www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa rozwiaza- niami równania x 3 = 5. ZADANIE 2 Dana jest funkcja kwadratowa f (x) = 9(x a 2 )2 + 4 a) Dla a = 2 wyznacz postać iloczynowa tej funkcji. b) Dla a = 0 wyznacz te argumenty, dla których funkcja osiaga wartości ujemne. c) Wyznacz a tak, aby osia symetrii wykresu funkcji była prosta o równaniu x = 6. ZADANIE 3 Zbiorem wartości funkcji kwadratowej g jest przedział (, 5, a zbiorem rozwiazań nierówności g(x) > 0 jest przedział (2, 8). Wyznacz wzór funkcji g. ZADANIE 4 Napisz wzór i narysuj wykres funkcji y = g(m), która każdej liczbie rzeczywistej m przyporzadkowuje najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f (x) = x 2 + (m 2 4)x + 2 w przedziale 1, 1. ZADANIE 5 Znajdź taka wartość parametru m, aby największa wartość funkcji f (x) = x 2 + mx + m była najmniejsza z możliwych. ZADANIE 6 Dany jest trójmian kwadratowy f (x) = ax 2 + bx + c. a) Dla a = 2, b = 4, c = 5 wyznacz największa i najmniejsza wartość tego trójmianu w przedziale 3, 2. b) Wyznacz wzór trójmianu w postaci iloczynowej, jeśli wiadomo, że ma on miejsca zerowe x 1 = 3, x 2 = 4, a do jego wykresu należy punkt A = (2, 20). ZADANIE 7 Funkcja kwadratowa f przyjmuje największa wartość równa 3 1 5, a zbiorem rozwiazań nierówności f (x) > 0 jest przedział ( 5, 3). Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej. ZADANIE 8 Dana jest funkcja F(x) = ax 2 + bx + 5. Wyznacz a i b wiedzac, że F(x + 1) F(x) = 8x + 3. ZADANIE 9 Dane sa dwie funkcje kwadratowe f (x) = x 2 + bx + 1 oraz g(x) = bx 2 + cx 4, gdzie b = 0. Wyznacz wszystkie wartości parametrów b i c tak, aby funkcja f miała jedno miejsce zerowe i jednocześnie funkcja g przyjmowała wartości ujemne dla każdego x R. 2
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 10 Funkcja f określona wzorem f (x) = mx 2 + mx 1. Wyznacz te wartości parametru m, dla których: a) funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne, b) zbiorem wartości funkcji f jest przedział ( ; 0. ZADANIE 11 Funkcję kwadratowa f można opisać wzorem majacym postać f (x) = 2x 2 + 4x + m. a) Wyznacz warunek, dla którego funkcja f ma dwa różne pierwiastki x 1, x 2, a następnie oblicz x 1 + x 2. b) Wiedzac dodatkowo, że x 1 x 2 = 4, oblicz m. Dla wyznaczonej liczby m naszkicuj wykres funkcji f w układzie współrzędnych, a następnie rozwiaż równanie f (x 3) = 6. y +1-5 -1 +1 +5 x -1-5 -10 ZADANIE 12 Funkcja y = (m + 1)x 2 (2m + 4)x 7 jest malejaca w zbiorze ( ; 4) i rosnaca w zbiorze (4; + ). Wyznacz parametr m. ZADANIE 13 Dana jest funkcja f (x) = (p 3)x 2 + 2x 1. Wyznacz te wartości parametru p, dla których: a) największa wartość funkcji f jest liczba ujemna, b) najmniejsza wartość funkcji f jest mniejsza od -2. ZADANIE 14 Określ liczbę pierwiastków równania (m + 1)x 2 + (m + 1)x + 1 = 0 w zależności od wartości parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji: x 1 + x 2 gdy dane równanie ma dwa pierwiastki x 1 i x 2, f (m) = 2x 0 gdy dane równanie ma jeden pierwiastek x 0, 3 m gdy dane równanie nie ma pierwiastków. 3
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 15 Dla jakich wartości parametru m funkcja f (x) = (m 4)x 2 4x + m 3 ma dwa miejsca zerowe, z których jedno jest mniejsze od 1, a drugie większe od 1? ZADANIE 16 Naszkicuj wykres funkcji, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporzadkowuje liczbę pierwiastków równania (m 2 + 5m 6)x 2 + (2 2m)x + 3 = 0. ZADANIE 17 Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x 2 + mx 16 = 0 jest równa -4? = 0 ma dwa pierwiastki jednakowych znaków, któ- ZADANIE 18 Dla jakich wartości parametru k równanie x 2 2x k 5 k+3 rych suma kwadratów jest nie mniejsza od 3? ZADANIE 19 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 2 4mx m 3 + 6m 2 + m 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x 1, x 2 takie, że (x 1 x 2 ) 2 < 8(m + 1). ZADANIE 20 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 2 (m 4)x + m 2 4m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od 2m 3 3. ZADANIE 21 Dane jest równanie x 2 + bx + c = 0 z niewiadoma x. Wyznacz wartości b i c tak, by były one rozwiazaniami danego równania. ZADANIE 22 Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f (m) = x1 2 + x2 2, gdzie x 1 i x 2 sa różnymi pierwiastkami równania x 2 mx + m 2 2m + 1 = 0. ZADANIE 23 Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie x 2 + mx + m = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że ich iloczyn jest mniejszy od 6. 4
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 24 Dla jakich wartości parametru m każdy z dwóch różnych pierwiastków równania x 2 + mx + 4 = 0 jest mniejszy od 4? ZADANIE 25 Dla jakich wartości parametru m równanie (m 1)x 2 2mx + m = 0 posiada 2 różne rozwiazania? ZADANIE 26 Dla jakich wartości parametru m równanie x 2 mx + m 2 2m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest o jeden większa od ich iloczynu? ZADANIE 27 Dla jakich wartości parametru m suma pierwiastków równania x 2 2m(x 1) 1 = 0 jest równa sumie kwadratów tych pierwiastków? ZADANIE 28 Dla jakich wartości parametru m równanie mx 2 6x 1 = 0 ma co najmniej jedno rozwiazanie? ZADANIE 29 Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie x 2 + mx + m = 0 ma takie dwa różne pierwiastki, że suma ich kwadratów jest mniejsza od 15. ZADANIE 30 Dla jakich wartości parametru m liczba 1 zawiera się między różnymi pierwiastkami równania (m 5)x 2 4mx + m 2 = 0? ZADANIE 31 Funkcja kwadratowa f (x) = ax 2 + bx + 4, osiaga wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x (, 3) (1, + ). a) Wyznacz wartości współczynników a i b. b) Napisz postać kanoniczna funkcji f. c) Podaj wzór funkcji kwadratowej g, której wykres otrzymamy przesuwajac wykres funkcji f o wektor u = [2, 10 3 ]. d) Wyznacz te argumenty x, dla których f (x) 4. 5