1082 PAK vol. 58, r 12/2012 Grzegorz LENDA, Mchał STRACH AGH AKADEMIA GÓRNICZO HUTNICZA, WYDZIAŁ GEODEZJI GÓRNICZEJ I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Al. Mckewcza 30, 30-059 Kraków Określae geomer ras szyowych z wykorzysaem aproksymacyjych fukcj sklejaych Dr ż. Grzegorz LENDA O 2005 roku auk w Kaerze Geoezj Iżyeryjej Buowcwa, wyzału Geoezj Górczej Iżyer Śroowska Akaem Górczo-Huczej m. S. Saszca w Krakowe. Specjalsa w zakrese geoezj żyeryjo przemysłowej z wyszczególeem umeryczych aalz kszału obeków elowych. e-mal: grzea@agh.eu.pl Dr ż. Mchał STRACH Ukończył sua a Wyzale Geoezj Górczej Iżyer Śroowska AGH w Krakowe w 1998 roku. Pracę okorską w specjalośc geoezja żyeryjo przemysłowa obroł w 2003 roku. Jes aukem w Kaerze Geoezj Iżyeryjej Buowcwa. Zaeresowaa baawcze obejmują geoezję żyeryjo przemysłową ze szczególym uwzglęeem geoezyjo agosyczych pomarów róg szyowych oraz projekowaa ras komukacyjych. e-mal: srach@agh.eu.pl Sreszczee Opracowae skupa sę a meoach rozpozawaa geomer ocków rasy kolejowej, przeprowazaego a porzeby regulacj orów. Wymeoo meoy klasycze z opsem ch ograczeń, zapropoowao róweż owy algorym, bazujący a skalowalym wykrese krzywz, worzoym w oparcu o aproksymacyje fukcje sklejae opsujące oś oru. Aalzoway owy yp wykresu róż sę o sosowaego powszeche wykresu krzywz ym, że pozwala a zreukowae wrażlwośc a błęy pomarowe eformacje geomer oru. Uława akże klasyfkowae poszczególych ocków krzywolowych worzących reguloway or. Słowa kluczowe: regulacja orów kolejowych, wykres krzywz, fukcje sklejae. Deermg he geomery of ral roues usg he approxmag sple fucos Absrac The suy focuses o mehos of recogo of he geomery of he ralway secos, carre ou for he ajusme of ralway racks. I s propose a ew algorhm, base o scalable curvaure graph, creae base o he approxmag sple fucos escrbg he axs of he rack. The arcle preses he classcal meho of efyg he geomery, usg agle graphs, ca graphs, curvaure graphs, a he arrows of he arc graph (Fg. 1, 2, 3), scussg her characersc feaures. Emphass was pu o he curvaure graph, whch allows accurae reags. However hs graph s sesve o measurg errors a eformaos of rack geomery, makg ffcul o perform reags. I ao, alhough greaer comparso wh oher mehos of precso, wh hs help ffereae segmes of he small ffereces curvaure (segmeal arcs) ca rase oubs. To reuce hese lmaos propose ew way of creag a scalable curvaure graph (chaper 3), whch s eerme o rack escrbe by he approxmag sple fucos wh a gve ampg rao soro. I orer o prese he possbly of he meho, cosruce wh he help of curvaure graphs for wo epee secos of he rack, comparg hem o he classcal curvaure graphs (chaper 4). Towars hem, he ew meho allows o reuce he sesvy of he measureme errors a eformaos of rack geomery (Fgures 8 a 9), faclag he reags. I also creases he precso of he emarcao of segmes of he small ffereces curvaure (Fgures 10 a 11). Keywors: ral rack ajusme, curvaure graph, sple fucos. 1. Wsęp W osach laach frmy zarzązające secą l kolejowych realzują szereg prac zwązaych z rewalzacją, moerzacją przebuową róg szyowych. Neołączym elemeem procesu wesycyjego jes projek regulacj os orów. Jego sporzązee poprzeza m.. geoezyjy pomar wearyzacyjy sejącej geomer orów. Merzoe welkośc są uzależoe o sosowaej echolog pomarów, wymogów okłaoścowych meo sporzązea projeku regulacj. Dawej powszechą meoą wearyzacj ocków krzywolowych oru był pomar srzałek w łuku a ockach krzywych przejścowych oru. Ze wzglęu a brak elekroczych urzązeń wspomagających oblczea, projeky regulacj orów