MATEMATYKA DLA STUDENTÓW POLITECHNIK * NR 2064 ISBN

ISBN 978-83-783-557-4 MATEMATYKA DLA STUDENTÓW POLITECHNIK * NR 64

MATEMATYKA DLA STUDENTÓW POLITECHNIK TEORIA, PRZYKŁADY, ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM PAKIETÓW MATEMATYCZNYCH Andrzej Just Witold Walas, Alina Kondratiuk-Janyska, Jerzy Pełczewski Marek Małolepszy, Agnieszka Niedziałkowska Łódź 3

Recenzent: dr hab. Marek Galewski, prof. PŁ Rysunki z wykorzystaniem pakietów TikZ i PGF Witold Walas Skład komputerowy tekstu przy użyciu systemu Aneta Stasiak Projekt okładki Aneta Stasiak Copyright by Politechnika Łódzka 3 WYDAWNICTWO POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ 9-94 Łódź, ul. Wólczańska 3 tel./fa 4-684-7-93 e-mail: zamowienia@info.p.lodz.pl www.wydawnictwa.p.lodz.pl ISBN 978-83-783-557-4 Wydanie II poprawione, uzupełnione i rozszerzone Nakład 5 egz. Ark druk. 3,. Papier offset. 8 g 7 Druk ukończono we wrześniu 3 r. Wykonano w Drukarni offsetowej Quick-Druk s.c. 9-56 Łódź, ul. Łąkowa Nr 64

Spis treści Przedmowa................................... 5 Liczby zespolone............................. Elementy algebry liniowej........................ 3 Ciągi liczbowe............................... 33 4 Szeregi liczbowe.............................. 39 5 Granica i ciągłość funkcji........................ 49 6 Rachunek różniczkowy.......................... 6 7 Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej............... 85 8 Szeregi funkcyjne (potęgowe i Fouriera)................ 5 9 Funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych................. 9 Równania różniczkowe zwyczajne.................... 48 Całki podwójne i krzywoliniowe..................... 7 Całki potrójne.............................. 97 3 Analiza wektorowa............................ 6 4 Całki krzywoliniowe w R 3 i powierzchniowe.............. 5 Równania różniczkowe cząstkowe.................... 5 6 Prawdopodobieństwo i elementy statystyki............... 59 7 Liniowe równania różnicowe....................... 8 Dodatek..................................... 36 8 Zbiór zadań (przykładowych i do rozwiązania) do poszczególnych rozdziałów...................... 3

Najczęściej używane symbole i funkcje w Maimie.............. 494 Literatura.................................... 497

W badaniach nad procesem uczenia się i nauczania matematyki nie można pomijać faktu, że nigdy nie mamy do czynienia z ahistorycznym, modelowym typem ucznia i nauczyciela, ale że są to zawsze ludzie uwarunkowani czasem, w którym żyją. Prof. Z. Krygowska Przedmowa Skrypt ten zawiera elementarne działy matematyki wyższej wykładane dla studentów uczelni technicznych ze szczególnym uwzględnieniem właśnie kierunków technicznych. Prowadzi czytelnika przez materiał w sposób logiczny i spójny, wymagając wcześniejszej znajomości podstawowych faktów matematycznych z zakresu szkół licealnych zamieszczonych w skryptach: [], [], oba skrypty pod moją redakcją. Nauczanie matematyki na uczelni technicznej musi być ukierunkowane na potrzeby kształcenia danego wydziału. Innej wiedzy matematycznej wymaga się od studenta, dajmy na to, Wydziału Chemicznego a innej od studenta Wydziału Mechanicznego. Zupełnie inni studenci trafiają na te wydziały i nie chodzi tu o poziom wiedzy, ale o specyfikę, jaką ma każdy z wydziałów. Na uczelniach technicznych rozpoczyna studia młodzież o bardzo szerokim spektrum przygotowania merytorycznego z matematyki i fizyki, od bardzo dobrze do zdecydowanie słabo przygotowanych. Dzisiaj aspiracje młodych ludzi są takie, że chcą studiować. To bardzo dobrze, jednak obecny poziom matury, szczególnie tej zdawanej na poziomie podstawowym, nie gwarantuje, że kandydat aplikujący na uczelnię techniczną posiada wiedzę i umiejętności z zakresu matematyki i fizyki umożliwiające studiowanie. Dostrzegamy poważny niedostatek u studentów

6 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik pierwszego roku niezbędnej techniki rachunkowej oraz wyraźny spadek umiejętności analitycznych. Luka, jaka powstała między matematyką szkolną a akademicką po wprowadzeniu reform kształcenia w 989 r. i 999 r., pogłębi się jeszcze bardziej po wprowadzeniu nowej podstawy programowej w 9 r. do szkół podstawowych i gimnazjalnych. Do szkół licealnych reforma wejdzie w r., a pierwsi absolwenci trafią na uczelnie w 5 roku. Redukcja treści zawartych w podstawie programowej matematyki ma przyczynić się do zwrócenia większej uwagi w procesie nauczania na rozumowanie i dogłębne opanowanie wiedzy zawartej w nowym programie. Oczywiście to dobrze, ale z drugiej strony zajęcia wyrównawcze nie zapełnią jeszcze bardziej pogłębionej luki programowej. Są one jedynie próbą wyrównania poziomu wiedzy kandydatów na studia. Wprowadzenie Krajowych Ram Kwalifikacji, a co za tym idzie efektów kształcenia, a więc zasobu wiedzy, umiejętności i kompetencji, stwarza znakomitą okazję do przemyślenia, czego będzie się uczyć z matematyki i po co. Skrypt ten łącznie z wyżej wymienionymi oraz skryptami [3] i [4] będzie zawierać podstawowy zakres wiedzy i umiejętności z matematyki wyższej (klasycznej, nie abstrakcyjnej), stanowiąc przede wszystkim narzędzie w pracy przyszłego inżyniera a jednocześnie podstawę do samodzielnego uczenia się i analizowania tych problemów matematycznych, które na swojej drodze naukowej czy zawodowej można napotkać. Nieodchodząc od matematycznej precyzji, ograniczamy się w kilku rozdziałach do bardziej intuicyjnego podejścia do wielu zagadnień, rezygnując często ze ścisłego definiowania pojęć, jak i też dowodów formułowanych twierdzeń. Zostały one wprowadzone i w wyżej wymienionych skryptach, jak też i w częściowo zapomnianym skrypcie [5], a także [6], z których to opracowań i szczególnie dobrze dobranych przykładów korzystaliśmy. Materiał staramy się wyłożyć w sposób przejrzysty i zarazem elementarny tak, żeby ze skryptu mogli korzystać również gorzej matematycznie przygotowani studenci. Część skryptu jednak, wykracza poza ramy tradycyjnie wykładane na uczelniach technicznych i może stanowić dobry materiał wstępny np. dla doktorantów nauk technicznych, zwłaszcza rozdziały dotyczące równań różniczkowych cząstkowych, ale również analiza wektorowa czy niektóre elementy analizy funkcji wielu zmiennych. Umieszczona została również duża liczba zadań do samodzielnego rozwiązania. Do każdego z zadań, którego wynikiem jest liczba lub wzór, podane są odpowiedzi. Przykłady ilustrujące rozważane zagadnienia zostały ułożone w ten sposób, by dać studentowi możliwość praktycznego zrozumienia materiału, są też rozwiązania rozpatrywanych problemów z wykorzystaniem odpowiednich pakietów matematycznych takich, jak Maima. Zatem, student prócz rozumienia pojęć uzyskuje od razu narzędzie służące do rozwiązywania konkretnych zadań. Dziś trudno wyobrazić sobie inżyniera, który nie potrafi obsługiwać komputera i wszystkie problemy matematyczne, z jakimi spotyka się w pracy zawodowej, rozwiązuje bez jego użycia, wykorzystując jedynie długopis i kartkę papieru. Współczesne programy komputerowe umożliwiają wykonywanie złożonych obliczeń nie tylko numerycznych, ale także symbolicznych, co z punktu widzenia nauczania

7 matematyki jest niezmiernie istotne. W doborze oprogramowania, uwzględniając potrzeby dydaktyczne, istotnym elementem jest to, aby posługiwanie się nim nie stanowiło bariery dla studentów w zdobywaniu i pogłębianiu wiedzy matematycznej. Na rynku dostępnych jest wiele programów, rozpoczynając od tych, które umożliwiają rozwiązywanie podstawowych problemów matematycznych, a skończywszy na rozbudowanych aplikacjach dających bardzo szerokie możliwości. Z wielu dostępnych pakietów matematycznych zarówno komercyjnych, jak i niekomercyjnych zdecydowano się na wykorzystanie Maimy, która obok innych programów matematycznych wykorzystywana jest na takich uczelniach, jak Harvard University, University of Cambridge. Za jej użyciem przemawiają argumenty przedstawione przez M. Małolepszego w artykule Programy komputerowe w nauczaniu matematyki (opublikowanym w: A. Jastriebow (red.), Technologie informatyczne w nauce, technice i edukacji. Informatyka w dobie XXI wieku, Wyd. Naukowe Instytutu Technologii Eksploatacji, Radom 9): bardzo dobrze nadaje się do obliczeń symbolicznych, które stanowią podstawę na zajęciach z matematyki, korzystanie z programu, szczególnie z wykorzystaniem interfejsu wmaima, jest bardzo intuicyjne, co powoduje, że jego obsługa nie staje się przeszkodą w rozwiązywaniu zadań, wyniki wyświetlane są z wykorzystaniem symboliki matematycznej, np., nazwy wielu funkcji i ich składnia są podobne jak w komercyjnych programach matematycznych, co jest szczególnie istotne przy przechodzeniu na nie, program jest ciągle rozwijany, jest to program bezpłatny, co nie jest bez znaczenia z punktu widzenia studentów, a także uczelni choć z całą pewnością nie powinien to być argument decydujący w doborze oprogramowania. Zdecydowano, że rozwiązania zostaną wykonane przez bezpośrednie wprowadzanie poleceń w linii komend, bez wykorzystania interfejsu graficznego. Praktyka pokazuje, iż osoby, które potrafią w Maimie rozwiązać zadania bez wykorzystania interfejsu graficznego, nie mają także większych problemów z jego obsługą. W skrypcie zostały przedstawione szkice rozwiązań większości przykładów z wykorzystaniem Maimy w wersji 5.7. (wykonane przez M. Małolepszego). Ze względu na to, że każdy z tych przykładów najpierw rozwiązano w tradycyjny sposób, a następnie przedstawiono możliwości rozwiązania go w programie, nie powtarzano (poza nielicznymi wyjątkami) komentarzy i wniosków. Ponadto w zbiorze zadań zostały przedstawione szkice rozwiązań wybranych zadań (wykonane przez A. Niedziałkowską). Rozwiązania w Maimie wyróżniono poprzez zamieszczenie przy nich symbolu.

8 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Wzrost roli i znaczenia technologii informacyjnych w kształceniu matematycznym, stwierdzona skuteczność tych technologii w procesie edukacyjnym nie jest zagrożeniem dla tradycyjnych metod nauczania. Przecież wiadomo, że wykorzystanie kalkulatorów i komputerów jest wprost niezbędne we współczesnym świecie. Jednocześnie stosowanie ich bez znajomości pewnych faktów matematycznych może prowadzić do istotnych błędów. Te dwie metody nauczania matematyki, klasyczna i poprzez wprowadzenie technologii informacyjnych, nie muszą ze sobą konkurować, ale powinny się wzajemnie uzupełniać i podnosić skuteczność kształcenia matematycznego. Stosowanie najnowszych technologii informacyjnych w nauczaniu matematyki na poziomie akademickim nie skróci też w istotny sposób czasu niezbędnego do przekazania wiedzy, może natomiast urozmaicić wykład i pomóc w zrozumieniu wielu treści tak, żeby nawet matematyka ta straszliwa królowa nauk stała się przyjazna. Andrzej Just Podziękowania Chciałbym serdecznie podziękować dr. inż. Witoldowi Walasowi, dr inż. Alinie Kondratiuk-Janysce, dr. Markowi Małolepszemu, dr inż. Agnieszce Niedziałkowskiej, dr. Jerzemu Pełczewskiemu, mgr inż. Anecie Stasiak z Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej za pomoc w przygotowaniu tego skryptu, w szczególności w przygotowaniu zbioru zadań, jak też wizualizacji rozważanych zagadnień poprzez wykorzystanie odpowiednich pakietów matematycznych. Recenzentowi dr. hab. Markowi Galewskiemu, prof. PŁ dziękuję za cenne uwagi na temat poszczególnych rozdziałów, prof. Edwardowi Kąckiemu, prof. Izydorowi Dziubińskiemu i doc. Krystynie Dobrowolskiej za wieloletnią współpracę, a moim studentom za przekonanie mnie, że skrypt taki jest bardzo potrzebny. Andrzej Just

9 Przedmowa do wydania drugiego poprawionego, uzupełnionego i rozszerzonego Do obecnego wydania skryptu dołączono nowy rozdział 7 o równaniach różnicowych. Materiał w nim przedstawiony powstał na podstawie wykładów prowadzonych na Wydziale Organizacji i Zarządzania przez naszego nieodżałowanego, przedwcześnie zmarłego kolegę Andrzeja Piątkowskiego i został opracowany przez Annę Szadkowską i Joannę Peredko. Zakres omawianych zagadnień wykracza poza ramy aktualnie obowiązującego programu i może być przydatny również dla studentów studiów nieekonomicznych, a w szczególności technicznych. Zaprezentowane teoretyczne zagadnienia zilustrowano przykładami, także dotyczącymi zastosowań ekonomicznych. Niektóre przykłady zostały rozwiązane w sposób tradycyjny, a następnie z wykorzystaniem pakietu matematycznego Maima. W zbiorze zadań do rozdziału 7, autorstwa A. Szadkowskiej i J. Peredko, przedstawiono szkice rozwiązań wybranych zadań oraz rozwiązania uzyskane z użyciem Maimy. Andrzej Just

Rozdział Liczby zespolone Równanie = zdaje się nie mieć żadnego rozwiązania. Podobnie było z problemem odejmowania liczby większej od mniejszej. To działanie również z początku wydawało się niewykonalne, dopóki matematycy nie wprowadzili nowego rodzaju liczb liczb ujemnych. Aby znaleźć rozwiązanie powyższego równania, matematycy i w tym przypadku wprowadzili nowy rodzaj liczb liczby urojone. To takie, które podniesione do kwadratu dają liczbę ujemną. Próżno ich szukać wśród liczb rzeczywistych. Dopiero kiedy uwzględnimy liczby zespolone możemy, skuteczniej rozwiązywać równania wielomianowe (każdy wielomian ma wtedy pierwiastki). Liczby zespolone nie tylko pozwalają rozszerzyć pojęcie liczby, lecz również przydają się między innymi w aerodynamice, mechanice cieczy, mechanice kwantowej oraz w opisie matematycznym wielu zagadnień fizycznych i mechanicznych. Definicja.. Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną (, y), gdzie, y R, którą zapisujemy w postaci z = + iy. Liczba i ma tę własność, że i =, i nazywamy jednostką urojoną. Powyższą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kartezjańską, nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej i oznaczamy = re z (lub Re z), y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej i oznaczamy y = im z (lub Im z). Liczba zespolona, to taki matematyczny składak zapisany w postaci dwóch składników: rzeczywistego i urojonego. To tak, jakby do wody wlać oliwę nie zmieszają się, choć łącznie dadzą nową jakość. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczać będziemy literą C. Wprowadźmy na płaszczyźnie prostokątny kartezjański układ współrzędnych. Wówczas każdemu punktowi płaszczyzny o współrzędnych (, y) można przyporządkować dokładnie jedną liczbę zespoloną z = + iy i na odwrót: każdej liczbie zespolonej z = + iy punkt płaszczyzny o współrzędnych (, y). Jeżeli y =, to z = jest liczbą rzeczywistą, a więc zbiór liczb zespolonych zawiera jako podzbiór wszystkie liczby rzeczywiste.

Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik oś urojona y 4 + i z = 4 + i = (4, ) O 4 oś rzeczywista Płaszczyznę, dla której zostało ustalone takie odwzorowanie nazywamy płaszczyzną zespoloną. Przykłady. z = 3 + i = ( 3, ) re z = 3 im z =. z = i = (, ) re z = im z = Liczbą sprzężoną z do liczby zespolonej z = + iy nazywamy liczbę postaci z = iy. y z O z Modułem liczby zespolonej z nazywamy liczbę rzeczywistą nieujemną określoną równością z = + y, gdzie z = + iy. Geometrycznie moduł liczby zespolonej z jest odległością punktu o współrzędnych (, y) od początku układu współrzędnych. y y z (, y) O

Rozdział. Liczby zespolone 3 Wprowadzimy cztery podstawowe działania w zbiorze liczb zespolonych [3] (aby uniknąć wypisywania wzorów ogólnych, zrobimy to na przykładzie dwóch ustalonych liczb zespolonych) z = 7 i, z = 3 + 4i. z + z = (7 i) + ( 3 + 4i) = 4 + i (dodajemy oddzielnie części rzeczywiste i oddzielnie części urojone). z z = (7 i) ( 3 + 4i) = 6i (odejmujemy oddzielnie części rzeczywiste i oddzielnie części urojone). z z = (7 i)( 3+4i) = +8i+6i 8i = 3+34i (mnożenie wykonujemy tak, jakbyśmy mnożyli dwa dwumiany przez siebie). Zauważmy, że z z = z. z z = ( + iy)( iy) = iy + iy i y = + y = z Korzystając z tego faktu łatwo wykonamy dzielenie z = 7 i (7 i)( 3 4i) 8i + 6i + 8i = = z 3 + 4i ( 3 + 4i)( 3 4i) 9 + 6 = 9 i 5 = 9 5 5 i. W Maimie jednostka urojona oznaczana jest symbolem %i. Podstawowe działania w zbiorze liczb zespolonych wykonujemy następująco: (%i) (7-* %i)+(-3+4* %i); (%o) %i + 4 (%i) (7-* %i)-(-3+4* %i); (%o) 6 %i (%i3) rectform((7-* %i)*(-3+4* %i)); (%o3) 34 %i 3 (%i4) rectform((7-* %i)/(-3+4* %i)); %i (%o4) 5 9 5 Funkcja rectform() powoduje zapisanie liczby zespolonej w postaci kartezjańskiej. Wyznaczanie części rzeczywistej, części urojonej, modułu oraz sprzężenia liczby zespolonej odbywa się następująco: część rzeczywista (%i5) realpart(-3+ %i); (%o5) 3 część urojona (%i6) imagpart(-3+ %i); (%o6) =

4 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik moduł (%i7) abs(-3+ %i); (%o7) sprzężenie (%i8) conjugate(-3+ %i); (%o8) %i 3 Definicja.. Argumentem liczby zespolonej z = + iy nazywamy każdą liczbę rzeczywistą ϕ spełniającą warunki: { z cos ϕ = z sin ϕ = y. Zauważmy, że za argument liczby zespolonej z = można przyjąć dowolną liczbę rzeczywistą oraz że każda liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów różniących się o całkowitą wielokrotność liczby π, co wynika z okresowości funkcji sinus i cosinus. Geometrycznie argument liczby z oznacza miarę kąta skierowanego, jaki tworzy wektor Oz z osią O. Ten spośród argumentów liczby z, który spełnia warunek ϕ < π nazywać będziemy argumentem głównym (wybór przedziału ograniczającego ϕ jest kwestią umowną, czasami przyjmuje się, że π < ϕ π). Oczywiście, każda liczba zespolona różna od zera ma dokładnie jeden argument główny. y z ϕ = argz O Przykłady. z = 4 arg 4 =, co wynika z położenia liczby zespolonej (4, ) na płaszczyźnie.. z = 3 3i z = 9 + 9 = 3

Rozdział. Liczby zespolone 5 cos ϕ = 3 3 = sin ϕ = 3 3 = Argument główny ϕ musi spełniać warunek 3 π < ϕ < π, ponieważ tylko wówczas cos ϕ jest dodatni, a sin ϕ ujemny, a więc ϕ = π π 4. Stąd ϕ = arg(3 3i) = 7 4 π. Do wyznaczania argumentu głównego liczby zespolonej służy funkcja carg(). W Maimie argument główny należy do przedziału ( π, π].. (%i) carg(4); (%o). (%i) carg(3-3* %i); (%o) π 4 Korzystając z definicji argumentu liczby zespolonej, możemy liczbę zespoloną przedstawić w postaci trygonometrycznej z = + iy = z cos ϕ y = z sin ϕ z = z (cos ϕ + i sin ϕ). Definicja.3. n-tą potęgą liczby zespolonej z nazywamy iloczyn n czynników równych z: z n = z }.{{.. z}. n Zauważmy, że tak samo definiujemy n-tą potęgę liczy rzeczywistej. Twierdzenie.. Dla dowolnej liczby zespolonej z = z (cos ϕ + i sin ϕ) mamy z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ), n N. Powyższy wzór nazywamy wzorem de Moivre a. Zauważmy, że z n = z n, ponieważ cos nϕ + i sin nϕ = Przykłady cos nϕ + sin nϕ =.. i i = i i = (i ) i = ( ) i = i, a więc nie zawsze licząc potęgę liczby zespolonej, trzeba korzystać ze wzoru de Moivre a.

6 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik. ( + i) 9 + i = { cos ϕ = ϕ = π π 4 = 3 4 π sin ϕ = ( ) 9 ) ( + i) 9 = (cos 57 4 π + i sin 57 4 π = 9 ( cos(4π + π 4 ) + i sin(4π + π 4 )) = 9 ( cos π 4 + i sin π ) 4 = = 9 ( ) + i = 9 ( + i). (Przypomnijmy sobie wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych []). =. (%i) %i^; (%o) %i. W Maimie wejścia (to co wprowadzamy) oraz wyjścia (to co otrzymujemy) są numerowane, np. wejście pierwsze: %i, wyjście pierwsze: %o. W polecaniach możemy odwoływać się do wcześniejszych wyników, co wykorzystujemy poniżej. (%i) (-+ %i)^9; (%o) ( %i ) 9 (%i) rectform( %o); (%o) 5 %i + 5 W zbiorze liczb rzeczywistych R określamy pierwiastek arytmetyczny stopnia n liczby nieujemnej. Przy założeniu, że a i n N definiujemy: ( n a = b) (b n = a b ). W przypadku gdy n jest liczbą nieparzystą i a < definiujemy: n a = n a. W zbiorze liczb zespolonych nie ma sensu mówić o znaku liczby zespolonej, a więc definicji tej nie można przenieść bez zmian na pierwiastki z liczb zespolonych. Obok pierwiastków arytmetycznych mówi się jeszcze o pierwiastkach algebraicznych: jeżeli a R i n N, to liczbę b nazywamy pierwiastkiem algebraicznym stopnia n z liczby a, gdy b n = a. Podobnie określamy pierwiastki w zbiorze liczb zespolonych. Definicja.4. Pierwiastkiem stopnia naturalnego n liczby zespolonej z nazywamy taką liczbę zespoloną w, że w n = z i zapisujemy n z = w. A więc n z = w w n = z.

