w ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I

Prezentacja wspó nansowana przez Uni ¾e Europejsk ¾a w ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I

1 Co to jest analiza portfelowa? Analiza portfelowa zajmuje si ¾e optymalnym inwestowaniem w papiery wartościowe, g ównie w akcje. Analiza portfelowa ¾aczy w sobie elementy nauki o nansach, ekonomii zarz ¾adzania i matematyki (teoria optymalizacji, teoria prawdopodobieństwa, metody numeryczne). Optymalizacji dokonuje si ¾e pod wzgl ¾edem dwóch kryteriów: zysku (maksymalizacja) i ryzyka (minimalizacja) jest to przyk ad optymalizacji wielokryterialnej (wektorowej). Portfel papierów wartościowych jest to zestaw papierów wartościowych, które posiada inwestor.

2 Historia analizy portfelowej Twórc ¾a analizy portfelowej by ekonomista amerykański Harry Markowitz. Rozwin ¾a on teori ¾e alokacji środków nansowych w warunkach niepewności, która zajmuje si ¾e optymalizowaniem inwestycji w zale zności od spodziewanego zysku i ryzyka. Pierwsz ¾a publikacj ¾a z tej dziedziny by a praca: H. Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1 (1952), 77-91. W 1963 r. William Sharpe opublikowa teori ¾e modelu jednowskaźnikowego b ¾ed ¾ac ¾a uproszczeniem teorii Markowitza. W 1990 r. H. Markowitz, W. Sharpe i M. Miller otrzymali nagrod ¾e Nobla, g ównie za prace z analizy portfelowej.

3 Cele analizy portfelowej Określenie charakterystyk papierów wartościowych (g ównie dotycz ¾acych zysku i ryzyka). Określenie kryteriów wyznaczania optymalnego sk adu portfela papierów wartościowych (np. dobrze jest inwestować w akcje ró znych rm i to takie, które nie sa¾ dodatnio skorelowane, tzn. nie obserwuje sie¾ zgodnych wahań ich kursów). Ocena posiadanego przez inwestora portfela w celu ewentualnej zmiany jego sk adu. (Z regu y inwestor nie pozbywa sie¾ posiadanego portfela, lecz zamierza dalej inwestować. Jednak, poniewa z zmieniaja¾ sie¾ warunki rynkowe, portfel ten po pewnym czasie mo ze ju z nie być optymalny).

4 De nicje papieru wartościowego De nicja 1. Papier wartościowy (security) jest to dokument (instrument - nansowy) potwierdzaj ¾acy jedn ¾a z trzech sytuacji: nabycie prawa do wspó w asności rmy, udzielenie kredytu rz ¾adowi, rmie lub instytucji, uzyskanie prawa do otrzymania w przysz ości pewnej wartości (najcz ¾eściej w postaci innego papieru wartościowego).

De nicja 2. Papier wartościowy to dokument lub zapis w systemie informatycznym na rachunku papierów wartościowych, który ucieleśnia prawa maj ¾atkowe w taki sposób, ze dane uprawnienia przys uguj ¾a osobie wskazanej jako uprawniona w treści dokumentu (choćby jako okaziciel), a przed o zenie go jest warunkiem koniecznym i wystarczaj ¾acym dla realizacji uprawnienia. Ponadto, zniszczenie lub utrata dokumentu powoduje utrat ¾e uprawnień dopóki nie zostanie wydane postanowienie o umorzeniu dokumentu.

5 Rodzaje papierów wartościowych 5.1 Akcje Akcja (stock, share) jest to dokument świadcz ¾acy o udziale jego w aściciela w kapitale spó ki akcyjnej. Posiadanie akcji zapewnia: prawo do dywidend, prawo do uczestnictwa w walnym zgromadzeniu akcjonariuszy, prawo do udzia u w maj ¾atku spó ki w przypadku jej likwidacji.

Akcje dziel ¾a si ¾e na zwyk e i uprzywilejowane. Uprzywilejowanie mo ze dotyczyć: g osu na zebraniach akcjonariuszy, pierwszeństwa w wyp acaniu dywidendy, pierwszeństwa w podziale maj ¾atku spó ki w przypadku jej likwidacji.

5.2 Obligacje Obligacja (bond) jest to papier wartościowy potwierdzaj ¾acy nabycie przez jego posiadacza prawa do otrzymania w określonym terminie sumy pieni ¾edzy określonej w obligacji oraz ewentualnie odsetek Obligacja zamienna daje jej nabywcy prawo do wymiany na inne papiery wartościowe danego emitenta w przysz ości i na z góry określonych warunkach.

Podzia obligacji ze wzgl ¾edu na okres do wykupu: krótkoterminowe (1-5 lat), średnioterminowe (5-12 lat), d ugoterminowe (powy zej 12 lat).

Podzia obligacji ze wzgl ¾edu na oprocentowanie: o sta ym oprocentowaniu, o zmiennym oprocentowaniu (mo ze być ustalane na pocz ¾atku lub na końcu okresu oprocentowania), zerokuponowe (bezodsetkowe) brak odsetek jest rekompensowany sprzeda z ¾a obligacji po cenie ni zszej od wartości nominalnej.

5.3 Prawa poboru i prawa do akcji Prawo poboru nowych akcji (PPA) ma zastosowanie w przypadku nowej emisji akcji przez spó k ¾e; oznacza przys uguj ¾ace dotychczasowym akcjonariuszom prawo pierwszeństwa do obj ¾ecia nowych akcji, które mo ze być przedmiotem obrotu gie dowego. Prawo do akcji (PDA) instrument nansowy umo zliwiaj ¾acy nabywcom akcji nowej emisji ich odsprzedanie, zanim zostan ¾a wprowadzone do obrotu gie dowego.

5.4 Warranty subskrypcyjne Warrant subskrypcyjny jest to dokument (certy kat), cz ¾esto do ¾aczony do akcji lub obligacji, daj ¾acy posiadaczowi ograniczone lub nieustaj ¾ace prawo kupna papierów wartościowych lub innych aktywów po ustalonej cenie lub prawo do subskrypcji przysz ych emisji obligacji tego samego emitenta.

5.5 Kwity depozytowe Kwit depozytowy jest to papier wartościowy wystawiony poza granicami kraju, dokumentuj ¾acy prawo w asności akcji spó ki zagranicznej. 5.6 Listy zastawne Listy zastawne s ¾a to d u zne papiery wartościowe, których podstaw ¾a s ¾a wierzytelności banków hipotecznych zabezpieczone hipotekami lub gwarancj ¾a określonych instytucji (m.in. Skarb Państwa i NBP). Emitent listów bank hipoteczny, zobowi ¾azuje si ¾e wobec ich posiadacza do spe nienia określonego świadczenia pieni ¾e znego wyp aty odsetek i wykupienia samego listu w sposób i w terminach określonych w warunkach emisji.

5.7 Certy katy inwestycyjne Certy kat inwestycyjny jest to papier wartościowy emitowany przez zamkni ¾ety fundusz inwestycyjny. Jest on papierem wartościowym na okaziciela, dlatego mo ze być notowany na gie dzie.

5.8 Pochodne papiery wartościowe (instrumenty pochodne) Instrument pochodny (derivative) jest to kontrakt nansowy, którego rozliczenie zale zy od innego instrumentu zwanego bazowym (np. akcji, indeksu, obligacji, stopy procentowej). G ówne rodzaje instrumentów pochodnych to: opcje (kupna lub sprzeda zy), kontrakty futures i forward. UWAGA. W niniejszym wyk adzie nie b ¾edziemy zajmować si ¾e instrumentami pochodnymi. B ¾edziemy rozwa zać g ównie akcje i obligacje.

6 Stopa zysku z inwestycji Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawow ¾a miar ¾a określaj ¾ac ¾a efektywność inwestycji, w szczególności inwestycji w papiery wartościowe. Określamy j ¾a wzorem gdzie: K p R := K k ; (1) K p K p > 0 kapita pocz ¾atkowy (zainwestowany na pocz ¾atku procesu inwestycji), K k kapita końcowy (posiadany na końcu inwestycji). Stop ¾e zysku R podaje si ¾e zwykle w procentach.

