SKRYPT Z FIZYKI. Mechanika kwantowa. wybrane zagadnienia. Stanisław Kryszewski

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia SKRYPT Z FIZYKI Stanisław Kryszewski

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z FIZYKI Stanisław Kryszewski Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia Gdańsk 2010

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Uniwersytet Gdański Copyright by Stanisław Kryszewski Skład komputerowy LaTeX): Stanisław Kryszewski Projekt okładki i strony tytułowej: xxx All rights reserved Uniwersytet Gdański Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki 80-952 Gdańsk, ul. Wita Stwosza 57

Spis treści 1 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 1 1.1 Przybliżenie półklasyczne w mechanice kwantowej...................... 1 1.1.1 Hamiltonian........................................ 1 1.1.2 Niezmienniczość ze względu na cechowanie...................... 2 1.1.3 Ciągłość prądu prawdopodobieństwa.......................... 3 1.2 Jednorodne pole magnetyczne.................................. 5 1.2.1 Wybór potencjału wektorowego............................. 5 1.2.2 Hamiltonian........................................ 6 1.2.3 Dyskusja rzędów wielkości................................ 7 1.2.4 Interpretacja członu paramagnetycznego........................ 9 1.2.5 Interpretacja członu diamagnetycznego......................... 11 1.3 Normalny efekt Zeemana dla atomu wodoropodobnego.................... 11 1.3.1 Poziomy energetyczne.................................. 12 1.3.2 Dyskusja fizyczna..................................... 13 2 Ewolucja układów kwantowych w czasie 15 2.1 Równanie Schrödingera i operator ewolucji........................... 15 2.1.1 Wprowadzenie...................................... 15 2.1.2 Operator ewolucji i jego własności........................... 15 2.1.3 Postać operatora ewolucji................................ 18 2.2 Obraz Schrödingera....................................... 20 2.3 Obraz Heisenberga........................................ 21 2.3.1 Wektor stanu w obrazie Heisenberga.......................... 21 2.3.2 Operatory w obrazie Heisenberga............................ 22 2.3.3 Ewolucja operatora w obrazie Heisenberga....................... 22 2.3.4 Pewne dodatkowe własności obrazu Heisenberga................... 24 2.4 Obraz oddziaływania....................................... 25 2.4.1 Wprowadzenie...................................... 25 2.4.2 Wektor stanu w obrazie oddziaływania......................... 26 2.4.3 Równanie Schrödingera w obrazie oddziaływania................... 27 2.4.4 Operatory i ich ewolucja w obrazie oddziaływania.................. 28 2.5 Ewolucja stanu układu w obrazie oddziaływania....................... 29 2.5.1 Postawienie problemu.................................. 29 2.5.2 Rozwiązanie iteracyjne.................................. 30 2.5.3 Interpretacja szeregu iteracyjnego............................ 31 2.6 Rachunek zaburzeń pierwszego rzędu) z czasem....................... 33 2.6.1 Wprowadzenie...................................... 33 2.6.2 Przybliżone rozwiązanie równania Schrödingera.................... 34 3 Teoria spinu 1/2 36 3.1 Wprowadzenie braki dotychczasowej teorii.......................... 36 3.2 Postulaty teorii Pauliego..................................... 37 3.3 Macierze Pauliego i operatory spinu 1/2............................ 40 3.4 Nierelatywistyczny opis cząstki o spinie 1/2.......................... 43 3.4.1 Wektory stanu spinory................................. 43 3.4.2 Operatory i ich działanie na spinory.......................... 44 3.4.3 Obliczanie prawdopodobieństw i wartości oczekiwanych............... 46 4 Dodawanie momentów pędu 48 i

S.Kryszewski SPIS TREŚCI ii 4.1 Całkowity moment pędu..................................... 48 4.1.1 Przypomnienie z mechaniki klasycznej......................... 48 4.1.2 Przykład kwantowo-mechaniczny............................ 48 4.1.3 Oddziaływanie spin-orbita dyskusja wstępna.................... 50 4.2 Dodawanie dwóch momentów pędu............................... 52 4.2.1 Dyskusja i wprowadzenie................................ 52 4.2.2 Podstawowe własności operatora J = j 1 + j 2...................... 54 4.2.3 Wartości własne liczby kwantowe) J oraz M..................... 55 4.2.4 Wektory własne operatorów J 2 i J 3.......................... 57 4.3 Współczynniki Clebscha-Gordana CG)............................ 63 4.3.1 Wprowadzenie...................................... 63 4.3.2 Własności współczynników CG............................. 64 5 Obroty i moment pędu 71 5.1 Wprowadzenie........................................... 71 5.2 Podstawowe własności obrotów w R 3.............................. 72 5.2.1 Obrót wektora...................................... 72 5.2.2 Obroty infinitezymalne.................................. 74 5.2.3 Własności obrotów.................................... 74 5.3 Operatory obrotów w przestrzeni stanów bez spinu)..................... 75 5.3.1 Definicja operatora obrotu................................ 75 5.3.2 Własności operatora obrotu............................... 76 5.3.3 Transformacja obserwabli................................ 77 5.4 Obroty i momentu pędu..................................... 78 5.4.1 Obrót infinitezymalny.................................. 78 5.4.2 Operator skończonego obrotu i moment pędu..................... 80 5.4.3 Transformacje obserwabli................................ 80 5.5 Relacje komutacyjne....................................... 81 5.5.1 Całkowity moment pędu................................. 83 6 Stacjonarny rachunek zaburzeń 85 6.1 Istota problemu.......................................... 85 6.2 Rachunek zaburzeń dla stanu niezdegenerowanego...................... 87 6.2.1 Wprowadzenie...................................... 87 6.2.2 Formalizm matematyczny................................ 89 6.2.3 Poprawki pierwszego rzędu............................... 90 6.2.4 Poprawki drugiego rzędu do energii........................... 92 6.2.5 Dyskusja uzyskanych rezultatów............................ 92 6.3 Rachunek zaburzeń dla stanu zdegenerowanego........................ 94 6.3.1 Wprowadzenie...................................... 94 6.3.2 Formalizm rachunku zaburzeń z degeneracją...................... 95 6.3.3 Dyskusja macierzy zaburzenia.............................. 97 6.3.4 Rachunek zaburzeń z degeneracją podsumowanie.................. 99 7 Metoda wariacyjna 101 7.1 Metoda wariacyjna........................................ 101 7.1.1 Uwagi wstępne...................................... 101 7.1.2 Twierdzenia pomocnicze................................. 101 7.1.3 Funkcjonał Eφ) szacuje energię od góry........................ 103 7.1.4 Procedura obliczeń metodą wariacyjną......................... 105 7.2 Przykład: energia stanu podstawowego atomu helopodobnego................ 106 7.2.1 Omówienie problemu................................... 106 7.2.2 Wybór funkcji próbnej. Konstrukcja funkcjonału Eφ)................ 107 7.2.3 Dyskusja wyników.................................... 113 7.2.4 Pierwszy rząd rachunku zaburzeń............................ 114 8 Rachunek zaburzeń z czasem 117 8.1 Wprowadzenie........................................... 117 8.2 Przybliżone rozwiązanie równania Schrödingera........................ 118 8.2.1 Wpływ zewnętrznego zaburzenia............................ 118 Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia ii