Rozdział. Liczby zespolone 7 Twierdzenie.. Każda liczba zespolona z posiada dokładnie n różnych pierwiastków stopnia naturalnego n i pierwiastki te określone są wzorami: ( w k = z n cos ϕ + kπ + i sin ϕ + kπ ), k =,,..., n, n n gdzie n z oznacza arytmetyczny pierwiastek stopnia n, ϕ = arg z. n Zauważmy, że w zbiorze liczb zespolonych symbol z dla z i n =, 3,... nie jest jednoznaczny (w przeciwieństwie do pierwiastka arytmetycznego), jedynie gdy z = symbol ten jest jednoznaczny: n =. To, że liczby wk są pierwiastkami n-tego stopnia liczby zespolonej z wynika bezpośrednio ze wzoru de Moivre a, ponieważ wk n = z. Również oczywistym jest, że w k = n z, ponieważ cos ϕ+kπ n + sin ϕ+kπ n =. Geometrycznym obrazem pierwiastków stopnia n liczby zespolonej z są punkty na płaszczyźnie zespolonej leżące na okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r = n z oraz dzielące ten okrąg na n równych łuków (argumenty kolejnych pierwiastków różnią się o stałą wielkość π n ). Przykłady. 4 = ±, gdyż = 4 oraz ( ) = 4. 6 = ±4i, ponieważ (±4i) = 6 (ogólniej: jeśli a <, to a = ±i a ) 3. 4 6 6 = 6, arg( 6) = π w = ( cos π 4 + i sin π ) ( ) 4 = + i = + i ( ) w = cos π+π 4 + i sin π+π 4 = ( cos ( π π ) ( )) 4 + i sin π π 4 = = ( cos π 4 + i sin π ) ( ) 4 = + i = + i ( ) w = cos π+4π 4 + i sin π+4π 4 = ( cos ( π + π ) ( )) 4 + i sin π + π 4 = = ( cos π 4 i sin π ) ( 4 = ) i. w 3 = cos π+6π 4 + i sin π+6π 4 = ( cos ( π π ) ( )) 4 + i sin π π 4 = = ( cos π 4 i sin π ) 4 = i Zaznaczmy te pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej: y w w O π 4 w w 3

8 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Pokażemy teraz, jak można wyznaczyć pierwiastki liczb zespolonych.. Wyznaczenie pierwiastków drugiego stopnia liczby 4 sprowadza się do rozwiązania równania z = 4. Wobec tego mamy: (%i) solve(z^-4=); (%o) [z =, z = ]. Analogicznie postępujemy w kolejnym przykładzie. (%i) solve(z^+6=); (%o) [z = 4 %i, z = 4 %i] 3. Wyznaczając pierwiastki czwartego stopnia liczby 6, poza rozwiązaniem odpowiedniego równania musimy zapisać uzyskane pierwiastki w postaci kartezjańskiej. Jest to konieczne ze względu na czynnik ( ) /4 uzyskany przy rozwiązaniu równania. Odwołanie do ostatniego wyniku uzyskujemy, wpisując symbol %. (%i) solve(z^4+6=); (%o) [z = ( ) /4 %i, z = ( ) /4, z = ( ) /4 %i, z = ( ) /4 ] (%i) rectform(%); (%o) [z= %i, z= %i, z= %i, z= %i + ] Funkcja solve() służy do rozwiązywania równań (także układów równań). Chcąc rozwiązać równanie, podajemy je jako argument. Drugim argumentem (podanym po przecinku) jest zmienna, względem której rozwiązywane jest równanie. W przypadku gdy występuje jedna zmienna (w równaniu nie ma parametrów), możemy podać równanie bez zapisywania zmiennej jako drugiego argumentu. Tak jak wcześniej wspomnieliśmy, dopiero kiedy uwzględnimy liczby zespolone, można skutecznie rozwiązywać równania wielomianowe. Definicja.5. Wielomianem n-tego stopnia w dziedzinie liczb zespolonych nazywamy funkcję postaci: W n (z) = a z n + a z n +... + a n, gdzie a, n N, z, a, a,..., a n C. Liczbę z, dla której W n (z ) =, nazywamy miejscem zerowym lub pierwiastkiem wielomianu. Można udowodnić, że każdy wielomian W n (z) ma dokładnie n pierwiastków (niekoniecznie różnych) i można go przedstawić w postaci iloczynu: W n (z) = a (z z )... (z z n ), gdzie z,..., z n są pierwiastkami tego wielomianu. Dowodzi się też, że jeżeli współczynniki wielomianu są rzeczywiste i jakaś liczba

Rozdział. Liczby zespolone 9 z jest pierwiastkiem tego wielomianu, to również z jest pierwiastkiem tego wielomianu. W przypadku wielomianu stopnia drugiego (zapiszmy go z uwagi na dużą analogię tak jak w dziedzinie rzeczywistej) mamy W (z) = az + bz + c, a, a, b, c C, W (z) = a(z z )(z z ), przy czym pierwiastki z, z tego wielomianu wyrażają się wzorami gdzie z k = b + k, k =,, a k = = b 4ac, k =,. Przykład Rozwiązać równanie z 4z + 6 =. = 6 4 = 8 k = 8 = ±i k =, z = 4+i = + i, z = 4 i = i. Zauważmy, że współczynniki naszego równania kwadratowego są rzeczywiste, tym samym pierwiastki naszego równania muszą być sprzężone. Równanie to rozwiązujemy następująco: (%i) solve(z^-4*z+6=); (%o) [z = %i, z = %i + ] Funkcje kwadratowe mają duże znaczenie w fizyce i chemii, ponieważ stosuje się je do opisu wielu ruchów drgających. Definicja.6. Funkcję wykładniczą e z oznaczaną też ep z (eksponens z) definiujemy wzorem ep z = e z = e (cos y + i sin y), gdzie z = + iy oznacza dowolną liczbę zespoloną. Korzystając z powyższej definicji obliczamy e πi = e (cos π + i sin π) =.

Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Stąd e πi + =. Najpiękniejszy matematyczny wzór świata. W zadziwiający sposób łączy ze sobą pięć najsłynniejszych liczb,, i, π, e, które odkryto niezależnie w różnym czasie i zagadnieniach. (Euler wprowadził symbol e (liczba Eulera) rozdział 3, str. 37).

Rozdział Elementy algebry liniowej Opis matematyczny wielu problemów prowadzi do układów liniowych. Elementarne metody algebraiczne są wystarczające, gdy liczba takich równań jest mała. W wielu przypadkach jednak liczba równań jest duża i w tej sytuacji potrzebne są metody zarówno rozwiązywania takich dużych układów równań liniowych, jak i do opisu i analizy zagadnień, które do nich prowadzą. Dział matematyki zajmujący się teorią układów liniowych to algebra macierzy. W ekonomii takie duże układy występują między innymi w modelach mówiących o liniowej zależności między nakładami na produkcję a wielkością produkcji. Modele te pozwalają zbilansować całą gospodarkę, jak też pozwalają prognozować zużycie np. surowców. Dużego rozmiaru układy liniowe występują również w automatyce. Impulsem do stosowania tych wielkich macierzy są obecnie duże możliwości obliczeniowe z wykorzystaniem metod numerycznych i komputerów. Te wielkie układy liniowe są też efektem przybliżeń modeli nieliniowych (tzw. linearyzacji), często zagadnień bardzo trudnych, jeśli chodzi o istnienie i możliwości rozwiązania. Definicja.. Niech D = {(i, k); i =,,..., m, k =,,..., n}. Każdą funkcję f odwzorowującą zbiór D w zbiór liczb rzeczywistych R nazywamy macierzą prostokątną o wymiarach m n, gdzie f(i, k) = a ik, i =,,..., m, k =,,..., n, nazywamy elementami tej macierzy. Elementami macierzy mogą być również elementy dowolnego zbioru, w szczególności mogą to być liczby zespolone, funkcje itp. Macierze zapisujemy w postaci tablicy prostokątnej o m wierszach i n kolumnach w ten sposób, że element a ik stoi na przecięciu i-tego wiersza i k-tej kolumny:

Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik a a... a k... a n a a... a k... a n....... a i a i a ik a in....... a m a m... a mk... a mn k-ta kolumna i-ty wiersz Macierze oznaczamy najczęściej wielkimi literami np. A, B, X i zapisujemy A = [a ik ] m n. Jeżeli m = n, macierz nazywamy macierzą kwadratową, a liczbę n stopniem tej macierzy. O elementach a, a,..., a nn macierzy kwadratowej mówimy, że tworzą przekątną główną tej macierzy. Macierz kwadratową, której wszystkie elementy stojące na przekątnej głównej są równe, a pozostałe elementy są zerami, nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy I....... I =.......... Macierz, której wszystkie elementy są zerami, nazywamy macierzą zerową i oznaczamy przez. Macierz, którą uzyskujemy z macierzy A przez zamianę jej wierszy na kolumny z zachowaniem kolejności, nazywamy macierzą transponowaną do A i oznaczamy symbolem A T. Przykład A = 3, A T = [ 3 ]. Definiujemy macierz A. W tym celu wykorzystamy funkcję matri(), której argumentami są kolejne wiersze macierzy zapisane w nawiasach kwadratowych i oddzielone przecinkami (elementy wiersza także oddzielamy przecinkami). Dwukropek oznacza operator przypisania. (%i) A: matri( [,-3], [,], [-,] );

Rozdział. Elementy algebry liniowej 3 3 (%o) Oczywiście, polecenie zapisane na wejściu %i może być podane w jednej linii. Transponujemy macierz A. (%i) (%o) [ transpose(a); ] 3 Działania na macierzach Dwie macierze nazywamy równymi, gdy mają te same wymiary i elementy stojące na tych samych miejscach w obu macierzach są równe. Sumę i różnicę macierzy o tych samych wymiarach definiujemy następująco: [a ik ] m n ± [b ik ] m n = [a ik ± b ik ] m n. Mnożenie macierzy przez liczbę α R definiujemy równością: α[a ik ] m n = [αa ik ] m n. Iloczynem macierzy A = [a ij ] m s i B = [b jk ] s n nazywamy macierz C = [c ik ] m n, której elementy określone są następująco: c ik = a i b k + a i b k +... + a is b sk i =,,..., m, k =,,..., n. Element c ik jest więc równy sumie iloczynów kolejnych elementów i-tego wiersza macierzy A i kolejnych elementów k-tej kolumny macierzy B............. a i a i... a is............... b k...... b k......... b sk............... c ik............ Zauważmy, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.

4 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Przy założeniu, że wskazane niżej działania są wykonalne, prawdziwe są następujące równości: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) (AB)C = A(BC) A + = A A = A = IA = A AI = A A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC Definicja.. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n a a... a n a a... a n...... a n a n... a nn nazywamy liczbę określoną w następujący sposób (rekurencyjnie): a = a, jeżeli n = a a... a n det A = W = a a... a n..... = a W a W +....... + ( ) +n a n W n, a n a n... a nn jeżeli n >, gdzie W k, k =,,..., n oznacza wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy A przez pominięcie pierwszego wiersza i k-tej kolumny. Będziemy mówili zamiennie: element wyznacznika i element macierzy, stopień wyznacznika i stopień macierzy, wiersz wyznacznika i wiersz macierzy, kolumna wyznacznika i kolumna macierzy. Zwróćmy uwagę, że a to nie moduł [ liczby] a, ale det[a ] = a. Również a b zauważmy z powyższej definicji, że det = ad bc (jest to dobrze znany ze c d szkoły ponadgimnazjalnej wyznacznik stopnia drugiego). Ogólniej: wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy A przez pominięcie i-tego wiersza i k-tej kolumny oznaczamy symbolem W ik, a iloczyn ( ) i+k W ik = W ik nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ik. Stąd W = a W + a W +... + a n W n.

Rozdział. Elementy algebry liniowej 5 Twierdzenie. (Laplace a). Wyznacznik macierzy kwadratowej A stopnia n jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienie algebraiczne W = a i W i + a i W i +... + a in W in, i =,,..., n lub W = a k W k + a k W k +... + a nk W nk, k =,,..., n. Prawe strony powyższych równości nazywamy odpowiednio rozwinięciem Laplace a wyznacznika według i-tego wiersza lub k-tej kolumny. Przy obliczaniu wyznaczników często korzystamy z następujących własności:. Wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi danej macierzy.. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) wyznacznika są zerami, to wyznacznik ten jest równy zero. 3. Jeżeli w wyznaczniku przestawimy dwa wiersze (kolumny), to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną. 4. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) wyznacznika pomnożymy przez liczbę α R, to wartość wyznacznika też zostanie pomnożona przez tę liczbę. 5. Jeżeli do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) wyznacznika pomnożone przez tę samą liczbę, to wartość wyznacznika nie zmieni się. 6. Jeżeli elementy pewnego wiersza (kolumny) wyznacznika są proporcjonalne (w szczególności równe) do elementów innego wiersza (kolumny), to wyznacznik jest równy zero. Pomnożenie wiersza w i (kolumny k i ) przez liczbę α, a następnie dodanie do wiersza w j (kolumny k j ) oznaczać będziemy przez αw i + w j (αk i + k j ). Przykład Korzystając z powyższych własności obliczymy wyznacznik: 3 4 3 5 3 5 3 3 k +k k +k 3 = k +k 4 3 8 3 4 4 5 5 8 =

6 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik = ( ) 4+ 8 3 4 5 8 = 5 8 3 7 5 9 Tym samym obliczenie wyznacznika stopnia czwartego sprowadziliśmy do obliczenia tylko jednego wyznacznika stopnia trzeciego: 5 8 3 5 8 5 5 3 5 k 7 5 +k 3 k = 7 6 +k 9 k = 7 4 6 +k = 9 9 9 3 5 = 9 4 6 = ( ) ( ) 3+ 5 = 6 9 5 = 3 9 6 Ostatecznie: 3 4 3 5 3 5 3 = ( 3) = 6. Najpierw zdefiniujemy macierz, a następnie obliczymy jej wyznacznik. Pamiętamy, że % oznacza odwołanie do ostatniego wyniku. (%i) matri( [3,-,,], [4,-,3,-], [-5,3,,5], [,3,-,] ); 3 4 3 (%o) 5 3 5 3 (%i) determinant(%); (%o) 6 Definicja.3. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy taką macierz A (o ile istnieje), dla której A A = A A = I, gdzie I jest macierzą jednostkową. Z powyższej definicji wynika, że macierz odwrotna może istnieć jedynie dla macierzy kwadratowej. Wykazuje się, że macierz odwrotna istnieje dla każdej macierzy

Rozdział. Elementy algebry liniowej 7 kwadratowej, której wyznacznik jest różny od zera (macierz taką nazywamy nieosobliwą). Twierdzenie.. Jeżeli macierz A jest macierzą kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera, to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna do macierzy A i jest ona określona wzorem: [ W A ] T =, W = det A, W ik dopełnienie algebraiczne elementu a ik macierzy A. Macierz odwrotną do macierzy A wykorzystujemy często do rozwiązywania równań macierzowych, w których niewiadomą jest macierz. Definicja.4. Wyznaczniki utworzone z macierzy A = [a ik ] m n przez pominięcie pewnej liczby wierszy lub pewnej liczby kolumn nazywamy minorami macierzy A. Definicja.5. Powiemy, że rząd macierzy A = [a ik ] m n jest równy r, gdy istnieje minor stopnia r tej macierzy różny od zera, a wszystkie jej minory stopnia wyższego, o ile istnieją, są równe zeru, co zapisujemy ik W R(A) = r (rz A = r). Rząd macierzy jest to więc najwyższy ze stopni tych jej minorów, które są różne od zera. Przyjmujemy, że rząd macierzy zerowej jest równy zeru. Zauważmy, że R(A) min{m, n}. Twierdzenie.3. Jeżeli w macierzy wykonamy dowolną z następujących operacji:. zamienimy wiersze na kolumny,. przestawimy dwa wiersze (kolumny), 3. pomnożymy elementy pewnego wiersza (kolumny) przez tą samą, różną od zera liczbę, 4. pominiemy wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, 5. do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez tą samą liczbę, 6. pominiemy jeden z dwu wierszy (kolumn) o elementach proporcjonalnych, to rząd tej macierzy nie zmieni się.

8 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Najprostszym układem równań liniowych algebraicznych jest układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: { a + b y = c a + b y = c. Każde z tych równań geometrycznie przedstawia prostą na płaszczyźnie. Jeżeli proste te nie są równoległe, wówczas przecinają się w jednym punkcie (, y), który jest rozwiązaniem powyższego układu równań. Jeżeli proste są równoległe i nie pokrywają się, wówczas nasz układ nie ma rozwiązań. I wreszcie ostatnia, trzecia możliwość, proste pokrywają się i nasz układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Pokażemy, że bez względu na to jak układ jest wielki, ile ma równań i ile ma niewiadomych, mogą wystąpić tylko te trzy sytuacje, tzn. układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, mówimy wówczas, że jest to układ oznaczony, nie ma rozwiązania, o takim układzie mówimy, że jest sprzeczny i układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, o którym mówimy, że jest nieoznaczony. Definicja.6. Układem n równań o n niewiadomych,,..., n nazywamy układ postaci a + a +... + a n n = c a + a +... + a n n = c (.)............................... a n + a n +... + a nn n = c n. Rozwiązaniem tego układu równań jest każdy układ n liczb (,,..., n ) spełniających równania (.). Przyjmijmy oznaczenia: A = C = a a... a n a a... a n............ a n a n... a nn c c. c n, X =. n, det A = W. Wyznacznik W nazywamy wyznacznikiem głównym układu. Przy przyjętych oznaczeniach układ (.) można zapisać w postaci macierzowej: AX = C.,

Rozdział. Elementy algebry liniowej 9 Twierdzenie.4 (Cramera). Jeżeli wyznacznik główny układu (.) jest różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono określone wzorami = W W, = W W,..., n = W n W, gdzie W = det A; W k oznacza wyznacznik otrzymany z wyznacznika W przez zastąpienie k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych c, c,..., c n ; k =,,..., n. Powyższe wzory nazywamy wzorami Cramera, a układ równań (.) układem Cramera. Zauważmy, że bardzo łatwo otrzymać wzory Cramera, mnożąc lewostronnie równanie macierzowe AX = C przez macierz A. Wówczas otrzymujemy: A AX = A C, IX = A C, a stąd X = A C. Jeżeli w układzie (.) c = c =... = c n =, to układ ten przyjmuje postać a + a +... + a n n = a + a +... + a n n =............................... a n + a n +... + a nn n = (.) i nazywamy go układem jednorodnym. Zauważmy, że każdy układ jednorodny postaci (.) ma rozwiązanie =, =,..., n =. Rozwiązanie to nazywamy rozwiązaniem zerowym (trywialnym). Rozwiązanie (,,..., n ) układu (.) nazywamy niezerowym, gdy przynajmniej jedna z liczb,,..., n jest różna od zera. Z twierdzenia Cramera wynika natychmiast, że jeżeli wyznacznik główny układu jednorodnego (.) jest różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest to rozwiązanie zerowe. Rozważmy ogólniejszy układ równań liniowych, w którym liczba równań i liczba niewiadomych nie muszą być równe (ale mogą) a + a +... + a n n = c a + a +... + a n n = c................................. a m + a m +... + a mn n = c m. (.3)

3 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Przyjmijmy oznaczenia: A = X = a... a n a... a n......... a m... a mn. n, B =, C = a... a n c a... a n c............ a m... a mn c m c c. c m. Wówczas układ (.3) można zapisać w postaci macierzowej AX = C. Twierdzenie.5 (Kroneckera-Capellego). Układ równań liniowych (.3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy A i B są równe, a więc R(A) = R(B) = r, przy tym, jeżeli r = n (n liczba niewiadomych), to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, natomiast jeżeli r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one zależne od n r parametrów. Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że jeżeli R(A) R(B), to układ (.3) nie ma rozwiązania (jest sprzeczny). Jeżeli w układzie (.3) c = c =... = c m =, to układ ten nazywamy układem jednorodnym. Ponieważ dla układu jednorodnego R(A) = R(B), to układ jednorodny nie może być sprzeczny, co jest zresztą oczywiste, gdyż każdy układ jednorodny ma rozwiązanie zerowe =... = n =. Jest to jedyne rozwiązanie tego układu, gdy R(A) = n. Natomiast gdy R(A) < n, to układ jednorodny ma poza rozwiązaniem zerowym nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych. Jeżeli mamy układ jednorodny n równań o n niewiadomych, to z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że jeżeli wyznacznik główny układu jednorodnego jest równy zeru (R(A) < n), to układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań, w tym rozwiązanie zerowe. Zauważmy więc, że układ (.3), w szczególności (.), może mieć jedno rozwiązanie (układ oznaczony) lub nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony) albo może nie mieć żadnego rozwiązania (układ sprzeczny). Żadnych innych możliwości nie ma.,

Rozdział. Elementy algebry liniowej 3 Aby rozwiązać układ (.3), który ma jedno rozwiązanie lub nieskończenie wiele rozwiązań, należy spośród równań danego układu wybrać r równań o r niewiadomych (R(A) = R(B) = r) tak, aby otrzymany układ równań był układem Cramera. Przykład Rozwiązać układ równań + 3y z + t = 7t = 3 + 9y 6z + 3t = 3 Na tym prostym przykładzie pokażemy zastosowanie przedstawionej powyżej teorii dotyczącej dowolnych układów równań liniowych. Jest to układ 3 równań z 4 niewiadomymi, a więc już z samej postaci tego układu wnioskujemy, że układ ten może być sprzeczny albo posiadać nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ maksymalny rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, a liczba niewiadomych jest równa 4. Sprawdzamy, czy układ ma rozwiązania 3 R(A) = R 7 3 9 6 3 [ ] 3 = R = 7 3 ponieważ np. 3 R(B) = R 7 3 9 6 3 3 = R [ 3 7 ] = R 3 w +w 3 = = R 3 w +w 3 3 7 = 3 7 = Stąd R(A) = R(B) =, co oznacza, że nasz układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 4 = parametrów. W celu rozwiązania tego układu należy wybrać dwa równania z dwiema niewiadomymi, przyjmując za pozostałe dwie niewiadome parametry. Tak wybrany układ musi mieć wyznacznik główny różny od zera. Patrząc na obliczenia związane z R(A), widzimy, że najwygodniej rozwiązać następujący układ (macierz A ma niezerowy minor powstały przez wykreślenie trzeciego wiersza oraz trzeciej i czwartej kolumny): { + 3y = + α β z = α, = + 7β t = β, α, β R.