Przekszta caj ¾ac wzór (1), otrzymujemy wzór na kapita końcowy: K k = K p (1 + R): (2) Stwierdzenie 1. Dany jest skończony ciag ¾ inwestycji nansowych w przedzia- ach czasowych [t i 1 ; t i ], i = 1; ::; n, gdzie t 0 < t 1 < ::: < t n. Za ó zmy, ze kapita końcowy dla poprzedniego okresu jest kapita em poczatkowym ¾ dla nastepnego ¾ okresu. Je zeli R i jest stopa¾ zysku dla okresu [t i 1 ; t i ], to stopa zysku dla okresu [t 0 ; t n ] wynosi R = ny i=1 (1 + R i ) 1: (3) Dowód. Oznaczmy przez K i kapita posiadany w momencie t i, i = 0; 1; :::; n. Zgodnie z (2) K i = K i 1 (1 + R i ), i = 1; :::; n:

Zatem K 1 = K 0 (1 + R 1 ); K 2 = K 1 (1 + R 2 ) = K 0 (1 + R 1 )(1 + R 2 ); ::: K n = K 0 n Y i=1 (1 + R i ): (4) Poniewa z K n jest kapita em końcowym dla ca ego procesu inwestycji, wi ¾ec musi spe niać warunek (2), czyli K n = K 0 (1 + R): (5) Porównuj ¾ac wzory (4) i (5), otrzymujemy (3).

Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 za ó zmy dodatkowo, ze 1 + R i > 0. Liczb ¾e v uut Y n R := n (1 + R i ) 1 (6) i=1 nazywamy średni ¾a geometryczn ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji n- okresowej o stopach zysku R i, i = 1; :::; n. Sens liczby R jest nast ¾epuj ¾acy: jest ona taka, ze inwestycja n-okresowa o równych stopach zysku w poszczególnych okresach, wynosz ¾acych R, daje stop ¾e zysku R określon ¾a wzorem (3). Istotnie, stosuj ¾ac Stwierdzenie 1 do powy zszej sytuacji, otrzymamy R = ny i=1 (1 + R) 1 = (1 + R) n 1 = ny i=1 (1 + R i ) 1:

Stwierdzenie 2. Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 i warunku 1 + R i > 0 zachodzi nierówno sć R 1 n nx i=1 R i ; (7) tzn. srednia geometryczna stopa zysku nie przekracza sredniej arytmetycznej stóp zysku z poszczególnych okresów. Dowód. Stosujemy znan ¾a nierówność pomi ¾edzy średni ¾a geometryczn ¾a i arytmetyczn ¾a liczb dodatnich a 1 ; :::; a n : v u u Y t n n i=1 a i 1 n nx a i i=1 (równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby a i s ¾a równe).

Niech a i := 1 + R i, wówczas v uut Y n R = n i=1(1 + R i ) 1 1 n 0 = 1 @n + n 1 nx R i A i=1 1 = 1 n nx i=1 nx (1 + R i ) 1 i=1 R i :

7 Zasada obliczania procentu sk adanego Szczególnym przypadkiem wzoru (4) jest zasada obliczania procentu sk adanego. Dotyczy ona np. oprocentowanych lokat bankowych, w których jest sta a stopa procentowa, a odsetki s ¾a kapitalizowane po up ywie ka zdego roku: gdzie: K n = K 0 (1 + R) n ; (8) R stopa procentowa (b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku dla ka zdego roku), K 0 kapita pocz ¾atkowy, K n kapita po n latach (wartość przysz a sumy K 0 po n latach).

W przypadku, gdy odsetki s ¾a dodawane do kapita u m razy w ci ¾agu roku (przy tej samej rocznej stopie procentowej R), mamy nast ¾epuj ¾acy wzór na wartość przysz ¾a sumy K 0 po n latach: K n = K 0 1 + R m mn : (9) Wzór (9) przybiera konkretne postacie w zale zności od cz ¾estości kapitalizacji odsetek: kwartalna: K n = K 0 1 + R 4 4n miesi ¾eczna: K n = K 0 1 + R 12 12n dzienna: K n = K 0 1 + R 365 365n

hipotetyczna ci ¾ag a : K n = K 0 lim m!1 2 1 + R mn m! 3 m=r Rn = K 0 lim 4 1 + 1 5 m!1 m=r = K 0 lim 1 + 1 x Rn = K x!1 0 e x Rn ; gdzie e 2; 7183 podstawa logarytmu naturalnego. Uwaga: wzrost cz ¾estości kapitalizacji odsetek ma niewielki wp yw na wzrost wartości przysz ej kapita u.

8 Zasada dyskonta Zasada dyskonta jest to zasada procentu sk adanego przedstawiona w odwrotnej postaci. Przekszta caj ¾ac wzór (7), otrzymujemy K 0 = K n (1 + R) n; (10) gdzie K 0 nazywamy wartości ¾a bie z ¾ac ¾a sumy pieni ¾edzy K n uzyskiwanej w przysz ości (inaczej: wartości ¾a zdyskontowan ¾a na okres bie z ¾acy). Stop ¾e procentow ¾a R nazywamy tu stop ¾a dyskontow ¾a. Interpretacja: wartość bie z ¾aca K 0 wskazuje, jak ¾a sum ¾e nale zy zainwestować na n lat, przy za o zeniu stopy procentowej R oraz rocznej kapitalizacji odsetek, aby otrzymać sum ¾e równ ¾a K n.

9 Efektywna stopa procentowa W celu wyrównania efektu śródrocznej kapitalizacji odsetek (m razy w ci ¾agu roku) nale zy powi ¾ekszyć stop ¾e procentow ¾a R wyst ¾epuj ¾ac ¾a w (9) do wartości zwanej efektywn ¾a stop ¾a procentow ¾a, oznaczanej R ef. Zatem efektywna stopa procentowa spe nia równanie K 0 (1 + R ef ) n = K 0 1 + m R mn : St ¾ad wynika, ze R ef = 1 + R m m 1: (11)

10 Renta p atna z do u Rozwa zamy sytuacj ¾e, gdy pod koniec okresu (np. roku) p acona jest sta a suma pieni ¾e zna, przy czym po zap aceniu jej wartość jest kapitalizowana. Tak ¾a sta ¾a p atność nazywamy rent ¾a p atn ¾a z do u (annuity-immediate). Wartość przysz a takiej renty po n okresach dana jest wzorem P n = P nx i=1 (1 + R) i 1 ; (12) gdzie R > 0 jest stop ¾a procentow ¾a obowi ¾azuj ¾ac ¾a w pojedynczym okresie. Wartość przysz a P n jest sum ¾a wartości przysz ych kolejnych wp at zapisanych w odwrotnej kolejności, np. ostatni sk adnik sumy: P (1 + R) n 1 dotyczy pierwszej wp aty, która w pierwszym okresie nie daje odsetek.

W celu uproszczenia wzoru (12), skorzystamy ze wzoru na sum ¾e cz ¾eściow ¾a sze-regu geometrycznego o wyrazie pocz ¾atkowym a 2 R i ilorazie q 6= 1: nx i=1 aq i 1 = a(1 qn ) : (13) 1 q Przekszta caj ¾ac (12) zgodnie z (13) przy a = 1 i q = 1 + R, otrzymujemy P n = P 1 (1 + R)n 1 (1 + R) = P R [(1 + R)n 1]: (14) Wartość bie z ¾aca renty p atnej z do u jest dana wzorem (wynikaj ¾acym z poprzedniego) P = P n R (1 + R) n 1 : (15)

11 Renta p atna z góry Rozwa zamy sytuacj ¾e podobn ¾a do poprzedniej, z t ¾a ró znic ¾a, ze sta a kwota p acona jest na pocz ¾atku ka zdego okresu (i w tym momencie jest kapitalizowana). Tak ¾a sta ¾a p atność nazywamy rent ¾a p atn ¾a z góry (annuity-due). Wzór na wartość przysz ¾a po n latach ma teraz postać P n = P nx i=1 (1 + R) i : (16) W celu jego uproszczenia korzystamy z (13) przy a = q = 1 + R: P n = P (1 + R) 1 (1 + R)n 1 (1 + R) = P R (1 + R)[(1 + R)n 1]: (17) Wartość bie z ¾aca renty p atnej z góry jest dana wzorem P = P n R (1 + R)[(1 + R) n 1] : (18)

12 Określanie wartości papierów wartościowych Za ó zmy najpierw, ze inwestor zatrzyma papier wartościowy przez rok. Oznaczmy: P wartość papieru wartościowego w momencie zakupu, czyli kapita (pocz ¾atkowy) zainwestowany w zakup. Oznaczmy t ¾e wartość. C wp ywy gotówkowe z tytu u posiadania papieru wartościowego (zak adamy dla uproszczenia, ze uzyskiwane s ¾a dok adnie po up ywie roku), R stopa zysku papieru wartościowego.