S.Kryszewski SPIS TREŚCI iii 8.2.2 Prawdopodobieństwo przejścia............................. 119 8.2.3 Prawdopodobieństwo przejścia w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń...... 120 8.3 Zaburzenie harmoniczne..................................... 122 8.3.1 Prawdopodobieństwo przejścia............................. 122 8.3.2 Własności funkcji pomocniczych............................ 124 8.3.3 Prawdopodobieństwo przejścia. Przybliżenie rezonansowe.............. 127 8.3.4 Zaburzenie stałe w czasie................................ 130 8.3.5 Szerokość rezonansu i zasada nieoznaczoności..................... 131 8.3.6 Warunki stosowalności.................................. 131 8.3.7 Podsumowanie...................................... 133 8.4 Sprzężenie ze stanami z continuum............................... 134 8.4.1 Dyskusja problemu.................................... 134 8.4.2 Złota reguła Fermiego.................................. 136 9 Oddziaływanie atomów z falą elektromagnetyczną 137 9.1 Hamiltonian oddziaływania................................... 137 9.1.1 Wprowadzenie...................................... 137 9.1.2 Układ atomowy...................................... 138 9.1.3 Oddziaływanie z falą elektromagnetyczną....................... 138 9.1.4 Fala płaska. Hamiltonian oddziaływania z atomem.................. 139 9.2 Prawdopodobieństwo przejścia, cz. I.............................. 141 9.2.1 Przybliżenie dipolowe.................................. 142 9.2.2 Uzasadnienie zaniedbania członu S B......................... 144 9.3 Prawdopodobieństwo przejścia, cz. II.............................. 144 9.4 Reguły wyboru.......................................... 146 9.4.1 Polaryzacja liniowa.................................... 147 9.4.2 Polaryzacja kołowa.................................... 148 9.4.3 Uwagi dodatkowe..................................... 149 9.5 Stosowalność rachunku zaburzeń................................ 149 9.6 Współczynniki A i B Einsteina................................. 151 9.6.1 Wprowadzenie...................................... 151 9.6.2 Wyniki kwantowo-mechaniczne............................. 154 9.6.3 Uśrednienie po orientacjach dipola atomowego.................... 154 9.6.4 Współczynnik A emisji spontanicznej.......................... 155 9.6.5 Czas życia wzbudzonego stanu atomowego....................... 155 10 Operator gęstości 156 10.1 Przypomnienie.......................................... 156 10.2 Formalny operator gęstości................................... 157 10.2.1 Wprowadzenie...................................... 157 10.2.2 Własności operatora gęstości.............................. 158 10.2.3 Dalsze własności operatora gęstości........................... 161 10.2.4 Interpretacja liczb w k.................................. 163 10.3 Stany czyste i mieszane..................................... 163 10.3.1 Stany czyste i mieszane dyskusja jakościowa..................... 164 10.3.2 Własności stanów czystych i mieszanych........................ 166 10.3.3 Wartości oczekiwane obserwabli............................. 167 10.4 Równanie ruchu.......................................... 169 11 Zasada nieoznaczoności energia czas 171 11.1 Co nas interesuje?........................................ 171 11.2 Twierdzenie pomocnicze..................................... 172 11.3 Obliczenia pochodnej Dt).................................... 173 11.4 Oszacowania........................................... 174 11.5 Dyskusja.............................................. 175 Bibliografia 176 Skorowidz 178 Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia iii

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 1 Rozdział 1 r:em Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 1.1 Przybliżenie półklasyczne w mechanice kwantowej 1.1.1 Hamiltonian Pole elektromagnetyczne i cząstki naładowane to dwa oddziałujące podukłady. Konsekwentne podejście kwantowo-mechaniczne wymaga kwantowania tak pola, jak i cząstek. Wtedy jednak wchodzimy na grunt elektrodynamiki kwantowej, co oczywiście wykracza poza zakres niniejszych wykładów. Posłużymy się tutaj przybliżeniem półklasycznym polegającym na tym, że zewnętrzne pola elektromagnetyczne traktować będziemy jako zwykłe klasyczne) funkcje położenia i czasu. Jest to oczywiście ograniczenie, które nie pozwala opisać zjawisk związanych z kwantową naturą pól elektromagnetycznych, mimo to jednak daje ono niezły wgląd w przebieg wielu ważnych zjawisk fizycznych. Z mechaniki klasycznej znany jest hamiltonian dla cząstki bezspinowej o masie µ i ładunku q, poruszającej się w polu o energii potencjalnej wewnętrznej) V r) i poddanej oddziaływaniu z zewnętrznym polem elektromagnetycznym opisanym potencjałami: wektorowym A r, t) oraz skalarnym φ r, t). Ma on postać 1 H = 1 ) p qa 2 + qφ + V r) 2µ = p2 2µ q ) p A + A q 2 p + A 2µ 2µ 2 + qφ + V r), 1.1) Cham1 Kwantowania dokonujemy zgodnie z zasadą odpowiedniości P.4.115) 2, przypisując pędowi operator p = i. W drugiej linii zapisaliśmy hamiltonian zwracając uwagę na kolejność poszczególnych członów. Jest to konieczne, bowiem potencjał wektorowy jako zwykła klasyczna) funkcja położenia, może nie komutować z operatorem pędu. Wyjaśnia to następujące stwierdzenie. 1 Wyprowadzenie, czy też uzasadnienie dla tego hamiltonianu można znaleźć w Uzupełnieniach. 2 Numery wzorów rozpoczynające się od litery "P" odnoszą się do odpowiednich rozdziałów skryptu "Mechanika kwantowa dla początkujących" Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 1

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 2 Twierdzenie 1.1 Składowe operatora pędu i potencjału wektorowego spełniają relację komutacyjną: [ pk, A j ] = i A j x k. 1.2) CAkom Dowód. W reprezentacji położeniowej dla dowolnej funkcji falowej ψ r) mamy [ pk, A j ] ψ r) = i k A j A j k ) ψ r) = i k Aj ψ ) + i A j k ψ = i k A j ) ψ i Aj k ψ ) + i A j k ψ ) = i k A j ) ψ. 1.3) CAkomd Wobec dowolności funkcji ψ r) wynika stąd teza 1.2). CAkom Wykorzystując relację 1.2) CAkom mamy p A + A p = p k A k + A k p k = p k A k A k p k + A k p k + A k p k = [ p k, A k ] + 2 Ak p k = i div A + 2 A p. 1.4) ChamP1 Relacja ChamP1 1.4) pozwala zapisać hamiltonian Cham1 1.1) w postaci H = p2 2µ + iq 2µ div A q µ A p + q2 2µ A 2 + qφ + V r). 1.5) Cham2 Konkretna postać potencjałów wektorowego A r, t) a zatem i div A) oraz skalarnego φ r, t), zależy od sytuacji fizycznej, a także od wyboru cechowania. Powyższy hamiltonian warto zapamiętać, stosuje się go bowiem w wielu, bardzo różnorodnych zagadnieniach dotyczących oddziaływania cząstek naładowanych z zewnętrznym polem elektromagnetycznym. Podkreślmy, że tutaj p to pęd kanoniczny, natomiast energia kinetyczne to E kin = p q A) 2 /2µ. Dlatego też nie należy nadawać oddzielnego sensu fizycznego pierwszym czterem składnikom hamiltonianu Cham2 1.5). Wszystkie cztery łącznie stanowią energię kinetyczną cząstki. Dopiero przy nieobecności pola A = 0, φ = 0) pęd kanoniczny pokrywa się z kinetycznym. 1.1.2 Niezmienniczość ze względu na cechowanie Cpham Cechowanie potencjałów, zarówno w przypadku klasycznym jak i kwantowym, nie może wpływać na przewidywania fizyczne 3. Jeżeli w równaniu Schrödingera gdzie i ψ r, t) t = H ψ r, t), 1.6a) Cphama H = 1 ) p qa 2 + qφ + V r), 1.6b) Cphamb 2µ 3 Kwestią tą zajmujemy się bardziej szczegółowo w Uzupełnieniach. Tutaj poprzestaniemy na krótkim stwierdzeniu podstawowych faktów bez ich wyprowadzania, czy uzasadniania. Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 2