3 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Tak prosty układ oczywiście rozwiązujemy bez użycia wzorów Cramera i otrzymujemy: = + 7 β, y = 3 + 3 α + 5 6 β. Tym samym otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań X = y z t = + 7 β 3 + 3 α + 5 6 β α β, α, β R. Układ równań liniowych rozwiążemy z wykorzystaniem funkcji linsolve(), która ma dwa argumenty: w pierwszym zapisujemy równania oddzielone przecinkami, (równania muszą znaleźć się w nawiasach kwadratowych), w drugim natomiast umieszczamy oddzielone przecinkami zmienne (one także muszą być w nawiasach kwadratowych). (%i) linsolve([-+3*y-*z+t=-, *-7*t=-, -3*+9*y-6*z+3*t=-3], [,y,z,t]); solve: dependent equations eliminated: (3) (%o) [ = 7 %r 4 %r+5 %r 4, y = 6, z = %r, t = %r] W rozwiązaniu parametr α zapisany jest jako %r, a parametr β jako %r. Czytelnik chcący poszerzyć swoje wiadomości z algebry liniowej powinien koniecznie zainteresować się skryptem [3].

Rozdział 3 Ciągi liczbowe Ciągi omówimy z uwagi na szeregi nieskończone, które występują we wszystkich działach fizyki i chemii, a przedstawienie funkcji w postaci szeregu jest podstawowym narzędziem rozwiązywania problemów fizycznych i chemicznych. Tam gdzie jest to możliwe i wskazane, będziemy interpretować wprowadzane definicje w skrypcie [] możliwie jak najprostszym i obrazowym językiem, zarówno w tym rozdziale, jak i w następnych. Definicja 3.. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy np. przez a n, a ciąg o takich wyrazach oznaczamy przez (a n ), a czasem (a n ) n N. Rozważa się również ciągi, których wyrazami są liczby zespolone, funkcje, macierze itp. Ciągi liczbowe można określać: a) wzorem, np. a n = n, b) rekurencyjnie (tzn. każdy wyraz ciągu wyraża się przez wyrazy poprzednie), np. a = 7, a n+ = a n + 5 ciąg arytmetyczny, b =, b n+ = b n ciąg geometryczny, c) opisowo, np. b n n-ta liczba pierwsza. Wszystkie nieskończone ciągi liczbowe można podzielić na ciągi zbieżne i ciągi rozbieżne. Ciągi zbieżne są to te ciągi liczbowe, które mają właściwą (skończoną) granicę. Definicja 3.. Ciąg (a n ) jest zbieżny do granicy właściwej a R, co zapisujemy: lim a n = a (a n a), n n

34 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik gdy spełniony jest następujący warunek ε> N N n>n a n a < ε. Innymi słowy, prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (tzn. wszystkie poza skończoną początkową liczbą) leżą dowolnie blisko a (tzn. w przedziale (a ε, a + ε), gdzie ε jest dowolną liczbą dodatnią). a n a + ε a a ε O 3 4 5 6 7 8 9 n Ciąg (a n ), który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. Definicja 3.3. Ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą +, co zapisujemy lim a n = + n (a n n + ), gdy dla dostatecznie dużych wskaźników n wyrazy a n tego ciągu są większe od dowolnie dużej liczby M. Mówimy wówczas, iż ciąg (a n ) jest rozbieżny do + (czasami mówi się też, iż jest zbieżny do + ). Innymi słowy, prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są dowolnie duże. Zauważmy, że ciąg a n = n jest zbieżny do + i to dlatego możemy zapisać granicę ciągu lim a n = +, nie pisząc, że n + (przecież, gdzie indziej n dążyć nie może). Ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą, co zapisujemy lim n a n = (a n ), gdy dla dostatecznie dużych n wyrazy tego ciągu są mniejsze od dowolnie małej liczby m (również ujemnej np. ). a n a n M m O 3 4 5 6 7 8 9 n O 3 4 5 6 7 8 9 n

Rozdział 3. Ciągi liczbowe 35 Definicja 3.4. Niech (a n ) będzie dowolnym ciągiem oraz niech (k n ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu (a n ) nazywamy ciąg (b n ) określony wzorem b n = a kn, n N. Przykładami podciągów ciągu liczb naturalnych a n = n; n =,,... są ciągi:, 3, 5, 7,...,, 4, 6, 8,...,, 6,, 6,..., natomiast ciąg,, 3, 5, 7, 7,... nie jest podciągiem naszego ciągu (a n ). Twierdzenie 3.. Jeżeli ciąg ma granicę równą a (właściwą lub niewłaściwą), to każdy jego podciąg ma granicę równą a. Twierdzenie 3.. Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy właściwej, to jest ograniczony. Implikacja odwrotna do powyższej jest fałszywa, np. ciąg o wyrazie ogólnym a n = ( ) n jest ograniczony, ale nie ma granicy. Chcąc uniknąć formułowania dużej liczby twierdzeń dotyczących granic ciągów, wprowadzimy symbole nieoznaczone i oznaczone następująco: rozszerzmy zbiór R dodając do niego elementy, +, przy czym dla każdego R, < < +. Wprowadźmy oznaczenie R = R {, + }. W zbiorze R definiujemy działania arytmetyczne, tak zwane symbole oznaczone oraz symbole nieoznaczone. Jest siedem symboli nieoznaczonych:,,,,,,. (Oczywiście w wielu z tych symboli może być zastąpiona przez ). Ich wartości zależą od postaci ciągów je tworzących i mogą przyjąć każdą wartość ze zbioru R. Symbole oznaczone to nic innego jak działania (operacje jednoznaczne) wprowadzone w zbiorze R, 3 np. + =, 3 + =, (+ ) = itp. Symbole nieoznaczone będziemy zapisywać w nawiasach kwadratowych, np. [ + ]. Przykład 5 + n 3 [ ] 5 lim n + 3n = n + n = lim n n + 3 = + i w przypadku tego samego symbolu nieoznaczonego 5 + 3n [ ] 5 lim n 7 + n = n + 3 = lim n 7 n + = 3, co pokazuje w sposób oczywisty, że [ ] jest symbolem nieoznaczonym. [ ],

36 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Do obliczania granic ciągów służy funkcja limit(), która wówczas ma trzy argumenty: pierwszy to wyraz ogólny ciągu, drugi zmienna, trzeci natomiast symbol nieskończoności (inf). (%i) limit((5+n^3)/(+3*n^), n, inf); (%o) (%i) limit((5+3*n^)/(7+n^), n, inf); (%o) 3 Twierdzenie 3.3 (O trzech ciągach). Jeżeli ciągi (a n ), (b n ), (c n ) spełniają warunki:. a n b n c n dla prawie wszystkich n,. lim n a n = lim n c n = b, to lim n b n = b. Przykład + n sin n Wykażemy, że lim n n =. + Zauważmy, że n + n sin n n + n + Z równości lim n = i z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy lim n + n n + = lim n + n sin n n + Obliczymy granicę ciągu. =. + n n dla każdego n N. + n n + (%i) limit((+n*sin(n))/(n^+), n, inf); (%o) Twierdzenie 3.4. lim n n n =. Rzeczywiście, zauważmy, że dla każdego n N zachodzi nierówność n n, a więc n n = + an, gdzie a n. Należy pokazać, że lim n a n =. Podnosząc stronami powyższą równość do potęgi n-tej, mamy: n = ( + a n ) n = ( n ( ) + n ) an + ( n) a n +... + ( n) n a n n = + na n + ( n ) a n +... + a n n. Stąd n ( n ) a n n n! (n )!! a n

Rozdział 3. Ciągi liczbowe 37 n (n )n a n a n n, n n a n n Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach lim n a n =. Twierdzenie 3.5. lim n n a = dla każdego a >. ( n a = a n do czynienia z symbolem oznaczonym a = ). tym samym mamy Twierdzenie 3.6. n N. lim n n an =, jeśli lim a n = a > i a n dla każdego n Twierdzenie 3.7. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. ( n Można wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym + n) jest rosnący i ograniczony ( n z góry, a więc jest zbieżny. Jego granicę oznaczamy przez e, czyli lim + n) = e. n Liczba e jest liczbą niewymierną (a nawet przestępną) oraz e,7. Twierdzenie 3.8. Jeżeli lim n a n = ±, to ( lim + ) an = e. n a n Odkrycie liczby e przypisuje się Jakubowi Bernoullemu pierwszemu sławnemu matematykowi szwajcarskiemu w rodzinie Bernoullich, który badał powyższe ciągi. Sam symbol e wprowadził do użycia inny wielki matematyk szwajcarski Leonard Euler (Francuzi twierdzą, że był Francuzem). Był matematykiem niezwykle płodnym. Miał trzynaścioro dzieci i napisał około prac naukowych. Liczba e, jak i liczba π (o której to liczbie wiersz napisała nasza noblistka W. Szymborska Podziwu godna liczba P i... ) jest liczbą przestępną, tzn. nie jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych. W niektórych przypadkach bardzo trudno jest udowodnić, że dana liczba jest przestępna. Funkcję wykładniczą przy podstawie e nazywamy eksponens i oznaczamy ep, ep def = e. Jest to najczęściej spotykana funkcja wykładnicza, używana w statystyce, chemii, fizyce. e odróżnia od pozostałych funkcji wykładniczych własność polegająca na tym, że nachylenie jej wykresu w dowolnym punkcie jest równe wartości funkcji w tym punkcie (rozdział 6). Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy przez ln, ln = log e. Logarytm ten został wprowadzony przez matematyka szkockiego Johna Nepera.

38 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Przykłady. P początkowa kwota lokaty; K końcowa kwota lokaty; R roczna stopa procentowa; n liczba okresów bazowych, tzn. okresów, w których dokonywana jest kapitalizacja odsetek; m ilość lat, na jakie została złożona kwota P. Chcąc obliczyć końcową kwotę kapitału, gdy odsetki są naliczane według kapitalizacji ciągłej, mamy K = lim ( P + R ) nm = lim n n P n ( + n R ) n R Rm = P e Rm (J. Bernoulli takiego wykorzystania swojego ciągu nie przewidział). n. lim 5n 7 n n + = lim n 7 (5 n n n 5 + n 7 ) = = lim ( n n) 7n 5 n n 5 + n 7 = (Pamiętajmy, z praw działania na potęgach wynika, że ab = (ab) = (a) (b) = a b np. 36 = 4 9 = 4 9 = 3 = 6, ale a + b a + b, np. 9 + 6 = 5 = 5, natomiast 9 + 6 = 3 + 4 = 7. Takie błędy spotyka się zadziwiająco często.) ( 3 + n 3. lim n 4 + n = lim n [ ( + n ) n = lim 3 [ ( + n 4 ) n 3 n ] 3 (3 + n) n (4 + n) n = lim ( + 3 n )n n ( + 4 = n )n ) n ] 4 = e3 4 e 4 = e. Stosując te same oznaczenia co w powyższych przykładach, końcową kwotę kapitału obliczamy następująco (%i) limit(p*(+r/n)^(n*m), n, inf); (%o) P %e m R Symbol %e oznacza liczbę Eulera.. 3. (%i) limit((5*n^7-n^+)^(/n), n, inf); (%o) (%i) (%o) limit(((3+n)/(4+n))^n, n, inf); %e

Rozdział 4 Szeregi liczbowe Definicja 4.. Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie postaci: a +a +..., zapisywane także w formie a n, gdzie a n R dla n =,,.... n= Ogólniej, można również rozważać szeregi zespolone czy funkcyjne, np. sin n = sin + sin +... n= Liczbę a n nazywamy n-tym wyrazem (składnikiem), a sumę S n = a + a +...... + a n = n a k n-tą sumą częściową tego szeregu. k= Mówimy, że szereg n= a n jest zbieżny, jeżeli istnieje granica właściwa ciągu jego n= sum częściowych (S n ). Jeżeli lim S n = albo lim S n = + to mówimy, że n n szereg a n jest rozbieżny odpowiednio do albo do + (choć czasami mówimy też, że n= a n jest zbieżny do czy + ). W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg jest rozbieżny. Sumą szeregu zbieżnego nazywamy granicę lim S n = S i oznaczamy ją tym samym symbolem co szereg a n = n S. n= Suma szeregu nieskończonego (o ile istnieje) jest uogólnieniem dodawania na nieskończoną ilość składników. A więc np. a n = 5, jeżeli prawie wszystkie jego sumy częściowe (sumy skończone) są dowolnie blisko liczby 5. Na szereg n= a n n= należy patrzeć jak na ciąg sum częściowych (skończonych) (S n ), n =,,... (ponieważ nie dodamy nigdy nieskończonej liczby składników).

4 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Przykłady. n(n + ) = + 3 + 3 4 +... n= S n = + 3 +...+ n(n + ) = ( = n + lim S n = lim n n ( ) = = n + n= ) ( + ( +...+ 3) n ) = n +, zatem suma naszego szeregu n(n + ) jest równa.. ln n + = ln + ln 3 n +... n= S n = ln + ln 3 +... + ln n + = (ln ln ) + (ln 3 ln ) +... n... + (ln(n + ) ln n) = ln(n + ) lim S n = lim ln(n + ) = +, a więc szereg ln n + jest szeregiem rozbieżnym. n n n= n 3. Zbadamy zbieżność szeregu geometrycznego o ilorazie q aq n = a + aq + aq +... n= W tym przypadku a ( q n ) dla q, S n = q na dla q =. Jeśli a, to a dla q <, lim S q n = n + lub dla q, nie istnieje dla q. Poniższy rysunek przedstawia interpretację geometryczną wyrazów szeregów oraz n= n 4. n= n 4 4 8 6 6 + 4 + 8 +... = 4 + 6 + 64 +... = 3

Rozdział 4. Szeregi liczbowe 4. Do obliczania sumy szeregu służy funkcja sum(). W pierwszym argumencie podajemy wyraz ogólny szeregu, drugi argument to zmienna, w trzecim i czwartym zapisujemy, w jakim zakresie odbywa się sumowanie. (%i) (%o) sum(/(n*(n+)), n,, inf); n= n (n+) W przypadku, gdy suma nie zostanie podana, a jedynie zapisana symbolicznie (jak powyżej) można użyć funkcji simplify sum(), której zadaniem jest uproszczenie sumy będącej jego argumentem. Przed zastosowaniem simplify sum należy załadować pakiet o tej samej nazwie. Pakiet ten ładuje się poprzez wydanie polecenia load(simplify sum). (%i) load(simplify sum); (%o) C : /PROGRA /MAXIMA./share/maima/... /simplify sum.mac (%i3) simplify sum(%o); (%o3). W tym przykładzie najpierw obliczymy n-tą sumę częściową szeregu. Logarytm naturalny zapisywany jest jako log, np. ln(n) zapisuje się w Maimie jako log(n). (%i) sum(log((k+)/k), k,, n); n (%o) log ( ) k+ k k= Następnie wykorzystamy funkcję simplify sum() do uproszczenia uzyskanej sumy. Musimy pamiętać o załadowaniu pakietu. (%i) load(simplify sum); (%o) C : /PROGRA /MAXIMA./share/maima/... /simplify sum.mac (%i3) simplify sum(%o); (%o3) log(n + ) Teraz pozostaje obliczyć granicę ciągu o otrzymanym wyrazie ogólnym. (%i4) limit(%o3, n, inf); (%o4) 3. Obliczymy teraz sumę szeregu geometrycznego. (%i) sum(a*q^(n-), n,, inf),simpsum; Is q positive, negative, or zero?n; a q (%o) Wpisanie simpsum powoduje uproszczenie zapisu. Przed otrzymaniem wyniku, program pyta o znak wyrażenia q. Wpisanie litery n oznacza, że wyrażenie jest ujemne (p wyrażenie dodatnie, z wyrażenie równe zero). W ten sposób uzyskaliśmy sumę szeregu geometrycznego, w przypadku gdy q <.

4 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Twierdzenie 4.. Jeżeli szeregi a n i b n są zbieżne i ich sumy są odpowiednio n= n= równe S i S, to szereg (a n ±b n ) też jest zbieżny i jego suma jest równa S ±S. n= Twierdzenie 4.. Dwa szeregi różniące się o skończoną liczbę wyrazów są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. (Oczywiście, dla szeregów zbieżnych ich sumy się różnią.) Twierdzenie 4.3 (Warunek konieczny zbieżności szeregu). Jeżeli szereg a n jest zbieżny, to lim a n =. n n= Uwaga. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Świadczy o tym przykład ciągu a n =, mamy bowiem n lim n n, zwany szeregiem harmonicznym, jest rozbieżny do +. n n= =, ale szereg Rzeczywiście, S n = + +... + n S n = + +... + n + n + +... + n S n S n = n + + n + +... + n > n + n +... + n =. Stąd (S n ) jest rozbieżny, a jako rosnący i nieograniczony z góry rozbieżny do +. Sumy częściowe szeregu harmonicznego S n = + + 3 +... n rosną bardzo wolno. Aby suma przekroczyła np. potrzebujemy aż 367 składników. Szereg harmoniczny rośnie więc do nieskończoności niewiarygodnie wolno. Z szeregiem harmonicznym związana jest pewna anegdota. Głosi ona, że na jednym z uniwersytetów angielskich pojawiło się ogłoszenie o konkursie matematycznym z nieskończenie dużą nagrodą w funtach za zdobycie pierwszego miejsca. Udział w zawodach był płatny. Oczywiście zgłosiła się rekordowa liczba uczestników. Z niecierpliwością oczekiwano na wyniki. Po odczytaniu werdyktu przewodniczący wręczył zwycięzcy jednego funta i obiecał, że za tydzień otrzyma, za dwa tygodnie 3, następnie 4 funta i tak nieskończenie długo zostanie wypłacana nagroda. Rozważmy szereg z przykładu (str. 4): ln n + n. n= lim ln n + =, mimo to szereg n n n= ln n + n jest rozbieżny. Jeśli więc lim n a n albo granica ciągu (a n ) nie istnieje, to szereg n= a n jest

Rozdział 4. Szeregi liczbowe 43 rozbieżny, np. cos n jest rozbieżny, ponieważ lim cos n= n n =. Warunek konieczny zbieżności szeregu można potraktować jako kryterium rozbieżności badania szeregów. Zajmijmy się teraz badaniem zbieżności i rozbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych. Twierdzenie 4.4 (Kryterium porównawcze zbieżności i rozbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych). Załóżmy, że wyrazy szeregów a n, spełniają warunek: Wówczas a) jeżeli szereg a n b n dla prawie wszystkich n N. n= b) jeżeli szereg Szereg n= n= n= b n jest zbieżny, to szereg n= a n jest rozbieżny, to szereg a n jest zbieżny, n= b n jest rozbieżny. b n nazywany jest często majorantą zbieżną dla szeregu a n minorantą rozbieżną dla szeregu n= b n. n= n= b n n= a n, a szereg Jeżeli więc mamy do zbadania zbieżność szeregu z kryterium porównawczego i podejrzewamy, że jest to szereg zbieżny, szacujemy jego wyrazy z góry przez wyrazy szeregu, o którym wiemy na pewno, że jest zbieżny, natomiast jeżeli chcemy wykazać rozbieżność szeregu, szacujemy jego wyrazy z dołu przez wyrazy szeregu, o którym wiemy, że jest to szereg rozbieżny. Wyciąganie innych wniosków na podstawie powyższego twierdzenia jest błędne. Twierdzenie 4.5 (Kryterium d Alemberta). Załóżmy, że dla szeregu o wyrazach dodatnich istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) Wówczas a) jeżeli g <, to szereg n= b) jeżeli g >, to szereg n= a n+ lim = g. n a n a n jest zbieżny, a n jest rozbieżny. Kryterium nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny, gdy g =. a n n=

44 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Twierdzenie 4.6 (Kryterium Cauchy ego). Załóżmy, że dla szeregu o wyrazach nieujemnych istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) Wówczas a) jeśli g <, to szereg n= b) jeśli g >, to szereg n= lim n n an = g. a n jest zbieżny, a n jest rozbieżny. a n n= Również to kryterium nie rozstrzyga problemu zbieżności, gdy g =. n= Nie ma ogólnej recepty, które kryterium wybrać, badając zbieżność szeregów, ale jeśli wyrazy szeregu zawierają silnie, łatwej korzystać z kryterium d Alemberta, jeśli zaś wyrazy zawierają tylko potęgi lepiej wybrać kryterium Cauchy ego. W innych sytuacjach skuteczniejsze są kryteria porównawcze, bądź też warunek konieczny zbieżności szeregu. Sformułowane kryteria możemy również stosować do badania szeregów o wyrazach ujemnych (niedodatnich) (Szeregi a n i ( a n ) są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne). Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywamy szereg postaci n= n α, α R. Zauważmy, że n dla każdego n N i α <. nα Ponieważ szereg jest rozbieżny, z kryterium porównawczego rozbieżności sze- n regów wynika, że szereg n= n Można udowodnić, że szereg Ostatecznie szereg n= n α, gdy α <, też jest rozbieżny. α, gdy α >, jest zbieżny. nα n= dla α jest rozbieżny, natomiast dla α > jest zbieżny. Korzystając z kryteriów porównawczych, wykorzystujemy często nierówności: sin, cos dla ( R, < sin < dla, π ), (, < sin dla π ), < ln < dla >. Ostatnią nierówność można zapisać w ogólniejszej postaci: < ln = α ln α < α α dla > i α >.

