Rysz Chybicki TORY PLANET (Rozwżni n tet ksztłtów toów uchu lnety wokół stcjonnej gwizy) (Posługiwnie się zez osoby tzecie ty tykułe lub jego istotnyi fgenti bez wiezy uto jest wzbonione) MIELEC
Plnecie o sie, znjującej się w oległości o gwizy o sie M nno ękość V (jk n ysunku.) Nleży wyznczyć ównni ożliwych toów, o któych bęzie ouszć się t lnet (w zleżności o V i ). Pzyjąć, ze gwiz jest są stcjonną. Równnie uchu lnety o sie obiegjącej gwizę o sie M we wsółzęnych biegunowych ostć: t M V G Równnie to ówi, że sił wykow ziłjąc n jest suą sił gwitcji i siły ośokowej. Sytucję tę zestwi ysunek: Rys. Poniewż w lszy ciągu ziezy osługiwć się wsółzęnyi biegunowyi, gzie ziennyi są ługość oieni wozącego () i kąt, jki twozy on z osią x (), wobec tego wyźy siłę ośokową w funkcji ękości kątowej ω: V ω Wtey otzyy: t M G ω () W ty ównniu zówno (t) jk i ω ω(t) W tego tyu uchu lnety wzglęe gwizy wioo, że ę lnety w kży unkcie tou uchu jest wielkością stłą, czyli const
Poniewż wioo, że w uchu obotowy więc V ω ω ( V ω 4 () ozncz ękość ostołą o oieni.) Postwijąc wyżenie () o wzou () otzyujey: M G ( ) t ( const ) k się okzło w ktyce, owyższe ównnie bęzie łtwiej ozwiązć, jeżeli zienną wyziy nie w funkcji czsu (t) lecz w funkcji kąt (). Możn tego okonć ozez nstęujące zeksztłceni: t ω, t lecz uwzglęnijąc wzó () otzyy: t. Obliczy ugą ochoną tego wyżeni wzglęe czsu: t t t czyli: t t [wzó ()] więc: t ; le ω t t ()
est to nl nsze ównnie wyjściowe, lecz nieco zeksztłcone i obustonnie ozielone zez. Zuwży, że o wej stonie nie wystęuje czs t, oniewż zniknął w wyżeniu /t. Aby je ozwiązć, wowźy nstęujące oznczenie: ) ( ) ( w ( ) Obliczy ugą ochoną tej nowej ziennej wzglęe kąt : w, zte ug ochon wzglęe kąt ostć: w (4) Wyciągnijy we wzoze () ze nwis czynnik ; otzyy wówczs: t le wyżenie w nwisie kwtowy to wyznczone ównnie (4) w, czyli ożn zisć, że: w w t Powyższe ównnie wstwiy o wzou ( ), zisnego w ten sosób: t Otzyujey w efekcie: w czyli
w w w w /: w otzyujey osttecznie: w w Wioo jenk, że ę jest stły w kży unkcie tou, czyli tkże w unkcie njbliższy gwizy, czyli : zte osttecznie: V w w ( V ) (tz ysunek wyżej) Rozwiąznie tego ównni II-go stoni jest funkcj: w Acos czyli ( V ) Acos ( V ) Acos ( V ) ( V ) ( ) A V cos ( V ) A V ( ) cos Otzyliśy osttecznie wyżenie n : ( V ) A V ( ) cos
Wyżenie to jest uniweslny wzoe kzywych stożkowych o etze skli : i etze ksztłtu (iośozie) ε : ( V ) ε ( ) A V A W tej sytucji ozostje wyznczyć stłą A n ostwie złożeni, że l ο s znjuje się w oległości o sy M czyli: o ( ) stą : o A cos A A Zte ostteczne wyżenie okeśljące zleżność (,, V o ) wyż się wzoe : okłnie : cos cos (,, V ) ( V ) V cos (5) Poniższy ysunek obzuje oznczeni użyte w ty wzoze ( G stł gwitcji)
Swźy, czy l zyku, w któy sił ośokow, ziłjąc n sę M jest ówn sile ośokowej, ziłjącej n sę, wyżenie (5) zestwi sobą okąg (bo jest to zyek uchu o okęgu)? Wioo, że w uchu o okęgu o oieniu z ękością V y zleżność: V GM czyli V Postwy tę wtość V o wzou (5) otzyy wówczs: czyli zeczywiście y o czynieni z uche o okęgu o oieniu. Wyżenie (5) jest wzoe okeśljący w sosób ogólny kzywą stożkową, co ozncz, że w zleżności o etów i ε oże to być okąg, elis, bol lub hiebol. Swźy, w jki sosób zleży to o ękości V? Pzeiszy jeszcze z ównnie uniweslne w ostci uoszczonej: W wyżeniu ty ε cos My zte o czynieni z nstęującyi zyki:
Pzyek : ε < < < < ( V ) < osttecznie otzyujey, że V < czyli uch o elisie Pzyek : ε ( V ) osttecznie ostjey, że uche o okęgu Pzyek : ε < < < < < < < ( V ) < w ty zyku otzyujey Pzyek : ε ( V ) w ty zyku otzyujey V czyli y o czynieni z V czyli uch o elisie V czyli uch o boli
Pzyek 4: ε > > > ( V ) > tez otzyujey V czyli uch o hieboli. Dl ε < zyjijy.5.5.5cos wtey (elis niejsz) Dl ε zyjijy wtey Dl < ε < zyjijy.5.5.5cos (okąg) (elis większ) Dl ε zyjijy cos (bol) Dl ε > zyjijy (hiebol) cos Wszystkie owyższe zyki zestwiono n ysunku oniżej:
Wyznczone ksztłty toów uchu lnety (o. Rysz Chybicki)