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 3 Ccc dokonamy transformacji cechowania potencjałów A r, t) cechowanie A r, t) = A r, t) + χ r, t), 1.7a) Ccca φ r, t) cechowanie φ r, t) = φ r, t) χ r, t), 1.7b) Cccb t i jednocześnie przetransformujemy funkcję falową [ ] cechowanie ψ r, t) iq ψ r, t) = exp χ r, t) ψ r, t), 1.8) Cpff to równanie Schrödingera dla "nowej" funkcji falowej ψ ma postać i ψ r, t) t = H ψ r, t), 1.9) Cstr gdzie "nowy" hamiltonian H ma postać taką jak w 1.6), Cpham ale z nowymi już przecechowanymi potencjałami. Tak więc, równanie Schrödingera jest niezmiennicze względem transformacji cechowania potencjałów, jeśli wybierając nowe cechowanie jednocześnie dokonamy transformacji funkcji falowej według wzoru 1.8). Cpff Zwróćmy uwagę, że przetransformowana funkcja falowa różni się od "starej" nieprzetransformowanej jedynie o czynnik fazowy. Mogłoby się wydawać, że różnica ta nie ma znaczenia fizycznego, bo expiqχ/ ) = 1. Tak jednak nie jest. Czynnik fazowy w 1.8) Cpff nie jest czynnikiem globalnym, wykładnik jest funkcją położenia i czasu, a więc zmienia się od punktu do punktu i tym samym ma istotne znaczenie fizyczne. 1.1.3 Ciągłość prądu prawdopodobieństwa Rozważmy pełne równanie Schrödingera z czasem), w którym ψ r, t) jest funkcją falową bezspinowej cząstki naładowanej i [ t ψ r, t) = 2 2µ 2 + iq 2µ div A + iq ] A µ + Φ r, t) ψ r, t), 1.10) Cn15 gdzie wprowadziliśmy oznaczenie pomocnicze Φ r, t) = V r) + qφ r, t) + q2 2µ A 2 r, t), 1.11) Cdfi co stanowi rzeczywistą funkcję położenia r, sparametryzowaną czasem t. Określamy teraz gęstość prawdopodobieństwa postępując tak samo samo jak poprzednio, w przypadku bez pól elektromagnetycznych patrz P.2.35) i dalsza dyskusja) ρ r, t) = ψ r, t) ψ r, t) = ψ r, t) 2, 1.12) Cden1 i szukamy dla niej równania ruchu. Oczywiście mamy ) ) t ρ r, t) = ψ r, t) ψ r, t) + ψ r, t) t t ψ r, t). 1.13) Cdendt Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 3

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 4 Bowiem funkcje falowe i ich pochodne są przemienne. Pojawiające się pochodne eliminujemy posługując się równaniem 1.10) Cn15 i jego sprzężeniem zespolonym ] ρ t = 1 [ i ψ r, t) 2 2µ 2 + iq 2µ div A + iq A µ + Φ r, t) 1 ψ r, t) i [ 2 2µ 2 iq 2µ div A iq ] A µ + Φ r, t) ψ r, t) ψ r, t). 1.14) Cn17 Mnożenie funkcji jest przemienne, więc składniki zawierające Φ r, t) znoszą się. Porządkując, uzyskujemy i ρ t = 2 ψ 2 ψ ψ 2 ψ ) + iq ) div ) A ψψ 2µ µ + iq ψ A ψ + ψ ) A ψ. 1.15) Cn18 µ Oczywista jest relacja różniczkowa A ψ ψ ) = ψ A ψ + ψ A ψ. 1.16) Cn19 Wobec tego idąc dalej, mamy i ρ t = 2 ψ 2 ψ ψ 2 ψ ) + iq [ A ψ ψ) + ψ ψ diva 2µ µ ]. 1.17) Cn20 Pierwszy człon w powyższym wzorze jest identyczny jak w przypadku bez pola. Korzystaliśmy wtedy z tożsamości analizy wektorowej twierdzenia Greena P.2.38). Ponadto, możemy napisać div Aψ ψ ) = k A k ψ ψ) = ψ ψ k A k + A k k ψ ψ) = ψ ψ div A + A ψ ψ). 1.18) Cn22 W świetle tych uwag relacja Cn20 1.17) przybiera następujący kształt i ρ t = 2 2µ div ψ ψ ψ ψ ) + iq µ div Aψ ψ ). 1.19) Cn23 Po uporządkowaniu mamy [ ρ = div ψ ψ ψ ψ ) q ] A t 2µi µ ψ ψ. 1.20) Cn24 Definiujemy wektor gęstości prądu prawdopodobieństwa j = ψ ψ ψ ψ ) q A 2µi µ ψ ψ, 1.21) Cn25 co prowadzi do równania ciągłości prawdopodobieństwa w standardowej postaci ρ r, y t = div j r, t). 1.22) Cn26 Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 4

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 5 Na zakończenie rozważmy w skrócie powyższe prawo ciągłości przy cechowaniu potencjałów. Dokonując transformacji cechowania potencjałów 1.7) Ccc i jednocześnie biorąc nową funkcję falową w/g 1.8) Cpff stwierdzamy, że gęstość prawdopodobieństwa ρ cechowanie ρ = ρ, 1.23) Crocc jest ewidentnie niezmiennicza. Natomiast gęstość prądu prawdopodobieństwa transformuje się jak j cechowanie j = ψ ψ ψ ψ ) q A 2µi µ ψ ψ. 1.24) Cjpcc1 Analiza tego wyrażenia jest niestety bardziej złożona. W Uzupełnieniach pokazujemy, że przy omawianych transformacjach zachodzi także j cechowanie j = j. 1.25) Cjpcc2 A zatem zarówno gęstość, jak i prąd prawdopodobieństwa są inwariantne względem transformacji cechowania potencjałów. Oznacza to, że przewidywania teorii nie zależą od wyboru cechowania. Wybierając pewne konkretne cechowanie możemy kierować się wygodą obliczeń, zaś wyniki nie będą zależeć od wybranego cechowania. 1.2 Jednorodne pole magnetyczne Potencjały A R, t) oraz φ R, t) występujące w hamiltonianie 1.5) Cham2 sa dowolne. W związku z tym ogólna dyskusja jest albo bardzo trudna i złożona, albo wręcz niemożliwa. Dlatego też skupimy uwagę na jednym z najprostszych przypadków. Rozważymy mianowicie jednorodne pole magnetyczne o indukcji B = const. Jest to zagadnienie statyczne, więc na podstawie praw elektrodynamiki możemy od razu przyjąć, że potencjał skalarny pola φ 0. Pozostaje wybrać potencjał wektorowy, co szczegółowo omówimy. Następnie zbudujemy odpowiedni hamiltonian, w którym wyodrębnimy pewne składniki. Uzyskane wyniki, zastosowane do atomu wodoropodobnego, pozwolą nam oszacować wartości energii związanych ze wspomnianymi składnikami hamiltonianu. 1.2.1 Wybór potencjału wektorowego Proponujemy tu następujący wybór potencjału wektorowego A = 1 2 r B ), 1.26) Cawek gdzie B jest ustalonym wektorem. Możemy powiedzieć, że propozycja nasza polega na wyborze pewnego konkretnego cechowania, takiego które okazuje się wygodne w praktycznych obliczeniach. Wybrany potencjał wektorowy określa pole magnetyczne o indukcji Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 5

