1 Ćwiczenia: Funkcje całkowitoliczbowe

1 Ćwiczenia: Funkcje całkowitoliczbowe 1.1 Funkcje podłoga i sufit (Floor and ceiling functions) podłoga (część całkowita) x = największa liczba całkowita mniejsza lub równa x sufit x = najmniejsza liczba całkowita większa lub równa x część ułamkowa x = x x, x [0, 1) Zad. 1.1 Narysuj wykres funkcji podłoga i sufit. Zad. 1. Oblicz a) 0.1, 0.1, e, e, π, π b) 0.5, 0.5, e, e, π, π c) 1 + 1, 1 + 3, 1 + 1 + 1, 1 5 d) 0.3, 0.3, 5.8, 5.8 e) n, n, n Z. Zad. 1.3 Niech x, y będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Czy prawdziwe są równości: a) x = x + x + 1 b) x + y = x + y, c) x = x d) x = x, e) x + y x + y {0, 1} f) xy = x y g) x = x+1 h) x = x Zad. 1.4 Wykaż, że funkcje podłoga i sufit są wzajemnie symetryczne względem środka układu współrzędnych tj. x = x Zad. 1.5 Wykazać, że a) x + n = x + n, x R, n Z, b) nx = n x, x R, n Z, Zad. 1.6 Oblicz lg 35, gdzie lg x = log x. Zad. 1.7 Oblicz liczbę bitów m potrzebną do dwójkowego zapisu liczby n. x Zad. 1.8 Udowodnij, że: a) = x x, b) = x, c) x+a b = x +a b, a, b Z. Zad. 1.9 Wyznacz widmo Spec( 1 ), Spec( ), Spec(+ ), a następnie policz ile elementów tych zbiorów jest nie większych niż n = 10, n = 100, tj. oblicz N(x, 10) oraz N(x, 100). 1. Arytmetyka modularna Reszta z dzielenia x/y: x mod y = x y x y Zad. 1.10 Oblicz 5 mod 3, 5 mod 3, 5 mod 3, 5 mod 3, y 0 10 mod π, 10 mod π, 10 mod π Zad. 1.11 Wykaż, prawo rozdzielności k(x mod y) = (kx) mod (ky). Zad. 1.1 Udowodnij, że n mod = (1 ( 1) n ) /

Ćwiczenia: Relacja podzielności Zad..1 Oblicz (Wskazówka: wyznacz rozkład na czynniki pierwsze) a) NWD(18, 60), NWW(18, 60) b) NWD(48, 84), NWW(48, 180) c) NWD(48, 180), NWW(48, 180) Zad.. Za pomocą algorytmu Euklidesa oblicz a) NWD(16, 93) b) NWD(10, 7) c) NWD(41, 16) Zad..3 Za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa oblicz r = NW D(m, n) oraz liczby p, q Z takie, że r = pm + qn, gdy a) m = 16, n = 93 b) m = 10, n = 7 c) m = 41, n = 16 d) m = 35, n = 68 e) m = 871, n = 367 f) m = 1567, n = 5005 g) m = 58, n = 15 Zad..4 Wyznacz wszystkie rozwiązania równań w liczbach całkowitych a) 17x + 0y = 100 b) 903x + 731y = 107 c) 8x + 7y = 44 d) 14x + 8y = 39

