Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki sposób przybliżyć ją w miarę dokładnie? Pierwszą nasuwającą się myślą są przybliżenia dziesiętne, które jednak są stosunkowo niedokładne Na przykład, jest lepszym przybliżeniem liczby π niż 3, 4 W poniższym referacie 7 odpowiemy na wcześniej zadane pytanie, wprowadzając tzw ułamki łańcuchowe Skończone ułamki łańcuchowe Definicja Skończonym ułamkiem łańcuchowym nazywamy wyrażenie [a 0 ; a,, a n ] = a 0 + gdzie a 0 jest liczbą całkowitą, zaś a,, a n są liczbami naturalnymi a +, () + an Uwaga Na ogół w powyższej definicji od liczb a 0, a,, a n nie wymaga się, aby były całkowite; jedynie zakłada się, że a,, a n > 0 Wówczas ułamek łańcuchowy zdefiniowany jak wyżej nazywa się ułamkiem łańcuchowym prostym lub arytmetycznym Twierdzenie Każdy skończony ułamek łańcuchowy jest liczbą wymierną; na odwrót, każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci skończonego ułamka łańcuchowego (na dokładnie dwa sposoby) Dowód Pierwsza część twierdzenia to prosta indukcja, zaś druga część wynika z algorytmu Euklidesa
Przykład 3 Rozwiniemy w ułamek łańcuchowy liczbę 44 7 Mamy 44 7 = 6 + 7 = 6 + 7 = 6 + 3 + = [6; 3, ] lub 44 7 = 6 + 3 + = 3 + + = [6; 3,, ] Przypuśćmy teraz, że dany jest ułamek łańcuchowy w postaci () Wprowadzimy następujące oznaczenia oraz P 0 = a 0, P = a 0 a + i P k+ = a k+ P k + P k dla k {,, n } Q 0 =, Q = a i + = a k+ + dla k {,, n } Indukcyjnie można wykazać, że wówczas [a 0 ; a,, a k ] = P k () dla k {0,,, n}; ułamek P k nazywamy k-tym reduktem ułamka łańcuchowego () Na zakończenie tej części zauważmy jeszcze, że (o ile n > 0) 0 < [0; a,, a n ] Nieskończone ułamki łańcuchowe Definicja 4 Nieskończonym ułamkiem łańcuchowym nazywamy wyrażenie [a 0 ; a, a, ] = lim n [a 0 ; a,, a n ], (3) gdzie a 0 jest liczbą całkowitą, zaś a, a, są liczbami naturalnymi Uwaga Granica występująca w równości (3) zawsze istnieje Dowód Pokażemy, że ciąg ([a 0 ; a,, a n ]) n= spełnia warunek Cauchy ego Pozostając przy oznaczeniach z poprzedniej części, nietrudno indukcyjnie sprawdzić, że dla wszelkich n N
mamy Q n n oraz P n+ Q n P n Q n+ = ( ) n Zatem P m+n [a 0 ; a,, a m+n ] [a 0 ; a,, a m ] = P m Q m+n Q m m+n P k+ P m+n k + = m+n + k(k + ) < < k(k + ) = m dla wszelkich m, n N Lemat 5 Jeżeli a, a, są liczbami naturalnymi, to 0 < [0; a, a, ] < Dowód Przechodząc z n do nieskończoności w nierówności otrzymujemy 0 < a < [a ; a,, a n ], 0 < a [a ; a, a 3, ], skąd 0 < [a ; a, a 3, ] = [0; a, a, ] Z drugiej strony, przechodząc z n do nieskończoności w nierówności otrzymujemy [0; a,, a n ] [0; a, a, ] a +, a + a + a + Twierdzenie 6 Każdy nieskończony ułamek łańcuchowy jest liczbą niewymierną; na odwrót, każdą liczbę niewymierną można (jednoznacznie) przedstawić w postaci nieskończonego ułamka łańcuchowego Dowód Niech α = [a 0 ; a, a, ] będzie nieskończonym ułamkiem łańcuchowym Przypuśćmy nie wprost, że α jest liczbą wymierną Na mocy twierdzenia istnieją takie liczy b 0 Z oraz b,, b N N, że α = [b 0 ; b,, b N ] Mamy a 0 b 0 = < [a ; a, a 3, ] [b ; b,, b N ] 3 (, ),
skąd a 0 = b 0, a w konsekwencji Kontynuując to rozumowanie, otrzymujemy [a ; a, a 3, ] = [b ; b,, b N ] [a N ; a N+, a N+, ] = [b N ; ] = b N, co jest niemożliwe Dla dowodu drugiej części twierdzenia, załóżmy, że α jest liczbą niewymierną Zdefiniujmy ciągi (α n ) n=0 oraz (a n ) n=0 wzorami oraz α 0 = α i α n = Można wykazać (zobacz [] lub []), że {α n } dla n N a n = α n dla n N {0} α = [a 0 ; a, a, ] Jednoznaczności dowodzimy, rozumując podobnie jak w pierwszej części dowodu Aproksymowanie liczb rzeczywistych Tę część rozpoczniemy od podania trzech twierdzeń dotyczących przybliżania liczb rzeczywistych przez ułamki łańcuchowe Dowody tych twierdzeń pominiemy, można je znaleźć w [] Twierdzenie 7 (charakteryzacja reduktów ułamka łańcuchowego) Liczba wymierna P Q, Q N, NWD(P, Q) =, jest reduktem rozwinięcia liczby rzeczywistej α w ułamek łańcuchowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona jej najlepszym przybliżeniem, tzn dla dowolnej liczby wymiernej P Q, Q N, zachodzi implikacja Q < Q = α P Q < α P Q Twierdzenie 8 Jeżeli P k, NWD(P k, ) =, k N, jest k-tym reduktem rozwinięcia liczby rzeczywistej α w ułamek łańcuchowy, to dla każdej liczby naturalnej n zachodzi oszacowanie α P n < Q n Q n+ Q n 4
Twierdzenie 9 (Hurwitza) Jeżeli α jest liczbą niewymierną, to istnieje nieskończenie wiele takich liczb wymiernych P, że Q α P Q < ; 5Q każda z nich jest reduktem rozwinięcia liczby α w ułamek łańcuchowy Referat zakończymy prostym przykładem ilustrującym przedstawioną teorię Przykład 0 Korzystając z algorytmu podanego w dowodzie twierdzenia 6, rozwiniemy w ułamek łańcuchowy Mamy zatem α 0 = a 0 = = α = = + a = + = α = = + a = + =, = [;,, ] = + + + + Zaś korzystając ze spostrzeżenia (), wyznaczymy ciąg najlepszych przybliżeń :, 3, 7 5, 7, 4 9, 99 70, 39 69, Dokładność kolejnych przybliżeń można oszacować z twierdzenia 8, na przykład 99 70 < 70 69 < 0 4 Uwaga Zauważmy, że rozwinięcie z powyższego przykładu jest okresowe; to nie przypadek Okazuje się bowiem, że liczba niewymierna ma okresowe rozwinięcie w ułamek łańcuchowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona pierwiastkiem równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych Literatura [] Władysław Narkiewicz: Teoria liczb Wyd 3 Warszawa, PWN, 003 [] Song Y Yan: Teoria liczb w informatyce Warszawa, PWN, 006 5