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 6 stosujemy tu zapis k = k = / x k ) B = rot A = e i ε ijk j [ 1 2 ε kmn x m B n ) ] = 1 2 e i δ im δ jn δ in δ jm ) δ jm B n = 1 2 e i δ in B n 3δ in B n ) = e i B i = B. 1.27) Cpoleb gdzie skorzystaliśmy z relacji I.14.9). Do konstrukcji hamiltonianu Cham2 1.5) potrzebujemy jeszcze dywergencji potencjału wektorowego. W tym przypadku wynosi ona div A = div [ 1 2 r B )] = 1 2 k ε klm x l B m = 1 2 ε klm δ kl B m = 1 2 ε kkm B m = 0, 1.28) Cdiv bowiem z definicji ε kkm = 0. Uzyskany wynik: div A = 0 przy φ = 0 jest nazywany cechowaniem Coulomba. Cechowanie takie jest bardzo użyteczne. Skorzystamy z niego także w innych zastosowaniach. 1.2.2 Hamiltonian Wracamy do hamiltonianu Cham2 1.5). Koncentrujemy uwagę na składnikach "polowych", w których kładziemy φ = 0 oraz div A = 0. Podstawiając wybraną postać potencjału wektorowego, otrzymujemy H = H 0 + q 2µ r B ) p + q 2 8µ r B ) 2. 1.29) Ze1 Operatory położenia i pędu nie komutują, więc analizując drugi składnik musimy uważać na kolejność operatorów r B ) p = r B ) k p k = ε kmn x m B n p k = B n ε nmk x m p k = B n L n = B L, 1.30) Ze2 gdzie L jest operatorem orbitalnego momentu pędu patrz P.14.4)). Zbadajmy teraz wyraz w ostatnim składniku hamiltonianu Ze1 1.29). r B ) 2 = εkmn x m B n ) ε kps x p B s ) = δ mp δ ns δ ms δ np ) x m x p B n B s = r 2 B 2 r B ) 2 = B 2 r 2 ) r B 2 = B B 2 r, 2 1.31) Ze3 2 gdzie r jest składową wektora r prostopadłą do wektora pola magnetycznego B. Teraz do hamiltonianu 1.29) Ze1 podstawiamy relacje 1.30) Ze2 i 1.31). Ze3 Otrzymujemy H = p2 2µ + V r) q 2µ B L + q2 8µ B 2 r 2 1.32) Ze4 Omawiając hamiltonian Cham2 1.5) wskazywaliśmy, że składniki zawierające potencjał wektorowy A należy uważać za przyczynki do energii kinetycznej. Oczywiście dotyczy to także Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 6

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 7 Ze5 wyrazów zawierających indukcję B w Ze4 1.32). Odwołując się do analogii klasycznych wprowadzimy następujące nazewnictwo H 0 = p 2µ + V r) hamiltonian niezaburzony, 1.33a) Ze50 H 1 = q 2µ B L człon paramagnetyczny, 1.33b) Ze5a H 2 = q2 8µ B 2 r 2 człon diamagnetyczny. 1.33c) Ze5b Należy jednak mieć świadomość, że wydzielenie H 1 oraz H 2 jest, delikatnie mówiąc, nieco "naciągane". Przeprowadzimy dalej odpowiednią dyskusję, która pozwoli stwierdzić, że popełnione "oszustwo" jest stosunkowo niewielkie. 1.2.3 Dyskusja rzędów wielkości Dotychczas nie określiliśmy jakiemu układowi fizycznemu znajdującemu się w zewnętrznym, jednorodnym polu magnetycznym) odpowiada hamiltonian Ze4 1.32). Celem naszym jest oszacowanie energii E 1 i E 2 związanych z członami H 1 i H 2 mimo, że ich sens fizyczny jest wątpliwy. Podkreślamy, że nie usiłujemy rozwiązywać żadnych zagadnień własnych. Chcemy tylko dokonać oszacowań rzędów wielkości. W tym celu przyjmiemy, że energie E 0 odpowiadające hamiltonianowi H 0 są rzędu energii P.17.75), które są związane z energiami stanów atomu wodoropodobnego. Energie te są rzędu kilku ev, więc oszacowanie odpowiednich częstości daje E 0 h 10 14 10 15 Hz, 1.34) Ze6 co odpowiada z grubsza rzecz biorąc) zakresowi częstotliwości światła widzialnego. Następnie chcemy oszacować energie związane z członem paramagnetycznym. Dozwolone wartości momentu pędu L wynikają z warunku kwantowania P.15.6). Dla dobra oszacowań możemy po prostu przyjąć L. Wobec tego z 1.33b) Ze5a wynika, że E 1 h 1 h ) q 2µ B = 1 2π ) qb. 1.35) Ze7 2µ Biorąc dane liczbowe: q = e = 1.6 10 19 C, oraz µ m e = 9.1 10 31 kg uzyskujemy E 1 h 1.4 1010 ) Hz tesla ) Hz B = 1.4 10 6 B = 1.4 gauss ) MHz gauss B, 1.36) Ze8 gdzie w końcu wartość pola B trzeba wyrazić w gaussach 10 4 tesli). Pole B równe 10 tesli 10 5 gaussów) jest już całkiem silne. W takim przypadku mamy więc E 1 h 1.4 10 5 MHz = 1.4 10 11 Hz. 1.37) Ze9 Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 7

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 8 Porównując to oszacowanie z Ze6 1.34) widzimy, że E 0 E 1. 1.38) Ze10 Innymi słowy, stwierdzamy, że energie związane z członem paramagnetycznym są znacznie mniejsze niż energie związane z członem niezaburzonym. Oszacowanie to pozwala stwierdzić, że choć ściśle rzecz biorąc człon paramagnetyczny jest przyczynkiem do energii kinetycznej, to jednak błąd popełniony przy jego "oddzieleniu" jest stosunkowo niewielki. Pozostaje zbadać człon diamagnetyczny 1.33c). Ze5b Ponieważ energie związane z członem H 0 szacujemy za pomocą energii właściwych dla atomu wodoropodobnego więc sensownie jest przyjąć, że r jest rzędu promienia Bohra a 0. Wobec tego otrzymujemy oszacowanie E 2 q2 µ a2 0 B 2. 1.39) Ze11 Aby ułatwić rachunki, rozpatrzmy iloraz E 2 = q2 a 2 0 B 2 E 1 µ 2µ q B, 1.40) Ze12 co wynika z Ze6 1.34). Przypomnijmy teraz 4, że energia jonizacji atomu wodoru wynosi E I = 2 /2µ a 2 0). Widzimy więc, że w powyższej relacji można przegrupować czynniki i napisać E 2 E 1 = 2µa2 0 2 q B 2µ 2 = 2 E 1 E I. 1.41) Ze13 Energia jonizacji jest rzędu E 0, więc z 1.38) Ze10 wynika, że E 1 /E I 1. Wobec tego 1.41) Ze13 sprowadza się do oszacowania E 2 E 1 1, = E 2 E 1. 1.42) Ze14 Człon diamagnetyczny daje więc energie jeszcze mniejsze niż paramagnetyczny. Podsumowując stwierdzamy, że energie związane z kolejnymi członami hamiltonianu 1.33) Ze5 spełniają oszacowania E 0 E 1 E 2, 1.43) Ze15 i choć sens poniższej relacji jest dyskusyjny, napiszemy H 0 H 1 H 2. 1.44) Ze16 Oszacowanie to będziemy rozumieć w następujący sposób. Energie własne hamiltonianu niezaburzonego są duże, stanowią główną część wartości własnych pełnego hamiltonianu. 4 Wynika to z definicji a 0 w I.17.25) oraz energii jonizacji w P.17.29b). Z obu tych relacji należy wyeliminować parametr β = e 2 /4πε0), dla atomu wodoru Z = 1. Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 8

