Analiza skuteczności wybranych nieparametrycznych metod obliczania VaR

Grzegorz Mentel, Tomasz Pisula Analiza skuteczności wybranych nieparametrycznych metod obliczania VaR Wstęp Bardzo często jako narzędzia oceny ryzyka inwestowania w akcje wykorzystuje się metody oparte o analizę szeregów czasowych. Ryzyko inwestowania na giełdzie, a w szczególności inwestowania w papiery wartościowe, jakimi są akcje notowanych spółek, wynika oczywiście ze zmienności ich kursów. Stąd teŝ przy ocenie ryzyka bardzo waŝne jest właściwe oszacowanie tej przewidywanej zmienności. Ponadto inwestor giełdowy - który inwestuje bardzo często duŝe pieniądze w akcje spółek swojego portfela - zainteresowany jest, aby moŝliwie z jak największą dokładnością znane mu było maksymalne ryzyko jego potencjalnych strat. Ryzyko to wyraŝane jest bardzo często wartością maksymalnych moŝliwych strat, jakie inwestor moŝe ponieść w wartości swojego portfela inwestycyjnego w najgorszym, zakładanym scenariuszu. Na tej zasadzie opiera się bardzo popularna ostatnio, a wyŝej opisana metoda oszacowania ryzyka inwestowania na rynkach finansowych, polegająca na oszacowaniu tzw. wartości portfela naraŝonej na ryzyko, a z angielskiego zwana VaR (Value at Risk). W metodzie tej szacuje się maksymalne potencjalne straty w wartości portfela w zakładanym horyzoncie czasowym (np. jednodniowym, tygodniowym) w taki sposób, Ŝe prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe straty te będą jeszcze większe jest bardzo małe (równe przyjętemu poziomowi tolerancji). Ogólnie metody oszacowania VaR moŝemy podzielić na dwa rodzaje: metody symulacyjne (głównie symulacja historyczna i symulacja Monte Carlo) oraz metody analityczne (oparte na róŝnego rodzaju modelach, opisujących zachowanie się instrumentów finansowych w portfelu inwestycyjnym). Pamiętać jednak naleŝy, iŝ większość z tych metod wymaga załoŝenia, Ŝe zwroty brane pod uwagę posiadają pewien rozkład prawdopodobieństwa. PoniewaŜ załoŝenie tego typu moŝe okazać się czasem zgubne, gdyŝ często bardzo 1

trudno jest dopasować jakiś rozkład, zwłaszcza jeśli mamy do czynienia z wartościami grubo ogonowymi sięga się czasem po metody, które w swej strukturze nie wymagają tego typu warunków. 1. Symulacja historyczna W metodzie symulacji historycznej dla szacowania VaR korzysta się z rzeczywistych danych, co sprawia, Ŝe lepiej niŝ metoda kowariancji odzwierciedla rzeczywiste zachowania się rynku. Główną zaletą tej metody jest to, Ŝe jest to metoda nieparametryczna. Oznacza to, Ŝe z jednej strony nie ma tu ograniczeń wynikających z konieczności przyjęcia załoŝenia normalności, z drugiej strony unika się szacowania niektórych parametrów (takich jak np. średnia czy odchylenie standardowe) na podstawie danych historycznych. W przypadku występowania grubych ogonów w rzeczywistym rozkładzie cen, metoda symulacji historycznej daje bardziej wiarygodny poziom VaR. Zaletą symulacji historycznej jest takŝe to, Ŝe w odróŝnieniu od pozostałych metod jest prostsza w oszacowaniu. Podejście historyczne jest bardzo intuicyjną