3 Ćwiczenia: Relacja kongruencji oraz pierścienie Z n Definicja 3.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R, : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla wszystkich elementów r, s, t R: 1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny). działanie jest łączne: r (s t) = (r s) t 3. działanie jest rozłączne względem działania + (obustronnie): r (s + t) = (r s) + (r t) (s + t) r = (s r) + (t r) Definicja 3. Pierścień R nazywamy pierścieniem przemiennym, gdy działanie jest przemienne, tzn. r,s R r s = s r Definicja 3.3 Pierścień R nazywamy pierścieniem z jedynką, gdy: e R r R e nazywa sie jedynką pierścienia. e r = r e = r Element Definicja 3.4 Element a 0 pierścienia R nazywamy: a) odwracalnym lub jednością, jeśli b R ab = 1; b) dzielnikiem zera, jeśli b 0,b R ab = 0. Zad. 3.1 a) Wykonj tabelki działań + n, n w Z n dla n = 4, 5, 6. b) Wyznacz elementy odwracalne w Z 4, Z 5, Z 6. c) Wyznacz dzielniki zera w Z 4, Z 5, Z 6. Zad. 3. Kiedy w pierścieniu Z n występują dzielniki zera? Definicja 3.5 Niech m, n N i niech F (X 1,..., X n ) Z[X 1,..., X n ]. Redukcją według modułu m wielomianu F nazywamy wielomian F (X 1,..., X n ) Z m [X 1,..., X n ], który można otrzymać z F w wyniku zastąpienia każdego współczynnika wielomianu F jego resztą z dzielenia przez m i przez zastapienie działań + m i m. Redukcją według modułu m równania F (X 1,..., X n ) = 0 o niewiadomych z pierścienia Z nazywamy równanie F (X 1,..., X n ) = 0 o niewiadomych w pierścieniu Z m, gdzie F oznacza redukcje według modułu m wielomianu F. Twierdzenie 3.6 Jeśli równanie F (X 1,..., X n ) = 0 nie ma rozwiązania w pierścieniu Z m, to równanie F (X 1,..., X n ) = 0 nie ma rozwiązania w pierścieniu Z. Zad. 3.3 Zredukuj równania według modułu m a) x 3 3y =, m = 3 b) x 11y = 7, m = 4 c) x + y = 31z + 15, m = 8 Zad. 3.4 Dokonując redukcji podanego równania do odpowiedniego pierścienia Z n wykazać, że nie ma on rozwiązania w pierścieniu Z. a) 15x + 7y + 5z + 9 = 0 ( mod 5) b) x 3 + y 3 = 7y 3 + 3 ( mod 7) Zad. 3.5 Wykazać, że liczby całkowitej postaci 8m + 7, m Z nie można przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów liczb całkowitych.

4 Ćwiczenia: Kongruencje Zad. 4.1 Czy a) 1 7( mod 5) b) 0 7( mod 4)? Zad. 4. Rozwiąż kongruencje f(x) 0( mod m) x 5 x 3 + 1 0( mod 6) x 5 3x + 0( mod 7) a b ( mod m) m (a b) Wskazówka. Sprawdź, czy 0, 1,..., m 1 spełniają kongruencję. Twierdzenie 4.1 Kongruencja ax b( mod m) ma rozwiązanie r = NW D(a, m) b. Jeśli n b, to kongruencja ma dokładnie r pierwiastków postaci: x 0, x 0 + m r, x 0 + m r,..., x 0 + (r 1)m r Z m. Zad. 4.3 Rozwiązać, jeśli to możliwe kongruencje pierwszego stopnia a) 3x ( mod 5) b) 3x 4( mod 9) c) 6x 14( mod ) d) 9x 1( mod 17) e) 3x 7( mod 90) Zad. 4.4 Oblicz następujące potęgi a b ( mod m), korzystając z binarnego zapisu liczby b = (b k 1... b 0 ). a) 7 13 ( mod 10) b) 3 50 ( mod 13) c) 644 ( mod 645) Wskazówka. Zauważmy, że a b ( mod m) = k 1 Zad. 4.5 Oblicz resztę z dzielenia a) 7 13 1 przez 10 b) 3 50 + 1 przez 13 c) 3 644 przez 645 i=0 a b i i ( mod m) Zad. 4.6 Oblicz wartości funkcji Eulera a) ϕ(10) b) ϕ(100) c) ϕ(16) d) ϕ() a) ϕ(15) Zad. 4.7 Oblicz następujące potęgi korzystając z twierdzenia Eulera a) 13 101 ( mod 16) b) 10000 ( mod 55) c) 101 ( mod 3) Zad. 4.8 Rozwiązać układy kongruencji, korzystając z chińskiego twierdzenia o resztach a) x 1( mod ), x ( mod 3) b) x 1( mod 3), x 3( mod 5), x ( mod 7) (odp: 58) c) x 0( mod 4), x 4( mod 5), x 3( mod 7) (odp:4)