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 9 Człon paramagnetyczny daje jedynie proporcjonalnie niewielkie) poprawki. Człon diamagnetyczny jako jeszcze znacznie mniejszy) daje przyczynki, które są poprawkami do poprawek. Argumentacja ta jest wyjaśnieniem, dlaczego w wielu praktycznych zagadnieniach człon diamagnetyczny można po prostu zaniedbać. Warto jednak zwrócić uwagę, że znaczenie członu diamagnetycznego rośnie wraz z wzrostem r. W przypadku atomu wodoropodobnego funkcje falowe szybko zanikają wraz z odległością od środka masy praktycznie od środka jądra). Właśnie ten ostatni fakt jest przyczyną, dla której składnik diamagnetyczny jest bardzo mały, by nie rzec zaniedbywalny. Jednak dla innych układów fizycznych zalecana jest ostrożność. Należy wtedy zbadać, czy rzeczywiście w hamiltonianie Cham2 1.5) składnik kwadratowy w A jest mały. Co więcej, oszacowania te wskazują, że wydzielenie członów paramagnetycznego i diamagnetycznego z energii kinetycznej, choć formalnie nie całkiem poprawne, prowadzi jednak do stosunkowo małych błędów. Dlatego też utożsamienie członu H 0 z hamiltonianem "atomowym" jest przybliżeniem nieźle uzasadnionym. 1.2.4 Interpretacja członu paramagnetycznego Przed dyskusją członu paramagnetycznego Ze5a 1.33b) hamiltonianu przypomnijmy w wielkim skrócie) pewne fakty z fizyki klasycznej. Ładunek q porusza się po orbicie kołowej o promieniu r z prędkością v. Opowiada temu prąd o natężeniu inne oznaczenia powinny być oczywiste) I = q T = q ω 2π = q v. 1.45) Ze17 2πr Wartość momentu magnetycznego kołowego obwodu z prądem M m = IS = q v 2πr πr2 = qvr 2 Moment pędu cząstki naładowanej co do wartości). 1.46) Ze18 L = mvr. 1.47) Ze19 Wobec tego moment magnetyczny wynosi M m = q 2m L. 1.48) Ze20 Na gruncie fizyki klasycznej wiemy, że zarówno moment pędu L jak i moment magnetyczny M m są prostopadłe do płaszczyzny orbity. Energia oddziaływania obwodu z prądem o momencie magnetycznym M m z zewnętrznym polem magnetycznym B dana jest wzorem U m = B M m = q 2m B L. 1.49) Ze21 Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 9

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 10 Wracając do mechaniki kwantowej zapiszemy hamiltonian paramagnetyczny Ze5a 1.33b) w postaci H 1 = B Występującą tu wielkość M L = q 2µ L ) q L 2µ. 1.50) Ze22 nazwiemy orbitalnym momentem magnetycznym cząstki elektronu). Idąc dalej, piszemy 1.51) Ze23 H 1 = B M L 1.52) Ze24 Widzimy więc pełną, formalną analogię pomiędzy klasycznym wyrażeniem dla energii oddziaływania Ze21 1.49), a kwantowo-mechanicznym hamiltonianem operatorem energii) paramagnetycznym. Dlatego też interpretujemy H 1 jako hamiltonian sprzężenia między zewnętrznym polem magnetycznym a momentem magnetycznym atomu wynikającym z orbitalnego ruchu elektronu wokół jądra. Należy jednak poczynić dwie dodatkowe uwagi. Po pierwsze, w pewnych sytuacjach fizycznych można i trzeba) uogólnić relację Ze23 1.51) poprzez zastąpienie orbitalnego momentu pędu L ogólnym momentem pędu J, który może przyjmować wartości połówkowe. Wówczas moment magnetyczny to M J = g q 2µ J, gdzie g to tzw. współczynnik giromagnetyczny. W przypadku "orbitalnym" Ze23 1.51) współczynnik ten jest równy 1. Jednak nie zawsze tak jest. Wartość współczynnika g zależy od typu cząstek i sytuacji fizycznej. Nie będziemy tutaj dalej kontynuować tego tematu.. Po drugie zauważmy, iż wspominaliśmy już parokrotnie, że składniki hamiltonianu zawierające potencjał wektorowy lub indukcję pola magnetycznego) są tak naprawdę przyczynkami do energii kinetycznej. Dlatego też argumentacja klasyczna jest tu trochę naciągana. W wyrażeniu Ze19 1.47) posłużyliśmy się kinetycznym momentem pędu L kin = m r v). Kwantowo-mechaniczny orbitalny moment pędu to L = r p, gdzie p to kanoniczny pęd z formalizmu hamiltonowskiego. Pęd kinetyczny to p kin = m v = p q A. Wobec tego L kin 1.53) Ze25 = m r v = m r 1 ) ) p qa = r p q r A m = L q r A ). 1.54) Ze26 Przeprowadzone wyżej oszacowania wskazują, że popełniony błąd nie jest duży. Dlatego też zestawieniu pojęć klasycznych i kwantowo-mechanicznych nie można odmówić pewnej intuicyjnej poglądowości. Analogie klasyczne, choć nieco "naciągane" pozwalają unaocznić sobie pewne efekty, a to stanowi o ich wartości. Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 10

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 11 1.2.5 Interpretacja członu diamagnetycznego Mając na uwadze wszelkie przedstawione powyżej zastrzeżenia utożsamimy choć w przybliżeniu) człon niezaburzony H 0 1.33a) Ze50 z hamiltonianem atomu wodoropodobnego. Gdy atom wodoropodobny jest w stanie podstawowym wówczas orbitalna liczba kwantowa l = 0 i człon paramagnetyczny H 1 nie daje wkładu do energii, choć atom znajduje się w polu magnetycznym. Jedyny wpływ pola na wartości energii zachodzi poprzez człon diamagnetyczny H 2. Pole magnetyczne opisane potencjałem wektorowym A) modyfikuje jednak prąd prawdopodobieństwa, we wzorze 1.21) Cn25 jest bowiem składnik zależny od A. Dlatego też w atomie jest indukowany pewien moment magnetyczny. Hamiltonian diamagnetyczny opisuje właśnie sprzężenie pomiędzy zewnętrznym polem magnetycznym, a zaindukowanym przez to pole momentem magnetycznym. Po raz kolejny podkreślmy, że mamy tu do czynienia z niezbyt ścisłymi, ale jednak cennymi, analogiami klasycznymi. Chodzi bowiem o to, żeby nie zważając na pełną ścisłość otrzymać wyczucie zjawisk fizycznych. 1.3 Normalny efekt Zeemana dla atomu wodoropodobnego Nasze dalsze rozważania w świetle wszelkich powyższych uwag) mają charakter przybliżony. Wracamy do hamiltonianu 1.32), Ze4 w którym na mocy oszacowania 1.42) Ze14 zaniedbamy tzw. człon diamagnetyczny. Rozważamy więc hamiltonian o postaci H = H 0 q 2µ B L = p2 2m + V r) µ B B L, 1.55) Czem1 gdzie składnik H 0 w sposób przybliżony) utożsamiamy z hamiltonianem P.17.6) właściwym dla atomu wodoropodobnego a więc V r) = V r) = β/r, patrz P.17.5)). Oczywiście wszystko co zostało uprzednio powiedziane o atomie wodoropodobnym w rozdziale P.17 pozostaje w mocy. W szczególności, możemy wypisać funkcje i energie własne hamiltonianu niezaburzonego atomowego) ψ nlm r) = R nl r) Y lm θ, ϕ), E n = E ) IB 1 = n 2 n 2 µc2 2 Z2 α 2 = Z2 2. 1.56) 2 n 2 m a 2 Czem3 0 Poza wskazanymi przybliżeniami należy stwierdzić, że w tym modelu nie uwzględniamy spinu elektronu w atomie. Dlatego też należy mieć świadomość, że nasze rozważania mają charakter bardziej ilustracyjny niż fizyczny. Tym niemniej omawiany model ma przynajmniej jakościowy sens. Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 11

