Rachunek Prawdopodobieństwa Zestaw Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy wyraz MATEMATYKA. 2. 2 chłopców i 3 dziewczynki ustawiam w szereg. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że a) chłopcy stoją obok siebie b) chłopcy i dziewczynki stoją na zmianę. 3. Cyfry 0,,2,...,9 ustawiono losowo. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że a) między 0 i 9 stoją dokładnie 4 cyfry b),2,3,4 będą stały obok siebie. 4. Przy okrągłym stole usiadło dziesięć kobiet i dziesięciu mężczyzn. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że osoby tej samej płci nie siedzą koło siebie. 5. Na półce stoją 3 słowniki 2 tomowe: angielsko-polski, angielsko-rosyjski i rosyjskopolski. Jaka jest szansa, że po losowym ustawieniu książek na półce poszczególne tomy słowników będą stały w swoim sąsiedztwie, nie przedzielone innymi słownikami. 6. Firma produkuje samochody w ilości 5 n sztuk dziennie, wśród których n jest czerwonych, 2 n jest czarnych, a reszta srebrna. Samochody kolejno, w sposób losowy wyjeżdżają z terenu zakładu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie samochody jednego koloru wyjeżdżają jeden za drugim? 7. Z grupy 25 osób w której jest 0 kobiet i 5 mężczyzn wybrano a) 3 osoby na stanowisko starszego specjalisty. b) 3 osoby do zarządu firmy (prezesa, wiceprezesa ds. marketingu i wiceprezesa ds. produkcji) Dla każdego z przypadków opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wybranych są dokładnie 2 kobiety 8. W pudełku jest 6 śrubek dobrych i 2 złe. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 4 wybranych śrubek są 3 dobre i zła. 9. W urnie jest 8 ponumerowanych kul białych i 4 ponumerowane kule czarne, losujemy 3 kule bez zwrotu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) będzie wśród nich jedna czarna b) będą miały same parzyste numery.
0. W przedsiębiorstwie produkuje się silniki do ciągników siodłowych, spośród których k jest silnikami diesla, a m benzynowymi ( k 3m ). Wylosowani do kontroli m silników, jakie jest prawdopodobieństwo, że jeden z nich jest benzynowy.. Ze schroniska na szczyt prowadzą 3 szlaki: czarny, zielony i niebieski. Odbywam wycieczkę na szczyt i z powrotem wybierając szlaki losowo. a) Jakie jest prawdopodobieństwo iż będę wchodzić i schodzić tym samym szlakiem? b) Jakie jest prawdopodobieństwo iż będę wchodzić i schodzić zielonym szlakiem? 2. Rzucam 2 razy kostką symetryczną. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo a) wyrzucenia dwukrotnie tego samego? b) wyrzucenia w sumie 0 oczek? c) wyrzucenia w sumie 9 oczek? d) wyrzucenia dwukrotnie parzystej liczby oczek? 3. Rzucam n razy kostką symetryczną. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo e) wyrzucenia n -krotnie tego samego? f) wyrzucenia w sumie n oczek? g) wyrzucenia w sumie n oczek? h) wyrzucenia w sumie n 2 oczek? i) wyrzucenia w sumie n 3 oczek? j) wyrzucenia n jedynek, n 2 dwójek,, n 6 szóstek, gdzie k) * wyrzucenia w sumie s oczek n s 6n? n n2... n6 n? 4. Autobus zatrzymuje się na 0 przystankach. W autobusie jest 8 pasażerów, z których każdy musi wysiąść na jednym z przystanków. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo iż: a) każdy spośród 8 pasażerów wysiądzie na innym przystanku, b) wszyscy pasażerowie wysiądą na tym samym przystanku, c) wszyscy pasażerowie wysiądą na pierwszych trzech przystankach. 5. Do windy zatrzymującej się na 4 piętrach wsiadło 20 osób. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. a) Oblicz prawdopodobieństwo iż na każdym z pięter wysiądzie dokładnie 5 osób. b) Oblicz prawdopodobieństwo iż na pierwszym piętrze nikt nie wysiądzie. 6. 20 identycznych koszulek układamy na 3 półkach. a) Policz jakie jest prawdopodobieństwo, że druga półka pozostanie wolna. b) Policz jakie jest prawdopodobieństwo, że na każdej z półek znajdzie się przynajmniej jedna koszulka. 7. Dzielimy 6 delicji szampańskich między 4 osoby. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że każda dostała a) po 4 ciasteczka? 2