Rozdział 4. Szeregi liczbowe 45 Przykłady Zbadaj zbieżność szeregów:.. 3. 4. 5. ln(n + ) 5n n= 3 + n Korzystając z twierdzenia 4.4 (kryterium porównawczego zbieżności szeregów), mamy ln(n + ) n < dla n 5 5n 3 + n n + 5n 3 + n n jest zbieżny, a więc i n= n n n= 3 + n n= n 3 + n n 3 = n ; n n jest zbieżny, a więc 5n 3 = 5 n n= n= n n 3 + ln(n + ) 5n 3 + n jest szeregiem zbieżnym. jest szeregiem zbieżnym. n= n(n + ) Korzystając z twierdzenia 4.4 (kryterium porównawczego rozbieżności szeregów), mamy = dla n N n n n(n + ) n(n + ) jest również szeregiem rozbieżnym. n= n= n= n sin n n jest rozbieżny, a więc n= n= < n sin n n n = n n jest zbieżny, a więc i n sin n jest zbieżny. 3 n n! n= Korzystając z twierdzenia 4.5 (kryterium d Alemberta), mamy a n+ 3 n+ lim = lim n a n n (n + )! n! 3 n = lim 3 n 3 n! n n!(n + ) 3 n = lim n zatem szereg n= 3 n n! jest szeregiem zbieżnym. 3 n + = <,

46 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik 6. n 7 n= n + 5 n Korzystając z twierdzenia 4.6 (kryterium Cauchy ego), mamy lim n a więc n an = lim n n= n n 7 n + 5 n = lim n n 7 n jest szeregiem zbieżnym. + 5n n n n 7 n + 5 n = lim n n n 7 n + ( 5 7 ) n = 7 <, W przykładach,, 3 i 4 zostało wykorzystane kryterium porównawcze zbieżności i rozbieżności szeregów, którego zastosowanie wiąże się z szacowaniem wyrazu ogólnego szeregu. Użycie Maimy sprowadzałoby się do zbadania zbieżności szeregu harmonicznego, a to nie wymaga sięgania do pakietu matematycznego. Przejdziemy zatem do kolejnych przykładów. 5. Zdefiniujemy najpierw n-ty wyraz ciągu. Uczynimy to poprzez zdefiniowanie funkcji. Najpierw podajemy nazwę funkcji, w nawiasach zwykłych zapisujemy argument (lub argumenty oddzielone przecinkami). Następnie zamieszczamy operator definiujący funkcję, czyli :=, potem podajemy wzór funkcji. (%i) a(n):=3^n/n!; (%o) a (n) := 3n n! Następnie korzystamy z kryterium d Alemberta. (%i) limit(a(n+)/a(n), n, inf); (%o) 6. Korzystamy z kryterium Cauchy ego. (%i) limit((n/(7^n+5^n))^(/n), n, inf); (%o) 7 Definicja 4.. Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg postaci: gdzie a n > dla każdego n N. ( ) n a n = a + a a 3 +..., n= (Naprzemienność oznacza, że na przemian mamy składniki ujemne i dodatnie w tym szeregu, natomiast nie możemy tego słowa zamienić na przemienny, co jest związane ze zmianą kolejności składników w dodawaniu nieskończonym). Twierdzenie 4.7 (Kryterium Leibniza). Jeżeli dla szeregu naprzemiennego ( ) n a n spełnione są warunki: n= a) lim n a n =,

Rozdział 4. Szeregi liczbowe 47 b) ciąg (a n ) jest nierosnący, to szereg ten jest zbieżny. (To właśnie Leibniz powiedział, że nasz świat to najlepszy z możliwych światów ). Zauważmy, że jeżeli lim a n bądź granica ta nie istnieje, to wspomniany n szereg jest rozbieżny, ponieważ również lim n ( )n a n, bądź granica ciągu ( ) n a n nie istnieje i tym samym z warunku koniecznego (twierdzenie 4.3) szereg jest rozbieżny. Przykład Szereg ( ) n n n= ( ) jest zbieżny, ponieważ lim n n = i ciąg jest malejący. n n N Poniżej zajmiemy się badaniem zbieżności szeregów o wyrazach zupełnie dowolnych co do znaku. Twierdzenie 4.8. Jeżeli szereg zbieżny. n= a n jest zbieżny, to szereg Uwaga. Implikacja odwrotna do powyższej jest fałszywa. Przykład Szereg ( ) n jest zbieżny, ale n n= szereg ( )n n = jest szeregiem rozbieżnym. n n= n= Definicja 4.3. Szereg jest szereg n= n= n= a n jest również a n nazywamy bezwzględnie zbieżnym, gdy zbieżny a n. Szereg, który jest zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym. Zauważmy więc, że ( ) n jest szeregiem warunkowo zbieżnym. n Przykłady. n= sin n n n= Zbadajmy najpierw zbieżność szeregu modułów, a więc szeregu postaci sin n = sin n n= n n n= Z kryterium porównawczego zbieżności szeregów mamy

48 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik n sin n dla każdego n N n Szereg n= n jest zbieżny, tym samym szereg 4.8 jest bezwzględnie zbieżny. n= sin n n na mocy twierdzenia Zauważmy, że z kryteriów d Alemberta i Cauchy ego z rozbieżności szeregu modułów wynika rozbieżność danego szeregu. Wynika to z faktu, że jeżeli ciąg ( a n ) ma granicę i szereg modułów jest rozbieżny, to granica ciągu ( a n ) nie jest równa zero i tym samym ciąg (a n ) nie ma granicy równej zero (patrz warunek konieczny zbieżności szeregu).. ( ) n nn n! n= Zbadajmy najpierw zbieżność szeregu modułów, a więc szeregu postaci nn ( )n n! = n n n! n= n= a n+ (n + ) n+ lim = lim n! n a n n (n + )! n n = lim (n + ) n (n + )n! n n!(n + )n n = ( ) n + n = lim = e >, n n a więc n n n= n! jest rozbieżny, zatem ( ) n nn jest również szeregiem rozbieżnym. n= n!. W tym przykładzie zostało wykorzystane kryterium porównawcze zbieżności szeregu, dlatego pomijamy jego rozwiązanie z powodów, jakie zostały przedstawione wcześniej.. Najpierw zdefiniujemy wyraz ogólny ciągu (%i) a(n):=n^n/n!; (%o) a (n) := nn n! Teraz zastosujemy kryterium d Alemberta. (%i) limit(a(n+)/a(n), n, inf); (%o) %e Można pokazać, że jeśli szereg jest bezwzględnie zbieżny i ma sumę S, to szereg powstały z niego przez dowolną zamianę kolejności wyrazów jest zbieżny i ma również sumę S (a więc jest przemienny).

Rozdział 5 Granica i ciągłość funkcji Nauki techniczne, fizyczne, chemiczne i przyrodnicze łączą w sobie zarówno doświadczenie, jak i teorię, a więc wymagają posługiwania się liczbami oraz symbolami przedstawiającymi rozmaite stałe i wielkości fizyczne. Interesują nas wartości, jakie one przyjmują oraz sposób, w jaki są one związane z innymi wielkościami fizycznymi w dowolnym stanie układu. Chcemy wiedzieć, jak zmieniają się te wielkości fizyczne, gdy układ przechodzi z jednego stanu do drugiego. Stąd potrzeba takich ważnych pojęć jak granica i ciągłość funkcji. Dalej rozważamy tylko funkcje o wartościach rzeczywistych. Przypomnijmy [], że przez otoczenie i sąsiedztwo punktu rozumiemy odpowiednio następujące zbiory: U = ( ε, + ε), ε >, S = U \ { }. Definicja 5.. Powiemy, że funkcja f o wartościach rzeczywistych określona w pewnym sąsiedztwie S ma w punkcie granicę g, co zapisujemy lim f() = g, jeżeli dla dowolnego ciągu ( n ) zbieżnego do, o wyrazach należących do sąsiedztwa S, ciąg (f( n )) ma granicę g. y f( n) g f( n) O n n S

5 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik y O f () = { dla, dla = lim f() = Zauważmy, że zachowanie się funkcji w samym punkcie (o ile funkcja jest w nim określona) nie ma żadnego znaczenia dla granicy funkcji w tym punkcie. Załóżmy, że funkcja f określona jest w sąsiedztwie lewostronnym S = ( ε, ). Granicę lewostronną funkcji f w punkcie definiujemy w następujący sposób: lim f() = g ( ) ( n S, n N lim n = ) = lim f( n) = g. n n ( n) Podobnie definiujemy granicę prawostronną funkcji f w punkcie, przy założeniu, że f jest określona w sąsiedztwie prawostronnym S + = (, + ε). y O lim f() = + lim f() = Granice jednostronne często zapisujemy: lim f() = f( ), lim f() = f( +). + Twierdzenie 5.. Funkcja f określona w pewnym sąsiedztwie S ma w punkcie granicę wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie granice jednostronne funkcji f w tym punkcie i są równe. Wówczas lim f() = lim f() = lim f(). + Można mówić o granicach niewłaściwych funkcji f w punkcie oraz o granicach jednostronnych niewłaściwych w punkcie, np. lim f() = +, lim f() =. +

Rozdział 5. Granica i ciągłość funkcji 5 lim f() = + y lim f() = + y O O Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym sąsiedztwie +, czyli przedziale S + = (a, + ), a R. Można wówczas mówić o granicy funkcji (właściwej lub niewłaściwej) w + : ( ) lim f() = g ( n S +, n N lim n = + ) = ( lim f( n) = g). + n n ( n) y g O lim f() = g + y O lim + e = Podobnie definiujemy lim f() = g, wówczas jednak funkcja musi być określona w sąsiedztwie S = (, a), a R, jak również granice niewłaściwe w punktach niewłaściwych, np. lim f() = +. y O lim f() = + lim f() =

5 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Wprowadźmy następujący symboliczny zapis [ ] { a +, a >, + =, a <, [ ] { a, a >, = +, a < dla uniknięcia formułowania twierdzeń dotyczących granicy ilorazu funkcji. Symbole te są intuicyjnie oczywiste. Dzielenie a przez nie jest działaniem, ponieważ nie istnieje taka liczba rzeczywista, która pomnożona przez da liczbę a. Można w naszej nomenklaturze powiedzieć, że symbol [ ] a jest symbolem sprzecznym. Równocześnie zauważmy, że jeżeli mianownik dąży do zera poprzez wartości dodatnie czy ujemne, to jest różny od zera i dowolnie blisko zera. Przykłady [ ]. lim + = + = + [ + 7. lim 5 ( 3)( 5) = ] = Do obliczenia granic funkcji wykorzystujemy funkcję limit(). Obliczanie granicy jednostronnej zaznaczamy, zapisując jako ostatni argument minus lub plus, odpowiednio dla granicy lewostronnej lub prawostronnej... (%i) (%o) (%i) (%o) limit(/abs(-),,, plus); limit((+)/((-3)*(-5)),, 5, minus); Przykłady. Naszkicować wykres funkcji f : [ 3, + ) R, gdzie lim f() = +, lim f() =, lim f() =, lim f() = 4. 3 + + + Przykładowy wykres y 4 3 O

Rozdział 5. Granica i ciągłość funkcji 53. Naszkicować { wykres funkcji i podać jej granice przy ±,, +, ln( ) dla <, f() = dla. y O lim f() = +, lim 3. Obliczyć granice jednostronne 3 + a) lim ± [ 3 + 5 lim = [ 3 + 5 lim + = + b) lim ± ln [ + lim ln = [ + lim + ln = + f() =, lim f() =, lim + ] + = + ] = ] = ] = + f() =. + 4. Wyznaczyć dziedzinę funkcji i obliczyć jej granicę w punktach krańcowych dziedziny f() = ln(3 ) { 3 > D : (, ) (, 3) 3 lim ln(3 ) = = [ ] lim ln(3 ) = + = + [ ] lim + ln(3 ) = = lim 3 ln(3 ) = =

54 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik. Pominiemy ten przykład, gdyż jego rozwiązanie wykracza poza ramy przyjęte dla niniejszego skryptu.. Do wykonania wykresu funkcji wykorzystamy polecenia pakietu draw. Funkcja wdrawd umożliwia stworzenie obiektu graficznego składającego się z różnych elementów, np. polecenie eplicit rysuje wykres funkcji na wskazanym przedziale. (%i) (%o) (%i) load(draw); C : /PROGRA /MAXIMA./share/maima/... /draw/draw.lisp wdrawd( eplicit(log(-),,-,), eplicit(^(-),,,) ); (%t) Obliczymy teraz granice funkcji f kolejno w,, +, +. (%i3) limit(log(-),, minf); (%o3) (%i4) limit(log(-),,, minus); (%o4) (%i5) limit(^(-),,, plus); (%o5) (%i6) limit(^(-),, inf); (%o6) Symbole i + zapisywane są odpowiednio jako minf i inf. 3. Granice jednostronne obliczamy jak w przykładzie powyżej. a) (%i) (%o) (%i) (%o) b) (%i3) (%o3) (%i4) limit((3+)/(-),,, minus); limit((3+)/(-),,, plus); limit((+)/log(),,, minus); limit((+)/log(),,, plus);

Rozdział 5. Granica i ciągłość funkcji 55 (%o4) 4. Po wyznaczeniu dziedziny funkcji f granice obliczamy następująco (%i) limit(/log(3-),, minf); (%o) (%i) limit(/log(3-),,, minus); (%o) (%i3) limit(/log(3-),,, plus); (%o3) (%i4) limit(/log(3-),, 3, minus); (%o4) Powiemy, że punkt D R jest punktem izolowanym zbioru D, jeżeli istnieje sąsiedztwo tego punktu, niezawierające żadnego punktu zbioru D. Definicja 5.. Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu U. Funkcja f jest ciągła w punkcie, jeżeli lim f() = f( ), musi więc spełniać trzy warunki jednocześnie: posiadać skończoną granicę w punkcie, być określoną w punkcie i granica ta musi być równa wartości funkcji f w punkcie. Przyjmujemy, że w każdym punkcie izolowanym dziedziny funkcja jest ciągła. Funkcję f nazywamy ciągłą w przedziale (a, b), gdy jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Jeżeli funkcja f określona na pewnym otoczeniu U nie jest ciągła w punkcie, to punkt nazywamy punktem nieciągłości funkcji f. Punkty nieciągłości, w których funkcja ma obie granice jednostronne skończone, nazywamy punktami nieciągłości pierwszego rodzaju (funkcja w takim punkcie doznaje skoku o skończoną wartość), a pozostałe punktami nieciągłości drugiego rodzaju. Funkcję f nazywamy lewostronnie ciągłą w punkcie, gdy jest ona określona w punkcie i w pewnym sąsiedztwie lewostronnym S oraz lim f() = f( ) oraz prawostronnie ciągłą w punkcie, gdy jest ona określona w punkcie i w pewnym sąsiedztwie prawostronnym S + oraz lim f() = f( ). +

56 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Zauważmy, że funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest lewoi prawostronnie ciągła w tym punkcie. Funkcję f nazywamy ciągłą w przedziale [a, b], gdy jest ciągła w (a, b) oraz prawostronnie ciągła w punkcie a i lewostronnie ciągła w punkcie b. Funkcję f nazywamy przedziałami ciągłą w przedziale [a, b], jeżeli ma w tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju (w których funkcja skacze o skończoną wartość), a w przedziałach otwartych wyznaczonych przez te punkty nieciągłości funkcja f jest ciągła. Geometrycznie rzecz biorąc, funkcja określona na pewnym otoczeniu U jest nieciągła w punkcie, jeżeli jej wykres w tym punkcie jest przerwany (może tam być skończony bądź niekończony skok wartości funkcji porównaj poniższe rysunki). (Pamiętajmy, że intuicja odnośnie rysowania wykresu funkcji ciągłej bez odrywania ręki od papieru ma miejsce jedynie wtedy, gdy funkcja zadana jest na przedziale domkniętym lub otwartym lub jednostronnie domkniętym lub nieograniczonym). Przykłady (punkty nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju). y y 3 O O (a) (b) Na rysunku (a) punkt jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym funkcja jest ciągła w tym punkcie lewostronnie. Punkt jest również punktem nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym funkcja jest ciągła w zerze prawostronnie. Punkt jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju, przy czym funkcja jest ciągła w tym punkcie prawostronnie. Na rysunku (b) punkt jest punktem nieciągłości (tylko możemy mówić o nieciągłości prawostronnej), punkt punktem nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w tym punkcie funkcja jest prawostronnie ciągła, punkt jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju, przy czym funkcja jest ciągła w tym punkcie lewostronnie. Każda funkcja elementarna jest ciągła tam, gdzie jest określona (a więc w swojej dziedzinie). Tak więc np. funkcje y = tg, czy y = są funkcjami ciągłymi. (Każdą funkcję, którą można otrzymać z funkcji stałej y = c, c R, tożsamościowej

Rozdział 5. Granica i ciągłość funkcji 57 y =, wykładniczej y = a, < a i trygonometrycznej y = sin przez dokonanie na nich skończonej liczby operacji dodawania, mnożenia, dzielenia, odwracania, składania, nazywamy funkcją elementarną. Inne funkcje nazywamy nieelementarnymi). Przykłady Zbadać ciągłość funkcji:. f() = cos + Ponieważ jest to funkcja elementarna, wystarczy wyznaczyć jej dziedzinę. D : + ) D = [, +, zatem funkcja f w tym przedziale jest ciągła (w punkcie =. f() = prawostronnie ciągła). e dla, dla < <, ln dla Funkcja f nie jest funkcją elementarną i jest określoną na zbiorze R. Należy zbadać ciągłość tej funkcji w punktach = i =, ponieważ poza tymi punktami w przedziałach (, ), (, ) i (, + ) funkcja f jako elementarna jest ciągła. lim f() = lim e =, f() =, lim f() = lim =, + + lim f() = lim =, f() =, lim f() = lim ln =, + + zatem funkcja f jest ciągła dla każdego R za wyjątkiem punktów: =, w którym to punkcie funkcja f jest ciągła lewostronnie oraz punktu =, gdzie funkcja f jest ciągła prawostronnie. Wykres funkcji f przedstawiony jest na poniższym rysunku. y O. Funkcja f jako funkcja elementarna jest ciągła w swojej dziedzinie i nie ma potrzeby wykorzystywania Maimy.. Granice jednostronne obliczamy następująco (%i) limit(%e^,,, minus);

58 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik (%o) (%i) limit(,,, plus); (%o) (%i3) limit(,,, minus); (%o3) (%i4) limit(log(),,, plus); (%o4) Własności funkcji ciągłych. Suma, różnica, iloczyn i iloraz (tam, gdzie jest określony) funkcji ciągłych mających wspólną dziedzinę jest funkcją ciągłą.. Złożenie funkcji ciągłych (o ile jest wykonalne) jest funkcją ciągłą. 3. (Twierdzenie Weierstrassa). Funkcja ciągła w przedziale domkniętym [a, b] osiąga w tym przedziale swoją wartość najmniejszą i największą. 4. (Twierdzenie Darbou). Każda funkcja ciągła w przedziale przechodzi od jednej wartości do drugiej przez wszystkie wartości pośrednie. y f(c ) y f(c ) a c O b a c O c b (a) f(a) f(c ) (b) Na rysunku (a) funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], a więc musi w tym przedziale osiągać swoją wartość najmniejszą i największą, na rysunku (b) funkcja jest ciągła w przedziale lewostronnie otwartym (a, b], a mimo to osiąga wartość największą jak i najmniejszą. Przykłady. Naszkicować wykres funkcji f i podać jej punkty nieciągłości { ln( ), <, f() = sin,.

Rozdział 5. Granica i ciągłość funkcji 59 y O π π Funkcja f jest określona dla R i jedynym punktem nieciągłości tej funkcji jest punkt =. Jest to punkt nieciągłości drugiego rodzaju, przy czym funkcja jest w tym punkcie prawostronnie ciągła ( lim f() = lim ln( ) =, natomiast lim f() = lim sin = i f() = sin = ). + +. Zbadać ciągłość funkcji f() =,,, =. Należy zbadać ciągłość tej funkcji w punkcie =, ponieważ poza tym punktem funkcja f jako elementarna jest ciągła tam, gdzie jest określona, a więc na zbiorze R \ {}. ( ) ( ) lim f() = lim = lim = lim = = lim = ( ) ( ) f() = lim = lim = lim + + + = + lim f() =, stąd funkcja w punkcie = jest ciągła lewostronnie, punkt = jest jedynym punktem nieciągłości funkcji f (pierwszego rodzaju).. Wykres funkcji możemy wykonać, wykorzystując polecenia pakietu draw, który został już wcześniej użyty. Tym razem dodatkowo dorysowane zostały osie układu współrzędnych (ais = true, yais = true) linią ciągłą (ais type = solid, yais type solid) w kolorze brązowym (ais color = brown, yais color = brown). Liczbę π zapisujemy %pi. Zakończenie linii symbolem $ powoduje, że wyjście nie jest wyświetlane na ekranie. (%i) (%i) load(draw)$ wdrawd( ais = true, ais type = solid, ais color = brown, yais = true, yais type = solid, yais color = brown,

6 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik eplicit(log(-),,-,), eplicit(sin(),,,3* %pi) ); (%t). Obliczamy granice jednostronne funkcji f w punkcie. (%i) limit((^-*)/abs(-),,, minus); (%o) (%i) limit((^-*)/abs(-),,, plus); (%o)

Rozdział 6 Rachunek różniczkowy Jeśli interesuje nas wyznaczanie pochodnych, czyli szybkość zmian wielkości fizycznych, gdy układ przechodzi z jednego stanu do drugiego względem czasu lub względem innych wielkości fizycznych, to zajmuje się tym dział matematyki, który nazywa się rachunkiem różniczkowym. Definicja 6.. Niech f będzie określona w pewnym otoczeniu U oraz przyrostem zmiennej niezależnej takim, że + U i +. Oznaczmy przez f = f( + ) f( ) przyrost wartości funkcji między punktami i +. Utwórzmy następujący iloraz f = f( + ) f( ) zwany ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie dla przyrostu. y f( + ) f( ) f styczna O + Jeżeli istnieje skończona granica ilorazu różnicowego przy, to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie i zapisujemy f ( ) lub df d ( ), tzn. f ( ) = lim f( + ) f( ).

6 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie może być zapisany również w postaci f() f( ), U i wówczas f ( ) def = lim f() f( ). Funkcję jednej zmiennej rzeczywistej, która ma pochodną w punkcie nazywamy funkcją różniczkowalną w tym punkcie. Geometrycznie, pochodna f ( ) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji poprowadzonej w punkcie (, f( )). Równanie stycznej do krzywej y = f() w punkcie (, f( )) jest postaci Jedna z interpretacji fizycznych: y f( ) = f ( )( ). S(t) droga jaką pokonuje ciało w czasie t, S t średnia prędkość w przedziale [t, t + t], S (t ) prędkość w chwili t. Jeśli chcemy poznać interpretację fizyczną, techniczną, geometryczną pochodnej zawsze trzeba spojrzeć na iloraz różnicowy rozważanej funkcji. Zastępując w definicji pochodnej symbol granicy symbolem granicy jednostronnej, otrzymujemy definicję pochodnych jednostronnych w punkcie : prawostronnej f +( ) lub lewostronnej f ( ). Zauważmy, że pochodna funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją i są równe obie pochodne jednostronne. Wówczas f ( ) = f +( ) = f ( ). y y y = O O Geometrycznie rzecz biorąc, jeśli wykres funkcji f nie ma w punkcie (, f( )) stycznej, to funkcja f nie ma w punkcie pochodnej. Wykres funkcji f może mieć jednak styczną w punkcie (, f( )) i funkcja f nie mieć pochodnej w punkcie. Jest to możliwe jedynie wtedy, gdy styczna ta jest prostopadła do osi O.