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 12 1.3.1 Poziomy energetyczne Wybieramy układ współrzędnych tak, aby pole magnetyczne było skierowane wzdłuż osi z: B = 0, 0, B). Hamiltonian Czem1 1.55) zapiszemy więc w postaci H = = 2 2µ 2 β r q 2µ BL z = H 0 q 2µ BL z. 1.57) Czem5 Jak wiadomo z rozdziału P.17 hamiltonian H 0 ma symetrię sferyczną i właściwy ZZOK stanowią operatory H 0, L 2 oraz L z. Tutaj pojawił się dodatkowy człon oddziaływania proporcjonalny do L z Widzimy więc, że nadal możemy posługiwać się uprzednio wybranym ZZOK. Obowiązuje więc wszystko to, o czym mówiliśmy poprzednio. Przechodzimy do współrzędnych sferycznych. Laplasjan znów produkuje część radialną i część kątową, proporcjonalną do L 2. Funkcje własne stany stacjonarne pozostaną niezmienione, tj. mają postać Czem3 1.56). Wynika to stąd, że ZZOK pozostał ten sam. Zmiana hamiltonianu zawiera dodatkowy człon) prowadzi jednak do zmiany energii wartości własnych. Ponieważ L z ψ nlm r) = R nl r) L z Y lm θ, ϕ) = m R nl r) Y lm θ, ϕ) = m ψ nlm r), 1.58) Czem6 gdzie m = 0, 1,..., l to magnetyczna liczba kwantowa. Wobec tego łatwo widać, że H ψ nlm r) = H 0 q ) 2µ BL z ψ nlm r) = E n mq ) 2µ B ψ nlm r). 1.59) Czem7 Widzimy od razu, że teraz energie własne są numerowane dwiema liczbami kwantowymi: główną i magnetyczną. Wnioskujemy, że degeneracja zostaje częściowo usunięta. Piszemy więc E n,m = E n mq 2µ B. 1.60) Czem8 Biorąc pod uwagę fakt, że ładunek elektronu jest ujemny q = e, wprowadzamy oznaczenie ω L = qb 2µ. Pozwala to zapisać energie atomu wodoropodobnego w jednorodnym polu magnetycznym w postaci 1.61) Czem9 E n,m = E n + m ω L. 1.62) Czema Takie rozszczepienie energii E n pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego nazywamy efektem Zeemana. Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 12

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 13 1.3.2 Dyskusja fizyczna Czee2 Omówmy rezultaty dla kilku pierwszych stanów atomu wodoropodobnego. W stanie podstawowym n = 1, l = 0, m = 0, więc zgodnie z relacją 1.62) Czema energia E 1 nie ulegnie zmianie. Zjawisko Zeemana nie zachodzi. Natomiast dla pierwszego stanu wzbudzonego z 1.59) Czem7 i 1.62) Czema mamy ) H0 + H 1 ψ200 r) = E 2 ψ 200 r) 1.63a) Czee2a H0 + H 1 ) ψ21m r) = E 2 + m ω L ) ψ 21m r) 1.63b) Czee2b Ilustruje to rysunek 16zeeman 1.1. Po jego lewej stronie przedstawiona jest sytuacja bez pola, dla n = 2 mamy jeden 2 2 = 4-krotnie zdegenerowany poziom energetyczny. n = 2, l = 1, m = +1 E 2 + hω L n = 2 n = 2, l = 0, m = 0 E 2 g2) = 4 n = 2, l = 1, m = 0 E 2 n = 2, l = 1, m = 1 E 2 hω L Rys. 1.1: Normalny efekt Zeemana dla pierwszego stanu wzbudzonego n = 2) atomu wodoropodobnego bez spinu). 16zeeman Prawa strona odpowiada włączonemu polu B. Biorąc kolejne m = 1, 0, +1, które są dopuszczalne w stanie ψ 21m r) stwierdzamy, że nastąpiło rozszczepienie poziomu n = 2. Wartość własna energii E 2 "rozdzieliła" się na trzy, tzw. podpoziomy zeemanowskie. Dwa z nich n = 2, l = 1, m = ±1) są niezdegenerowane, natomiast trzeci odpowiada dwóm stanom n = 2, l = 0, m = 0) oraz n = 2, l = 1, m = 0), jest więc zdegenerowany dwukrotnie. Pole magnetyczne sprawiło, że degeneracja energii została częściowo usunięta. Poziom zdegenerowany uległ rozszczepieniu na trzy podpoziomy. Każdemu z nich zostały przyporządkowane odpowiednie liczby kwantowe. Podkreślmy, ze rysunek 1.1 16zeeman nie uwzględnia żadnej skali energetycznej. Jest to jedynie schemat rozszczepienia poziomu n = 2 na podpoziomy zeemanowskie. Oczywiście możemy kontynuować nasze rozważania. Kolejna wartość własna energii E 3 atomu wodoropodobnego jest w sytuacji bez pola) zdegenerowana 9-krotnie. Prowadząc analizę tak samo jak dla n = 2, możemy zbudować schemat analogiczny do przedstawionego na rysunku 1.1. 16zeeman Dla n = 3 maksymalna wartość orbitalnej liczby kwantowej l = 2. Wobec tego minimalna i maksymalna wartość m to ±2. W obecności pola magnetycznego możemy więc spodziewać się, ze będzie występować 5 podpoziomów zeemanowskich. Nie będziemy tu prowadzić wszystkich bardzo prostych) rozważań. Wyniki dyskusji dla n = 3 podsumowuje schemat 1.2, 16zeeman2 który także nie zachowuje żadnej skali energetycznej. Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 13

S.Kryszewski 1. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 14 n = 3, l = 2, m = +2 n = 3, l = 2, m = +1 n = 3, l = 1, m = +1 n = 3, l = 2, m = 0 n = 3, l = 1, m = 0 n = 3 n = 3, l = 0, m = 0 E 3 g3) = 8 n = 3, l = 2, m = 1 n = 3, l = 1, m = 1 E 3 + 2 hω L E 3 + hω L E 3 E 3 hω L n = 3, l = 2, m = 2 E 3 2 hω L Rys. 1.2: Normalny efekt Zeemana dla drugiego stanu wzbudzonego n = 3) atomu wodoropodobnego bez spinu). 16zeeman2 Dalsza analiza dla kolejnych n prowadzi do wniosku, że n 2 krotnie zdegenerowany poziom energetyczny ulega rozszczepieniu na podpoziomy zeemanowskie, co częściowo usuwa degenerację. Liczba podpoziomów zeemanowskich jest równa ilości dopuszczalnych liczb kwantowych m dla maksymalnego l dozwolonego dla danego n. A więc liczba podpoziomów równa jest 2l max + 1). Z drugiej strony patrz np. P.17.69)) l max = n 1, zatem mamy [2n 1) + 1] = 2n 1) podpoziomów zeemanowskich. Widzimy więc, że n 2 - krotnie zdegenerowany poziom energetyczny atomu wodoropodobnego ulega rozszczepieniu na nieparzystą liczbę podpoziomów zeemanowskich. Efekt ten nazywamy normalnym efektem Zeemana. Zauważmy, że dla niektórych atomów zachodzi anomalny efekt Zeemana, w którym liczba podpoziomów zeemanowskich jest parzysta. Wynika to z istnienia spinu elektronu, który nie został tutaj uwzględniony. Do dyskusji spinu, jego wpływu na różne efekty zachodzące w atomach wrócimy w dalszych częściach wykładu. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 14