5 Ćwiczenia: Indukcja matematyczna Twierdzenie 5.1 (Zasada indukcji matematycznej.) Jeżeli istnieje taka liczba naturalna n 0, że T (n 0 ) jest zdaniem prawdziwym, dla każdej liczby naturalnej n n 0 prawdziwa jest implikacja T (n) T (n + 1), to T (n)jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n n 0. Zad. 5.1 Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnij, że a) n N+ 1 + + 3... + n = n(n+1) b) n N+ 1 + 3 4... + ( 1) n 1 n = ( 1) n 1 n(n+1) ( ) c) 1 3 + 3 +... + n 3 = n(n+1) d) 1 + 3 + 3 4 +... + n(n + 1) = 1 1n(n + 1)(n + )(3n + 5) e) 1 + 3 + 5 +... + (n 1) = n f) 1 + 3 + 3 4 +... + n (n + 1) = n(n+1)(n+) 3 Zad. 5. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 0, liczba a) 10 n 1 jest podzielna przez 9 b) 8 11 n 3 n b) 9 4 n + 6n 10 d) 6 n 3 n e) n 3n + 3 Zad. 5.3 Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n N, n n 0 zachodzi nierówność a) n > n, n 0 = 3 b) 6n + 6 < n, n 0 = 6 c) 5n n 3, n 0 = 6 d) 1 + 3 +... + n n 1 > n 1, n 0 =

6 Ćwiczenia: Automaty skończone. Kraty Zad. 6.1 Przedstaw graf automatu skończonego a) akceptującego liczby podzielne przez dwa b) służącego do sprawdzania czy dane słowo binarne zaczyna się od jedynki c) służącego do sprawdzania czy dane słowo binarne kończy się jedynką Definicja 6.1 Wyrażeniem regularnym nad alfabetem Σ są: zbiór pusty φ i słowo puste λ wszystkie symbole a i z alfabetu Σ jeśli e 1, e są wyrażeniami regularnymi, to są nimi również: (domknięcie Kleene ego) e 1 e (konkatenacja) e1 + e (suma) Wyrażenia regularne-oznaczenia: e 1 dowolny ciąg składający się e 1, np. e 1 e 1, e 1 e 1 e 1 e 1, a także pusty e 1 e sekwencja, najpierw e 1, następnie e e 1 + e alternatywa, albo e 1, albo e Zad. 6. Jaki zbiór definiują następujące wyrażenia a) (W +w)iki [b)] (W w) iki [c)] (a+b) baba(a+b) [d)] (litera)(litera+cyfra) [e)] 1(0+1) 1 Definicja 6. Częściowy porządek relacja ϱ X X, która jest zwrotna x X xϱx przechodnia x,y,z X (x ϱ y y ϱ z) x ϱ z antysymetryczna x,y X (x ϱ y y ϱ x) x = y Definicja 6.3 Kratą nazywamy porządek częściowy, w którym dla dowolnych dwóch elementów istnieją: inf (x, y) = x y - kres dolny (największe ograniczenie dolne) i sup (x, y) = x y - kres górny ( najmniejsze ograniczenie górne). Zad. 6.3 W zbiorze M (Z 5 ) zdefiniujmy relację częściowego porządku a) Czy M (Z 5, ) jest kratą? A B a 11 b 11, a 1 b 1, a 1 b 1, a b b) Wskaż, o ile istnieją elementy największy i najmniejszy w M (Z 5 ). c) Wyznacz kresy zbioru W = {( 3 1 ) ( 1 3, 0 1 ) ( 4 1, 3 0 )} Zad. 6.4 Wykaż, że następujące zbiory są kratami zbiór liczb naturalnychych dodatnich wraz z relacją częściowego porządku: x y x y zbiór wszystkich uporządkowanych par liczb całkowitych (x, y) Z wraz z relacją częściowego porządku: (x 1, y 1 ) (x, y ) x 1 x, y 1 y rodzina Z wszystkich podzbiorów dowolnego zbioru Z z relacją zawierania

7 Ćwiczenia: Algebry Boole a Zad. 7.1 Wykaż, że algebra wartości logicznych (Z = {0, 1},,,, 0, 1) jest algebrą Boole a. Zad. 7. Wykaż, że zbiór B = {0, 1} z działaniami,, określonymi następująco a b = max{a, b}, a b = min{a, b}, a = 1 a, jest algebrą Boole a. Zad. 7.3 Niech S = {1,, 3, 6}. Zdefiniujmy x + y = NW W (x, y), x y = NW D(x, y)), x = 6 x dla x, y S. Pokaż, że (S, +,,, 1, 6) jest algebra Boole a. Zad. 7.4 Pokaż, że funkcja f 1 (x 1, x, x 3 ) i f (x 1, x, x 3 ) dana tabelą jest funkcją Boole a x 1 x x 3 f 1 () f () 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 Zad. 7.5 Przedstaw wyrażenie w postaci normalnej a) f(x 1, x, x 3 ) = (x 1 x ) x 3 b) f(x, y) = x x y c) f(x, y, z) = x y(x z))