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy 63 y f( ) O Twierdzenie 6.. Jeśli funkcja ma pochodną w pewnym punkcie, to jest ciągła w tym punkcie. Implikacja odwrotna jest oczywiście fałszywa (patrz powyższe rysunki). Pochodna funkcji w danym punkcie jest liczbą. Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie zbioru A R, to f : f () jest funkcją. Mówimy wtedy, że funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze A. Twierdzenia związane z różniczkowaniem Twierdzenie 6.. Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w zbiorze A, to (f ± g) = f ± g, (f g) = f g + f g (zauważmy, że (C f) = C f, ponieważ (C) =, C R), ( f g ) = f g f g g, g w A. Twierdzenie 6.3 (O pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli funkcja złożona F () = f(g()) jest określona w pewnym otoczeniu U punktu, funkcja g ma pochodną w punkcie oraz funkcja f ma pochodną w punkcie y = g(), to funkcja F ma pochodną w punkcie, przy czym F () = f (g()) g (). Twierdzenie 6.4 (O pochodnej funkcji odwrotnej). Jeżeli funkcje y = f() i = f (y) są odwrotnymi względem siebie, funkcja f ma różną od zera pochodną w punkcie oraz funkcja odwrotna f jest ciągła w punkcie y = f(), to funkcja f ma pochodną w punkcie y oraz (f ) (y) = f (). (Funkcji odwrotnej do f zob. [] nie należy mylić z odwrotnością funkcji, czyli funkcją f ).

64 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik y f() O β α Geometrycznie rzecz biorąc uzasadnienie tezy powyższego twierdzenia jest oczywiste. tg α = f (), tg β = (f ) π (y), β = α, tg β = tg( π ( α) = ctg α = tg α f ) (y) = f () Podstawowe wzory na pochodne funkcji (C) =, C = const ( α ) = α α, α R, > (wzór ten jest również prawdziwy dla tych, α R, dla których potęga α istnieje) (log a ) = ln a, >, < a (ln ) =, > (a ) = a ln a, R, a > (e ) = e, R (sin ) = cos, (cos ) = sin, (tg ) = cos, R R π + kπ, k Z (ctg ) = sin, kπ, k Z (arcsin ) =, (, ) (arccos ) =, (, ) ( arctg ) = +, R ( arcctg ) = +, R Zauważmy, że w szczególności ( ) ( ) =, =.

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy 65 Przy założeniu, że f() > mamy: ( f()) g() = e g() ln f(). Wzór ten wynika bezpośrednio z definicji i własności funkcji logarytmicznej (patrz []) i umożliwia obliczenie pochodnych funkcji, które nie są ani potęgowe, ani wykładnicze. Przykłady. 5 arccos + = 3 5 = + 3. 5 + 3 ( cos 4 ) = 4 cos 3 ( sin ) arccos = 5 + 3 = 3. 4. ( ) + ln 5 = + ln 5 5 5 = + ln 5 ( sin ) ( = e sin ln ) ( = sin cos ln + sin ) Pochodną funkcji y = sin można policzyć również w następujący sposób: zlogarytmujmy stronami równość y = sin ln y = ln sin = sin ln i następnie zróżniczkujmy stronami: y y = cos ln + sin, y = sin ( cos ln + sin ). Pochodne obliczamy wykorzystując funkcję diff(). W pierwszym argumencie wpisujemy funkcję, której pochodna będzie obliczana, drugi argument to zmienna, a trzecim jest rząd pochodnej. Jeżeli obliczamy pochodną pierwszego rzędu, to trzeci argument możemy pominąć. Pierwiastek kwadratowy zapisujemy wykorzystując funkcję sqrt(), a arccos wykorzystując funkcję acos().. W tym przykładzie, ze względu na złożoność zapisu funkcji, najpierw podamy jej wzór (dzięki temu możemy zweryfikować poprawność zapisu), a następnie obliczymy pochodną. (%i) (%o) (%i) (5*acos())/sqrt(+sqrt(3)); 5 acos() 3+ diff(%o,);

66 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik. 3. 4. 5 (%o) 3+ (%i) diff(cos()^4,); 5 (%o) (%i) (%o) (%i) (%o) 3+ diff(sqrt(+log(5*)),); 4 cos () 3 sin () diff(^sin(),); ( ) sin() sin() + cos () log () Na podstawie powyższych reguł różniczkowania powinnyśmy umieć policzyć pochodną każdej funkcji elementarnej (o ile istnieje) chociażby była funkcją bardzo złożoną. Przykład ln arctg 3 cos 4 Obliczyć pochodną funkcji tg 5 3. ( ) ln arctg 3 cos 4 tg 5 3 ln arctg 3 cos 4 ( tg 5 3) f () = tg 3 = arctg 3 cos 4 3 arctg cos 4 +cos 4 ( sin 4)4tg5 3 = ln arctg 3 cos 4 5 ln arctg 3 cos 4 tg 4 3 cos 3 3 tg 3 tg 3 + Najpierw zapiszemy wzór funkcji, a następnie obliczymy jej pochodną. (%i) (%o) (%i) (%o) sqrt(log(atan(cos(4*))^3))/tan(^3)^5; 3 log(atan(cos(4 ))) tan( 3 ) 5 diff(%o,,); 5 33/ sec( 3 ) log(atan(cos(4 ))) tan( 3 ) 6 + 3 sin(4 ) (cos(4 ) +) tan( 3 ) 5 atan(cos(4 )) log(atan(cos(4 ))) W odpowiedzi pojawiła się funkcja sec(), która jest zdefiniowana następująco sec()=/cos(). Przekształcimy teraz pochodną do postaci, w której nie będzie już występowała ta funkcja. (%i3) trigsimp(%o);

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy 67 (%o3) (5 3 3/ sin(4 ) 3 3/ ) cos( 3 ) 4 atan(cos(4 )) log(atan(cos(4 )))+ (cos(4 ) +) sin( 3 ) 6 atan(cos(4 )) log(atan(cos(4 ))) 3 sin(4 ) cos( 3 ) 5 sin( 3 ) (cos(4 ) +) sin( 3 ) 6 atan(cos(4 )) log(atan(cos(4 ))) Definicja 6.. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze A, to jej pochodna jest znowu funkcją f : A R. Jej pochodną (o ile istnieje) nazywamy pochodną rzędu drugiego (drugą pochodną) funkcji f i oznaczamy symbolem f lub d f d, a więc f = (f ). Ogólnie pochodna rzędu n-tego funkcji f jest to pochodna (o ile istnieje) pochodnej rzędu (n ), co zapisujemy f (n) = (f (n ) ) f (n) = dn f d n. Funkcję f, która ma pochodne do n-tego rzędu włącznie na przedziale (a, b), nazywamy funkcję n-krotnie różniczkowalną na tym przedziale. Funkcję f, która ma ciągłe pochodne do n-tego rzędu włącznie na przedziale (a, b), nazywamy funkcją klasy C n (a, b). Powiemy, że funkcja f jest klasy C na przedziale [a, b], jeżeli jest klasy C (a, b) oraz pochodna funkcji f jest ciągła prawostronnie w punkcie a i lewostronnie w punkcie b. Funkcja f jest przedziałami klasy C k [a, b], jeżeli k-ta pochodna tej funkcji jest przedziałami ciągła na przedziale [a, b]. Przykłady Wyprowadzić wzór na n-tą pochodną funkcji. f() = sin Obliczmy ( f () = cos = sin + π ) ( f () = sin = sin + π ) ( f () = cos = sin + 3 π ) można więc zauważyć, że ( f (n) () = sin + n π ), n =,,... (Chcąc to udowodnić, trzeba by było zastosować indukcję matematyczną względem rzędu pochodnej). f() = ln( + ) f () = +

68 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik f () = ( + ) f () = ( + ) 3 a więc f (n) () = ( )n (n )! ( + ) n, n =,,... Obliczymy kolejne trzy pochodne podanych funkcji. Niestety, Maima nie jest w stanie wskazać wzoru ogólnego na n-tą pochodną funkcji... (%i) (%o) (%i) (%o) (%i3) (%o3) diff(sin(),,) cos() diff(sin(),,); sin() diff(sin(),,3); cos() (%i) diff(log(+),,); (%o) + (%i) diff(log(+),,); (%o) (+) (%i3) diff(log(+),,3); (%o3) (+) 3 Definicja 6.3. Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu U i niech oznacza dowolny różny od zera przyrost argumentu. Różniczką funkcji f w punkcie dla przyrostu nazywamy iloczyn f ( ) i przyrostu i oznaczamy symbolem df( ). Zatem df( ) = f ( ). y f( + ) α df = tg(α) = f ( ) O + Zauważmy, że d = =, a więc df( ) = f ( )d, stąd f ( ) = df d ( ) (czytaj df po d ).

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy 69 Dla dostatecznie małych przyrostów, f df. Różniczka jest ważna w fizyce i chemii, gdyż wiele ważnych twierdzeń wyraża się za pomocą różniczek (w szczególności prawa dynamiki). Zadziwiająco często mylimy różniczkę funkcji z pochodną funkcji, choć jak widać, są to dwie różne wielkości. Zapewne wynika to z faktu, że różniczkowalność funkcji jednej zmiennej i istnienie jej pochodnej to jedno i to samo. Zastosowania rachunku różniczkowego do badania przebiegu zmienności funkcji Przy obliczaniu granic funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych korzystamy często z pięknego twierdzenia zwanego regułą de l Hospitala. Twierdzenie 6.5 (Reguła de l Hospitala). Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie S oraz lim f() = i lim g() = i istnieje (właściwa lub niewłaściwa) granica lim f () f() g, to istnieje również granica lim () g() przy czym f() lim g() = lim f () g (). Powyższe twierdzenie dotyczy symbolu nieoznaczonego. Przy odpowiednio zmienionych założeniach twierdzenie pozostaje prawdziwe w odniesieniu do symbolu, jak również do granic jednostronnych i granic w nieskończoności. Przykłady [ ] ln. lim = e [ ]. lim + = H = lim = lim H e [ = lim + = = ] H e = lim + = = + Wynik ten mówi nam, że funkcja wykładnicza znacznie szybciej dąży do + niż funkcja (zauważmy i sprawdźmy sami, że funkcja e rośnie szybko w porównaniu do, a ln zmienia się powoli w porównaniu z ). Obliczymy granice funkcji. (%i) limit(log()/(^-),, ); (%o)

7 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik. (%i) (%o) limit(%e^/^,, inf); Regułę de l Hospitala można stosować również pośrednio do pozostałych symboli nieoznaczonych po uprzednim sprowadzeniu ich do symbolu lub. a) sprowadzamy do symbolu lub, stosując przekształcenie f g = f = g. g f b) sprowadzamy do symbolu, stosując przekształcenie f g = g f f g (częściej jednak wykonanie już odejmowania, czy też wyłączenie pewnego wyrażenia pozwala zastosować regułę de l Hospitala). c),, sprowadzamy do symbolu, stosując przekształcenie f g = e g ln f (g ln f jest w każdym z tych przypadków typu ). Przykłady ln. lim ln = [ ( )] = lim + + (. lim + H = lim + [ ] H = lim + + ] = sin ) [ sin = [ ] = lim + sin = [ ] cos sin + cos = H = lim + 3. lim +(ln ) = [ ] = lim H = sin cos sin =. + e( ) ln(ln ) = e =, bo ln(ln ) lim ) ln(ln ) = [ ( )] = lim +( + = ( ) [ H ( ) = lim = = lim + ln ] + ln + =. Granice funkcji obliczamy następująco.. 3. (%i) limit(*log(),,, plus); (%o) (%i) limit(/sin()-/,,, plus); (%o) (%i) limit(log()^(-),,, plus); [ + ] = lim =. +( ) H = lim + ln ( ) =

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy 7 (%o) Dodatkowo obliczymy jeszcze jedną granicę lim ) ln(ln ) +( (%i) limit((-)*log(log()),,, plus); (%o) Dowodzi się, że. Jeżeli f () > dla każdego (a, b), to funkcja f jest rosnąca na tym przedziale.. Jeżeli f () < dla każdego (a, b), to funkcja f jest malejąca na tym przedziale. 3. Jeżeli f () = dla każdego (a, b), to funkcja f jest stała na tym przedziale. 4. Jeżeli funkcje f i g mają równe pochodne dla każdego (a, b), to funkcje te różnią się o stałą. (Natomiast jeśli funkcje są równe, to mają równe pochodne). Zdanie Jeżeli funkcja f jest rosnąca (malejąca) w przedziale (a, b), to f () > (f () < ) dla każdego (a, b) jest fałszywe np. f() = 3 jest rosnąca w R, a jej pochodna f () = 3 jest równa zero dla =. Stwierdzenia 4 przestają być prawdziwe, gdy zastąpimy w nich przedział (a, b) dowolnym zbiorem, np. f() = tg, f () = cos > dla π + kπ, k Z. (Funkcja tangens jest przedziałami rosnąca, ale nie jest rosnąca w swojej dziedzinie). Definicja 6.4. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu U. Powiemy, że funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie, gdy dla wszystkich z pewnego otoczenia punktu zachodzi nierówność f() f( ). Analogicznie definiujemy minimum lokalne: f() f( ) dla wszystkich z pewnego otoczenia punktu. Oznacza to, że f( ) jest odpowiednio największą (najmniejszą), ale lokalnie, wartością funkcji. Jeżeli powyższe nierówności są ostre dla każdego S, to mówimy o maksimum i minimum lokalnym właściwym. Maksima i minima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi tej funkcji.

7 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik y y min. lok. f( ) ma. lok. ma. lok. min. lok. O O Zauważmy, że jeżeli funkcja jest ciągła na pewnym przedziale i ma w tym przedziale tylko jedno ekstremum lokalne i jest to maksimum (minimum), wówczas jest to jednocześnie największa (najmniejsza) wartość funkcji na tym przedziale. y ma. a O b Wartości najmniejsza i największa funkcji na zbiorze A nazywane są ekstremami absolutnymi (globalnymi): odpowiednio minimum absolutnym i maksimum absolutnym. Twierdzenie 6.6 (Warunek konieczny istnienia ekstremum). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie i ma w tym punkcie ekstremum, to f ( ) =. Zdanie Jeżeli f ( ) =, to funkcja f ma w punkcie ekstremum jest fałszywe, np. dla funkcji f() = 3 mamy f () = 3 oraz f () =, jednak w punkcie = funkcja nie ma ekstremum. y y = 3 O

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy 73 Krótko mówiąc: zerowanie się pochodnej jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji f różniczkowalnej, ale nie jest warunkiem wystarczającym, a więc przez kontrapozycję, jeżeli f ma pochodną w punkcie i f ( ), to f nie ma ekstremum w punkcie. Punkty, w których pochodna funkcji się zeruje nazywamy punktami stacjonarnymi tej funkcji. Zauważmy, że funkcja może mieć ekstremum lokalne w punktach, w których nie ma pochodnej np. y ma. ma. O 3 min. a więc funkcja może mieć ekstrema jedynie w punktach, w których jej pochodna nie istnieje lub w punktach stacjonarnych. Twierdzenie 6.7 (I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja f jest ciągła na U i różniczkowalna w S oraz lub a) f () > w pewnym S i f () < w pewnym S + b) f () < w pewnym S i f () > w pewnym S +, to funkcja f ma w punkcie ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum, gdy spełniony jest warunek a) lub minimum, gdy zachodzi warunek b). Zauważmy, że w punkcie funkcja f nie musi być różniczkowalna, natomiast założenie o ciągłości funkcji w tym punkcie jest istotne. Jeżeli funkcja nie jest ciągła w punkcie, to może, ale nie musi mieć ekstremum lokalnego (patrz rysunek (b) poniżej).

74 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik y y ma. ma. ma. O 3 O min. nie ma minimum (a) (b) Twierdzenie 6.8 (II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu U, f ( ) = i f ( ), to funkcja f ma w punkcie ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum, gdy f ( ) < lub minimum, gdy f ( ) >. Z tego warunku korzystamy, gdy badanie nierówności związanych z pierwszą pochodną jest kłopotliwe rachunkowo. Wyznaczanie ekstremów globalnych Wiadomo z twierdzenia Weierstrassa, że funkcja ciągła w przedziale domkniętym osiąga w tym przedziale swoją wartość najmniejszą i największą, czyli osiąga w tym przedziale ekstrema globalne. Wiadomo, że ekstremum globalne może być osiągnięte wewnątrz przedziału (wtedy jest jednocześnie ekstremum lokalnym), lub też na brzegu przedziału. Wynika stąd metoda wyznaczania ekstremów absolutnych funkcji ciągłej na [a, b], tzn. znajdujemy punkty,,..., n, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne, a następnie wybieramy najmniejszą i największą spośród liczb: f(a), f( ), f( ),..., f( n ), f(b). Najmniejsza z tych liczb jest minimum globalnym, a największa maksimum globalnym. Definicja 6.5. Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu U. Funkcję f nazywamy wypukłą (wklęsłą) w punkcie, gdy istnieje takie sąsiedztwo S, że na S wykres funkcji f leży powyżej (poniżej) lub pokrywa się z prostą styczną do wykresu tej funkcji w punkcie (, f( )).

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy 75 y y styczna styczna O O S wypukła S wklęsła Powiemy, że funkcja jest wypukła (wklęsła) w przedziale (a, b), jeżeli jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału. Zauważmy, że jeśli funkcja f jest wypukła (wklęsła), to funkcja f jest wklęsła (wypukła) i na odwrót. Znak pierwszej pochodnej funkcji informuje nas o monotoniczności tej funkcji, natomiast znak drugiej pochodnej pozwala wnioskować o wypukłości lub wklęsłości funkcji. Twierdzenie 6.9 (Warunek wystarczający wypukłości funkcji). Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale (a, b) i f () > dla każdego (a, b), to funkcja jest wypukła na tym przedziale. Twierdzenie 6. (Warunek wystarczający wklęsłości funkcji). Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na (a, b) i f () < dla każdego (a, b), to funkcja f jest wklęsła na (a, b). y + + y + + Dla ułatwienia zapamiętajmy: funkcja rośnie coraz szybciej funkcja maleje coraz wolniej funkcja rośnie coraz wolniej funkcja maleje coraz szybciej Definicja 6.6. Załóżmy, że istnieje styczna do wykresu funkcji y = f() w punkcie (, f( )), w szczególności styczna ta może być prostopadła do osi O. Punkt (, f( )) nazywamy punktem przegięcia (p.p) funkcji f, gdy jest ona wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym sąsiedztwie S i wklęsła (wypukła) na

76 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik pewnym prawostronnym sąsiedztwie S +. Często mówimy krócej, że funkcja f ma w punkcie punkt przegięcia. y y f( ) f( ) O O Pamiętacie sytuację, w której wykres funkcji ma styczną w punkcie (, f( )), a mimo to funkcja nie ma pochodnej w punkcie! y y f( ) O Punkt jest punktem przegięcia funkcji. O Punkt nie jest punktem przegięcia funkcji. Twierdzenie 6. (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia). Jeżeli funkcja f ma pochodną drugiego rzędu w punkcie oraz jest punktem przegięcia tej funkcji, to f ( ) =. Implikacja odwrotna do powyższej jest fałszywa, np. dla funkcji y = 4 mamy y = 4 3, y =, y = =. y y = 4 O Jednocześnie należy pamiętać, że funkcja może mieć punkt przegięcia nawet wtedy, gdy nie jest różniczkowalna w tym punkcie.

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy 77 Twierdzenie 6. (Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia). Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie, wykres f ma styczną w punkcie (, f( )) oraz lub a) f () > dla każdego S i f () < dla każdego S + b) f () < dla każdego S i f () > dla każdego S +, to jest punktem przegięcia funkcji f. Definicja 6.7. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S. Prostą = nazywamy asymptotą pionową funkcji f, gdy przynajmniej jedna z granic jednostronnych tej funkcji w punkcie jest niewłaściwa, a więc lim f() = ± lub lim f() = ±. + W przypadku gdy tylko jedna z tych granic jest niewłaściwa, mówimy o asymptocie pionowej jednostronnej: lewostronnej lub prawostronnej. y y O O Definicja 6.8. Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym sąsiedztwie S (S + ). Prostą y = a + b nazywamy asymptotą ukośną funkcji f w (+ ), gdy ( ) lim (f() a b) = lim (f() a b) =. + W szczególności, gdy a =, asymptota ma równanie y = b i jest równoległa do osi O. Nazywamy ją wówczas asymptotą poziomą. Zauważmy, że funkcja f ma asymptotę poziomą y = b przy ( + ), gdy ( ) lim f() = b lim f() = b. +

78 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik y y O O y y O O Twierdzenie 6.3. Prosta o równaniu y = a+b jest asymptotą ukośną funkcji f określonej na S (S + ) przy ( + ) wtedy i tylko wtedy, gdy a = f() lim ( + ) i b = lim (f() a). ( + ) Jeśli jedna z powyższych granic nie istnieje lub jest niewłaściwa, to asymptota ukośna nie istnieje. Szukając asymptot ukośnych (jeśli istnieją), zaczynamy zawsze od asymptot poziomych (dlatego, że badając funkcję mamy już wyznaczone granice funkcji w czy + ). Jeśli asymptot poziomych nie ma, sprawdzamy czy są inne asymptoty ukośne y = a + b, gdzie a. Badanie przebiegu zmienności funkcji (proponowany algorytm postępowania).. Wyznaczmy dziedzinę i granice funkcji w punktach krańcowych dziedziny.. Wyznaczamy asymptoty funkcji. 3. Obliczamy pierwszą pochodną funkcji. Znajdujemy miejsca zerowe i badamy znak tej pochodnej. 4. Obliczamy drugą pochodną funkcji. Znajdujemy miejsca zerowe i badamy znak tej pochodnej. 5. Sporządzamy tabelę, umieszczając w niej uzyskane rezultaty, zapisujemy wnioski o monotoniczności i ekstremach (na podstawie znaku pierwszej pochodnej) oraz o wypukłości, wklęsłości i punktach przegięcia (na podstawie znaku drugiej pochodnej).