Ze wzoru (2) wynika, ze C = P (1 + R), czyli P = C 1 + R : (19) Interpretacja: wartość papieru wartościowego jest to zdyskontowany przychód z tytu u posiadania papieru wartościowego, przy czym stop ¾a dyskontow ¾a jest stopa zysku.

Uogólnienie. Rozwa zamy papier wartościowy, z tytu u którego otrzymujemy wp ywy przez n kolejnych okresów. Uogólniaj ¾ac wzór (19), otrzymujemy gdzie: P = nx i=1 C i (1 + R) i; (20) P wartość papieru wartościowego, C i dochód z tytu u posiadania papieru wartościowego, uzyskany w i-tym okresie, R stopa dyskontowa, b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku osi ¾aganego w pojedynczym okresie.

De nicja. Wartość papieru wartościowego jest to suma zdyskontowanych na okres bie z ¾acy wp ywów uzyskiwanych z tytu u posiadania tego papieru wartościowego, przy czym stopa dyskontowa jest równa jego stopie zysku. Sposoby korzystania ze wzoru (20): 1. Jeśli stopa zysku R jest znana (na podstawie stóp zysku papierów wartościowych podobnego typu), to mo zna porównać wartość P z cen ¾a rynkow ¾a papieru wartościowego w celu podj ¾ecia decyzji co do zakupu (zakup jest op acalny, jeśli cena nie przekracza P ). 2. Mo zna przyj ¾ać jako P cen ¾e rynkow ¾a papieru wartościowego i rozwi ¾azać równanie (20) wzgl ¾edem R w celu wyznaczenia stopy zysku. Wymaga to stosowania metod przybli zonych. Znaj ¾ac R, mo zna podj ¾ać decyzj ¾e o zakupie (np. porównuj ¾ac R ze stop ¾a zysku, czyli oprocentowaniem, lokat bankowych).

13 Określanie wartości obligacji o sta ym oprocentowaniu Rozwa zmy obligacj ¾e z n-letnim terminem wykupu, o wartości nominalnej M. Za ó zmy, ze odsetki p acone po up ywie ka zdego roku wynosz ¾a C. Zatem oprocentowanie obligacji wynosi C=M. Stosuj ¾ac (20), otrzymujemy wzór na wartość obligacji: gdzie P = nx i=1 C (1 + R) i + M (1 + R) n; (21) P ni=1 C (1+R) i zdyskontowany przychód z odsetek, M (1+R) n zdyskontowany przychód z wykupu obligacji.

W (21) wyst ¾epuj ¾a dwie ró zne stopy procentowe: 1. C=M stopa procentowa określaj ¾aca oprocentowanie odsetek od obligacji (jest sta a i znana w momencie zakupu). 2. R stopa dyskontowa b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku obligacji (zwana tak ze stop ¾a rentowności). Wartość R jest zmienna w czasie, gdy z zale zy od ceny rynkowej. W praktyce P jest cen ¾a rynkow ¾a i jest znana, a nieznana jest stopa zysku R.

14 Określanie wartości akcji zwyk ych Zysk z tytu u posiadania akcji pochodzi z dwóch źróde : 1. z dywidendy p aconej w danym okresie, 2. z przyrostu kapita u w danym okresie (wynikaj ¾acego z przyrostu ceny akcji). Za ó zmy najpierw, ze posiadacz akcji sprzeda j ¾a po up ywie n lat. Wówczas z (20) otrzymujemy P = nx i=1 D i (1 + R) i + P n (1 + R) n; (22)

gdzie P wartość akcji w chwili obecnej, P n wartość akcji po n latach, D i dywidenda wyp acona w i-tym roku (dla uproszczenia zak adamy, ze jest wyp acana z końcem roku), R stopa zysku akcji, b ¾ed ¾aca stop ¾a dyskontow ¾a, P ni=1 D i (1+R) i zdyskontowany przychód z dywidend, P n (1+R) n zdyskontowany przychód ze sprzeda zy akcji.

Za ó zmy teraz, ze nabywca akcji b ¾edzie j ¾a zawsze posiada. Wówczas znika ostatni sk adnik po prawej stronie (22), a zamiast skończonej sumy rozwa zamy jej wartość graniczn ¾a (o ile istnieje): P = lim n!1 nx i=1 D i (1 + R) i = 1 X i=1 Wzór (23) nazywamy modelem zdyskontowanych dywidend. D i (1 + R) i: (23) Uwagi. 1) Zbie zność szeregu w (23) ma miejsce np. wtedy, gdy istnieje taka sta a A > 0, ze D i D 1 A i 1, i = 2; 3; ::: oraz < 1. Wówczas lim n!1 nx i=1 D i (1 + R) i lim n!1 D 1 nx i=1 A 1+R A i 1 (1 + R) i = D 1 1X i=1 A i 1 (1 + R) i; gdzie szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie (0; 1), a wi ¾ec zbie znym. A 1+R 2

2) We wzorze (23) wyd u zenie horyzontu czasowego inwestowania do nieskończoności (co jest oczywiście jedynie przybli zeniem rzeczywistej sytuacji) powoduje, ze nie rozpatrujemy przyrostu kapita u z powodu zmian cen akcji. Nie ma on znaczenia, gdy nieplanuje si ¾e sprzeda zy akcji. Jedynym źród em dochodu z akcji staje si ¾e dywidenda. Praktyczne zastosowanie wzoru (23). Dla wykorzystania tego wzoru niezb ¾edna jest znajomość dywidend otrzymywanych w przysz ości z tytu u posiadania akcji. Na podstawie badań empirycznych zosta y zaproponowane ró zne modele kszta towania si ¾e wartości dywidend.

14.1 Model sta ej wartości dywidendy Zak ada si ¾e, ze rma nie rozwija si ¾e, osi ¾aga sta ¾a (w przybli zeniu) wartość dochodów, a zatem wyp aca sta ¾a dywidend ¾e. Dla wyprowadzenia wzoru na wartość akcji w tym przypadku, skorzystamy ze wzoru na sum ¾e nieskończonego szeregu geometrycznego o wyrazie pocz ¾atkowym a 2 R i ilorazie q 2 ( 1; 1): 1X i=1 aq i 1 = a 1 q : (24) Podstawiaj ¾ac sta ¾a wartość D zamiast D i do (23), a nast ¾epnie stosuj ¾ac (24) dla a = q = 1 1+R, otrzymamy P = D 1X i=1 1 (1 + R) i = D 1 W tym modelu stopa zysku akcji R = D P 1 1+R 1 1+R = D 1 1+R R 1+R = D R : (25) jest sta a i równa stopie dywidendy.

14.2 Model sta ego wzrostu dywidendy (model Gordona Shapiro) Zak ada si ¾e, ze rma rozwija si ¾e w sta ym tempie, a zatem wyst ¾epuje sta e roczne tempo (stopa) wzrostu dywidendy, które oznaczamy g, przy czym 0 < g < R. Jeśli wi ¾ec przez D 1 oznaczymy dywidend ¾e p acon ¾a w pierwszym roku, to dywidenda p acona w i-tym roku wyra za si ¾e wzorem D i = D 1 (1 + g) i 1 : Uwzgl ¾edniaj ¾ac powy zsze w (23), a nast ¾epnie stosuj ¾ac (24) dla a = 1 1+R i q = 1+g 1+R, otrzymamy P = D 1 1 X i=1 (1 + g) i 1 (1 + R) i = D 1 1 1 1+R 1+g 1+R 1+R R g 1+R = D 1 1 = D 1 R g : (26)

Jeśli chcemy wyznaczyć stop ¾e zysku akcji, to przekszta camy (26) do postaci R = D 1 P + g: Zatem stopa zysku akcji jest sum ¾a bie z ¾acej stopy dywidendy D 1 =P i tempa wzrostu dywidendy g. W praktyce g wyznacza si ¾e na podstawie danych z przesz ości, korzystaj ¾ac ze wzoru gdzie: g = r t r e ; r t wspó czynnik zatrzymania, tj. udzia zysku zatrzymanego (nie wyp aconego w formie dywidendy, a wi ¾ec przeznaczonego na rozwój) w ca ości zysku rmy, r e stopa zwrotu z zatrzymanych dochodów (mo zna j ¾a oszacować jako przeci ¾etn ¾a stop ¾e zwrotu z inwestycji dokonanych przez rm ¾e w przesz ości).