b) przynajmniej 3 ciasteczka? Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. 8. Z liczb -00 wylosowano 2 (mogą się powtarzać). Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo iż ich suma jest podzielna przez 3. 9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej permutacji n elementowej, dwa ustalone elementy stoją koło siebie? 20. Z tali brydżowej zawierającej 52 karty losuje 4. Policz prawdopodobieństwo, że są wśród nich przynajmniej 2 damy. 2. Z talii zawierającej 52 karty (po 3 kart w każdym kolorze) losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo że wszystkie będą jednego koloru. 22. Z tali brydżowej zawierającej 52 karty losuje 6. Policz prawdopodobieństwo, że są wśród nich karty wszystkich kolorów. 23. Co jest bardziej prawdopodobne: zdarzenie A - Wszystkie piki trafią do dwóch partnerów w brydża, czy zdarzenie B - Dwaj partnerzy w brydża nie będą mieli żadnych pików. 24. Mamy pięć biletów po zł, trzy bilety po 3 zł i dwa bilety po 5 zł. Wybieramy jednocześnie trzy bilety. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) przynajmniej dwa z nich mają jednakową wartość b) wszystkie trzy bilety mają łączną wartość 7 zł.. Opisz przestrzeń probabilistyczną. 25. W urnie jest 5 ponumerowanych kul zielonych, 0 ponumerowanych kul niebieskich i 2 czerwone. Losowaliśmy 3 kule bez zwracania. Policz prawdopodobieństwo, że a) wylosowaliśmy kule w 3 kolorach, b) wylosowaliśmy kule w jednym kolorze. 26. Używając różnych cyfr ze zbioru 3,4,5,7,9 Z utworzono liczbę trzycyfrową. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) Jedną z cyfr jest 7. b) Jest to liczba parzysta. 27. Zbiór,2,3,...,4n podzielono w sposób losowo na dwie równoliczne grupy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że a) W każdej grupie będzie tyle samo liczb parzystych, co nieparzystych. b) Wszystkie liczby podzielne przez n są w jednej grupie. c) Liczby podzielne przez n są w równych ilościach w obu grupach. 28. Rzucam 3 razy zwykłą kostką do gry, policz prawdopodobieństwo, że suma kwadratów wyników jest podzielna przez 3. 29. W szafce jest n par butów, z których losowo wybrano 2 r butów 2 r n. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wybranych butów: a) nie ma ani jednej pary, b) jest dokładnie jedna para c) są dokładnie dwie pary 30. Każdy z n patyków przełamano na 2 części: długą i krótką, otrzymano w ten sposób 2 n patyków. Połączono je losowo w pary, policz prawdopodobieństwo, że 3
a) Wszystkie kawałki zostały połączone w pierwotnym układzie b) Wszystkie długie kawałki zostały połączone z krótkimi Prawdopodobieństwo geometryczne. Z odcinka 2,3 losujemy liczbę, policz prawdopodobieństwo, iż: a) wylosowana liczba będzie dodatnia b) kwadrat wylosowanej liczby będzie mniejszy od c) kwadrat wylosowanej liczby będzie większy od 2 d) będzie to liczba wymierna 2. Z odcinka,2 losujemy 2 liczby. Policz prawdopodobieństwo tego, że: a) ich suma jest dodatnia, b) ich maksimum jest mniejsze od, c) ich suma jest wymierna, d) jedna jest wymierna, e) obie są niewymierne. 3. Z odcinka 0,5 losujemy 3 liczby. Policz prawdopodobieństwo tego, że: a) ich minimum jest większe od 2, b) ich maksimum jest większe od 3, c) jedna z nich jest liczbą naturalną. 4. Z odcinka 0,2 wybrano losowo punkt x. Policz prawdopodobieństwo: a) Pmax x, b) Pmin x, a a 5. Z kwadratu jednostkowego wybrano losowo punkt o współrzędnych x, y. Policz prawdopodobieństwo: a) Pmax x, y b) Pmin x, y a a 6. Z odcinka jednostkowego wybrano trzy liczby: x, y, z Policz P x y z. prawdopodobieństwo: 2 7. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x 2ax b 0 są rzeczywiste, jeśli a, b przyjmują z równym prawdopodobieństwem dowolne wartości z przedziału,. 8. Z kwadratu o boku 4 wybrano losowo punkt o współrzędnych y x,. Policz prawdopodobieństwo, że leży on w odległości nie mniejszej niż 2 od któregokolwiek wierzchołka kwadratu. 4