metodą szacowania Value at Risk. Wyznacza się ją na podstawie historycznych stóp zwrotu danego instrumentu (lub portfela) i empirycznego ich rozkładu. WaŜne jest to, aby stopy zwrotu były obliczane na okres, na jaki jest obliczany VaR (jeŝeli więc horyzont inwestycyjny jest jednodniowy to stopy zwrotu powinny być wyznaczane codziennie). Następnie z rozkładu tych zwrotów porządkuje się i odczytuje się odpowiedni p-kwantyl aby otrzymać wartość VaR. Stosując model historyczny naleŝy zebrać duŝą serię danych. Czym większa ich liczba, tym większa dokładność, jednak dane bardzo odległe są często nieaktualne i nie tak samo waŝne jak dane mniej odległe. Czasami zebranie wystarczającej liczby danych jest niemoŝliwe i stosowanie tej metody jest wtedy ograniczone. Ten sposób obliczania VaR jest wraŝliwy na ekstremalne stopy zwrotu uwzględniane w rozkładzie. W wyniku czego wielkość Value at Risk zmienia się w sposób schodkowy i wielkość ryzyka jest często niedoszacowana bądź przeszacowana. Model historyczny zakłada, Ŝe kształtowanie się ryzyka jest zdeterminowane historycznym jego zachowaniem. 2. Metoda semiparametryczna EKT Metoda EKT jest modyfikacją metody historycznej. Jest to metoda bazująca na teorii wartości ekstremalnych zajmującej się rozkładami prawdopodo- 2

bieństwa mającymi grube ogony 1. Jest to dość istotne załoŝenie, gdyŝ mimo powszechnie stosowanego podejścia, iŝ rozkłady stóp zwrotu instrumentów finansowych mają tzw. warunkowy rozkład normalny, w rzeczywistości jednak obserwacje ekstremalne wykluczają tego typu załoŝenia. W praktyce większe zastosowanie mają rozkłady bardziej wyłapujące obserwacje odstające niŝ czyni to wyŝej wspomniany rozkład. DuŜo lepsze bowiem w tym zakresie jest modelowanie stóp zwrotu chociaŝby rozkładem GARCH (1,1) czy teŝ t-studenta 2. W omawianej metodzie, zgodnie z definicją wartości zagroŝonej, badamy lewy ogon rozkładu zwrotów z portfela, czyli wszystkie ujemne wartości zwrotów. Następnie wartości tych zwrotów mnoŝymy przez -1 otrzymując tym samym wartości dodatnie. Sortujemy wartości tych zwrotów: r 1 r 2 r M r L, gdzie L jest ilością obserwacji z lewego ogona rozkładu zwrotów, natomiast M jest wskaźnikiem progowym, dla którego wszystkie wartości r j, j=m+1,, L są o wiele mniejsze od pozostałych wartości r j, j=1,, M 3. Wyznaczenie wartości progowej r M dokonuje za pomocą wykresu QQ-plot, który bardzo dobrze obrazuje, które obserwacje są powyŝej, a które poniŝej wartości progowej. Dla przykładu w dniu 11.12.2006 r. wykres QQ-plot dla spółki Toora przedstawiał się jak na rysunku 1. Wzór na estymator dla ogona rozkładu jest następujący: 1 M r + 1 α M 1 p =, x > rm + 1 L gdzie: p kwantyl rozkładu, α estymator Hilla określony następującym wzorem: M 1 1 = α ln r i ln r (2) M M i= 1 Z powyŝszego otrzymuje się wzór na wartość naraŝoną na ryzyko: M VaR = rm T (3) + 1 L( 1 p) gdzie: T czas w jakim decydujemy się trzymać nasze akcje. x α (1) 1 Emmer S., Klüppelberg C., Trüstedt M., VaR a measure for the extreme risk, Munich University of Technology, 1999. 22 Mentel G., Ocena skuteczności szacowania ryzyka za pomocą metod VaR na polskim rynku kapitałowym, Praca doktorska, Uniwersytet Szczeciński, 2006. 3 Talar P., Weron A., Metody nieparametryczne obliczania VaR, Rynek Terminowy, nr 14/4/01, s. 60 i dalsze. 3