S.Kryszewski 2. Ewolucja układów kwantowych w czasie 15 Rozdział 2 Ewolucja układów kwantowych w czasie r:ute 2.1 Równanie Schrödingera i operator ewolucji 2.1.1 Wprowadzenie Jednym z podstawowych zadań fizyki jest przewidywanie przebiegu i skutków zjawisk fizycznych zachodzących w przyrodzie. Innymi słowy interesuje nas dynamika procesów fizycznych zmiany zachodzące wraz z upływem czasu. W tym momencie przypominamy, że jedynym postulatem dynamicznym mechaniki kwantowej jest równanie Schrödingera. i ψt) = H ψt) 2.1) tte1 t przy czym hamiltonian może być zależny od czasu lub nie. Równanie 2.1) tte1 jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu, a więc do jego rozwiązania niezbędne jest podanie stanu warunku) początkowego ψt 0 ) = ψ 0, który uznajemy za znany. Scałkowanie równania Schrödingera tte1 2.1) jest możliwe w niewielu modelowych i dość szczególnych wypadkach. Mimo to można przeprowadzić dość formalne i ogólne rozważania prowadzące do istotnych wniosków mających znaczenie nie tylko teoretyczne ale i praktyczne. Niniejszy rozdział poświęcimy właśnie takiej ogólnej i nieco formalnej dyskusji. Niektóre jej rezultaty zostaną wykorzystane w dalszych rozdziałach. Będziemy też starać się unikać niuansów natury matematycznej, skupiając uwagę na aspektach fizycznych. 2.1.2 Operator ewolucji i jego własności Równanie Schrödingera jako równanie różniczkowe) wiąże stan aktualny ψt) należący do pewnej przestrzeni Hilberta H ze stanem początkowym ψt 0 ) z tej samej przestrzeni 2.2) tte2 Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 15

S.Kryszewski 2. Ewolucja układów kwantowych w czasie 16 Hilberta. Związek ten możemy przedstawić za pomocą pewnego operatora, który odwzorowuje stan początkowy w stan aktualny. Piszemy więc ψt) = Ut, t 0 ) ψ 0, 2.3) tte3 gdzie operator Ut, t 0 ) transformuje przestrzeń H w siebie. Nazwiemy go operatorem ewolucji w czasie). Możemy powiedzieć, że dokonuje on translacji stanu początkowego do stanu aktualnego. Jeśli potrafimy znaleźć jawną postać tego operatora, to automatycznie mamy rozwiązania równania Schrödingera. Niestety jednak bezpośrednia konstrukcja Ut, t 0 ) jest na ogół niemożliwa, wyjątkiem są dość rzadkie i proste przypadki modelowe. Intuicyjna definicja 2.3) tte3 i znane już własności równania Schrödingera, a także prosty zdrowy rozsądek pozwalają wyprowadzić i uzasadnić najważniejsze i ogólne własności operatora ewolucji. Podkreślmy, że przynajmniej na razie nie zakładamy niczego poza istnieniem) o hamiltonianie układu fizycznego. 1. Z relacji tte3 2.3) w oczywisty sposób wynika warunek początkowy Ut 0, t 0 ) = ˆ1. 2.4) tte4 2. Z równania Schrödingera i definicji tte3 2.3) wynika równanie ewolucji ruchu) dla operatora Ut, t 0 ). A mianowicie i t [ Ut, t0 ) ψt 0 ) ] = H Ut, t 0 ) ψt 0 ). 2.5) tte5 Stan początkowy nie zależy od czasu t, więc nie podlega różniczkowaniu, zatem ) Ut, t0 ) i ψt 0 ) = H Ut, t 0 ) ψt 0 ), 2.6) tte6 t i wobec dowolności keta ψt 0 ) mamy i Ut, t 0) t = H Ut, t 0 ), 2.7) tte7 co stanowi poszukiwane równanie ruchu. Dla porządku, zauważmy, że z powyższego równania przez zwykłe reguły sprzęgania operatorów) wynika równanie sprzężone i U t, t 0 ) t = U t, t 0 )H, 2.8) tte8 gdzie uwzględniliśmy fakt, że hamiltonian jest obserwablą, tzn. jest operatorem hermitowskim H = H. Zwróćmy uwagę, że w obu powyższych równaniach ruchu nie ma znaczenia, czy hamiltonian jest, czy też nie jest zależny jawnie od czasu. 3. Równanie Schrödingera zachowuje normę stanu kwantowo-mechanicznego. Wobec tego operator Ut, t 0 ) musi być unitarny ψt) 2 = 1 = const. = U U = U U = ˆ1. 2.9) tte9 Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 16

S.Kryszewski 2. Ewolucja układów kwantowych w czasie 17 4. Omówimy teraz tzw. własność grupową operatora ewolucji. Rozważmy trzy momenty czasu dla ustalenia uwagi uporządkowane wzrastająco) t 0 t 1 t 2. Wobec tego w naturalny sposób możemy napisać ψt 2 = Ut 2, t 1 ) ψt 1 ) = Ut 2, t 1 ) Ut 1, t 0 ) ψt 0 ). 2.10) tte10 Z drugiej strony, chwila pośrednia t 1 jest nieistotna, więc bezpośrednio mamy ψt 2 = Ut 2, t 0 ) ψt 0 ). 2.11) tte11 Porównując więc prawe strony obu ostatnich wyrażeń, wobec dowolności keta początkowego, dostajemy Ut 2, t 0 ) = Ut 2, t 1 ) Ut 1, t 0 ). 2.12) tte12 Właśnie ta całkiem zdrowo rozsądkowa) reguła nazywana jest własnością grupową: złożenie dwóch operatorów ewolucji jest nadal operatorem ewolucji. W naszym uproszczonym wyprowadzeniu przyjęliśmy uporządkowanie chwil czasu. Bardziej subtelna analiza, doprowadza do wniosku, że uporządkowanie to nie ma znaczenia. Czasy t 0, t 1, t 2 występujące w 2.12) tte12 mogą być dowolne. 5. Zbadajmy pewną konsekwencję własności grupowej operatorów ewolucji. Połóżmy w niej t 2 = t 0, zatem Ut 0, t 0 ) = Ut 0, t 1 ) Ut 1, t 0 ). 2.13) tte13 Ale z warunku początkowego tte4 2.4) wynika dalej ˆ1 = Ut 0, t 1 ) Ut 1, t 0 ), 2.14) tte14 czyli więc mamy kolejną własność U 1 t 1, t 0 ) = Ut 0, t 1 ), = U t 1, t 0 ), 2.15) tte15 przy czym druga równość wynika z unitarności tte9 2.9) zestawionej z relacją tte14 2.14). 6. Na zakończenie wypiszmy pewne proste relacje i wnioski z powyższych faktów. Wprost z definicji 2.3) tte3 wynika, że ψt) = Ut, t 0 ) ψ 0 = ψ 0 = U 1 t, t 0 ) ψt). 2.16) tte15a Pociąga to za sobą kolejne równości ψ 0 = U t, t 0 ) ψt) = Ut 0, t) ψt). 2.17) tte15b Możemy więc powiedzieć, że operator Ut 0, t) gdzie chwila t jest chwilą późniejszą niż początkowa T 0 ) "cofa" czas. Warto jednak zauważyć, że ostatnia z powyższych relacji jest zgodna z relacją 2.3). tte3 Powyższe własności operatora ewolucji nie zależą od postaci hamiltonianu rozważanego układu fizycznego. Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 17