9. Z sześcianu o boku 2 wybrano punkt, jakie jest prawdopodobieństwo, że leży on w odległości nie większej niż od któregokolwiek wierzchołka sześcianu. 0. *Paradoks Bertranda. W kole o promieniu R poprowadzono w sposób losowy cięciwę. Wyznacz prawdopodobieństwo że długość jej nie przekracza boku trójkąta równobocznego wpisanego w to koło. a) Cięciwę losujemy ustalając punkt na obwodzie koła i losując drugi punkt b) Cięciwę losujemy poprzez wylosowanie z koła punktu będącego środkiem cięciwy c) Wymyśl inny sposób losowania cięciwy Porównaj otrzymane wyniki.. Na odcinku wybrano losowo dwa punkty, które dzielą go na trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że można z tych 3 odcinków zbudować trójkąt? 2. Na stół o kształcie koła i promieniu 60 cm rzucono monetę o promieniu cm, która upadła na stół. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta nie dotknęła brzegu stołu? 3. Zadanie Bufona o igle. Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l a. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? 4. Na okręgu o promieniu ustalamy punkt i losujemy 2 inne, następnie łączymy punkty tworząc trójkąt. Policz prawdopodobieństwo, tego że a) jest on ostrokątny b) jest on prostokątny c) jest on rozwartokątny Prawdopodobieństwo inne modele, prawdopodobieństwo warunkowe, badanie niezależności zdarzeń,prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa. Własności prawdopodobieństwa.. Niech A, B, C trzy zdarzenia (zbiory). Zapisz symbolami następujące zdarzenia: a) Zachodzi przynajmniej jedno z tych zdarzeń b) Nie zachodzi żadne z tych zdarzeń c) Zachodzi dokładnie jedno z tych zdarzeń d) Zachodzi tylko zdarzenie A e) Zachodzą dwa spośród tych zdarzeń 2. Rzucam 3 razy monetą dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest 2 razy większe niż orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 2 orłów. 3. Rzucam sześcienną kostką, która ma ściankę z oczkiem, 2 ścianki z 2 oczkami i 3 ścianki z 3 oczkami. Łącznie rzucam tyle razy ile oczek wypadło w pierwszym rzucie. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 4 oczek? 4. Trzy osoby A, B, C oddały kolejno po jednym strzale do tarczy i a, b, c prawdopodobieństwa trafienia wynoszą dla nich odpowiednio 0,. Zbuduj model probabilistyczny tego doświadczenia losowego. Kiedy będzie to model klasyczny? Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa strzały były celne? 5
5. Rzucam kostką a następnie monetą tylokrotnie ile wypadło oczek na kostce. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia a) dokładnie 5 orłów. b) przynajmniej reszki 6. Do urny wkładam 5 kul zielonych, 4 niebieskie, oraz 2 białe. Z urny losuje kolejno 3 kule. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wylosowania kul we wszystkich kolorach. 7. Rzucam kostką do gry do momentu wyrzucenia 6-stki. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo: a) rzucaliśmy parzystą ilość razy b) rzucaliśmy mniej niż 5 razy. 8. Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia 2 razy pod rząd tej samej strony monety. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo iż rzucaliśmy nieparzystą ilość razy. 9. Dwóch graczy A i B rzucają na zmianę monetą. Wygrywa ten z nich który pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z nich. 0. Trzech graczy A,B i C rzucają na zmianę monetą. Wygrywa ten z nich który pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z nich.. Rzucam 2 razy kostką do gry. Niech A zdarzenie polegające na wyrzuceniu szóstki w pierwszym rzucie, niech B zdarzenie polegające na wyrzuceniu lub 2 w drugim rzucie, zaś C zdarzenie polegające na wyrzuceniu w sumie 7 oczek. Zbadaj niezależność: a) Zdarzeń A i B b) Zdarzeń A i C c) Zdarzeń A, B, C razem. 