Rys. 1. Wykres QQ-plot dla zwrotów spółki Toora w dniu 11.12.2006 r. 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 Zwroty Regresja 0,02 0,01 0,00-0,01 0 20 40 60 80 100 Źródło: Opracowanie własne. 3. Empiryczna ocena skuteczności nieparametrycznych metod obliczania VaR W celu zbadania efektywności i skuteczności prognoz dla wartości zagroŝonej obliczonych z wykorzystaniem omawianych metod nieparametrycznych (metody EKT oraz klasycznej metody symulacji historycznej) przeprowadzono badania empiryczne weryfikujące jakość uzyskanych oszacowań. Wykorzystując test liczby przeprowadzono testowanie wsteczne dla obliczonych prognoz wartości zagroŝonej VaR dla kursów 12 spółek giełdowych 4 notowanych na GPW w Warszawie działających na Podkarpaciu. Dla kaŝdej spółki wyznaczono tzw. kroczące prognozy wsteczne dla wartości zagroŝonej VaR dla zwrotów na poziomie tolerancji α=5%, przyjmując horyzont prognozy T=1 dzień, T=5 dni (prognozy tygodniowe) oraz T=21 dni (prognozy miesięczne). Przykład tego typu prognoz został zobrazowany na rysunku 2. 4 Assecopol, Beef-San, Dębica, Krosno, Polna, Ropczyce, Sanwil, ŚnieŜka, Sanok, Śrubex, Toora, Zelmer. 4

Rys. 2. Wartości Value at Risk dla zwrotów spółki Ropczyce w przekroju rozpatrywanych metod (T=5 dni). 0,4 0,3 0,2 VaR D (T=5) Hist VaR D (T=5) EKT Zwroty (5 dni) 0,1 0,0-0,1-0,2-0,3 01/04/1999 03/01/1999 04/28/1999 06/28/1999 08/23/1999 10/18/1999 12/16/1999 02/15/2000 04/11/2000 06/13/2000 08/09/2000 10/05/2000 12/01/2000 01/31/2001 03/28/2001 05/29/2001 07/25/2001 09/20/2001 11/16/2001 01/17/2002 03/14/2002 05/15/2002 07/11/2002 09/06/2002 11/04/2002 01/06/2003 03/03/2003 04/30/2003 06/27/2003 08/25/2003 10/20/2003 12/16/2003 02/16/2004 04/14/2004 06/11/2004 08/06/2004 10/01/2004 11/30/2004 01/25/2005 03/22/2005 05/23/2005 07/19/2005 09/14/2005 11/10/2005 01/09/2006 03/06/2006 05/05/2006 07/03/2006 08/29/2006 10/24/2006 12/20/2006 02/19/2007 04/18/2007 06/18/2007 08/13/2007 10/09/2007 12/05/2007 02/06/2008 Źródło: Opracowanie własne. Efektywność obliczonych prognoz wstecznych zbadano z wykorzystaniem testu liczby, dla którego statystyka testowa obliczana jest ze wzoru 5 : X N α Z = (4) N α (1 α) gdzie: X liczba prognozowanych granic VaR dla analizowanej metody, N liczba prognoz objętych testem wstecznym, α wymagany poziom tolerancji dla prognozowanych granic VaR. Statystyka testowa Z dla dostatecznie duŝej wartości N posiada rozkład normalny standaryzowany. Najczęściej metodę wykorzystaną do obliczania VaR uznaje się jako nieodpowiednią i naleŝy ją odrzucić, jeŝeli obliczona ze wzoru (4) wartość statystyki przekracza wartość progową, która jest kwantylem 5 Best P., Wartość naraŝona na ryzyko. Obliczanie i wdraŝanie modelu VaR. Dom Wydawniczy ABC, Kraków 2000, s. (108). 5