8 Ćwiczenia: Wprowadzenie do metod kombinatorycznych Oznaczenia: Liczba wariacji bez powtórzeń z n elementów po k elementów: V k n = n! (n k)! wariacji z powtórzeniami z n elementów po k elementów: V k n = n k kombinacji bez powtórzeń z n elementów po k elementów: Cn k = ( n) k kombinacji z powtórzeniami z n elementów po k elementów: C k n = ( n+k 1 k permutacji bez powtórzeń n-elementowych: P n = n! permutacji z powtórzeniami n-elementowych, w której jeden el. występuje n 1 razy, drugi n razy,..., k-ty n k razy, gdzie n 1 +... + n k n: P n 1,n,...,n k n! n = n 1!n!...n k! Zad. 8.1 Ile jest czterocyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1,,..., 9? Zad. 8. Ile jest czterocyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1,,..., 9, w których żadna cyfra się nie powtarza? Zad. 8.3 Ile spośród 4-cyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1,,..., 9, w których żadna cyfra się nie powtarza, zawiera cyfrę 5? Zad. 8.4 Na ile sposobów można ustawić w szeregu 1-osobową drużynę harcerską tak, aby dwaj ustaleni harcerze stali obok siebie? Zad. 8.5 Na ile sposobów można wybrać losy spośród 16 różnych losów? Zad. 8.6 W grupie mamy 16 dziewcząt i 15 chłopców. Ile mamy możliwych wyborów 5-osobowej delegacji, w skład której wejdzie 3 chłopców? Zad. 8.7 W grupie mamy 16 dziewcząt i 15 chłopców. Ile mamy możliwych wyborów 5-osobowej delegacji, w skład której wejdzie co najmniej 3 chłopców? Zad. 8.8 Znaleźć liczbę n-elementowych ciągów binarnych zawierających r jedynek (r n). Zad. 8.9 Na ile sposobów można rozmieścić 5 identycznych kul w trzech różnych szufladach? Zad. 8.10 Na ile sposobów można rozmieścić 0 identycznych kul w pięciu różnych szufladach tak, aby w każdej szufladzie były przynajmniej dwie kule? Zad. 8.11 Na ile sposobów można rozmieścić 5 identycznych cukierków w siedmiu rozróżnialnych pudełkach, jeśli w pierwsze pudełko może zawierać co najwyżej 10 cukierków, a pozostałe mogą zawierać dowolną ilość? Zad. 8.1 Mamy 5 komputerów i łączymy je kablem koncentrycznym w sieć lokalną o topologii szynowej (local bus). Na ile sposobów (jeśli chodzi o kolejność komputerów) możemy je podłączyć? Zad. 8.13 Na płycie głównej komputera znajduje się 5 slotów PCI. Mamy do obsadzenia 5 kart rozszerzeń tego typu. Na ile sposobów możemy to zrobić (jeżeli chodzi o kolejność ich rozmieszczenia) jeśli chcemy, aby 3 z góry ustalone karty znajdowały się obok siebie? Zad. 8.14 Ile różnych liczb naturalnych możemy zapisać na dwóch bajtach? )