2. Z odcinka,4 losuje dwie liczby. Niech A zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch liczb dodatnich, B zdarzenie polegające na tym, że druga z losowanych liczb jest ujemna, C zdarzenie polegające na tym, że pierwsza z wylosowanych liczb jest dodatnia. a) Zbadaj niezależność zdarzeń A i B. b) Zbadaj niezależność zdarzeń C i B. c) Policz A C P /. d) Policz B C P /. 3. Udowodnij, że A B PA PB P. 4. Niech będą zdarzeniami. Niech ponadto: A 0,5; PB 0,4; PC 0, 2 zdarzenia P oraz A, B, C niezależne. Policz prawdopodobieństwo: a) zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń b) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń c) nie zachodzi żadne z tych zdarzeń. d) zachodzą przynajmniej dwa ze zdarzeń 6
3 4 4 P A B, P A B, P A B. 5. Dane są P A, PB, A B. Uporządkować rosnąco 6. Mając dane zdarzenia niezależne Ai B o prawdopodobieństwach: P A 0,4 oraz P B 0,, znajdź: 6 a) A B P /, b) A B P, c) PA B '. 7. P A PB. Wykaż, że A B 8. Niech A B, C P zdarzenia Ai B niezależne, a ic P., zdarzenia oraz A 0,4; PB 0,5; PC 0, A rozłączne, P B C 0, prawdopodobieństwo tego, że: a) zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń A, B, C b) nie zachodzi żadne z tych zdarzeń.. Policz, niech ponadto 9. Kontroler sprawdza partię zawierającą m wyrobów I gatunku i n wyrobów II gatunku, po sprawdzeniu pierwszych b n wybranych losowo z partii, okazało się, że wszystkie z nich są drugiego gatunku. Wybieramy losowo dwa spośród niesprawdzonych wyrobów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden jest drugiego gatunku. 20. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła 6, jeśli na każdej kostce jest inny wynik. 2. Mamy trzy krążki. Jeden z dwóch stron jest biały, drugi ma obie strony czarne a trzeci jedną czarną a drugą białą. Rzucaliśmy losowo wybranym krążkiem i na wierzchu wypadła biała strona. Policz prawdopodobieństwo, że po drugiej stronie jest kolor czarny. 2 4 22. Dane są P A B i PA B, PA \ B PB \ A. Oblicz P A PA \ B,. 23. Ania i Robert umówili się w pubie między 8.00 a 9.00, jakie jest prawdopodobieństwo, że Ania przyjdzie przed Robertem, jeśli Ania przyjdzie po 8.30? 24. Zbadaj kiedy zdarzenie jest niezależne samo od siebie. 25. *Uczestnik teleturnieju ma do wyboru jedną z trzech szkatułek, w dwóch są cukierki, w jednej 00000 zł, gracz wskazuje jedną ze szkatułek, prowadzący znający zawartość wszystkich pudełek, pokazuje zawartość jednej z pozostałych szkatułek (oczywiście z cukierkami) i pyta, czy gracz chce zmienić swój wybór. Co powinien zrobić gracz? 26. *Trzej więźniowie A, B, C czekają na egzekucję w więzieniu, przed wyborami prezydent postanowił jednego z nich ułaskawić. Wiadomość ta dotarła do więźniów, więzień A postanowił podpytać strażnika, który z nich zostanie ułaskawiony. Strażnik nie chcąc stracić pracy powiedział, że tego mu nie może powiedzieć, ale może mu zdradzić, że więzień C zostanie stracony. Więzień A ucieszył się, że jego szanse wzrosły do ½. Czy miał rację? 27. W czasie gry w brydża widzimy, że nie dostaliśmy ani jednego asa, jakie jest prawdopodobieństwo, że nasz partner też nie dostał żadnego? 7