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy 79 6. Na podstawie informacji zawartych w tabeli sporządzamy wykres funkcji (wykorzystujemy przy tym także dodatkowe informacje dotyczące punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych, parzystości lub nieparzystości funkcji). Przykłady Zbadać przebieg zmienności funkcji a) y = ( + )e. D : (, ) (, + ) lim ( + )e = = lim ( + )e = = lim +( + )e = = + lim ( + )e = = + +. = jest asymptotą pionową prawostronną, asymptot poziomych nie ma; sprawdzamy, czy są inne ( asymptoty ukośne: y = a + b, gdzie a f() a = lim + = lim + ) e = + ) b = lim (f() a) = (( lim + )e = [ ] = + + = lim (( + ) ) e ( + = [ ] = lim )e + + = [ H = = lim ] e + ( ) e ( ) + = ( = lim ( e + + ) ) ( ( e = lim + e + + )) = 3 + y = + 3 asymptota ukośna ( w ) + A = B = lim lim f() = lim (f() A) = lim + e = ) (( + )e = [ + ] = 3 y = + 3 asymptota ukośna w ( 3. y = e + ( + ) e ( ) = e + ) = e D = D y = = ( + )( ) = =, = y > > (, ) (, + ) y < < i (, ) (, )

8 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik 4. y = e ( ) + e ( ) ( ) 4 = + + + 3 3 + + 4 = = e = e 5 + = e D = D y = 5 + = 5 + 4 = 5 y > 5 + > i > 5 ( ) 5, (, + ) y < 5 + < < ( 5, ) 5 5....... 5...... + y + + y + + + + + + y ma.lok. y ma= e p.p min.lok. y min =4 e 6. y = ( + )e = Punktów przecięcia wykresu funkcji z osią Oy nie ma, ponieważ funkcja jest nieokreślona w punkcie =. y 4 e y = + 3 e 5 O O

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy 8 b) y = ln. D : i > ( ) > (, ) (, + ) lim ln = ln = ( [ ] ) lim = = lim = [ ] lim ln = ln = ln + = [ ] lim ln + = ln + = + lim ln + = ln =. Asymptoty: pionowe: = lewostronna, = prawostronna, poziome: y = w + i. 3. y = ( ) = ( ) D = D Zauważmy, że y na zbiorze D przyjmuje tylko wartości ujemne. 4. y ( ) 4( ) = ( = ) ( ) D = D y = = = / D y > > > (, + ) y < < < (, ) 5.......... + y y + + y 6. y = ln = = =

8 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Nie ma punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. y O Zbadamy przebieg zmienności funkcji. a) Najpierw zdefiniujemy badaną funkcję. (%i) f():=(+)* %e^(/); (%o) f () := ( + ) e /. Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny. (%i) limit(f(),, minf); (%o) (%i3) limit(f(),,, minus); (%o3) (%i4) limit(f(),,, plus); (%o4) (%i5) limit(f(),, inf); (%o5). Sprawdzimy, czy istnieją asymptoty ukośne, jeśli tak, to wyznaczymy ich współczynniki. (%i6) limit(f()/,, inf); (%o6) (%i7) limit(f()-*,, inf); (%o7) 3 (%i8) limit(f()/,, minf); (%o8) (%i9) limit(f()-*,, minf); (%o9) 3 3. Obliczymy teraz pierwszą pochodną. (%i) diff(f(),,); (%o) %e / (+) %e/ Przekształcimy ją do postaci iloczynowej. (%i) factor(%o);

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy 83 ( ) (+) %e/ (%o) Przyrównamy pochodną do zera. (%i) solve(%o=); (%o) [ =, = ] Sprawdzimy, gdzie pochodna jest dodatnia, a gdzie ujemna. Jednym z czynników pochodnej jest e /, który dla dowolnego z dziedziny przyjmuje wartości dodatnie. Zatem badając znak pochodnej, możemy rozważać ją bez tego czynnika. Rozwiązywanie nierówności wymiernych umożliwia funkcja solve rat ineq(), której użycie musi być poprzedzone załadowaniem pakietu o tej samej nazwie. Argumentem funkcji jest nierówność, którą chcemy rozwiązać. (%i3) load(solve rat ineq); (%o3) C : /PROGRA /MAXIMA!./... /solve rat ineq.mac (%i4) solve rat ineq((-)*(+)/^>); (%o4) [[ < ], [ > ]] Zapis na wyjściu %o4 oznacza (, ) (, ). (%i5) solve rat ineq((-)*(+)/^<); (%o5) [[ >, < ], [ >, < ]] Zapis na wyjściu %o5 oznacza (, ) (, ). 4. W analogiczny sposób jak pochodną pierwszą zajmiemy się teraz pochodną drugą. Obliczamy drugą pochodną. (%i6) diff(f(),,); (+) %e/ (+) %e/ (%o6) + 3 4 Zapisujemy ją w postaci iloczynowej. %e/ (%i7) factor(%o6); (5 +) %e/ (%o7) 4 Przyrównujemy drugą pochodną do zera. (%i8) solve(%o7=); (%o8) [ = 5 ] Sprawdzamy, gdzie druga pochodna jest dodatnia, a gdzie ujemna. (%i9) solve rat ineq((5*+)/^4>); (%o9) [[ > 5, < ], [ > ]] Zapis na wyjściu %o9 oznacza ( 5, ) (, ). (%i) solve rat ineq((5*+)/^4<); (%o) [[ < 5 ]]

84 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Zapis na wyjściu %o oznacza (, 5 ). 5. Na podstawie powyższych obliczeń można sporządzić tabelę, umieszczając w niej uzyskane rezultaty, tzn. wnioski dotyczące monotoniczności, ekstremów, wypukłości, wklęsłości, punktów przegięcia oraz granic na krańcach dziedziny. 6. Szukamy punktu przecięcia wykresu funkcji z osią Oy. (%i) solve(f()=); (%o) [ = ] Narysujemy teraz wykres funkcji f wraz z jej asymptotą ukośną. Wykorzystamy do tego funkcję wplotd. Oczywiście, gdy korzystamy z Maimy, wykres funkcji możemy uzyskać bez przeprowadzania wcześniejszych obliczeń. (%i) wplotd([f(), +3], [,-3,4],[y,-,]); plotd: some values were clipped. (%t) Komunikat some values were clipped (pewne wartości zostały obcięte) jest związany z ograniczeniem wartości na osi Oy poprzez zapis [y,, ]. b) Postępujemy analogicznie jak w podpunkcie a).

Rozdział 7 Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej Idea całkowania jako operacji odwrotnej do różniczkowania prowadzi do pojęcia całki nieoznaczonej. Koncepcja całki jako pola powierzchni prowadzi do całki oznaczonej. Wykazanie przez Newtona i Leibniza, że różniczkowanie i całkowanie są w gruncie rzeczy operacjami wzajemnie odwrotnymi, jest bez wątpienia kamieniem milowym w historii matematyki. Definicja 7.. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, gdy pochodna F jest równa funkcji f na tym przedziale, a więc F () = f() dla każdego I. (Oczywiście, jeżeli przedział I jest lewostronnie lub prawostronnie domknięty, to mówimy wówczas w punktach krańcowych tego przedziału o pochodnej funkcji F odpowiednio lewostronnej czy prawostronnej). Przykłady a) funkcją pierwotną funkcji f() = cos dla R = I jest funkcja F () = sin. Zauważmy, że funkcje F () = sin + i F () = sin + 3 również są funkcjami pierwotnymi funkcji cos. Więcej, każda funkcja F () = sin + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest funkcją pierwotną na zbiorze R, b) funkcją pierwotną funkcji f() = na zbiorze R jest każda funkcja F () = + C, gdzie C R. Widać więc, że jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f, to każda funkcja postaci F + C, gdzie C R, jest również funkcją pierwotną. Ponadto z rachunku różniczkowego wiemy, że funkcje mające równe pochodne na pewnym przedziale różnią się na tym przedziale o stałą. A więc, jeżeli F i G są funkcjami pierwotnymi tej samej funkcji f, wówczas F = G = f, stąd G = F + C dla pewnej stałej C R.

86 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Mamy więc twierdzenie: Twierdzenie 7.. Jeżeli F jest dowolnie ustaloną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, C dowolną stałą, to wszystkie funkcje postaci F ()+C, I i tylko takie funkcje są funkcjami pierwotnymi funkcji f na przedziale I. Definicja 7.. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na przedziale I i zapisujemy f()d = F () + C lub f()d = C F (), gdzie F oznacza dowolnie ustaloną funkcję pierwotną funkcji f, C dowolną stałą (jest to tzw. stała całkowania), d wskazuje zmienną całkowania. Funkcję f, którą całkujemy, nazywamy funkcją podcałkową. Przykłady. cos d = sin + C dla I = R, ponieważ (sin + C) = cos. d = ln + C dla R \ {}, ponieważ dla (, + ) (ln + C) = i dla (, ) (ln( ) + C) = ( ) = d 3. = arctg + C, dla R, + ponieważ (arctg + C) = + Do obliczania całek nieoznaczonych służy funkcja integrate(). Jako pierwszy argument zapisujemy funkcję, a jako drugi zmienną. Program podaje całkę nieoznaczoną bez zapisywania stałej.. (%i) integrate(cos(), ); (%o) sin(). Maima, obliczając całki nieoznaczone, nie zapisuje wartości bezwzględnej wyrażenia logarytmowanego. (%i) (%o) integrate(/, ); log()

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 87 3. (%i) (%o) integrate(/(+^), ); atan() Funkcja, dla której istnieje całka nieoznaczona na pewnym przedziale, nazywa się funkcją całkowalną na tym przedziale. Wyznaczenie całki nieoznaczonej danej funkcji f nazywamy całkowaniem funkcji f. Dowodzi się, że każda funkcja ciągła na pewnym przedziale jest funkcją całkowalną na tym przedziale. A więc każda funkcja elementarna jest całkowalna w swojej dziedzinie. Okazuje się jednak, że całka nieoznaczona funkcji elementarnej nie zawsze jest funkcją elementarną. Całki nieoznaczone, na przykład: ln d, sin d, e d, e d nie są funkcjami elementarnymi, to znaczy nie dadzą się wyrazić za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych przez funkcje elementarne (studenci mówią często, że całki te nie dadzą się policzyć ). Z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące równości: ( f()d) = f(), f ()d = f() + C. Z powyższych równości wynika, że całkowanie i różniczkowanie są działaniami wzajemnie odwrotnymi (aczkolwiek pamiętajmy, że całkowanie nie jest operacją jednoznaczną). Twierdzenie 7.. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na pewnym przedziale I, to f ± g jest również funkcją całkowalną na tym przedziale oraz (f() ± g()) d = f()d ± g()d. Ponadto kf()d = k f()d, k R \ {}. Każdy wzór F () = f() rachunku różniczkowego prowadzi bezpośrednio do wzoru na całkę nieoznaczoną f()d = F () + C.

88 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Tablica wzorów bezpośrednich rachunku całkowego d = C; α d = α+ α +, α ; d = ln + C; e d = e + C; sin d = cos + C; sin d = ctg + C; + d = arctg + C; a d = a ln a + C; cos d = sin + C; cos d = tg + C; d = arcsin + C. Są tylko dwie metody całkowania: całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie, ale myliłby się ten, kto sądzi, że znajomość tych metod wystarczy do umiejętności całkowania nawet prostych funkcji elementarnych. Twierdzenie 7.3 (Całkowanie przez części). Jeżeli funkcje f i g są klasy C na pewnym przedziale I, to f()g ()d = f()g() f ()g()d. Przykłady { f = ln g =. ln d = f = g =. 3. = ln 4 + C = (ln ) + C { } f = ln g ln d = = f = g = { } e f = g d = = e f = g = e } = ln = ln = e d = d = ln + C e d = e e +C = e ( )+C Proponuję czytelnikowi samodzielnie sprawdzić, że powyższe całki są dobrze policzone.

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 89 Obliczymy całki... 3. (%i) (%o) (%i) (%o) (%i) (%o) integrate(*log(), ); log() 4 integrate(log(), ); log () integrate(* %e^, ); ( ) %e Twierdzenie 7.4 (Całkowanie przez podstawienie). Niech ϕ: I T będzie klasy C na przedziale I, a funkcja f : T R ciągła na przedziale T. Wówczas f()d = f (ϕ(t)) ϕ (t)dt. Przykłady. k > d = k = d = k( k ) k dt t = arcsin t + C = arcsin k + C { d ( k ) = { } ln ln = t. d = = tdt = t d = dt + C = ln + C Z twierdzenia 7.4 wynikają następujące wzory: f () d = ln f() + C, f() f () d = f() + C. f() k = t k d = dt (Wystarczy w każdym z nich zastosować podstawienie f() = t, tym samym f ()d = dt.) Przykłady. + 7 d = ln( + 7) + C } =

9 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik. 3. 3 + 8 d = 6 e 5 3e d = 3 6 3 + 8 d = 6 ln(3 + 8) + C 3e 5 3e d = 5 3e 3 + C Obliczymy całki... 3. (%i) integrate((*)/(^+7), ); (%o) log ( + 7 ) (%i) (%o) (%i) (%o) integrate(/(3*^+8), ); log(3 +8) 6 integrate( %e^/sqrt(5-3* %e^), ); 5 3 %e 3 Wzory rekurencyjne Przykład n e d = J n n =,,,... J = e d = e + C { f = n g = e J n = a więc f = n n g = e } = n e n n e d = n e nj n J n = n e nj n n =,,... Podobnie uzyskiwane są wzory rekurencyjne, np. dla całek sin n d (gdy n jest parzyste), ln n d itp., ale równie dobrze można obejść się bez tych wzorów, całkując te funkcje wielokrotnie przez części. Przedstawimy teraz istotne wskazówki, jak znając dwie metody całkowania przez części i przez podstawianie, poradzić sobie z całkowaniem podstawowych typów funkcji elementarnych.

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 9. Całkowanie funkcji wymiernych Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci W n() V m (), gdzie W n i V m są wielomianami odpowiednio stopnia n i m. Jeżeli n < m, to funkcję wymierną nazywamy właściwą, jeżeli n m, to mamy do czynienia z funkcją wymierną niewłaściwą. Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci skończonej sumy ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju, to znaczy funkcji postaci A ( a) n, A + B ( + p + q) n, gdzie = p 4q <. W przypadku funkcji wymiernej niewłaściwej przedstawiamy ją w postaci sumy wielomianu oraz ułamków prostych (dzieląc wielomian W n () przez wielomian V m ()). Tak więc całkowanie funkcji wymiernych sprowadza się do całkowania wielomianów i całkowania ułamków prostych. Ułamki proste I rodzaju całkujemy przez podstawianie a = t, np. { 7 5 = t 5 d = d = dt } = 7 dt = 7 ln t + C = 7 ln 5 + C t { 5 + 7 = t ( + 7) 5 d = d = dt = 5 4 ( + 7) 4 + C = 5 } = 5 4( + 7) 4 + C Obliczymy całki przedstawione powyżej. (%i) integrate(7/(-5), ); (%o) 7 log ( 5) (%i) integrate(5/(+7)^5, ); (%o) 5 4 (+7) 4 t 5 dt = 5 t 5 dt = 5 t 4 4 + C = W przypadku ułamków prostych II rodzaju rozważmy najpierw całkę przy k > d + k = k = k arctg k + C. Najpierw założymy, że k >. (%i) assume(k>); (%o) [k > ] { d k ( k ) + = = t d = k dt } = k dt t + =

9 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Teraz obliczymy całkę. (%i) (%o) integrate(/(^+k), ( ); ) atan k k Rozważmy teraz ułamek prosty + p + q, gdzie = p 4q <. Przykład { d = < + 4 + 7 = + 4 + 7 = ( + ) + 3 = arctg + + C 3 3 } = d ( + ) + 3 = W przypadku całki A + B d, gdzie <, + p + q mamy A + B + p + q = α gdzie + p + p + q d + β A + B = α( + p) + β Obliczymy całkę. (%i) integrate(/(^+4*+7), ( ) ); atan +4 3 d + p + q, (%o) 3 Teraz uprościmy uzyskany wynik, wykorzystując funkcję ratsimp(). (%i) (%o) Przykład ratsimp(%o); ( ) + atan 3 3 3 + 5 + 4 + d = α + 4 + 4 + d + β = 3 + 4 + 4 + d + ( ) d = 3 d ln( + 4 + ) ( + ) + 8 = + 4 + = d + 4 + =

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 93 = 3 ln( + 4 + ) arctg + + C Obliczymy całkę i uprościmy uzyskany wynik. (%i) (%o) (%i) (%o) integrate((3*+5)/(^+4*+), ); ( 3 log( +4 +) atan +4 ) 5/ 3/ ratsimp(%o); 3 log( +4 +) atan( + 3/ ) 3/ Jeśli więc mamy do scałkowania funkcję wymierną, postępujemy następująco: a) sprawdzamy, czy licznik jest pochodną mianownika, jeśli tak, to stosujemy odpowiedni wzór, b) jeśli jest to funkcja wymierna właściwa niebędąca ułamkiem prostym i taka, że licznik nie jest pochodną mianownika, to rozkładamy ją na ułamki proste i całkujemy te ułamki, c) gdy jest to funkcja wymierna niewłaściwa, to najpierw dzielimy licznik przez mianownik i przedstawiamy ją w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Prześledźmy to na przykładach:. + 5 + 6 + 8 d Rozłóżmy funkcję podcałkową na ułamki proste + 5 + 6 + 8 = A + 4 + B + ( + 4)( + ) + 5 = A( + ) + B( + 4) + 5 = (A + B) + A + 4B { A + B = A + 4B = 5 A = 3, B = + 5 + 6 + 8 d = 3 d + 4 + d + = = 3 ln + 4 + ln + + C. + 5 + 4 + 8 d = + 4 = α + 4 + 8 d + β d + 4 + 8 =

94 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik 3. 4. = + 4 + 4 + 8 d + = ln + 4 + 8 + arctg + 3 3 d d + 4 + 8 = ln + 4 + 8 + + C d ( + ) + 4 = Rozkładamy najpierw mianownik na czynniki, a następnie funkcję podcałkową na ułamki proste. 3 3 = 3 ( )( + + ) = A + B + C + + 3 = A( + + ) + (B + C)( ) 3 = (A B) + (A + B C) + A + C A B = A + B C = 3 A =, B =, C = A + C = 3 3 d = d + + + d = = d + α + + + d + β d + + = = ln + + + + d 3 d + + = = ln + ln + + 3 d ( + ) + 3 = 4 = ln + ln + + 3 arctg + + C = 3 3 = ln + ln + + 3 arctg + + C 3 3 3 + + 3 + 6 d Ponieważ funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną niewłaściwą, podzielmy licznik przez mianownik: 3 + + 3 : + 6 = 3 + 6 6 + 3 Stąd 3 + + 3 + 6 d = d + = + 3 ln + 6 + C 6 + 3 + 6 = + 3 + + 6 d =

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 95 Obliczając całki nieoznaczone funkcji wymiernych w Maimie, nie ma potrzeby rozkładania ich na ułamki proste.. Przypomnijmy, że Maima, obliczając całki nieoznaczone, nie zapisuje wartości bezwzględnej wyrażenia logarytmowanego. (%i) integrate((*+5)/(^+6*+8), ); 3 log(+4) (%o) + log(+) Gdybyśmy chcieli rozłożyć funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych, to należałoby użyć funkcji partfrac(). (%i) partfrac((*+5)/(^+6*+8), ); 3 (%o) (+4) + (+). Obliczymy całkę, a następnie uprościmy uzyskany wynik. (%i) integrate((*+5)/(^+4*+8), ); (%o) log ( + 4 + 8 ) +4 atan( 4 ) + (%i) ratsimp(%o); log( (%o) +4 +8)+atan( + ) 3. Obliczymy całkę i uprościmy uzyskany wynik wykorzystując funkcję ratepand(). Warto zwrócić uwagę, że użycie funkcji ratsimp() w tym przypadku daje inny efekt. (%i) (%o) 3 integrate(3*/(-^3), ); ( ) ( log( ++) 6 atan + 3 3 log( ) 3 (%i) ratepand(%o); log( (%o) ++) ( ) 3 atan + 3 log ( ) 4. Obliczamy całkę. (%i) integrate((^3+^+3)/(^+-6), ) (%o) 3 log ( + 3) + 3 log ( ) + Ewentualne rozłożenie funkcji podcałkowej na sumę wielomianu i ułamków prostych wykonujemy następująco (%i) partfrac((^3+^+3)/(^+-6), ); 3 (%o) +3 + + 3. Całkowanie funkcji niewymiernych a + b R, n, gdzie R jest funkcją wymierną swoich argumentów oraz c + d a b (w przeciwnym wypadku funkcja podcałkowa R sprowadziłaby się c d do funkcji wymiernej jednej zmiennej). )

96 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Każdą całkę tej postaci można sprowadzić do całki funkcji wymiernej t, stosując podstawienie n a + b c + d = t. Tym razem jednak, przed zróżniczkowaniem powyższej równości trzeba ją najpierw stronami podnieść do n-tej potęgi, np. 3 + = t 3 + d = + = t3 ( t 3 ) 3t = = t3 t t 6 t ( t 3 ) dt = 3 d = 3t ( t 3 ) dt = 3 ( t 3 dt = 3 t + C = 3 ) 3 + + C. W Maimie podaną całkę obliczamy dokładnie tak samo jak wcześniejsze. (%i) (%o) integrate(/^*(/(+))^(/3), ); 3 (+)/3 /3 Całki Abela są to całki postaci: ( R, ) a + b + c d, gdzie R jest funkcją wymierną swoich argumentów. Każdą powyższą całkę można sprowadzić do całki z funkcji wymiernej zmiennej t, stosując jedno z podstawień Eulera: a + b + c = t ± a, a > a + b + c = t( α), trójmianu a + b + c. Najprostsze całki Abela to znana już całka (str. 89) d k + = = b 4ac > i α jest jednym z pierwiastków k + = t k + = t t + = t k t d = k+t t dt k + = t t k t = k+t t + C. dt = t = ln t + C = ln + k + = d k i całka t k + t k + t t dt =

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 97 Przykłady. d = 3 d 3 4 ( + ) = arcsin + 3 4 + C = arcsin + 3 + C. d = 3 + d = ln ( 3 ) 3 + 3 + + C 4. Obliczymy całkę, a następnie uprościmy uzyskany wynik. (%i) integrate(/sqrt(3--^), ( ) ); (%o) asin 3 (%i) ratsimp(%o); ( ) (%o) asin + 3. W tym przykładzie na pierwszy rzut oka otrzymany wynik różni się od tego, który został uzyskany w ręcznych rachunkach. Jeżeli jednak w wyrażeniu podcałkowym wyciągniemy liczbę przed nawias i zastosujemy wzór na logarytm iloczynu, to z uwagi na dowolność stałej w całce nieoznaczonej uzyskane wyniki są takie same. (%i) integrate(/sqrt(-3*+^), ( ); (%o) log ) 3 + + 3 W przypadku całek: A + B d przedstawiamy ją jako sumę dwóch znanych już a + b + c A + B a + b + c d = α gdzie A + B = α(a + b) + β. Przykład 3 7 + d = α a + b a + b + c + β 7 7 + d + β d a + b + c, d 7 + = = 3 7 9 d + 7 + d = ( 7 ) 9 4 = 3 7 + + 9 ln 7 + 7 + + C (%i) (%o) integrate((3*-)/sqrt(^-7*+), ); 9 log( 7 ++ 7) + 3 7 +