14.3 Model dwóch faz Model ten wynika z obserwacji, ze wiele rm w pocz ¾atkowym okresie istnienia rozwija si ¾e szybko, a po osi ¾agni ¾eciu dojrza ości rozwój jest wolniejszy. Zak ada si ¾e, ze: 1. przez N lat dywidenda rośnie w tempie g 1, 2. nast ¾epnie dywidenda rośnie zawsze w tempie g 2, gdzie g 2 < g 1.

14.4 Model trzech faz W modelu tym wyst ¾epuj ¾a nast ¾epuj ¾ace fazy rozwoju rmy: 1. wzrost dywidendy w sta ym tempie g 1 przez N 1 lat, 2. wzrost dywidendy w zmiennym (malej ¾acym) tempie g 2 przez N 2 lat, 3. wzrost dywidendy w sta ym tempie g 3 przez N 3 lat, przy czym g 3 < g 2 < g 1.

15 Przestrzeń probabilistyczna Niech b ¾edzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nale z ¾acym do tzw. klasy zdarzeń F, gdzie F 2. Zak adamy, ze F jest -cia em podzbiorów, tzn. spe nia nast ¾epuj ¾ace warunki: S1. F 6= ;. S2. Je zeli A 2 F, to na 2 F. S3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; :::, to S 1 i=1 A i 2 F. Z powy zszych warunków wynka, ze do F nale z ¾a zdarzenia: (zdarzenie pewne) i ; (zdarzenie niemo zliwe).

Najmniejsze -cia o zawieraj ¾ace wszystkie zbiory otwarte w R n nazywamy - cia em zbiorów borelowskich w R n i oznaczamy B(R n ). Prawdopodobieństwem nazywamy dowoln ¾a funkcj ¾e P : F! R spe niaj ¾ac ¾a warunki: A1. P (A) 0 dla ka zdego A 2 F, A2. P () = 1, A3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz A i \ A j = ; dla i 6= j, to P 0 1 1[ 1X @ A i A = i=1 i=1 P (A i ):

Przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a nazywamy trójk ¾e (; F; P ), gdzie jest dowolnym zbiorem, F jest -cia em podzbiorów, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F. W asności prawdopodobieństwa. Je zeli (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a i zbiory A; B; A 1 ; :::; A n nale z ¾a do F, to spe nione s ¾a poni zsze warunki: W1. P (;) = 0. W2. Je zeli A i \ A j = ; dla i 6= j, to P S ni=1 A i = P ni=1 P (A i ). W3. P (na) = 1 P (A). W4. Je zeli A B, to P (BnA) = P (B) P (A).

W5. Je zeli A B, to P (A) P (B). W6. P (A) 1. W7. P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B). Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to z równości = [ f!g oraz z warunków A2 i W2 wynika, ze X!2 P (f!g) = P 0!2 @ [!2 1 f!ga = P () = 1: (27)

16 Zmienne losowe Niech (; F; P ) b ¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Zmienn ¾a losow ¾a (wektorem losowym) o wartościach w R n nazywamy odwzorowanie X :! R n takie, ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w R n zbiór X 1 (A) nale zy do F. Mo zna wykazać, ze X jest zmienn ¾a losow ¾a wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka zdego uk adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy X 1 (( 1; 1 ] ::: ( 1; n ]) 2 F: Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to ka zda funkcja X :! R n jest zmienn ¾a losow ¾a.

Rozk adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :! R n nazywamy funkcj ¾e P X : B(R n )! R dan ¾a wzorem P X (B) := P (X 1 (B)) dla B 2 B(R n ): (28) Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozk ad dyskretny, je zeli istnieje taki zbiór przeliczalny S R n, ze P X (S) = 1. Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to mo zna przyj ¾ać S := X() (zbiór skończony) i wtedy P X (S) = P X (X()) = P (X 1 (X())) = P () = 1: Zatem ka zda zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk ad dyskretny.

16.1 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk adzie dyskretnym Wartości ¾a oczekiwan ¾a (lub średni ¾a) zmiennej losowej X :! R o rozk adzie dyskretnym, przyjmuj ¾acej skończenie wiele wartości, nazywamy liczb ¾e EX := X i2i x i P (X = x i ); (29) gdzie X() = fx i g i2i, I skończony zbiór indeksów, a P (X = x i ) jest skróconym zapisem wyra zenia P (f! 2 : X(!) = x i g). Wartości ¾a oczekiwan ¾a wektora losowego X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n, gdzie wszystkie zmienne losowe X i przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości, nazywamy wektor EX := (EX 1 ; :::; EX n ): (30)

16.2 Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku ogólnym W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :! R mówimy, ze ma ona wartość oczekiwan ¾a, je zeli jest ca kowalna, tzn. Z jxj dp < 1: Wówczas wartości ¾a oczekiwan ¾a zmiennej losowej X nazywamy liczb ¾e EX := Z XdP: (31) De nicja (31) jest uogólnieniem de nicji (29). W ogólnym przypadku do zde niowania wartości oczekiwanej wektora losowego u zywamy wzoru (30) przy za- o zeniu, ze wszystkie wspó rz ¾edne maj ¾a wartość oczekiwan ¾a.

Ze wzoru (30) i z podstawowych w asności ca ki wynika nast ¾epuj ¾ace twierdzenie. Twierdzenie 1. Niech X i Y bed ¾ a¾ zmiennymi losowymi na o warto sciach w R. Za ó zmy, ze istnieja¾ warto sci oczekiwane EX i EY. Wówczas: (a) Je sli X 0, to EX 0. (b) jexj E jxj. (c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto sć oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey. (32)

17 Prognozowanie stopy zysku z inwestycji 17.1 Metoda 1 na podstawie danych z przesz ości W metodzie tej wykorzystuje si ¾e dane z pewnej ilości okresów poprzedzaj ¾acych okres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest określona wzorem R i = P i P i 1 + D i P i 1 ; (33) gdzie P i, P i 1 oznaczaj ¾a wartości akcji odpowiednio w okresach i, i 1, a D i dywidend ¾e wyp acan ¾a w okresie i.

Wzór (33) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (1), gdzie kapita pocz ¾atkowy K p przyjmujemy jako równy P i 1, a kapita końcowy K k jako równy P i + D i. Jeśli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prognozowania stopy zysku w nadchodz ¾acym okresie (o tej samej d ugości) mo zemy u zyć średniej arytmetycznej R = 1 n nx i=1 albo średniej geometrycznej określonej wzorem (6). R i (34)

17.2 Metoda 2 wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku Korzystaj ¾ac z analiz ekspertów dotycz ¾acych sytuacji danej rmy oraz ca ej gospodarki, mo zna próbować ocenić mo zliwe stopy zysku w ró znych sytuacjach oraz prawdopodobieństwa ich wyst ¾apienia. Wówczas do prognozowania przysz ej stopy zysku u zywamy oczekiwanej stopy zysku. Metod ¾e t ¾e nazywamy prognozowaniem ekspertowym. Oczekiwan ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczb ¾e ER := nx i=1 p i R i ; (35) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n liczba mo zliwych ró znych scenariuszy rozwoju.

18 Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej Niech X :! R b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a. Jeśli E h (X EX) 2i < 1, to t ¾e liczb ¾e nazywamy wariancj ¾a zmiennej losowej X i oznaczamy Var X = D 2 X := E h (X EX) 2i : (36) Wariancj ¾e mo zna inaczej zapisać nast ¾epuj ¾aco: Var X = E(X 2 ) (EX) 2 : (37) Dowód (37). Var X := E[(X EX) 2 ] = E[X 2 2XEX + (EX) 2 ] = E(X 2 ) (EX) 2.

Ze wzorów (36) i (29) wynika, ze jeśli X przyjmuje skończon ¾a ilość wartości x i, i 2 I, to Var X = X i2i P (X = x i )(x i EX) 2 : (38) W asności wariancji. Jeśli X jest zmienn ¾a losow ¾a, dla której E(X 2 ) < 1, to istnieje Var X i spe nia warunki (a) Var X 0. (b) Var(X) = 2 Var X (c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R). ( 2 R). (d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta a z prawdopodobieństwem 1.

Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek z wariancji: X = DX = p Var X: (39) 19 Ryzyko papieru wartościowego Ryzyko w analizie portfelowej oznacza niepewność wyst ¾apienia oczekiwanej sytuacji w procesie inwestowania. Określa ono tak ze skal ¾e zró znicowania (rozproszenia) prognozy lub danych historycznych. Miarami ryzyka zwi ¾azanego z inwestowaniem w papiery wartościowe s ¾a wariancja i odchylenie standardowe papieru wartościowego.

