B / A B. Wyznaczanie podobieństwa dwóch zbiorów rozmytych może polegać na obliczaniu dopełnienia ich znormalizowanej odległości. Stopień podobieństwa zbiorów rozmytych A i B, to wówczas E(A, B) = 1 m(a, B).
Kolejną propozycją jest podobieństwo oparte na przekrojach. Niech X będzie zbiorem liczb rzeczywistych, nośniki zbiorów rozmytych A i B będą ograniczone, a każde α-przecięcie iloczynu i sumy tych zbiorów będzie odcinkiem, skończoną sumą odcinków, zbiorem jednoelementowym (przecięcie na poziomie wartości szczytowej) albo zbiorem pustym (przecięcie powyżej wysokości). Przy takich założeniach możemy w poprzednim wzorze na E(A, B) zastąpić iloczyn i sumę zbiorów rozmytych ich α-przekrojami, moce zaś tych zbiorów ich długościami (długością zbioru ostrego będącego sumą odcinków jest suma długości tych odcinków). Stosunek długości α-cięcia iloczynu do długości α-cięcia sumy pokaże nam na każdym poziomie podobieństwo między zbiorami A i B.
Jeśli policzymy średnią z tych liczb, to dla zbiorów identycznych uzyskamy wartość 1, dla zbiorów o pustym iloczynie wartość 0, dla pozostałych zaś przypadków stopnie dobrze oddające intuicyjnie pojmowane podobieństwo.
W zastosowaniach praktycznych możemy ograniczyć się do przecięcia sumy i iloczynu zbiorów rozmytych A i B na skończonej niewielkiej liczbie n poziomów: E n (A, B) = (1/n) Σ (A B)α / (A B)α, gdzie λ=[h(a) h(b)] / n. α=0, λ, 2λ,..., nλ
Podobieństwo zbiorów A i B z ostatniego rysunku policzono na dwa sposoby: dla n=8 i dla n=80. Otrzymane wyniki, to 0.601 i 0.602, czyli dostatecznie podobne na to, by nie stosować tak wielu przecięć, jak w drugim z tych sposobów. W przypadku zbiorów rozmytych, których kształt przybliżono łamaną, poziomy przecięć raczej nie powinny być rozłożone symetrycznie, tylko przechodzić przez wierzchołki łamanych. UWAGA Materiał dotyczący zbiorów rozmytych nie jest obowiązkowy!