98 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Postać uzyskanego wyniku nieco różni się od otrzymanego w ręcznych rachunkach, ale tak jak w poprzednim przykładzie także i tym razem można pokazać, że ze względu na dowolność stałej w całce nieoznaczonej są one takie same. W przypadku całek Abela postaci: W n () a + b + c d, gdzie W n () jest wielomianem stopnia n omijamy podstawienie Eulera, przedstawiając powyższą całkę następująco: W n () a + b + c d = V n () a + b + c + k d a + b + c, gdzie V n () jest wielomianem stopnia n. Nieznane współczynniki tego wielomianu i stałą k wyznacza się metodą współczynników nieoznaczonych. Przykład Obliczyć d d = d = (A + B) + k Różniczkując stronami powyższą równość, otrzymujemy: d = A + (A + B) ( ) + k. Stąd: = A( ) + (A + B)( ) + k + = A A + A + A B + B + k + = A + (3A B) + B + k A = 3A B = B =, k =. B + k = A więc: ( d = ) + = ( ) + arcsin( ) + C. d ( ) =

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 99 Obliczymy całkę i uprościmy uzyskany wynik. (%i) integrate(sqrt(*-^), ); (%o) (%i) ratsimp(%o); (%o) asin( )+( ) asin( ) 3. Całkowanie funkcji trygonometrycznych Zajmiemy się całkami typu R(sin, cos )d, gdzie R jest funkcją wymierną swoich argumentów. Powyższą całkę można sprowadzić do całki z funkcji wymiernej zmiennej t, stosując podstawienie: wówczas oraz tg = t, π < < π; = arctg t, = arctg t, d = dt + t sin = t t, cos = + t + t, co wynika z najprostszych wzorów trygonometrycznych: jedynki trygonometrycznej i wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta. Przykład + t sin d = dt dt t + t = t Powyższą całkę obliczymy na dwa sposoby. = ln t + C = ln tg + C (%i) integrate(/sin(), ); log(cos() ) (%o) log(cos()+) Uzyskany wynik nieco różni się od otrzymanego w ręcznych rachunkach, ale jest on także poprawny. Teraz zastosujemy inną metodę. Najpierw zapisujemy funkcję, którą całkujemy. (%i) (%o) sin() /sin();

Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Zmienną zamieniamy na t. (%i) %o,=*t; (%o) sin( t) Stosujemy funkcję trigepand(), która korzysta ze wzoru na sinus podwojonego argumentu. (%i3) trigepand(%o3); (%o3) cos(t) sin(t) Wykonujemy zamianę zmiennych y = tg t. (%i4) changevar( integrate(%o4,t),tan(t)-y,y,t); solve: using arc-trig functions to get a solution. Some solutions will be lost. y dy (%o4) Otrzymany komunikat jest związany z podstawieniem y = tg i w konsekwencji użyciem funkcji cyklometrycznej. Nie ma to jednak wpływu na poprawność rozwiązania. Następnie obliczamy całkę. Wykorzystamy funkcję ev(), która ma dwa argumenty: pierwszy to wyrażenie (symboliczny zapis całki), drugi operacja, jaka ma zostać wykonana (całkowanie). (%i5) ev(%o5,integrate); log(y) (%o5) Powracamy do zmiennej. (%i6) %o6,y=tan(/); log(tan( (%o6) )) Na koniec uwzględniamy mnożnik, który wynika ze zmiany zmiennej na t. (%i7) (%o7) %o7*; log ( tan ( )) Czasem zastosowanie innego podstawienia może prowadzić do całki, której obliczenie będzie łatwiejsze. R( sin, cos ) = R(sin, cos ) (funkcja R jest nieparzysta ze względu na sin ) stosujemy podstawienie cos = t R(sin, cos ) = R(sin, cos ) (funkcja R jest nieparzysta ze względu na cos ) stosujemy podstawienie sin = t R( sin, cos ) = R(sin, cos ) (funkcja R jest parzysta ze względu na sin i cos ) stosujemy podstawienie tg = t, π < < π dt, = arctg t, d = + t,

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej Przykłady.. sin = t + t, cos = t, sin cos = + t + t. cos 4 sin 3 d = cos 4 ( cos ) sin d = = t 4 ( t )dt = (t 4 t 6 )dt = t5 5 + t7 7 + C = cos7 7 cos = t sin d = dt sin d = dt cos5 5 = { } cos 5 sin = t d = = cos 4 cos d = ( sin ) cos d = cos d = dt = ( t ) dt = ( t + t 4 )dt = t 3 t3 + t5 5 + C = = sin 3 sin3 + sin5 + C 5 cos = cos sin = 3. sin d = = sin sin = sin sin cos = = = ( cos )d = ( sin ) + C = sin + C 4 { } 4. cos cos = cos d = ( cos ) = cos cos +cos = = = ( + cos )d = + sin + C 4 + C Obliczymy kolejno całki, korzystając z funkcji integrate(), a funkcją epand() uprościmy uzyskane wyniki.. (%i) integrate(cos()^4*sin()^3, );. 3. (%o) (%i) (%o) (%i) (%o) (%i) (%o) 5 cos() 7 7 cos() 5 35 epand(%o); cos() 7 7 cos()5 5 integrate(cos()^5, ); sin() 5 5 sin()3 3 + sin () integrate(sin()^, ); sin( )

Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik 4. (%i) (%o) (%i) (%o) (%i) (%o) epand(%o); sin( ) 4 integrate(cos()^, ); sin( ) + epand(%o); sin( ) 4 + Najszerszym zastosowaniem rachunku całkowego jest rozwiązywanie równań różniczkowych, takich jak np. równań kinetyki chemicznej, równań ruchu w mechanice zarówno klasycznej, jak i kwantowej. Wprowadzimy teraz pojęcie całki oznaczonej, jako pola powierzchni pod krzywą i pokażemy, w jaki sposób jest ona powiązana z całką nieoznaczoną. Definicja 7.3. Niech funkcja f : [a, b] R będzie ograniczona. Podzielmy przedział [a, b] na n dowolnych przedziałów częściowych punktami a = < <...... < n = b. Oznaczmy przez i = i i długości tych przedziałów [ i, i ], a przez λ n = ma i, i n. W każdym z tych przedziałów [ i, i ] wybieramy w zupełnie dowolny sposób i i tworzymy tak zwaną sumę całkową S n = n f( i ) i. i= y y = f() f( ) f( ) f( 3) f( 4) f( 5) O a = 3 3 4 4 5 5 = b Jeżeli istnieje skończona granica ciągu (S n ) przy n i λ n oraz granica ta nie zależy od sposobu podziału [a, b] na przedziały częściowe oraz nie zależy od sposobu wyboru punktów i, to granicę tę nazywamy całką oznaczoną funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczmy: gdzie a dolna granica całkowania, b górna granica całkowania, [a, b] przedział całkowania. b a f()d,

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 3 Dodatkowo przyjmujemy, że: b a a f()d def = b f()d, gdy b < a oraz a a f()d def =. Funkcję, dla której istnieje całka oznaczona, nazywamy funkcją całkowalną (w sensie Riemanna) na przedziale [a, b]. Twierdzenie 7.5. Jeżeli spełniony jest jeden z następujących warunków: a) funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], b) funkcja f jest ograniczona na przedziale [a, b] i ma w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, c) funkcja f jest funkcją monotoniczną na przedziale [a, b], to f jest funkcją całkowalną na przedziale [a, b]. Interpretacja geometryczna Jeżeli funkcja f jest ciągła i nieujemna na przedziale [a, b], to całka polem figury płaskiej D = {(, y) R ; a b, y f()} D = b a f()d. b a f()d jest y y = f() D O a b W przypadku gdy f jest funkcją ciągłą i niedodatnią na przedziale [a, b], to pole figury D = {(, y) R ; a b, f() y } jest równe b D = f()d. a

4 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik y O a D b y = f() Interpretacja fizyczna Załóżmy, że punkt materialny porusza się po prostej z prędkością v(t) w przedziale czasowym [t, t ]. Wówczas, patrząc na sumę całkową dla funkcji v(t), widzimy, że t t v(t)dt jest niczym innym jak drogą S przebytą w przedziale czasowym [t, t ], krótko: droga jest całką z prędkości. Zawsze przy interpretacji fizycznej czy geometrycznej całki oznaczonej patrzymy na sumę całkową związaną z daną funkcją. Własności całki oznaczonej. Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowania: f : [a, b] R całkowalna na [a, b], to b a f()d = b a f(t)dt.. Funkcja całkowalna na przedziale [a, b] jest także całkowalna na każdym podprzedziale domkniętym tego przedziału. 3. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale [a, b], to oraz b a (f() ± g()) d = b a b kf()d = k a b a b f()d ± a g()d f()d, k R. 4. Zmiana wartości funkcji w skończonej liczbie punktów przedziału nie wpływa ani na całkowalność tej funkcji w tym przedziale, ani na wartość całki, jeśli funkcja jest całkowalna. Własność ta nie powinna być zaskoczeniem, jeżeli spojrzymy jeszcze raz na definicję całki oznaczonej.

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 5 5. Jeśli a, b, c są dowolnymi punktami przedziału, na którym funkcja f jest całkowalna, to c b b f()d + f()d = f()d. a c Własność ta jest prawdziwa bez względu na relacje między punktami a, b, c należącymi do przedziału, na którym funkcja f jest całkowalna, co może być pewnym zaskoczeniem. Jeśli c spełnia nierówność a c b, własność 5 wydaje się oczywista. Jeśli jednak np. a b c, równość powyższa również zachodzi. Rzeczywiście. c b c f()d = f()d + f()d, stąd b a f()d = a c a a c f()d b f()d = a b c a b f()d + c f()d. 6. a) Jeśli f : [ a, a] R, a >, jest funkcją nieparzystą i całkowalną, to a a f()d =. b) Jeśli f : [ a, a] R, a >, jest funkcją parzystą i całkowalną, to a a f()d = a a f()d = f()d. Niech f będzie funkcją całkowalną na przedziale [a, b]. Dla każdego [a, b] rozważmy całkę f()d. a Uzyskujemy w ten sposób nową funkcję, tzw. funkcję górnej granicy całkowania. Oznaczmy F () def = a f()d, [a, b].

6 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Twierdzenie 7.6. Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b], to funkcja F () = a f()d jest różniczkowalna na tym przedziale i F () = f(), [a, b]. Zauważmy więc, że funkcja górnej granicy całkowania F () jest funkcją pierwotną funkcji f() dla [a, b] (tym samym funkcję pierwotną danej funkcji możemy wyznaczyć przez całkę nieoznaczoną lub też poprzez całkę oznaczoną ze zmienną górną granicą całkowania). Twierdzenie 7.7 (Newtona-Leibniza). (Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.) Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b] i F jest jej dowolną funkcją pierwotną, to b f()d = F (b) F (a). Jest to oczywisty wniosek z twierdzenia 7.6, ponieważ a a f()d F () = C. Połóżmy w powyższej równości = a, stąd C = F (a), a następnie połóżmy = b stąd b a b a f()d F (b) = C, f()d = F (b) F (a). Powyższy wzór pozostaje również prawdziwy, gdy a > b b a Przyjmijmy zapis a f()d = b a b f()d = (F (a) F (b)) = F (b) F (a). f()d = F () b a = F (b) F (a). Dzięki własnościom 4 i 5 całki oznaczonej możemy korzystać również z powyższego twierdzenia, wyznaczając całkę oznaczoną z funkcji, która nie jest ciągła w [a, b], a jest np. ograniczona w tym przedziale i ma w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju. Z punktu widzenia zastosowań jest to niezwykle ważne stwierdzenie.

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 7 Twierdzenie 7.8 (O całkowaniu przez części dla całki oznaczonej). Jeżeli funkcje f i g są klasy C na przedziale [a, b], to b a f()g ()d = f()g() b a b a f ()g()d. Twierdzenie 7.9 (O zamianie zmiennej w całce oznaczonej). Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą, a ϕ: [α, β] [a, b] funkcją klasy C na przedziale [α, β], ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, wówczas b a f()d = β α f (ϕ(t)) ϕ (t)dt. To twierdzenie jest o tyle istotne, że zamieniając zmienną w całce oznaczonej, nie musimy wracać do zmiennej wyjściowej, trzeba dokonać jednak zmiany przedziału całkowania (co z punktu widzenia zastosowań jest często niezwykle ważne). Przykłady.. π sin d Do obliczenia tej całki zastosujemy twierdzenie Newtona-Leibniza. π e sin d = cos + C sin d = cos ln d = π ln = t d = dt e t = cos π + cos = = t dt = 3 t 3 = 3 = 3 3. π { f = g cos d = = cos f = g = sin = π + cos π = π } = sin π π sin d =

8 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Do obliczenia całek oznaczonych, podobnie jak nieoznaczonych, zastosujemy funkcję integrate(), przy czym tym razem musimy podać granice całkowania... 3. (%i) integrate(sin(/),,, %pi); (%o) (%i) integrate(sqrt(log())/,,, %e); (%o) 3 (%i) integrate(*cos(),,, %pi/); π (%o) Definicja 7.4. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale [a, + ) i całkowalną na każdym przedziale [a, β]. Granicę lim β β + a f()d nazywamy całką niewłaściwą funkcji f na przedziale [a, + ) i oznaczamy A więc + a + a f()d. f()d def = lim β β + a f()d. Przy tym, jeśli granica po prawej stronie jest skończona (właściwa), to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Gdy rozważana granica jest niewłaściwa albo nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna. Gdy f jest funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale [a, + ), to zbieżność całki + niewłaściwej f()d oznacza, że pole figury nieograniczonej D = {(, y) R ; a a <, y f()} jest skończone i równe tej całce D = + a f()d.

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 9 y y = f() D O a β + Analogicznie określa się i interpretuje całkę niewłaściwą f()d funkcji f na przedziale (, b], całkowalnej na każdym skończonym przedziale [α, b]: b b f()d def = lim b α α f()d. W przypadku całki niewłaściwej + (, + ) i całkowalnej na każdym skończonym przedziale: f()d funkcji f określonej na przedziale + f()d def = c f()d + + c f()d, c R, przy czym całkę tę uważamy za zbieżną tylko wtedy, gdy obie całki po prawej stronie są zbieżne. Przykłady. + d = lim β β + d Powyższą całkę liczymy od końca, tzn. najpierw całkę nieoznaczoną. d = d = + C, potem oznaczoną β d = β = β i na końcu granicę, zatem

Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik. + d = Stąd całka + ( lim ) = β + β + + d = d jest zbieżna. d = lim + + d + α α + + d d = lim + arctg = α α = lim ( arctg α) = π α + β d = lim d = lim + β + + arctg β + Zatem + + d = π + π = π, a więc całka jest zbieżna. β = lim β + arctg β = π Do obliczania całek niewłaściwych wykorzystujemy funkcję, która wcześniej była używana przy obliczaniu całek nieoznaczonych i oznaczonych, czyli integrate(). Przypomnijmy, że symbole i + zapisujemy w Maimie odpowiednio jako minf i inf.. (%i) integrate(/^,,, inf); (%o). (%i) (%o) integrate(/(+^),, minf, inf); π Definicja 7.5. Niech f będzie funkcją nieograniczoną na przedziale [a, b) i całkowalną w każdym przedziale [a, β], gdzie a < β < b. y y = f() O a β b

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej Punkt b nazywamy punktem osobliwym funkcji f. Całkę niewłaściwą nieograniczonej funkcji f na przedziale [a, b) definiujemy przez Jeżeli granica po prawej stronie jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa b a β f()d def = lim β b a f()d. b a f()d jest zbieżna. Jeśli rozważana granica jest niewłaściwa albo nie istnieje, to powyższa całka niewłaściwa jest rozbieżna. Jeżeli funkcja f jest funkcją nieograniczoną na przedziale skończonym (a, b] i całkowalną na każdym przedziale [α, b], gdzie a < α < b, to b a f()d def = lim b α a + α f()d. y y = f() O a α b W przypadku gdy funkcja f posiada w przedziale [a, b] skończoną liczbę punktów osobliwych, dokonujemy podziału [a, b] na przedziały częściowe w taki sposób, aby punkty osobliwe wystąpiły tylko na jednym krańcu przedziału całkowania, na które podzieliliśmy przedział [a, b]. Wówczas całka niewłaściwa jest zbieżna, jeżeli każda z całek niewłaściwych w otrzymanych podprzedziałach jest zbieżna. Przykłady. d = lim d = α + α d d ( ) = arcsin( ) + C α d = arcsin( ) α = arcsin arcsin(α ) = arcsin(α )

Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Stąd całka d = lim α + arcsin(α ) = π jest zbieżna.. d = d = lim d + α + α β d = lim β = lim arcsin (β ) = π β Zatem całka d d = π d = lim β d = π + π = π arcsin( ) jest zbieżna. β = Obliczymy całki... (%i) integrate(/sqrt(*-^),,, ); (%o) π (%i) integrate(/sqrt(*-^),,, ); (%o) π Zastosowanie geometryczne całek oznaczonych Jeżeli funkcje f i g są ciągłe oraz g() f() dla [a, b], to pole figury D = {(, y) R ; a b, g() y f()} wyraża się wzorem D = b a (f() g()) d, co wynika bezpośrednio z interpretacji geometrycznej całki oznaczonej.

Rozdział 7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 3 y y = f() y y = f() a O b a O b y = g() y = g() (a) (b) Jak widać, to, jakie wartości przyjmują funkcje f i g, nie ma żadnego znaczenia, ważne, aby g() y f() dla każdego [a, b]. Twierdzenie 7.. Jeżeli łuk L jest wykresem funkcji y = f() klasy C na przedziale [a, b], to jego długość L wyraża się wzorem L = b a + (f ()) d. Twierdzenie 7.. Jeżeli łuk L jest dany równaniami parametrycznymi { = (t) L: dla α t β y = y(t) i przy tym, różnym punktom t (α, β) odpowiadają różne punkty tego łuku oraz funkcje (t) i y(t) są klasy C na przedziale [α, β], to długość L łuku L wyraża się wzorem β L = ( (t)) + (y (t)) dt. α Twierdzenie 7.. Objętość V bryły V powstałej w wyniku obrotu dookoła osi O figury płaskiej D = {(, y) R ; a b, y f()}, gdzie f jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b], wyraża się wzorem: b V = π a f ()d. Twierdzenie 7.3. Pole S powierzchni S powstałej w wyniku obrotu dookoła osi O krzywej y = f(), a b, gdzie f jest funkcją klasy C na przedziale [a, b], wyraża się wzorem b S = π a f() + (f ()) d.

4 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Wszystkie powyższe wzory wynikają odpowiednio poprzez przybliżenie długości łuku długością łamanej wpisanej w ten łuk, objętości bryły V poprzez sumę objętości walców wpisanych w tę bryłę i wreszcie pola powierzchni obrotowej S poprzez sumę pól powierzchni bocznych stożków ściętych wpisanych w V i następnie obliczenie granicy tych sum, przechodząc z liczbą odcinków łamanej, walców i stożków ściętych do nieskończoności. Zauważmy, że z twierdzeń 7., 7. oraz z twierdzenia 7.6 wynikają wzory na różniczki długości łuków dl = + (f ()) d i dl = ( (t)) + (y (t)) dt, co wykorzystamy przy obliczaniu całek krzywoliniowych.

Rozdział 8 Szeregi funkcyjne (potęgowe i Fouriera) Definicja 8.. Niech a, a, a,... będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Szeregiem potęgowym o współczynnikach a, a, a,... i o środku w punkcie nazywamy szereg postaci a n ( ) n = a + a ( ) +.... n= Dalej będziemy zajmować się szeregiem potęgowym o środku =, to znaczy szeregiem a n n. Szereg ten ma postać nieskończonego wielomianu. Zauważmy, n= że w ustalonym punkcie szereg funkcyjny jest szeregiem liczbowym i tym samym możemy mówić o zbieżności punktowej takiego szeregu. Definicja 8.. Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy: a) dodatnią liczbę R taką, że dla < R szereg ten jest zbieżny, a dla > R szereg jest rozbieżny, b) liczbę R =, gdy szereg ten jest zbieżny jedynie dla =, c) +, gdy szereg ten jest zbieżny dla każdego (, + ). Jeżeli R >, to przedział ( R, R) nazywamy przedziałem zbieżności tego szeregu. Jeżeli R = +, to przedziałem zbieżności nazywamy przedział (, + ). Zauważmy, że każdy szereg potęgowy a n n jest zbieżny co najmniej dla = (dla uproszczenia zapisu szeregu potęgowego przyjmujemy, że = ). Twierdzenie 8. (Cauchy ego). Jeżeli dla szeregu potęgowego skończona lub nieskończona granica lim n n= n a n = g, n= a n n istnieje

6 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik to promień zbieżności tego szeregu jest równy, gdy < g < +, g R =, gdy g = +, +, gdy g =. Przykład Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu Obliczmy lim n n 3n + n4 n+ = lim n n n n 3 + n 4 n n n 4 n= 3n + n4 n+ n. ( n n) n 3 + n = lim n 4 n n n 4 = 4 = g. Stąd R = 4, tym samym przedział ( 4, 4) jest przedziałem zbieżności naszego szeregu. Wyznaczenie przedziału zbieżności szeregu liczbowego związane jest z obliczeniem granicy odpowiedniego ciągu. (%i) limit(((3*n^+3)/(n*4^(n+)))^(/n), n, inf); (%o) 4 Twierdzenie 8. (d Alemberta). Jeżeli dla szeregu potęgowego a n n o współczynnikach a n dla n N, istnieje skończona lub nieskończona granica lim a n+ n a = g, n to promień zbieżności tego szeregu jest równy, gdy < g < +, g R =, gdy g = +, +, gdy g =. n= Jeżeli R >, to dla = R i = R szereg potęgowy zbieżny, jak i rozbieżny i wymaga to oddzielnego sprawdzenia. Przykład Znaleźć zbiór tych R, dla których zbieżny jest szereg n= n= n+ n. n! a n n może być

Rozdział 8. Szeregi funkcyjne (potęgowe i Fouriera) 7 Wyznaczmy najpierw przedział zbieżności tego szeregu, a następnie należy zbadać jego zbieżność na krańcach tego przedziału (w przypadku skończonego przedziału zbieżności). lim n n+ (n + )! n! = lim n+ n n+ n! = lim n!(n + )n+ n n + = = g. Stąd R = + i tym samym nasz szereg jest zbieżny dla wszystkich R. Najpierw zdefiniujemy ciąg (a n ), a następnie obliczymy granicę odpowiedniego ilorazu, aby móc skorzystać z twierdzenia d Alemberta. (%i) a(n):=^(n+)/n!; (%o) a (n) := n+ n! (%i) limit(a(n+)/a(n), n, inf); (%o) Własności szeregów potęgowych. Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą na przedziale zbieżności.. Szereg potęgowy można różniczkować i całkować wyraz po wyrazie, tzn. dla ( R, R) ( ) ( a n n = S() = n= n= ( ) ( a n n = S() = n= n= ) na n n = S (), n + a n n+ = ) S()d, przy czym wszystkie szeregi występujące powyżej mają ten sam promień zbieżności R. Przykład ( ) n n szereg geometryczny dla: a =, q =, n= a więc ( ) n n =, (, ). + n= Całkując stronami, mamy: ( ) n n d = + n= d ( ) n n+ n + = arctg n= ( ) n n + n+ = arctg, [, ], n=

8 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik (zauważmy, że dla = i = powyższy szereg jest również zbieżny, co wynika natychmiast z kryterium Leibniza), a w szczególności dla = ( ) n n + = π 4 n= π 4 = 3 + 5 7 +... Z powyższej równości widać, że nigdy nie znajdziemy najlepszego przybliżenia liczby niewymiernej, w tym przypadku liczby π, bo takie przybliżenie nie istnieje. Zawsze jest nieskończenie wiele lepszych od niego. Dla danego szeregu możemy podać jego sumę (o ile szereg jest zbieżny). Najpierw zapiszemy wyraz ogólny szeregu. (%i) (-)^n*^(*n); (%o) ( ) n n Zakładamy, że (, ). (%i) assume(>-,<); (%o) [ >, < ] Obliczamy sumę szeregu, wykorzystując funkcję sum(). Polecenie simpsum powoduje uproszczenie znalezionej funkcji. (%i3) sum(%o, n,, inf),simpsum; (%o3) + Rozważmy teraz szereg o wyrazie ogólnym równym (%i4) (-)^n*^(*n+)/(*n+); ( ) (%o4) n n+ n+ Obliczamy jego sumę. (%i5) (%o5) sum(%o4, n,, inf),simpsum; n= ( ) n n+ n+ Pojawił się zapis szeregu, dlatego musimy użyć funkcji simplify sum, aby uzyskać jego sumę, przy czym najpierw ładujemy pakiet o tej samej nazwie. (%i6) load(simplify sum); (%o6) C : /PROGRA /MAXIMA./... /solve rec/simplify sum.mac (%i7) simplify sum(%o5); Is zero or nonzero?n; (%o7) atan () (%i8) simplify sum(%o5); Is zero or nonzero?z; (%o8) atan () Bez względu na to, czy jest równe, czy różne od zera, sumą szeregu jest arctg.