19.1 Prognozowanie ekspertowe W przypadku prognozowania ekspertowego wariancj ¾e papieru wartościowego de niujemy nast ¾epuj ¾aco: V := nx i=1 p i (R i ER) 2 ; (40) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, ER oczekiwana stopa zysku z inwestycji, dana wzorem (35). Im mniejsza wartość V, tym mniejsze ryzyko osi ¾agni ¾ecia oczekiwanej stopy zysku. Najmniejsz ¾a mo zliw ¾a do osi ¾agni ¾ecia wartości ¾a jest 0. Wyst ¾epuje ona wtedy, gdy wszystkie mo zliwe scenariusze rozwoju charakteryzuj ¾a si ¾e jednakow ¾a stop ¾a zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta ym oprocentowaniu.

19.2 Prognozowanie ryzyka na podstawie wartości historycznych stóp zysku Zak ada si ¾e, ze rozk ad przysz ych stóp zysku b ¾edzie si ¾e charakteryzowa takim samym ryzykiem, jakie wyst ¾epowa o w dotychczasowych notowaniach. Wariancj ¾e dotychczasowych stóp zysku oblicza si ¾e wed ug wzoru V := 1 n nx i=1 (R i R) 2 ; (41) gdzie n liczba okresów, z których pochodz ¾a dane, R i stopy zysku uzyskane w kolejnych okresach, R średnia historyczna stopa zysku, dana wzorem (34). Poniewa z nie s ¾a określone prawdopodobieństwa wyst ¾apienia poszczególnych stóp zysku R i, przyjmuje si ¾e, ze s ¾a one jednakowe i wynosz ¾a 1=n. Wówczas ER = R zgodnie z wzorem (35), a zatem (41) jest szczególnym przypadkiem (40), gdzie p i = 1=n dla i = 1; :::; m.

W przypadku ma ej liczby danych (n 30) do prognozowania wariancji stopy zysku stosuje si ¾e wyra zenie ^V := 1 n 1 nx i=1 (R i R) 2 : (42) Sens u zycia tego wzoru wynika z faktu, ze ^V jest tzw. estymatorem nieobcia zonym ¾ wariancji, co wyjaśnimy dok adniej w dalszej cz ¾eści wyk adu. W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy zysku przyjmujemy pierwiastek z odpowiedniego wyra zenia, tzn. p V lub p ^V.

20 Niezale zność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1 ; :::; X n o wartościach w R, określone na zbiorze, gdzie (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, nazywamy niezale znymi, je zeli dla dowolnych zbiorów B 1 ; :::; B n 2 B(R) zachodzi równość P (X 1 2 B 1 ; :::; X n 2 B n ) = P (X 1 2 B 1 ) ::: P (X n 2 B n ): (43) W powy zszym wzorze wyra zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra zenia P f! 2 : X 1 (!) 2 B 1 ^ ::: ^ X n (!) 2 B n g; podobna uwaga dotyczy wyra zeń po prawej stronie.

Twierdzenie 2. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n sa¾ niezale zne i maja¾ warto sć oczekiwana, ¾ to istnieje warto sć oczekiwana iloczynu Q n i=1 X i i zachodzi równo sć E 0 1 ny ny @ X i A = i=1 i=1 EX i : (44) Dowód przeprowadzimy dla przypadku dwóch zmiennych losowych X, Y przyjmuj ¾acych skończenie wiele wartości. Za ó zmy, ze X() = fx i g i2i, Y () = fy j g j2j, gdzie I, J skończone zbiory indeksów. Poniewa z zbiory jednoelementowe fx i g i fy j g s ¾a borelowskie, wi ¾ec z (43) otrzymujemy P (X = x i ; Y = y j ) = P (X = x i )P (Y = y j ) (i 2 I, j 2 J).

St ¾ad na podstawie (29) X j2j = X X i2i j2j 0 E(XY ) = X i2i = x i y j P (X = x i ; Y = y j ) x i y j P (X = x i )P (Y = y j ) @ X i2i x i P (X = x i ) 1 0 1 A @ X y j P (Y = y j ) A = EX EY. j2j

Twierdzenie 3. Przy za o zeniach Twierdzenia 2 zachodzi równo sć Var 0 1 nx @ X i A = i=1 nx i=1 Var X i : (45) Dowód (dla dwóch zmiennych losowych X, Y ). Korzystaj ¾ac kolejno ze wzorów (37), (32), (44) i ponownie z (37), otrzymujemy Var(X + Y ) = E h (X + Y ) 2i [E (X + Y )] 2 = E X 2 + 2XY + Y 2 [EX + EY ] 2 = E(X 2 ) + 2E (XY ) + E(Y 2 ) (EX) 2 2EX EY (EY ) 2 = E(X 2 ) (EX) 2 + E(Y 2 ) (EY ) 2 = Var X + Var Y.

21 Kowariancja i wspó czynnik korelacji zmiennych losowych Kowariancj ¾a ca kowalnych zmiennych losowych X i Y, spe niaj ¾acych warunek E jxy j < 1, nazywamy liczb ¾e Cov(X; Y ) := E [(X EX) (Y EY )] : (46) Z powy zszej de nicji i z Twierdzenia 1(c) otrzymujemy Cov(X; Y ) = E [XY (EX)Y X(EY ) + EX EY ] = E(XY ) 2EX EY + E(EX EY ) = E(XY ) EX EY; (47) gdzie ostatnia równość wynika z faktu, ze wartość oczekiwana zmiennej losowej o sta ej wartości jest równa tej sta ej.

Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi; w przeciwnym przypadku skorelowanymi. Korzystaj ¾ac z nierówności Schwarza dla ca ek, mo zna wykazać nast ¾epuj ¾ac ¾a nierówność: jcov(x; Y )j p Var X Var Y ; (48) przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1 zmienne losowe X i Y zwi ¾azane s ¾a zale zności ¾a liniow ¾a, tzn. istniej ¾a takie liczby a, b 2 R, ze P fy = ax + bg = 1: (49) Wspó czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczb ¾e (X; Y ) := Cov(X; Y ) X Y = Cov(X; Y ) p Var X Var Y : (50)

Z nierówności (48) wynika, ze j(x; Y )j 1, a równość zachodzi tylko w przypadku liniowej zale zności mi ¾edzy zmiennymi X i Y. Z Twierdzenia 2 i z równości (47) wynika, ze jeśli zmienne losowe X i Y s ¾a niezale zne i maj ¾a wartość oczekiwan ¾a, to s ¾a nieskorelowane. Za ó zmy teraz, ze zmienne losowe X i Y przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości i ze dany jest rozk ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X; Y ), tzn. dane s ¾a skończone ci ¾agi liczbowe x 1 ; :::; x n i y 1 ; :::; y n oraz ci ¾ag liczb dodatnich p 1 ; :::; p n takie, ze nx i=1 p i = 1 oraz P (X = x i ; Y = y i ) = p i, i = 1; :::; n: (51)

Wówczas, korzystaj ¾ac z wzoru (29) na wartość oczekiwan ¾a, mo zemy zapisać wzór (46) w postaci Cov(X; Y ) = nx i=1 p i (x i EX) (y i EY ) : (52) 22 Korelacja papierów wartościowych Rozwa zmy teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y s ¾a odpowiednio stopy zysku R A i R B akcji A i B. Niech A i B oznaczaj ¾a odpowiednio odchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B. W przypadku akcji za o zenie ich dodatniości jest na ogó spe nione.

W przypadku prognozowania ekspertowego, jako szczególny przypadek wzoru (52), otrzymujemy nast ¾epuj ¾ac ¾a de nicj ¾e: Kowariancj ¾a akcji (ogólniej: inwestycji nansowych) A i B nazywamy liczb ¾e gdzie: Cov(R A ; R B ) := nx i=1 p i RA;i ER A RB;i ER B ; (53) R A;i stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B), p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n ilość mo zliwych sytuacji.