S.Kryszewski 2. Ewolucja układów kwantowych w czasie 18 2.1.3 Postać operatora ewolucji Do tej pory nie zakładaliśmy niczego o hamiltonianie. Teraz jednak rozważymy dwa oddzielne przypadki. Chodzi o hamiltoniany niezależne jawnie od czasu i zależne. Ut, t 0 ) dla H niezależnego od czasu Gdy hamiltonian nie zależy jawnie od czasu, wówczas równanie 2.7) tte7 można formalnie scałkować. Biorąc pod uwagę warunek początkowy 2.4) tte4 od razu mamy Ut, t 0 ) = exp i H ) t t 0), 2.18) tte16 gdzie funkcja wykładnicza jest określona za pomocą rozwinięcia w szereg patrz P.4.41 42)). Różniczkując po czasie łatwo sprawdzamy, że równanie 2.7) tte7 rzeczywiście jest spełnione. Warunek początkowy 2.4) tte4 wynika oczywiście z własności operatorowej funkcji wykładniczej. Łatwo jest też sprawdzić, że operator ewolucji dany w 2.18) tte16 posiada wszystkie omówione własności. Co więcej, skoro U jest funkcją niezależnego od czasu hamiltonianu, to musi z nim komutować, a więc w tym przypadku mamy H t = 0, = [ Ut, t0 ), H ] = 0. 2.19) tte17 Fakt ten przyda się nam w dalszej analizie. Hamiltonian zależny od czasu Gdy hamiltonian jest jawnie zależny od czasu sytuacja jest trudniejsza. Omówione wyżej własności operatora ewolucji pozostają w mocy. Równanie ruchu 2.7) tte7 i Ut, t 0) t = Ht) Ut, t 0 ). 2.20) tte18 także pozostaje słuszne zaznaczyliśmy zależność H = Ht)), ale nie daje się łatwo scałkować. Problem polega na tym, że gdyby potraktować powyższe równanie klasycznie to znaczy jako równanie dla funkcji, a nie dla operatorów), to można by napisać dla funkcji) Ut, t 0 ) = exp i t ) dt Ht ). 2.21) tte19 t 0 Mamy tu jednak do czynienia z operatorami, nie z funkcjami. Musimy więc postępować inaczej. Przedstawimy tu procedurę iteracyjną, pozwalającą rozwiązać równanie różniczkowe typu 2.20)) tte18 tzw. metodą kolejnych przybliżeń. Scałkujmy formalnie wspomniane równanie różniczkowe Ut, t 0 ) = ˆ1 + 1 t dt 1 Ht 1 ) Ut 1, t 0 ). 2.22) tte19a i t 0 Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 18

S.Kryszewski 2. Ewolucja układów kwantowych w czasie 19 Obecność operatora jednostkowego wynika z warunku początkowego 2.4). tte4 Na razie nie widać pożytku, bowiem zamieniliśmy równanie różniczkowe na równanie całkowe. Punktem wyjścia procedury iteracyjnej jest następujące założenie. Przyjmijmy, że w zerowym i całkiem trywialnym) przybliżeniu możemy przyjąć: U 0) t, t 0 ) = ˆ1. Wykorzystując to założenie po prawej stronie równania 2.22) tte19a otrzymujemy pierwsze przybliżenie U 1) t, t 0 ) = ˆ1 + 1 t dt 1 Ht 1 ). 2.23) tte19b i t 0 Drugie przybliżenie uzyskamy podstawiając pierwsze do prawej strony równania 2.21) tte19 U 2) t, t 0 ) = ˆ1 + 1 t dt 1 Ht 1 ) U 1) t 1, t 0 ) i t 0 = ˆ1 + 1 t ) 1 2 t dt 1 Ht 1 ) + dt 1 i t 0 i t 0 t1 t 0 dt 2 Ht 1 )Ht 2 ). 2.24) tte19c Nic nie stoi na przeszkodzie, aby kontynuować procedurę iteracyjną prowadzącą do szeregu t Ut, t 0 ) = ˆ1 + 1 dt 1 Ht 1 ) i t 0 ) 1 2 t t1 + dt 1 dt 2 Ht 1 )Ht 2 ) i t 0 t 0 ) 1 3 t t1 t2 + dt 1 dt 2 dt 3 Ht 1 )Ht 2 )Ht 3 ) i t 0 t 0 t 0 +. 2.25) tte19d Obliczenie wyrazów tego szeregu i ich zsumowanie jest na ogół praktycznie niewykonalne. Zwróćmy tu uwagę na następujące fakty. W powyższej formule obowiązuje tzw. uporządkowanie kolejnym składnikom stwierdzamy, że czasowe. Przyglądając się t t 1 t 2 t 3... t n t 0. 2.26) tte19e Oczywiście komplikuje to obliczanie całek. Odpowiednio manipulując obszarami całkowania czego nie będziemy tu dowodzić) można sprowadzić szereg do nieco innej postaci, a mianowicie Ut, t 0 ) = ˆ1 + 1 t dt 1 Ht 1 ) i t 0 + 1 ) 1 2 t dt 1 2! i t 0 + 1 ) 1 3 t dt 1 3! i t 0 t t 0 dt 2 Ht 1 )Ht 2 ) t t 0 dt 2 t t 0 dt 3 Ht 1 )Ht 2 )Ht 3 ) +, 2.27) tte19f Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 19

S.Kryszewski 2. Ewolucja układów kwantowych w czasie 20 gdzie granice wszystkich całek są identyczne, ale operatory pod całkami są uporządkowane w kolejności wyznaczonej przez relacje tte19e 2.26). Obliczanie całek jest więc trudne, bowiem hamiltoniany brane w różnych chwilach czasu na ogół nie komutują [ Ht1 ), Ht 2 ) ] 0. dla t 1 t 2. 2.28) tte20 Wnioskujemy więc, że jawna konstrukcja operatora ewolucji Ut, t 0 ) dla hamiltonianu zależnego od czasu jest zazwyczaj niemożliwa. Potrzebne są więc metody przybliżone, do czego nawiążemy w dalszych rozważaniach. Na zakończenie warto powiedzieć, że szereg 2.27) tte19f można formalnie zapisać w postaci Ut, t 0 ) = 1 t ) T exp dt 1 Ht 1 ), 2.29) tte19g i t 0 gdzie operator T jest tzw. operatorem uporządkowania czasowego w sensie relacji 2.26), tte19e czy też uporządkowania jak w 2.27). tte19f Zwróćmy uwagę, że jeśli hamiltonian nie zależy od czasu, to można go wynieść przed całkę problem uporządkowania czasowego nie istnieje) i 2.29) tte19g redukuje się do znanego wyrażenia 2.20). tte18 2.2 Obraz Schrödingera Obraz Schrödingera, mówiąc najprościej, to taki sposób sformułowania mechaniki kwantowej, którym posługiwaliśmy się do tej pory nie wiedząc, że się on tak nazywa). Ponieważ mamy jeszcze inne obrazy, trzeba uściślić pojęcia. Zasadnicza idea obrazu Schrödingera polega na tym, że wektor stanu ewoluuje w czasie zgodnie z równaniem Schrödingera tte1 2.1). Mówiąc obrazowo, wektor ψt) wraz z upływem czasu "jeździ" po przestrzeni H. Obserwable, jak np. składowe położenia X j, czy pędu P j są od czasu niezależne stacjonarne. Ich stany własne r lub p tworzą w H bazy, które także są stacjonarne. Rzuty wektora ψt) na stany bazy, a więc liczby r ψt) lub p ψt) dla określonych r lub p) zależą od czasu. Z drugiej strony, liczby te są "współrzędnymi" wektora ψt) w jednej lub drugiej bazie. Widzimy tu analogię ze zwykłą trójwymiarową geometrią, w której wektor położenia rt) zmienia się w czasie. Wektory pewnej wybranej bazy e x, e y, e z ) są ustalone i tworzą niezależny od czasu układ współrzędnych. Składowe wektora położenia, obliczane w tej bazie, są oczywiście funkcjami czasu. W analogii tej ewolucja klasycznego wektora położenia punktu materialnego kojarzy się z ewolucją wektora stanu, zaś jednostkowe stacjonarne) wektory bazy z bazą w przestrzeni H generowaną przez wektory własne takiej czy innej obserwabli. Obraz Schrödingera jest to więc takie sformułowanie mechaniki kwantowej, w którym ψt) ewoluuje w czasie, zaś obserwable wyznaczające bazę są stacjonarne a zatem Mechanika kwantowa wybrane zagadnienia 20