9 Ćwiczenia: Współczynniki dwumianowe i wielomianowe. Zasada włączeń i wyłączeń. Zasada szufladkowa Dirichleta Oznaczenie: Liczba permutacji z powtórzeniami n-elementowych, w której jeden el. występuje n 1 razy, drugi n razy,..., k-ty n k razy, gdzie n 1 +... + n k n: P n 1,n,...,n k n! n = n 1!n!...n k! Zad. 9.1 Ile różnych wyrazów (mających sens albo nie) możemy uzyskać przestawiając litery w wyrazie a) KOMPUTER b) PROGRAM c) KATALIZATOR? Zad. 9. Mamy do dyspozycji 10 cyfr: 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3,,, 1. Ile różnych dziesięciocyfrowych liczb można utworzyć z tych cyfr? Współczynniki dwumianowe i wielomianowe. Zad. 9.3 Wykorzystując następujące własności współczynników dwumianowych Newtona (symbolu Newtona) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 1 n 1 = = 1, = +, 0 n k k 1 k narysuj trójkąt Pascala dla n = 5. Zad. 9.4 Udowodnij a) ( n ( k) = n ) n k b) ( n ( k) + n ) ( k+1 = n+1 ) k+1 Zad. 9.5 Oblicz, korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona (a + b) n = n a) (1 + x) 6 b) (a + b) 6 c) (1 a) 7, a (0, 1) d) (a b) 8 Zad. 9.6 Oblicz następujące współczynniki wielomianowe ( n ) i 1 i...i k = n! ( a) n ( k) = 6 ) ( 3 b) 10 ) ( 3 c) 1 ) 3 4 Zasada włączeń i wyłączeń card(a B) = card(a) + card(b) card(a B) k=0 i 1!i!...i k! ( n ) k a k b n k card(a B C) = card(a) + card(b) + card(c) card(a B) card(a C) card(b C) + card(a B C) Zad. 9.7 Ile jest liczb całkowitych ze zbioru K = {1,,..., 300} podzielnych przez lub przez 3? Zad. 9.8 Ile jest dodatnich liczb całkowitych, mniejszych lub równych 500, które nie są podzielne ani przez 3 ani przez 5? Zad. 9.9 Na ile sposobów z talii 5 kart można wybrać 6 kart, tak aby otrzymać co najmniej jednego asa i co najmniej jednego króla? Zad. 9.10 Wśród 00 studentów po 80 studentów zapisało się na wykłady z analizy, algebry i geometrii. Co więcej, na każde dwa z tych wykładów zapisało się po 30 studentów, a na wszystkie trzy 15 studentów. a) Ilu studentów zapisało się na chociaż jeden z tych wykładów? b) Ilu studentów nie zapisało się na żaden z tych wykładów? c) Ilu studentów zapisało sie tylko na geometrię? Zad. 9.11 Ile liczb ze zbioru {1,,..., 1000} nie jest podzielnych ani przez, ani przez 3, ani przez 5, ani przez 7?

Zasada szufladkowa Dirichleta Jeżeli w n szufladach rozmieszcza sie więcej niż n przedmiotów, to istnieje co najmniej jedna szuflada. w której znajduje się więcej niż jeden przedmiot. Twierdzenie 9.1 Niech A będzie zbiorem skończonym. Jeżeli zbiory A i, i = 1,,..., k, stanowią podział A, przy czym card(a) > k, to istnieje i 0 {1,,..., k}, takie, że card(a i0 ) > 1. Twierdzenie 9. Niech A będzie zbiorem skończonym. Jeżeli zbiory A i, i = 1,,..., k, stanowią podział A, przy czym dla pewnej liczby p N + mamy card(a) > p k, to istnieje i 0 {1,,..., k}, takie, że card(a i0 ) > p. Zad. 9.1 Uzasadnij, że w każdym mieście liczącym co najmniej 1, 7 mln mieszkańców znajdziemy co najmniej 5 osób o tej samej liczbie włosów na głowie, jeżeli przyjmiemy, że rośnie ich na ludzkiej głowie co najwyżej 400000. Zad. 9.13 Udowodnij, że w dowolnej grupie n osób istnieją osoby o tej samej liczbie znajomych. Zad. 9.14 Pokaż, że wśród n + 1 dowolnych licz całkowitych znajduje się dwie których różnica dzieli się przez n. Zad. 9.15 Pokaż, że jeśli w trójkącie równobocznym o boku długości 4 umieścimy 17 punktów, to znajdziemy dwa punkty miedzy którymi odległość nie przekracza 1. Zad. 9.16 Grupa 41 studentów zaliczyła sesje składającą się z 3 egzaminów, w których możliwymi ocenami były 5, 4, 3. Wykazać, że co najmniej pięciu studentów zaliczyło sesję z jednakowym zbiorem ocen. Zad. 9.17 Na turnieju piłkarskim, w którym docelowo każda drużyna ma zagrać z każdą inna, bierze udział 7 zespołów. Uzasadnij, że w dowolnym momencie trwania turnieju znajdą sie dwie drużyny, które rozegrały do tego momentu te samą liczbę meczów.