rzędu q1 α dla rozkładu N(0,1). Czasami jednak zbyt mała liczba świadczy o tym, Ŝe prognozowane granice VaR są zbyt obszerne, a zastosowana w prognozie metoda daje źle skalibrowane prognozy. W tej sytuacji moŝna wykorzystać test dwustronny, w którym wyznacza się dwie wartości progowe (odpowiednio q1 α oraz q1 α ). JeŜeli obliczona ze wzoru (4) wartość statystyki dla testu liczby q1 α Zobl q1 α, to testowaną metodę uznaje się za dającą dobrze skalibrowane prognozy i odpowiednią do praktycznych zastosowań. Oczywiście dla Zobl > q1 α metodę tę naleŝy odrzucić jako niewłaściwą dla praktycznych zastosowań, a dla Zobl < q1 α przyjąć jako właściwą, ale dającą zbyt słabo skalibrowane prognozy. Dla testu dwustronnego ufność (wynosząca 1 2 α ) zapewnia, Ŝe poprawna metoda nie zostanie błędnie odrzucona. W tabelach (zob. tab. 1 tab. 3) przedstawiono analizę porównawczą skuteczności prognoz wstecznych dla wartości zagroŝonej VaR dla kursów badanych spółek i róŝnych horyzontów prognozy (dziennego, tygodniowego i miesięcznego) obu rozwaŝanych metod nieparametrycznych. MoŜna zauwaŝyć, Ŝe generalnie metoda EKT daje bardziej skuteczne prognozy w porównaniu z klasyczną metodą symulacji historycznej. Dla horyzontu prognozy T=1 dzień metoda ta ani razu nie została odrzucona jako niewłaściwa, a dla horyzontów prognozy T=5 dni oraz T=21 dni tylko raz na dwanaście badanych spółek (spółka Toora) test liczby odrzucił ją jako niewłaściwą. Znacznie gorzej wypada pod tym względem metoda symulacji historycznej, która była odrzucana jako niewłaściwa w przypadku prognozy 1 dniowej aŝ dwa razy (spółki ŚnieŜka i Toora). W przypadku długich horyzontów prognozy tj. 5 dniowych metoda ta tylko w dwóch przypadkach na dwanaście (Beef-San i Śrubex), a dla horyzontów 21 dniowych tylko raz (Śrubex) dawała właściwe prognozy. Dla horyzontu prognozy 1 dniowego metoda EKT zdała egzamin i dawała właściwe prognozy nawet dla tych spółek, które charakteryzują się grubymi ogonami (najlepszym przykładem spółka Toora). Dla tej spółki klasyczna metoda symulacji historycznej zupełnie nie zdała egzaminu i dawała bardzo nietrafne prognozy (procent wynosił ponad 12%, a wymagany poziom tolerancji wynosił tylko 5%). Dla dłuŝszych horyzontów prognozy (tygodniowego i miesięcznego) metoda EKT nie zdała juŝ egzaminu dla spółki Toora (posiadającej rozkład tzw. gruboogonowy). Wynika to z bardzo duŝej zmienności notowań tej spółki spowodowanej jej upadłością. Dlatego wahania długookresowe są trudne do przewidzenia i znacznie odbiegają od oszacowań obliczonych z zastosowaniem metody EKT. 6

Tabela 1. Porównanie dokładności prognoz wstecznych dla VaR na poziomie tolerancji α=5[%] oraz horyzontu prognozy T=1 dzień dla modelu EKT oraz klasycznego modelu symulacji historycznej. Spółka prognoz Metoda nieparametryczna EKT Dopuszczalna liczba Procent [%] Statystyka testowa Z = Czy model odrzucić Assecopol 2179 93 125 37 1,70-7,07 Nie Beef-San 1734 72 101 34 1,96-5,81 Nie Dębica 3054 133 172 39 1,28-9,44 Nie Krosno 3089 135 174 52 1,68-8,46 Nie Polna 2186 93 126 44 2,01-6,41 Nie Ropczyce 2290 98 131 31 1,35-8,01 Nie Sanwil 2253 96 129 