Korzystaj ¾ac ze wzorów (40), (50) i (53), otrzymujemy de nicj ¾e wspó czynnika korelacji akcji A i B: A;B : = Cov(R A; R B ) A B P ni=1 p i RA;i ER A RB;i ER B = q Pni=1 p i (R A;i ER A ) 2q P (54) ni=1 p i (R B;i ER B ) 2: Jeśli korelacj ¾e określa si ¾e na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku (R A;i ; R B;i ), i = 1; :::; n, to wzory określaj ¾ace kowariancj ¾e i wspó czynnik korelacji akcji A i B przyjmuj ¾a postać Cov(R A ; R B ) := 1 n nx i=1 RA;i ~R A RB;i ~R B ; (55)

gdzie ~R A, ~R B średnie arytmetyczne odpowiednio wielkości R A;i, R B;i (i = 1; :::; n), A;B : = Cov(R A; R B ) A B P ni=1 RA;i ~R A RB;i ~R B = q Pni=1 (R A;i ~R A ) 2q P (56) ni=1 (R B;i ~R B ) 2: W przypadku ma ej liczby danych, wspó czynnik 1=n wyst ¾epuj ¾acy w (55) i (niejawnie) w (56) mo ze być zast ¾apiony przez 1=(n 1), podobnie jak przy obliczaniu wariancji akcji.

Mówimy, ze akcje (inwestycje nansowe) A i B s ¾a (a) dodatnio skorelowane, jeśli A;B > 0, (b) ujemnie skorelowane, jeśli A;B < 0, (c) nieskorelowane, jeśli A;B = 0, (d) doskonale (dok adnie) dodatnio skorelowane, jeśli A;B = 1, (e) doskonale (dok adnie) ujemnie skorelowane, jeśli A;B = 1. Uwaga. Wspó czynnik korelacji jest miar ¾a zale zności liniowej (por. wzór (49)), tj. miar ¾a skupiania si ¾e punktów (R A;i ; R B;i ) (w uk adzie wspó rz ¾ednych na p aszczyźnie) wokó linii prostej.

23 Model wartości kapita u w czasie Rozwa zamy kapita K, którego wartość w momencie t oznaczamy przez K(t), przy czym czas jest wyra zony w latach. Kapita K mo zna zatem traktować jako funkcj ¾e K : R! R. Zak adamy, ze znana jest wartość K(t 0 ) kapita u K w momencie t 0, przy czym K(t 0 ) > 0. W celu aktualizacji wartości tego kapita u na dowolnie wybrany moment t A odleg y od t 0 o ca kowit ¾a ilość lat, mo zemy zastosować wzór (8) na obliczanie procentu sk adanego (jeśli t A > t 0 ) albo zasad ¾e dyskonta (10) (jeśli t A < t 0 ). Przy obecnych oznaczeniach daje to odpowiednio K(t A ) = K(t 0 )(1 + R) t A t 0, dla t A t 0 > 0; (57) K(t A ) = K(t 0 ) (1 + R) t 0 t A = K(t 0 )(1 + R) t A t 0, dla t A t 0 < 0: (58)

Wzory (57) i (58) mo zna uogólnić w ten sposób, ze dla dowolnego momentu czasowego t, bez wzgl ¾edu na to, czy jest on wcześniejszy czy późniejszy ni z t 0, wartość kapita u zaktualizowana na moment t wynosi K(t) = K(t 0 )(1 + R) t t 0, t 2 R: (59)

24 Estymatory nieobci ¾a zone Rozwa zamy model doświadczenia polegaj ¾acy na n-krotnej realizacji pewnego doświadczenia losowego, którego modelem jest zmienna losowa X (o wartościch rezczywistych). Modelem takiej n-krotnej realizacji tego doświadczenia jest n-wymiarowy wektor losowy (X 1 ; :::; X n ), gdzie X 1 ; :::; X n s ¾a niezale znymi zmiennymi losowymi, z których ka zda ma taki sam rozk ad prawdopodobieństwa jak X. Taki wektor losowy (X 1 ; :::; X n ) nazywamy n-elementow ¾a prób ¾a losow ¾a (prost ¾a) zmiennej losowej X. Niech! 2 b ¾edzie zdarzeniem elementarnym, w wyniku którego obserwujemy x 1 = X 1 (!); :::; x n = X n (!). Wówczas wektor (x 1 ; :::; x n ) nazywamy realizacj ¾a próby losowej (X 1 ; :::; X n ) odpowiadaj ¾ac ¾a zdarzeniu elementarnemu!.

Statystyk ¾a nazywamy ka zd ¾a funkcj ¾e rzeczywist ¾a U n = '(X 1 ; :::; X n ) wektora losowego (X 1 ; :::; X n ) stanowi ¾acego prób ¾e wyjściowej zmiennej losowej X. Statystyk ¾a nazywa si ¾e tak ze realizacj ¾e u n = '(x 1 ; :::; x n ) zmiennej losowej U n. Za ó zmy teraz, ze rozklad zmiennej losowej X zale zy od parametru 2 R. Wówczas rozk ad danej statystyki U n na ogó tak ze zale zy od, pomimo tego, ze sama statystyka nie jest funkcj ¾a. Obserwacje statystyki U n mo zna zatem wykorzystać do wnioskowania o parametrze. Zmienn ¾a losow ¾a (statystyk¾e) U n = '(X 1 ; :::; X n ), której realizacj ¾e przyjmujemy jako ocen ¾e parametru, nazywamy estymatorem parametru. Estymator U n = '(X 1 ; :::; X n ) parametru nazywamy nieobci ¾a zonym, je zeli EU n = ; w przeciwnym przypadku estymator U n nazywamy obci ¾a zonym.

Statystyk ¾e X := 1 n nazywamy średni ¾a z próby, a statystyk¾e nx i=1 X i (60) wariancj ¾a z próby. S 2 := 1 n nx i=1 (X i X) 2 (61)

Stwierdzenie 3. Średnia z próby jest estymatorem nieobcia zonym ¾ warto sci oczekiwanej EX. Dowód. Korzystaj ¾ac z liniowości wartości oczekiwanej (wzór (32)) oraz z faktu, ze zmienne losowe X 1 ; :::; X n maj ¾a ten sam rozk ad (a wi ¾ec i wartość oczekiwan ¾a) co X, otrzymujemy E X = 1 n nx i=1 EX i = 1 nex = EX. (62) n

Stwierdzenie 4. Var X. Wariancja z próby jest estymatorem obcia zonym ¾ wariancji Dowód. Z de nicji S 2 = 1 nx i X) n i=1(x 2 = 1 nx (Xi 2 2X i X + X 2 ) n i=1 = 1 nx Xi 2 2 X 1 nx X i + 1 nx X 2 n i=1 n i=1 n i=1 = 1 nx Xi 2 2 X 2 + X 2 = 1 nx Xi 2 X 2 : n i=1 n i=1 St ¾ad, poniewa z X i maj ¾a ten sam rozk ad co X, otrzymujemy 0 E(S 2 ) = E @ 1 n 1 nx Xi 2 i=1 A E( X 2 ) = E(X 2 ) E( X 2 ): (63)

Zgodnie z (37) i (62) mamy E(X 2 ) = Var X + (EX) 2 ; (64) E( X 2 ) = Var X + (E X) 2 = Var X + (EX) 2 : (65) Ponadto na mocy (60), w asności (b) wariancji oraz Twierdzenia 3 0 Var X = Var @ 1 n Ze wzorów (63) (66) dostajemy 1 nx X i i=1 E(S 2 ) = Var X Var X = A = 1 n 2 n Var X = 1 n 1 1 n Var X = n 1 n Var X. (66) Var X; co oznacza, ze S 2 jest estymatorem obci ¾a zonym parametru Var X.

Wniosek. Statystyka ^S 2 := n n 1 S2 = 1 n 1 nx i=1 jest estymatorem nieobcia zonym ¾ wariancji Var X. (X i X) 2 Powy zszy wniosek uzasadnia stosowanie wzoru (42) do prognozowania wariancji stopy zysku w przypadku ma ej liczby danych.

25 Wariancja sumy zmiennych losowych Dotychczas podaliśmy wzór na wariancj ¾e sumy zmiennych losowych jedynie w przypadku zmiennych losowych niezale znych (wzór (45)). Obecnie podamy wzór dla przypadku ogólnego. Twierdzenie 4. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja¾ wariancje, ¾ to istnieje te z wariancja sumy P n i=1 X i i zachodzi rowno sć Var 0 1 nx nx @ X i A = i=1 i=1 Var X i + 2 X 1i<jn Cov(X i ; X j ): (67)

Dowód. Korzystaj ¾ac kolejno z (37), (32), ponownie z (37) oraz z (47), otrzymujemy = nx i=1 Var 0 1 nx @ X i i=1 A = E h E(X 2 i ) (EX i ) 2i + 2 = nx i=1 Var X i + 2 20 12 3 0 6 nx 4@ X i A 7 nx 5 @ i=1 i=1 X 1i<jn X 1i<jn h E(Xi X j ) EX i Cov(X i ; X j ). 12 A EX i EX j i Wniosek. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maj ¾ a wariancj ¾ e i s ¾ a parami nieskorelowane, to zachodzi równo sć (45).