Rozdział 8. Szeregi funkcyjne (potęgowe i Fouriera) 9 Definicja 8.3. Szeregiem Taylora o środku w punkcie funkcji f mającej pochodną dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu U nazywamy szereg n= w szczególności, gdy =, szereg f (n) ( ) ( ) n, n! n= f (n) () n n! nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f. Jeżeli sumami powyższych szeregów jest funkcja f, to mówimy wówczas, że funkcja f rozwija się w szereg Taylora lub Maclaurina (o takich funkcjach mówimy, że są to funkcje analityczne w otoczeniu punktu ). Zauważmy, że powyższe szeregi są szeregami potęgowymi. Jeśli funkcja f jest sumą szeregu potęgowego a n n w otoczeniu, to szereg ten jest szeregiem Maclaurina funkcji f, to znaczy n= a n = f (n) (), n =,,,... n! Oznacza to, że funkcję f można przedstawić tylko w jeden sposób za pomocą szeregu potęgowego. Szeregi Maclaurina i Taylora stanowią podstawowe narzędzie przybliżania funkcji za pomocą wielomianów. Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina. f() = e f (n) () = e, f (n) () =, n N, e = +! +! +... = n n!, R. n= y y = + + + 3 6 y = + + y = + y = e O y =

Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik. f() = sin f () = cos, f () =, f () = sin, f () =, f (3) () = cos, f (3) () =, f (4) () = sin, f (4) () =, f (n) () =, f (n+) () = ( ) n, n =,,... sin = 3 3! + 5 5! 7 7! +... = ( ) n n+ (n + )!, R. 3. cos = 3 3! +54 4. f() = ( + ) α ( + ) α = ( α n 5! 76 7! ) n= +... =! +4 4! 6 n, (, ), α R, 6! +... = ( ) n n n= (n)!, R. ( ) n= ( ) α α(α )... (α n + ) α gdzie =, przyjmujemy =. n n! ( ) α Szereg dwumianowy n = ( + ) α jest uogólnieniem wzoru dwumianowego Newtona dla dowolnej n n= potęgi. Przykłady Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje. f() = + Zauważmy, że funkcja f() = ( ) geometrycznego + = ( ) n = ( ) n n. n= n= Stąd wzór jest prawdziwy, gdy < (, ). (dla a =, q = ) jest sumą szeregu. f() = ln( + ) f () = + = ( ) = ( ) n n ; q = = < n= Całkując stronami od do dla (, ), mamy:

Rozdział 8. Szeregi funkcyjne (potęgowe i Fouriera) + d = ln( + ) ln( + ) = = n= n= n= ( ) n n d ( ) n n + n+ dla (, ) ( ) n n + n+ dla (, ). Funkcji ln nie można rozwinąć w szereg Maclaurina, ponieważ nie jest ona (ani jej pochodne) określona dla =. Natomiast funkcja ln( + ) w otoczeniu zera ma pochodne dowolnego rzędu. Rozwiniemy funkcje w szereg Maclaurina. Wykorzystamy funkcję powerseries(), której pierwszym argumentem jest rozwijana funkcja, drugim zmienna, a trzeci to środek szeregu potęgowego. Funkcja niceindices() powoduje zapisanie szeregu w prostszej postaci... (%i) niceindices(powerseries(/(+),, )); (%o) ( ) i i i= (%i) niceindices(powerseries(log(+),, )); (%o) i= ( ) i i i Uzyskane szeregi mają nieco inną postać od tych otrzymanych w powyższym przykładzie, a jest to związane z rozpoczęciem sumowania od innej wartości. Przedstawienie funkcji w postaci szeregu Fouriera polega na jej rozwinięciu za pomocą funkcji trygonometrycznych cos n, n =,,... i sin n, n =,,... Funkcje sinus i cosinus nazywane są często falami harmonicznymi i stanowią podstawę do opisu wszelkiego rodzaju fal i ruchów drgających. Teorię szeregów trygonometrycznych Fourier przedstawił w związku ze swoimi badaniami nad rozchodzeniem się ciepła. Wyniki Fouriera dały poważne narzędzie do rozwiązywania wielu problemów fizycznych (patrz rozdział 5). Definicja 8.4. Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg postaci: a + ( a n cos nπ l n= + b n sin nπ ), l gdzie l jest dowolnie ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą, a, a n, b n R. Wyrazy tego szeregu są funkcjami okresowymi o okresie l. Rzeczywiście g() = sin nπ l, g( + ω) = g(),

Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik a więc Stąd nπ l ( + ω) = nπ l sin nπ nπ ( + ω) = sin l l. nπ + nπ ω = nπ, ω = l. l Jeśli więc szereg ten jest zbieżny na przedziale [ l, l], to jest on zbieżny na zbiorze R i suma tego szeregu jest funkcją okresową o okresie l. Definicja 8.5. Szeregiem Fouriera funkcji f całkowalnej na przedziale [ l, l] nazywamy szereg trygonometryczny, w którym współczynniki a n i b n określone są wzorami a n = l f() cos nπ d, n =,,,... l l l b n = l f() sin nπ d, n =,,... l l l Wówczas zapisujemy: f() a + n= ( a n cos nπ l + b n sin nπ ), l okazuje się bowiem, że funkcja f nie zawsze jest sumą swojego szeregu Fouriera. gdzie W szczególnym przypadku, gdy l = π szereg Fouriera przyjmuje postać: a a n = π b n = π + (a n cos n + b n sin n), π π π π n= f() cos n d, n =,,,... f() sin n d, n =,,... Zauważmy, że jeżeli f jest funkcją parzystą na przedziale [ l, l], to wszystkie współczynniki b n =. Jeżeli f jest funkcją nieparzystą na przedziale [ l, l], to wszystkie współczynniki a n = (patrz własność 6 a) i b) całki oznaczonej, rozdział 7).

Rozdział 8. Szeregi funkcyjne (potęgowe i Fouriera) 3 Definicja 8.6. Powiemy, że funkcja f spełnia warunki Dirichleta na przedziale [ l, l], gdy:. funkcja f ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości jedynie pierwszego rodzaju i w każdym punkcie nieciągłości zachodzi warunek:. f( l) = f(l) = f(l ) + f( l+), f( ) = f( ) + f( +), 3. przedział [ l, l] można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów tak, by na każdym z tych przedziałów otwartych funkcja f była ciągła i monotoniczna. y y l O l spełnia warunki Dirichleta l O l nie spełnia warunków Dirichleta Twierdzenie 8.3. Jeżeli funkcja f spełnia na przedziale [ l, l] warunki Dirichleta, to jest ona sumą swojego szeregu Fouriera, to znaczy f() = a + ( a n cos nπ + b n sin nπ ) dla [ l, l]. l l n= Mówimy wtedy, że funkcja f rozwija się w szereg Fouriera na przedziale [ l, l], a powyższą równość nazywamy rozwinięciem funkcji f w szereg Fouriera na przedziale [ l, l]. Przykłady. Rozwinąć funkcję f() =, ( π, π] w szereg Fouriera i podać sumę tego szeregu dla [ π, π]. y π O π

4 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Niech {, ( π, π), f () =, { π, π}. Funkcja f () spełnia warunki Dirichleta na przedziale [ π, π]. y π O π Ponieważ funkcja f jest nieparzysta w ( π, π), a n =, n =,,,... π π b n = ( ) sin n d = sin n d = π π π { { } f = g = sin n d = = sin n f = g = = n cos n = n cos n + cos n d = n n cos n + } n sin n + C = = ( π n cos n + ) π n sin n = π π n cos nπ = n ( )n = ( ) n n f() n= n ( )n sin n, [ π, π] = n ( )n sin n, ( π, π) n= { f, ( π, π), () = s() =, { π, π}. s() suma otrzymanego wyżej szeregu Fouriera dla [ π, π]. y 3π π π O π π 3π

Rozdział 8. Szeregi funkcyjne (potęgowe i Fouriera) 5 Przedłużenie okresowe S() funkcji f () jest sumą szeregu Fouriera dla R. Na powyższym rysunku zaznaczono sumę pierwszych k składników szeregu Fouriera funkcji f dla k =,, 3, 4.. Niech f będzie funkcją okresową o okresie π określoną przez f() =, [ π, π]. y 3π π π O π π 3π f jest funkcją ciągłą na R, parzystą, posiadającą w każdym punkcie pochodną prawostronną i lewostronną. Należy znaleźć rozwinięcie tej funkcji w szereg Fouriera i jego sumę dla R. Dla wszystkich n N, b n =, a = π d = π d = π π π π = π, π a n = π cos n d = π cos n d = ( π π π n sin n + ) π n cos n = π = cos nπ π n, więc f() π 4 π n= cos(n + ). (n + ) Ponieważ f jest funkcją ciągłą na R, mamy f() = π 4 cos(n + ) dla R. π (n + ) n= 3. Niech f będzie funkcją okresową o okresie π zdefiniowaną następująco f() =, ( π, π]. Rozwinąć funkcję f w szereg Fouriera i znaleźć sumę s() tego szeregu w przedziale [ π, π]. y 3π π π O π π 3π

6 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Ponieważ funkcja f jest nieparzysta a n =, n =,,,... π b n = sin n d = sin n d = π π π π = n ( )n, π ( n cos n + ) π n sin n = stąd s( π) = s() = dla ( π, π), f( π+) + f(π ) f(π ) + f( π+) s(π) = s() = ( ) n+ sin n; n n= = π + π = π π =, =, [ π, π]. Załóżmy, że funkcja f spełnia warunki Dirchleta na przedziale [ l, l] i jest funkcją nieparzystą. Wówczas wszystkie współczynniki a n są równe zeru, a więc f() = n= b n sin nπ, [ l, l]. l Mówimy wówczas, że funkcja f ma rozwinięcie w szereg Fouriera sinusów. Jeżeli funkcja f spełnia warunki Dirchleta na przedziale [ l, l] i jest funkcją parzystą, wówczas wszystkie współczynniki b n =, n =,,..., zatem f() = a + n= a n cos nπ, [ l, l]. l Mówimy wówczas, że funkcja f ma rozwinięcie w szereg Fouriera cosinusów. 4. Rozwinąć w szereg Fouriera sinusów funkcję zdefiniowaną przez f() = dla [ π, ] i wyznaczyć sumę s() tego szeregu w tym przedziale. Rozważmy przedłużenie nieparzyste f funkcji f f () = { f() dla [ π, ], dla (, π). Ponieważ funkcja f jest nieparzysta w przedziale ( π, π), a n =, n =,,,...

Rozdział 8. Szeregi funkcyjne (potęgowe i Fouriera) 7 π b n = f () sin n d = π π π = ( π n cos n + ) π n sin n π sin n d = = ( )n, n =,,... n Oznaczmy przedłużenie okresowe funkcji f przez S. y 3π π π O π π 3π ( ) n S() sin n, n n= więc s() = dla ( π, ], s( π) = π + π =. Funkcje okresowe pojawiają się w matematycznych modelach układów, które mają pewne własności okresowe.. Rozwiniemy funkcję w szereg Fouriera, wykorzystując funkcję totalfourier(), która ma trzy argumenty: pierwszy to rozwijana funkcja, drugi zmienna, trzecim jest koniec przedziału, na którym jest rozwijana funkcja. Przed użyciem funkcji totalfourier() musimy załadować pakiet fourie. (%i) load(fourie); (%o) C : /PROGRA /MAXIMA./share/... /calculus/fourie.mac (%i) totalfourier(-,, %pi); (%t) a = (%t3) a n = ) (%t4) b n = π cos(π n) sin(π n) n n π (%t5) a = (%t6) a n = (%t7) b n = ( )n n (%o7) n= ( ) n sin(n ) n Na wyjściach (%t), (%t3), (%t4) uzyskaliśmy współczynniki szeregu Fouriera. Na wyjściach (%t5), (%t6), (%t7) mamy przekształcone (uproszczone) współczynniki szeregu Fouriera. Wreszcie na wyjściu (%o7) otrzymujemy szereg Fouriera.. W analogiczny sposób jak w przykładzie. rozwijamy kolejną funkcję w szereg Fouriera. (%i) load(fourie);

8 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik (%o) C : /PROGRA /MAXIMA./share/... /calculus/fourie.mac (%i) totalfourier(abs(),, %pi); (%t) a = π ( ) (%t3) a n = π sin(π n) cos(π n) + n n n π (%t4) b n = (%t5) a = π (%t6) a n = (( )n ) π n (%t7) b n = (( ) n ) cos(n ) n n= (%o7) π + π 3. Kolejną funkcję rozwiniemy w szereg Fouriera. (%i) load(fourie); (%o) C : /PROGRA /MAXIMA./share/... /calculus/fourie.mac (%i) totalfourier(,, %pi); (%t) a = (%t3) a n = ) (%t4) b n = sin(π n) π cos(π n) n n π (%t5) a = (%t6) a n = (%t7) b n = ( )n n (%o7) n= ( ) n sin(n ) n 4. Rozwiniemy funkcję w szereg Fouriera sinusów. Najpierw wyznaczymy współczynniki szeregu. (%i) load(fourie); (%o) C : /PROGRA /MAXIMA./share/... /calculus/fourie.mac (%i) foursin(-,, ( %pi); ) (%t) b n = π cos(π n) sin(π n) n n π (%o) [%t] Uprościmy obliczone współczynniki. (%i3) foursimp(%); (%t3) b n = ( )n n (%o3) [%t3] Na koniec zapiszemy szereg Fouriera na podstawie obliczonych współczynników. (%i4) (%o4) fourepand(%,, %pi,inf); ( ) n sin(n ) n n=

Rozdział 9 Funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych Na ogół definicje i twierdzenia podane poniżej można przenosić (bez istotnych zmian) na funkcje większej liczby zmiennych. Definicja 9.. Przestrzenią dwuwymiarową (płaszczyzną) nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (, y), gdzie, y R. Przestrzeń tę oznaczamy przez R : R def = {(, y);, y R}. Przestrzenią trójwymiarową (przestrzenią) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporządkowanych (, y, z), gdzie, y, z R. Przestrzeń tę oznaczamy przez R 3 : R 3 def = {(, y, z);, y, z R}. Obrazem geometrycznym przestrzeni R jest płaszczyzna z kartezjańskim układem współrzędnych Oy, a R 3 przestrzeń z kartezjańskim układem współrzędnych Oyz. y y (, y) O

3 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik z z (, y, z) O y y Odległość punktów P, P odpowiednio na płaszczyźnie lub przestrzeni określamy wzorem: d(p, P ) = ( ) + (y y ), lub wzorem: d(p, P ) = gdy P (, y ), P (, y ) R ( ) + (y y ) + (z z ), gdy P (, y, z ), P (, y, z ) R 3. Przestrzenie R i R 3 z tak zdefiniowaną odległością punktów nazywamy przestrzeniami euklidesowymi odpowiednio dwu- i trójwymiarową. Definicja 9.. Otoczeniem U(P ) punktu P na płaszczyźnie nazywamy koło otwarte (bez okręgu) o środku w tym punkcie. Otoczeniem punktu P w przestrzeni jest kula otwarta (bez sfery) o środku w tym punkcie. Sąsiedztwem S(P ) punktu P na płaszczyźnie jest koło otwarte bez środka P. Podobnie sąsiedztwem punktu P w przestrzeni jest kula otwarta bez środka w tym punkcie. Definicja 9.3. Zbiór A jest ograniczony na płaszczyźnie, jeżeli jest zawarty w kole o skończonym promieniu, a jest ograniczony w przestrzeni, gdy jest zawarty w kuli o skończonym promieniu. W przeciwnym wypadku mówimy, że zbiór A jest nieograniczony. Definicja 9.4. P jest punktem wewnętrznym zbioru A, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu zawarte w tym zbiorze. Wnętrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich jego punktów wewnętrznych i oznaczamy IntA. Definicja 9.5. Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest jego punktem wewnętrznym. Definicja 9.6. Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A, jeżeli w każdym otoczeniu tego punktu można znaleźć punkty nienależące i należące do tego zbioru. Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych.

Rozdział 9. Funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych 3 Definicja 9.7. Zbiór nazywamy domkniętym, jeżeli zawiera swój brzeg. Najmniejszy zbiór domknięty zawierający zbiór A nazywamy domknięciem zbioru A i oznaczamy Ā. Definicja 9.8. Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru A, jeżeli w każdym sąsiedztwie punktu P znajduje się jakiś element zbioru A. Definicja 9.9. Niepusty podzbiór płaszczyzny lub przestrzeni jest obszarem, jeżeli jest otwarty i spójny (spójność zbioru oznacza, że każde dwa jego punkty można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą). Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym. Definicja 9.. Funkcją f dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Funkcję taką oznaczamy przez f : A R lub z = f(, y), gdzie (, y) A. Wartość funkcji f w punkcie (, y) oznaczamy przez f(, y). Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji. Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór punktów płaszczyzny (przestrzeni), dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną funkcji. Przykład Znaleźć i narysować dziedzinę funkcji: f(, y) = ln( y ) Skoro funkcja ln jest określona dla liczb dodatnich, to y > + y < y O - D f = {(, y) R ; + y < } K ((, ), ) koło otwarte o środku w punkcie (, ) i promieniu. Definicja 9.. Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór: W f = {(, y, z) R 3 ; (, y) D f, z = f(, y)}, gdzie zbiór D f jest dziedziną funkcji f.

3 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik Możemy tworzyć wspaniałe trójwymiarowe wykresy funkcji dwóch zmiennych przy użyciu programów do grafiki komputerowej, ale już dla funkcji trzech i więcej zmiennych takie pełne graficzne przedstawienie jest niemożliwe, ponieważ funkcja n zmiennych definiuje powierzchnię w przestrzeni (n + )-wymiarowej (tzw. hiperpowierzchnię). Wybrane powierzchnie i wykresy niektórych funkcji dwóch zmiennych. z = A + By + C. Wykresem jest płaszczyzna o wektorze normalnym n = [A, B, ], przechodząca przez punkt (,, C) z C O n y. Wykresem funkcji z = + y jest paraboloida obrotowa. z O y 3. Wykresem funkcji z = + y jest stożek (powierzchnia stożkowa). z O y

Rozdział 9. Funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych 33 z = + y z O y 4. Wykresem funkcji z = R ( + y ) jest górna część sfery. z R O y 5. Wykresem funkcji z = y jest paraboloida hiperboliczna tzw. powierzchnia siodłowa. z O y

34 Andrzej Just - Matematyka dla studentów Politechnik 6. Powierzchnie walcowe. Walec kołowy i równanie go opisujące + y = r z O y Zauważmy, że równanie +y = r na płaszczyźnie Oy opisuje okrąg o środku w punkcie (, ) i promieniu r, natomiast w przestrzeni Oyz powierzchnię walcową (z jest dowolną liczbą rzeczywistą). Równanie np. = na prostej O przedstawia punkt =, na płaszczyźnie Oy prostą Oy, a w przestrzeni Oyz płaszczyznę Oyz. A więc równanie nie może być rozważane w oderwaniu od przestrzeni, która nas interesuje. Równanie powierzchni walcowej o osi symetrii Oy: + z = r z O y i górna część tej powierzchni, która jest wykresem funkcji z = r. Walec hiperboliczny y = z O y

Rozdział 9. Funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych 35 Walec paraboliczny y = p, p > z O y Jedną z zalet Maimy są jej możliwości graficzne. Dla przykładu naszkicujemy powierzchnię walcową. Najpierw załadujemy pakiet draw. (%i) (%o) (%i) load(draw); C : /PROGRA /MAXIMA./share/maima/5.7./share/draw/... draw3d( enhanced3d = true, yplane =, implicit(^+*y^=4,,-,,y,-,,z,-,) ); (%t) Maima daje możliwość obracania obiektu w 3D. Wystarczy przytrzymać wciśnięty lewy klawisz myszy i przesunąć nią, ustawiając w ten sposób obiekt w odpowiedniej pozycji. (%t) Definicja 9.. Niech f : D R, D R i załóżmy, że (, y ) jest punktem skupienia zbioru D. Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie (, y ), co