Konrad Słodowicz sk3079 AR Zadanie domowe satelita Współrzędne kartezjańskie Do opisu ruchu satelity potrzebujemy 4 zmiennych stanu współrzędnych położenia i prędkości x =r x =r x 3 = r 3, x 4 = r 4 gdzie r i r to współrzędne kartezjańskie położenia, a r oraz r to współrzędne prędkości (pochodne położenia) Aby napisać równania stanu potrzebujemy wzorów na pochodne kolejnych zmiennych Jak łatwo widać, =x 3 oraz = x 4 Aby otrzymać, natomiast, wzory na 3 i 4 trzeba przekształcić wzór na przyspieszenie w polu grawitacyjnym W tym celu rozpisujemy wektory na sumę iloczynów współrzędnych i wersorów oraz moduł na pierwiastek sumy kwadratów: r e + r ê = GM r ê +r ê ( r +r ) 3 Mnożąc obustronnie przez ê otrzymujemy r r = GM, ( r +r ) 3 a mnożąc to samo przez e mamy r r = GM ( r +r ) 3 Wobec tego, podstawiając odpowiednie zmienne stanu za r, równania stanu przyjmują postać: =x 3 = x 4 3 = GM 4 = GM x ( x +x ) 3 x ( x +x ) 3 Spróbujemy rozwiązać ten układ równań używając środowiska Simulink Dla ułatwienia obliczeń, przyjmiemy G= oraz M= (G stała grawitacji, M masa ciała, wokół którego orbituje satelita)
Z powodu problemów z Matlabem musiałem zamiast bloku funkcji własnej użyć układu bloków operacji matematycznych Zmieniając warunki początkowe całkowań możemy zmienić wartości początkowe zmiennych stanu, a co za tym idzie położenia początkowego oraz prędkości początkowej satelity Rysując wykres wartości x od x (r od r) otrzymamy wówczas drogę, po której orbituje satelita Dla uproszczenia, zmieniać będziemy tylko wartości początkowe x3 oraz x, zostawiając x4 oraz x zerowe W ten sposób jesteśmy pewni, że początkowy wektor prędkości jest prostopadły do wektora położenia Przyjmijmy, że x to położenie w poziomie, x w pionie, x3 to prędkość w poziomie a x4 w pionie a) wartości początkowe x3 =, x =
Otrzymujemy orbitę kołową b) wartości początkowe x3 = 5, x = Satelita wylatuje z orbity c) wartości początkowe x3 = 5, x =
Otrzymujemy orbitę eliptyczną Współrzędne biegunowe Podobnie jak powyżej, przyjmujemy zmienne stanu Będą to tym razem długość wektora położenia, kąt oraz ich pochodne x = p x =θ x 3 = ṗ x 4 = θ Do równań stanu potrzebujemy pochodnych powyższych zmiennych Jak wcześniej widać, iż = x 3 = x 4 Do obliczenia pochodnych x3 i x4 korzystam ze wzoru na przyspieszenie grawitacyjne, tym razem zamieniając r (t) na p(t) r(t) Mam więc, pomijając '(t)' r= GM p r Podstawiam to do równania na przyspieszenie p 3 podanego w zadaniu Jak wcześniej, ponieważ wersory r i θ są prostopadłe, mogę obustronnie pomnożyć najpierw przez pierwszy a następnie przez drugi, aby pozbyć się ich z równania Postępując w ten sposób i przekształcając otrzymane równania dostaję 3 = GM x +x x 4 oraz x 4 = x 3 x 4 x
Równania stanu przyjmują postać: =x 3 = x 4 3 = GM x +x x 4 4 = x x 3 4 x Jak wyżej, modeluję je w Simulinku przy użyciu bloków funkcji matematycznych: O ile powyższe wzory są poprawne, dobranie odpowiednich warunków początkowych w tym przypadku okazało się trudne Postanowiłem przyjąć początkowe x (długość wektora położenia) jako 5 a x (kąt) jako 0 Pozostałe wartości pozostawiłem zerowe Bz początkowej prędkości, satelita zaczyna spadać w stronę obiektu, wokół którego miała orbitować Ponieważ jednak a naszym teście obiekt jest jedynie punktem, satelita przelatuje przez niego na drugą stronę, aby w pewnym momencie zatrzymać się i wracać z powrotem, znowu przelatując na drugą stronę Maksymalna odległość satelity od obiektu zwiększa się z każdym cyklem Ciężko przedstawić to zachowanie w sprawozdaniu, gdyż jego zauważenie wymagało obserwacji drogi satelity w różnych momentach czasu Oto jeden z nich:
Należy pamiętać, iż satelita zaczynała swój ruch w odległości 5 od centrum Dobór odpowiedniej prędkości początkowej okazał się bardzo trudny Minimalne różnice sprawiały, że satelita albo spadała w stronę obiektu, albo wylatywała z orbity Już przy wartości początkowej x4 = 009, wykres ruchu po 5 sekundach wygląda następująco: Przy wartości początkowej x4 = 006, natomiast, satelita po ok 4 sekundach spada do obiektu:
Jak widać, ruch obiektu można przewidzieć na podstawie równań stanu Znając je oraz pewne warunki początkowe stan w danym momencie czasu można obliczyć stan obiektu w dowolnej chwili