53 2,35-5,77 Nie ŚnieŜka 783 30 49 14 1,79-4,12 Nie Sanok 2520 109 143 38 1,51-8,04 Nie Śrubex 494 17 32 7 1,42-3,65 Nie Toora 289 9 20 18 6,23 0,96 Nie Zelmer 512 18 33 9 1,76-3,37 Nie Metoda klasycznej symulacji historycznej Assecopol 2179 93 125 113 5,19 0,40 Nie Beef-San 1734 72 101 88 5,07 0,14 Nie Dębica 3054 133 172 153 5,01 0,02 Nie Krosno 3089 135 174 164 5,31 0,79 Nie Polna 2186 93 126 119 5,44 0,95 Nie Ropczyce 2290 98 131 121 5,28 0,62 Nie Sanwil 2253 96 129 115 5,10 0,23 Nie ŚnieŜka 783 30 49 51 6,51 1,94 Tak Sanok 2520 109 143 135 5,36 0,82 Nie Śrubex 494 17 32 21 4,25-0,76 Nie Toora 289 9 20 37 12,80 6,09 Tak Zelmer 512 18 33 31 6,05 1,09 Nie Źródło: Opracowanie własne. Metoda klasycznej symulacji historycznej daje prognozy lepiej skalibrowane dla krótkich horyzontów prognozy (horyzont 1 dniowy) w porównaniu z metodą EKT. We wszystkich 10 przypadkach (dla których metoda ta dawała skuteczne prognozy) wartości statystyki testowej dla dwustronnego testu liczby mieściła się w wymaganym przedziale 1, 645 Z obl 1, 645, a liczba w dopuszczalnym przedziale (zob. tab. 1). Tym samym procent dla większości badanych spółek (poza spółkami ŚnieŜka oraz Toora) był bliski wymaganej wartości poziomu tolerancji 5%. Wydaje się, Ŝe 7

metoda ta moŝe być z powodzeniem stosowana w praktyce dla dziennych prognoz VaR. Metoda EKT daje prognozy znacznie zawyŝone w stosunku do wartości rzeczywistych i stosunkowo są one słabo skalibrowane. Średni procent dla wszystkich 12 spółek w przypadku np. prognoz 1 dniowych wynosi tylko 2,1% (zob. tab. 1). Spółka prognoz Tabela 2. Porównanie dokładności prognoz dla VaR na poziomie tolerancji α=5[%] oraz horyzontu prognozy T=5 dni dla modelu EKT oraz klasycznego modelu symulacji historycznej. Metoda nieparametryczna EKT Dopuszczalna Procent liczba [%] Statystyka testowa Z = Czy model odrzucić Assecopol 2175 93 125 51 2,34-5,68 Nie Beef-San 1730 72 101 36 2,08-5,57 Nie Dębica 3050 133 172 49 1,61-8,60 Nie Krosno 3085 135 174 41 1,33-9,36 Nie Polna 2182 93 125 37 1,70-7,08 Nie Ropczyce 2286 98 131 26 1,14-8,47 Nie Sanwil 2249 96 129 42 1,87-6,82 Nie ŚnieŜka 779 29 48 7 0,90-5,25 Nie Sanok 2516 108 143 27 1,07-9,04 Nie Śrubex 490 17 32 4 0,82-4,25 Nie Toora 285 9 20 35 12,28 5,64 Tak Zelmer 508 18 33 8 1,57-3,54 Nie Metoda klasycznej symulacji historycznej Assecopol 2171 92 125 135 6,22 2,60 Tak Beef-San 1726 72 101 97 5,62 1,18 Nie Dębica 3046 133 172 175 5,75 1,89 Tak Krosno 3081 135 173 190 6,17 2,97 Tak Polna 2178 93 125 135 6,20 2,57 Tak Ropczyce 2282 97 131 137 6,00 2,20 Tak Sanwil 2245 96 129 135 6,01 2,20 Tak ŚnieŜka 775 29 48 53 6,84 2,35 Tak Sanok 2512 108 143 152 6,05 2,42 Tak Śrubex 486 17 32 20 4,12-0,89 Nie Toora 281 9 20 40 14,23 7,10 Tak Zelmer 504 18 33 38 7,54 2,62 Tak Źródło: opracowanie własne 8