28. W urnie znajduje się 3 kule białe i 7 czarnych. Losuje z urny 0 razy ze zwrotem. Policz prawdopodobieństwo tego, że: a) wylosuję 0 kul czarnych b) wylosuję 4 kule czarne c) wylosuję co najmniej 2 kule czarne. 29. Myśliwy trafia do dzika z prawdopodobieństwem p. Ile razy powinien strzelić 5 aby z prawdopodobieństwem większym niż 0,5 trafił dzika przynajmniej raz. 30. Losujemy ze zwrotem z urny zawierającej 2 kule białe i cztery czarne. Ile razy powinniśmy losować, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0,6 trafić czarną kulę przynajmniej raz. 3. Rzucono 0 razy symetryczną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ostatnim rzucie wypadnie 3, jeśli wiadomo, że a) otrzymano 4 trójki, b) w pierwszych 9 rzutach wypadły same trójki? 32. *Zadanie Banacha o zapałkach. Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i prawej) po jednym pudełku zapałek. Ilekroć chce zapalić papierosa, sięga do losowo wybranej kieszeni. Jaka jest szansa, że gdy po raz pierwszy wyciągnie puste pudełko to w drugim będzie k zapałek?( k=,2,3,...,m gdzie m jest liczbą zapałek w pełnym pudełku. Zakładamy, że początkowo matematyk ma 2 pełne pudełka.) 33. Rzucam kostką a następnie monetą tyle razy ile wypadło oczek na kostce. Policz prawdopodobieństwo: a) wyrzucenia 3 orłów, b) wyrzucenia 6 oczek jeśli wypadły 3 orły, c) wyrzucenia 6 oczek jeśli nie wypadł ani jeden orzeł 34. Z jednej urny zawierającej 4 białe, 3 zielone i 3 niebieskie kule do drugiej zawierającej 8 białych kul przekładamy dwie losowo wybrane kule. Następnie z drugiej urny losujemy kule. Policz prawdopodobieństwo iż: a) jest to kula biała, b) przełożyliśmy dwie kule białe jeśli wylosowana kula okazała się biała. 35. W urnie znajduje się a losów wygrywających, b losów przegrywających i c losów losuj dalej. Po losowaniu los wrzucamy z powrotem do urny. Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite policz prawdopodobieństwo wygranej dla a=00 i b=200. 36. Dwaj gracze A i B rzucają na zmianę kostką symetryczną. Wygrywa ten z nich który pierwszy wyrzuci 6. Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite policz prawdopodobieństwo wygranej dla każdego z graczy. 37. Fabryka A produkuje 500 000 samochodów rocznie, fabryka B produkuje 200 000 samochodów a pozostałe 300 000 samochodów pochodzi z importu. 0% samochodów z fabryki A jest niebieskich, 20% z fabryki B ma kolor niebieski i tylko 5% pochodzących z importu to samochody niebieskie. Policz prawdopodobieństwo iż: a) losowo wybrany samochód z tego rocznika jest niebieski b) losowo wybrany samochód z tego rocznika pochodzi z fabryki A jeśli okazał się niebieski. 8
38. Armata strzela do celu i trafia z prawdopodobieństwem 0,2. Prawdopodobieństwo zniszczenia celu przy k trafieniach wynosi. Policz prawdopodobieństwo 2 zniszczenia celu przy 0 strzałach. 39. Student zna odpowiedź średnio na co trzecie pytanie. Prawdopodobieństwo zdania 4 egzaminu przy k poprawnych odpowiedziach wynosi. Jakie jest 5 prawdopodobieństwo zdania egzaminu, na którym student dostanie 5 pytań. 40. Kot i mysz wędrują po kracie n na n (rys ), Startują z przeciwległych rogów i zmierzają do rogów przeciwległych. Poruszają się w tym samym tempie i zawsze do przodu. Jeśli spotkają się wygrywa kot, jeśli nie wygrywa mysz. Jakie jest prawdopodobieństwo zwycięstwa dla każdego z nich? Rys k k 4. W szafce jest 0 par kaloszy w0 różnych kolorach i tym samym rozmiarze. Człowiek nie rozróżniający kolorów dzieli je na pary: lewy z prawym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa? 42. Na zabawie jest n par małżeńskich. W sposób losowy kobiety losują mężczyzn do tańca. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden mąż nie tańczy ze swoją żoną? 43. Rzucam 00-krotnie monetą symetryczną. Policz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby orłów. Bibliografia: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa - Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel Rachunek Prawdopodobieństwa dla (Prawie) Każdego - Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach Włodzimierz Krysicki, Jerzy Bartos, Wacław Dyczka, Krystyna Królikowska, Mariusz Wasilewski Rachunek prawdopodobieństwa W. Szlenk 9