26 Portfel dwóch akcji Niech P oznacza portfel, w którym udzia y akcji A i B wynosz ¾a odpowiednio u A i u B. Udzia y te rozumiemy w sensie wartościowym, a nie ilościowym, co ilustruje poni zszy przyk ad. Przyk ad. Inwestor posiada portfel, w sk ad którego wchodzi 10 akcji Exbudu (typ A) oraz 20 akcji Wedla (typ B). Aktualna cena jednej akcji Exbudu wynosi 45 z 50 gr, a jednej akcji Wedla 16 z 50 gr. Wobec tego udzia y tych akcji w portfelu wynosz ¾a: u A = 10 45; 5 10 45; 5 + 20 16; 5 t 0; 58; u B = 20 16; 5 10 45; 5 + 20 16; 5 t 0; 42:

Ogólnie, udzia y akcji w portfelu s ¾a liczbami z przedzia u [0; 1], które sumuj ¾a si ¾e do jedności. Jest to równowa zne warunkom: u A 0, u B 0, u A + u B = 1: (68) Oznaczmy oczekiwane stopy zysku akcji A i B odpowiednie przez R A i R B. Mog ¾a to być równie z średnie historyczne stopy zysku obliczone na podstawie wcześniejszych notowań. Wówczas oczekiwana stopa zysku portfela P jest dana wzorem: ER P = E(u A R A + u B R B ) = u A ER A + u B ER B : (69) Zatem oczekiwana stopa zysku portfela jest średni ¾a wa zon ¾a oczekiwanych stóp zysku obu akcji, przy czym wagami s ¾a udzia y tych akcji w portfelu.

Korzystaj ¾ac z wzoru (67), mo zemy wyznaczyć wariancj ¾e (stopy zysku) portfela P : gdzie: Var R P = Var(u A R A ) + Var(u B R B ) + 2 Cov(u A R A ; u B R B ) = u 2 A Var(R A) + u 2 B Var(R B) + 2u A u B Cov(R A ; R B ); (70) Var(R A ), Var(R B ) wariancje odpowiednio akcji A i B, Cov(R A ; R B ) kowariancja akcji A i B.

Przechodz ¾ac do ryzyka opisanego za pomoc ¾a odchylenia standardowego, otrzymujemy z wzoru (70) q q P = Var R P = u 2 A 2 A + u2 B 2 B + 2u Au B A B A;B ; (71) gdzie: P odchylenie standardowe (ryzyko) portfela P, A, B ryzyko odpowiednio akcji A i B, A;B wspó czynnik korelacji akcji A i B. Analizuj ¾ac wzory (69) i (71) widzimy, ze wartości ER P i P zale z ¾a od udzia ów poszczególnych akcji w portfelu oraz (w przypadku P ) od korelacji mi ¾edzy akcjami. Omówimy teraz ró zne przypadki w zale zności od wartości A;B.

26.1 Przypadek A;B = 1 (doskona a korelacja dodatnia) Wzór (71) przyjmuje wówczas postać P = = q u 2 A 2 A + u2 B 2 B + 2u Au B A B q (u A A + u B B ) 2 = u A A + u B B : (72) Geometrycznie oznacza to na p aszczyźnie, gdzie portfelowi P odpowiada para ( P ; ER P ) ze wszystkie portfele utworzone przez akcje A i B le z ¾a na odcinku ¾acz ¾acym punkty ( A ; ER A ) i ( B ; ER B ). Jest to przypadek ma o interesuj ¾acy dla inwestora, poniewa z nie mo zna uzyskać ryzyka portfela mniejszego ni z minf A ; B g.

26.2 Przypadek A;B = 1 (doskona a korelacja ujemna) Wzór (71) przyjmuje postać P = = q u 2 A 2 A + u2 B 2 B 2u A u B A B q (u A A u B B ) 2 = ju A A u B B j : (73) Tutaj istnieje szansa na to, ze P < minf A ; B g. W szczególności, mo zna uzyskać wartość P = 0, jeśli u A A = u B B : (74) Uwzgl ¾edniaj ¾ac równość u A + u B = 1, czyli u A = 1 u B, otrzymujemy z (74) (1 u B ) A = u B B : Przekszta ćmy ten wzór w celu wyznaczenia u B : A u B A = u B B, A = u B ( A + B ):

St ¾ad u B = A A + B, u A = B A + B : (75) Zatem udzia y akcji A i B w portfelu o zerowym ryzyku s ¾a dane wzorami (75). Oczekiwana stopa zysku takiego portfela wynosi ER P = u A ER A + u B ER B = BER A + A ER B A + B : (76)

26.3 Przypadek A;B = 0 (brak korelacji) Wzór (71) przyjmuje postać P = q u 2 A 2 A + u2 B 2 B : (77) Analiza wzoru (77) wykazuje, ze istnieje mo zliwość cz ¾eściowej redukcji ryzyka portfela w stosunku do ryzyka akcji wchodz ¾acych w jego sk ad. Aby znaleźć udzia y akcji tworz ¾ace portfel minimalnego ryzyka, nale zy rozwi ¾azać równanie d P du A = d du A q u 2 A 2 A + u2 B 2 B Mamy d P du A = 0 () u A 2 A 2 B + u A 2 B = 0 () = 0: (78) u A = 2 B 2 A +, st ¾ad u B = 2 B 2 A 2 A + : (79) 2 B

Minimalne ryzyko tego portfela osi ¾agane przy udzia ach określonych wzorami (79) wynosi, zgodnie z (77), v q u 2 A 2 B (2 A + 2 B ) P = t 4 B 2 A + 4 A 2 B ( 2 A + 2 B )2 = 2 A + 2 B Oczekiwana stopa zysku tego portfela wynosi ER P = 2 B ER A + 2 A ER B 2 A + 2 B = q A B 2 A + : (80) 2 B : (81)

27 Korelacja graniczna Analizuj ¾ac wzór (71) określaj ¾acy ryzyko portfela dwóch akcji w ogólnym przypadku, mo zna postawić pytanie, dla jakich wartości A;B jest mo zliwe obni zenie ryzyka portfela poni zej minf A ; B g. Okazuje si ¾e, ze jest to mo zliwe dla wartości A;B mniejszych od tzw. korelacji granicznej: gr := min ( A ; ) B : (82) B A Stwierdzenie 5. Je sli A;B < gr, to istnieja¾ takie udzia y u A, u B, ze P < minf A ; B g. Je sli A;B gr, to minimalna¾ warto scia¾ P jest minf A ; B g.

W szczególności, jeśli ryzyko obu akcji jest jednakowe ( A = B ), to dowolna korelacja poza idealn ¾a dodatni ¾a (gdzie A;B = 1) powoduje obni zenie ryzyka portfela. 28 Zbiór portfeli dwóch akcji na p aszczyźnie Wszystkie portfele dwóch akcji A i B, przy dowolnej ich korelacji, mieszcz ¾a si ¾e wewn ¾atrz trójk ¾ata, którego wierzcho kami s ¾a punkty A = ( A ; ER A ), B = ( B ; ER B ) i portfel zerowego ryzyka P 0 = (0; ER P0 ) (ten ostatni istnieje dla A;B = 1).

29 Portfel wielu akcji model Markowitza Oznaczmy: m liczba rm, których akcje s ¾a w portfelu (ponumerowanych od 1 do m), n j ilość j-tych akcji znajduj ¾acych si ¾e w portfelu. Zak adamy, ze n j (j = 1; :::; m) s ¾a liczbami nieujemnymi. Aby portfel by niepusty, trzeba za o zyć, ze n j > 0 dla pewnego j. Liczby n j wyznaczaj ¾a sk ad ilościowy portfela. Nas interesuje sk ad procentowy (wartościowy) portfela, tzn. jaki jest stosunek wartości j-tych akcji w portfelu do ¾acznej wartości wszystkich akcji znajduj ¾acych si ¾e w tym portfelu.

W celu wyznaczenia sk adu procentowego oznaczmy: p j cena rynkowa j-tej akcji (p j > 0). Wówczas udzia procentowy (w sensie wartości) j-tej akcji w portfelu określa liczba u j := n jp j P mi=1 n i p i, j = 1; :::; m: (83) Uwaga. atwo sprawdzić, ze u j 0; j = 1; :::; m; mx j=1 u j = 1 (84) (tzw. równanie bud zetowe).