Dla horyzontów prognozy 5 dniowego i 21 dniowego (w przypadku spółek dla których metoda została zakwalifikowana jako odpowiednia) średni procent jest równieŝ znacznie zaniŝony w stosunku do wymaganego poziomu 5%. Mimo to, metoda ta lepiej sprawdza się w praktyce dla prognoz długookresowych, niŝ klasyczna metoda symulacji historycznej, która mimo, Ŝe daje lepiej skalibrowane prognozy, to w większości przypadków znacznie bardziej zaniŝone i nieodpowiednie w stosunku do wartości rzeczywistych. Tym samym w prognozach długoterminowych lepiej sprawdza się metoda EKT niŝ metoda symulacji historycznej. Tabela 3. Porównanie dokładności prognoz dla VaR na poziomie tolerancji α=5[%] oraz horyzontu prognozy T=21 dni dla modelu EKT oraz klasycznego modelu symulacji historycznej. Spółka prognoz Metoda nieparametryczna EKT Dopuszczalna liczba Procent [%] Statystyka testowa Z = Czy model odrzucić Assecopol 2159 92 124 70 3,24-3,75 Nie Beef-San 1714 71 100 43 2,51-4,73 Nie Dębica 3034 132 171 37 1,22-9,55 Nie Krosno 3069 134 173 55 1,79-8,15 Nie Polna 2166 92 124 65 3-4,27 Nie Ropczyce 2270 97 130 19 0,84-9,10 Nie Sanwil 2233 95 128 56 2,51-5,40 Nie ŚnieŜka 763 29 48 0 0-6,34 Nie Sanok 2500 108 142 35 1,4-8,26 Nie Śrubex 474 16 31 0 0-4,99 Nie Toora 269 8 19 62 23,05 13,58 Tak Zelmer 492 17 32 3 0,61-4,47 Nie Metoda klasycznej symulacji historycznej Assecopol 2139 91 123 179 8,37 7,15 Tak Beef-San 1694 70 99 137 8,09 5,83 Tak Dębica 3014 132 170 247 8,2 8,05 Tak Krosno 3049 133 172 272 8,92 9,93 Tak Polna 2146 91 123 200 9,32 9,18 Tak Ropczyce 2250 96 129 175 7,78 6,05 Tak Sanwil 2213 94 127 149 6,73 3,74 Tak ŚnieŜka 743 28 46 81 10,9 7,38 Tak Sanok 2480 107 141 223 8,99 9,12 Tak Śrubex 454 16 30 25 5,51 0,50 Nie Toora 249 7 18 39 15,66 7,72 Tak Zelmer 472 16 31 36 7,63 2,62 Tak 9

Źródło: Opracowanie własne. Podsumowanie Wyniki uzyskane z analizy skuteczności omawianych metod nieparametrycznych dla oszacowań VaR w oparciu o testowanie wsteczne pozwalaj na sformułowanie kilku praktycznych wniosków: Generalnie metoda EKT daje skuteczniejsze prognozy od klasycznej metody symulacji historycznej; Metodę symulacji historycznej moŝna z powodzeniem stosować w praktyce dla krótkich horyzontów czasu (np. 1 dniowych), gdyŝ daje zadowalające wyniki i dobrze skalibrowane prognozy dla VaR; Metoda EKT jest bardziej skuteczna dla dłuŝszych horyzontów prognozy (np. tygodniowych, czy miesięcznych) i daje poprawne, choć trochę zawy- Ŝone prognozy (słabo skalibrowane) dla szacowanych wartości potencjalnych strat inwestora; Metodę EKT moŝna z powodzeniem stosować dla instrumentów finansowych, których rozkłady mają tzw. grube ogony, gdyŝ wtedy metoda ta mo- Ŝe okazać się znacznie lepsza niŝ klasyczna metoda symulacji historycznej. dr Grzegorz Mentel, dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych w Ekonomii Politechnika Rzeszowska Literatura: Best P., Wartość naraŝona na ryzyko. Obliczanie i wdraŝanie modelu VaR. Dom Wydawniczy ABC, Kraków 2000. Emmer S., Klüppelberg C., Trüstedt M., VaR a measure for the extreme risk, Munich University of Technology, 1999. Mentel G., Ocena skuteczności szacowania ryzyka za pomocą metod VaR na polskim rynku kapitałowym, Praca doktorska, Uniwersytet Szczeciński, 2006. Talar P., Weron A., Metody nieparametryczne obliczania VaR, Rynek Terminowy, nr 14/4/01. 10