10 Ćwiczenia: Teoria grafów Definicja 10.1 Grafem o zbiorze wierzchołków V i zbiorze krawędzi E nazywamy odwzorowanie Γ : E P (V ) = {{v, w} : v, w V }, przyporządkowujące każdej krawędzi E dwa (lub jeden) wierzchołki. Graf prosty- graf, który nie ma krawędzi wielokrotnych. Multigraf - ma krawędzie wielokrotne. Graf pełny to graf, w którym każde dwa wierzchołki połączone są dokładnie jedną krawędzią. Zad. 10.1 Niech V oznacza zbiór wierzchołków, E-zbiór krawędzi, Γ : E V. Wyznaczyć V, E, Γ dla poniższych grafów: Definicja 10. Stopniem deg(v) wierzchołka v V nazywamy liczbę deg(v) = n + k, gdzie -n liczba krawędzi e nie będących pętlami takich, że v Γ(e) -k liczba pętli f takich, że Γ(f) = {v, v} Uwaga: v V deg(v) = card(e) Definicja 10.3 Graf nazywamy regularnym stopnia k, jeśli δ(γ) = (Γ) = k gdzie δ(γ) = min{deg(v) : v V } -minimalny stopień wierzchołka (Γ) = max{deg(v) : v V } -maksymalny stopień wierzchołka Uwaga: W dowolnym grafie liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest parzysta. Zad. 10. Wyznaczyć stopnie wszystkich wierzchołków grafu, sumę wszystkich stopni s oraz liczbę krawędzi card(e). Zad. 10.3 Czy istnieje graf o zbiorze wierzchołków V = {x, y, z, t}, gdzie deg(x) = deg(y) = deg(z) = i deg(t) = 3. Zad. 10.4 Czy graf G jest grafem prostym? Zad. 10.5 Narysować wszystkie grafy proste bez pętli, które zawierają cztery wierzchołki tego samego stopnia. Zad. 10.6 Rozstrzygnąć czy możliwa jest powyższa sytuacja. Jeśli tak, to narysować odpowiedni graf. a) graf ma 1 krawędzi, 4 wierzchołki stopnia 4, a wszystkie pozostałe stopnia 5? b) graf ma 1 krawędzi, 3 wierzchołki stopnia 4, x wierzchołków stopnia? Definicja 10.4 Dwa grafy Γ 1 : E 1 P (V 1 ) i Γ : E P (V ) nazywamy izomorficznymi, jeśli istnieją bijekcje ϕ : E 1 E i ψ : V 1 V, takie że e E1 u,w V1 Γ 1 (e) = {u, w} Γ (ϕ(e)) = {ψ(u), ψ(w)} Uwaga: Grafy są izomorficzne gdy odpowiadającym sobie krawędziom odpowiadają również incydentne z nimi pary wierzchołków. Zad. 10.7 Czy grafy są izomorficzne? Definicja 10.5 Drogą o długości k w grafie nazywamy ciąg krawędzi e 1 e... e k o tej własności, że kolejne krawędzie posiadają wspólne wierzchołki. Drogę e 1 e... e k nazywamy zamkniętą, jeśli odpowiada jej ciąg wierzchołków v 1 v... v k v 1. Drogę nazywamy prostą, jeżeli e i e j dla i j.

Prostą drogę zamkniętą e 1 e... e k = v 1 v... v k v 1 nazywamy cyklem jeśli v i v j dla i j. Zad. 10.8 Czy podana droga jest zamknięta, prosta, jest cyklem? Jaka jest jej długość? a) a f c b b) a b c d e f a c) a f c d d e Definicja 10.6 Macierzą sąsiedztwa grafu o n wierzchołkach v 1,..., v n nazywamy macierz S taką, że jej dowolny wyraz s ik jest równy liczbie krawędzi łączących wierzchołek v i z wierzchołkiem v k, i, k = 1,..., n. Twierdzenie 10.7 Jeżeli S jest macierzą sąsiedztwa, gdzie card(v ) = n, to liczba dróg długości m łączących dowolny wierzchołek v i z dowolnym wierzchołkiem v k, i, k = 1,..., n, jest równa s (m) ik (tzn. wyrazowi macierzy S m znajdującemu się w i-tym wierszu i k-tej kolumnie.) Zad. 10.9 Wyznaczyć macierz sąsiedztwa grafu. Ile jest dróg długości łączących wierzchołki v 1 i v 3?