Stwierdzenie 6. Weźmy dowolne liczby u j spe niajace ¾ (84). Wówczas istnieja¾ takie liczby nieujemne n 1 ; :::; n m, wyznaczone z dok adno scia¾ do proporcjonalno sci, ze spe nione sa¾ równo sci (83). Dowód. atwo sprawdzić, ze: (a) odwzorowanie (n 1 ; :::; n m ) 7! (n 1 p 1 ; :::; n m p m ) przekszta ca zbiór na siebie; R m + nf0g = f(n 1; :::; n m ) : n i 0, i = 1; :::; mgnf(0; :::; 0)g (b) odwzorowanie (y 1 ; :::; y m ) 7! y1 Pmi=1 y i ; :::; Pmi=1 y m y i przekszta ca zbiór R m + nf0g na zbiór n (u 1 ; :::; u m ) 2 R m + : P m j=1 u j = 1 o.

Z powy zszych w asności (a), (b) wynika istnienie liczb n 1 ; :::; n m spe niaj ¾acych równości (83). Dowód jednoznaczności: za ó zmy, ze u j = n jp j P mi=1 n i p i = ^n jp j P mi=1 ^n i p i, j = 1; :::; m: Wówczas ^n j = n j P mi=1 ^n i p i P mi=1 n i p i! = n j ; gdzie wspó czynnik proporcjonalności, niezale zny od j. Uwaga. W teorii mo zemy traktować liczby u j spe niaj ¾ace za o zenia Stwierdzenia 6 jako udzia y j-tych akcji w portfelu, o ile dopuścimy mo zliwość posiadania przez inwestora dowolnych cz ¾eści tych akcji (za o zenie nieskończonej podzielności papierów wartościowych).

Zbiór P m := 8 < : u = (u 1; :::; u m ) 2 R m : u i 0, i = 1; :::; m, mx j=1 u j = 1 (85) nazywamy zbiorem portfeli m-sk adnikowych. Wspó rz ¾edna u j wektora u oznacza udzia j-tych papierów wartościowych w portfelu u. Zbiór P m jest sympleksem m-wymiarowym o wierzcho kach (0; ::; 0; 1 i ; 0; :::; 0), i = 1; :::; m, gdzie 1 i oznacza jedynk¾e na i-tym miejscu. 9 = ; Dla dowolnego portfela u 2 P m przyjmujemy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia: R j stopa zysku z inwestycji w j-te papiery wartościowe, R = (R 1 ; :::; R m ) wektor (losowy) stóp zysku,

= ( 1 ; :::; m ) wektor oczekiwanych stóp zysku, gdzie i := E(R i ) (i = 1; :::; m), K p kapita pocz ¾atkowy inwestora, K p;j := u j K p wartościowe, cz ¾eść kapita u pocz ¾atkowego zainwestowana w j-te papiery K k kapita końcowy inwestora, K k;j kapita końcowy w j-tych papierach wartościowych. Ze wzoru (2) otrzymujemy K k;j = K p;j (1 + R j ), j = 1; :::; m.

Stop ¾e zysku portfela u de niujemy, zgodnie z wzorem (1), jako zmienn ¾a losow ¾a o wartościach rzeczywistych: K p R(u) := K k : (86) K p W dalszym ci ¾agu symbolem hx; yi b ¾edziemy oznaczać iloczyn skalarny w przestrzeni R m : hx; yi := mx i=1 x i y i dla x = (x 1 ; :::; x m ), y = (y 1 ; :::; y m ): (87) Stwierdzenie 7. Zachodzi równo sć R(u) = hu; Ri : (88)

Dowód. P mj=1 K k;j P mj=1 K p;j R(u) = K k K p = P K mj=1 p K p;j P mj=1 P K p;j (1 + R j ) mj=1 P K mj=1 p;j K p;j R j = P mj=1 = K p;j = K p P m j=1 u j R j K p P mj=1 u j = mx j=1 u j R j = hu; Ri. P mj=1 K p;j Oczekiwana stopa zysku portfela u jest dana wzorem ER(u) = E 0 @ mx j=1 u j R j 1 A = mx j=1 u j j = hu; i : (89)

30 Macierz kowariancji wektora losowego Niech X :! R m b ¾edzie wektorem losowym. Jeśli istniej ¾a wariancje Var X j, j = 1; :::; m, to macierz C := [c ij ] m i;j=1, gdzie c ij = Cov(X i ; X j ); (90) nazywamy macierz ¾a kowariancji wektora losowego X = (X 1 ; :::; X m ). Istnienie kowariancji Cov(X i ; X j ) dla dowolnej pary (i; j) wynika z przyj ¾etego za o zenia i ze wzoru (48).

Stwierdzenie 8. Macierz kowariancji ma nastepuj ¾ ace ¾ w asno sci: (a) jest symetryczna, tzn. c ij = c ji dla dowolnej pary (i; j), (b) jest nieujemnie określona, tzn. ucu T = mx i;j=1 u i u j c ij 0 dla ka zdego u 2 R m : (91) Dowód. (a) wynika ze wzoru (46). (b) Rozwa zmy zmienn ¾a losow ¾a Y := P m i=1 u i X i. Jeśli EX i = i (i = 1; :::; m), to EY = P m i=1 u i i oraz 0 Var Y = E h (Y EY ) 2i = E 20 6 mx 4@ i=1 u i (X i i ) 1 A23 7 5

= E 2 mx 4 i;j=1 u i u j (X i i )(X j j ) = mx i;j=1 3 5 = mx i;j=1 u i u j E h (X i i )(X j j ) i u i u j Cov(X i ; X j ) = ucu T. (92) Stosuj ¾ac cz ¾eść (b) powy zszego dowodu do zmiennej losowej R(u) określonej wzorem (88) (gdzie u 2 R m + ), otrzymujemy Wniosek. Wariancja stopy zysku portfela u 2 P m jest dana wzorem Var R(u) = ucu T ; (93) gdzie C jest macierza¾ kowariancji wektora stóp zysku R = (R 1 ; :::; R m ).

Ryzyko portfela u jest określone jako odchylenie standardowe q (u) = Var R(u): (94) Mówimy, ze macierz C jest dodatnio określona, je zeli ucu T > 0 dla ka zdego u 2 R m nf0g: (95) Uwaga. Cz ¾esto w literaturze macierz nieujemnie określon ¾a nazywa si ¾e macierz ¾a dodatnio okre slona. ¾ Wówczas macierz spe niaj ¾ac ¾a warunek (95) nazywa si ¾e macierz ¾a scísle dodatnio okre slona. ¾

Stwierdzenie 9. Macierz kowariancji C wektora losowego X nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja¾ takie liczby u 1 ; :::; u m nie wszystkie równe zeru, ze zmienna losowa P m i=1 u i X i jest sta a z prawdopodobieństwem jeden. Dowód. Zaprzeczenie warunku (95) oznacza, ze istnieje taki wektor u 6= 0, ze ucu T = 0. Na mocy (92) jest to równowa zne warunkowi E 20 6 mx 4@ 1 A23 mx 7 u i X i u i i 5 = 0: (96) i=1 i=1 Wiadomo, ze wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa jest równa zeru z prawdopodobieństwem 1. Zatem warunek (96) oznacza, ze P m i=1 u i X i jest z prawdopodobieństwem 1 równa sta ej P m i=1 u i i.

Wniosek. Macierz kowariancji C nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych X i zale zy (z prawdopodobieństwem jeden) w sposób liniowy od pozosta ych zmiennych losowych. Dowód. Na mocy Stwierdzenia 9 macierz C nie jest ściśle dodatnio określona, 9u 6= 0, P m i=1 u i X i = z prawdopodobieństwem 1, gdzie jest pewn ¾a sta ¾a. Wybieraj ¾ac spośród liczb u i jedn ¾a ró zn ¾a od zera (oznaczmy j ¾a u s ), otrzymamy równowa zny warunek (tak ze z prawdopodobieństwem 1) X s = 1 u s 0 1 @ X u i X i + A. i6=s Uwaga. W przypadku macierzy kowariancji wektora stóp zysku portfela u 2 P m sytuacja opisana w powy zszym wniosku oznacza, ze jeden z papierów wartościowych znajduj ¾acych si ¾e w portfelu mo zna usun ¾ać, zast ¾epuj ¾ac go kombinacj ¾a pozosta ych papierów wartościowych.