wykoywao ręcze meoam grafczym. Obece geoec yspoują precyzyjym achymeram elekroczym, oborkam saelarym GNSS czy azemym skaeram laserowym. Pomar wearyzacyjy z wykorzysaem ych urzązeń zwązay jes z pozyskaem współrzęych przesrzeych XYH określoych puków oru kolejowego. Wykoae projeku regulacj os oru wspomagae jes specjalsyczym programam kompuerowym. Efekem sporzązoego projeku, oprócz wyzaczoych korek o położea sejącego oru, mogą być plk wsaowe o pobjarek orowych czy eż wzualzacja przesrzea zaprojekowaej rasy. Regulację oru kolejowego moża pozelć a klka eapów. W jeym z ch ależy przyporząkować (rozpozać) pomerzoe puky o poszczególych ocków rasy (prose, krzywe przejścowe, łuk kołowe). W kolejym ależy uworzyć projek owej rasy, przy wykorzysau formacj zebraych a posawe wcześejszego przyporząkowaa. Jakość wyków uzyskaych a eape rozpozawaa elemeów geomeryczych oru ecyuje o akłaze pracy zwązaym z realzacją kolejych eapów. Tworzee owego projeku obywa sę bowem w oparcu o położee ocków prosolowych, prome ługośc łuków kołowych oraz ługośc krzywych przejścowych. Paramery e są aomas wyzaczae przy użycu grup puków zakwalfkowaych o opoweego ocka. 2. Isejące meoy rozpozawaa geomer oru kolejowego Obece seje klka meo przyporząkowaa puków o ocków rasy o różej geomer, pozwalających a woskowae w oparcu o wykresy: kąów, krzywz, srzałek przechyłek. Wykres kąów [Pokowsk 1954, Lea 2001] skosruoway zosaje w oparcu o różce męzy kerukem worzoym przez perwszą parę puków a orze, zajującą sę a ocku prosolowym, a kerukam wyzaczoym przez koleje pary puków. W e sposób orzymuje sę obraz przesawoy a rysuku 1. Puky zajujące sę a ockach prosolowych owzorowują sę jako prose pozome, puky leżące a łuku kołowym zosają zobrazowae w posac prosej achyloej, aomas puky położoe a krzywych przejścowych zosają owzorowae w posac parabol rugego sopa. Zasaczą waą ak uworzoego wykresu są eosre grace pomęzy poszczególym ockam, co w zaczym sopu urua opowee przyporząkowae puków. Zaley wykresu kąów ujawają sę aomas poczas operowaa a zborach puków pochozących ze zacze rozregulowaego oru lub eż przy mejszej okłaośc prowazoych pomarów. W akch syuacjach wy-
PAK vol. 58, r 12/2012 1083 kres kąów e ulega soym eformacjom, kóre mogłyby oakowo uruć rozpozawae poszczególych ocków rasy. Rys. 1. Fg. 1. Wykres kąów: aką, oległość męzy pukam (klomeraż oru), sprosa, lkrzywa przejścowa, cłuk kołowy Agle graph: a agle, sace bewee pos, s srgh le, l ermeae curve, c- crcle arc Koleją meoą pozwalającą a rozpozawae geomer oru oceę zekszałceń geomer łuków jes wykres srzałek [Dobrowolsk 2002, Kęra 2006]. Srzałk w zależośc o sosowaej echolog pomaru są wyzaczae w róży sposób. Ich welkośc mogą być merzoe bezpośreo w eree w określoych pukach a ockach krzywolowych lub eż oblczae ze współrzęych puków pomerzoych a orze. Iseją akże zauomayzowae pomary srzałek realzowae przy pomocy kolejowych urzązeń agosyczych. Na wykrese srzałek moża rozpozać ock o różej krzywźe. Srzałk a ockach prosych oru mają warośc zerowe (ocek s), zaś a krzywych przejścowych regulare wzrasają (ocek l). Welkośc srzałek a łuku są sałe, róże o zera a ch rozkła oscyluje wzłuż ocka c (rysuek 2). Rys. 2. Fg. 2. Wykres srzałek łuku: psrzałka, oległość męzy pukam (klomeraż oru), s prosa, l-krzywa przejścowa, c-łuk kołowy The graph of he arc hegh Przyporząkowaa moża akże okoać w oparcu o wykres przechyłek merzoych pomęzy szyam oru [Lea 2001, Kęra Z. 2006, Bałuch H., Bałuch M. 2010]. Na ockach oru położoych w łukach, góra powerzcha główk szyy oku zewęrzego powa być wzesoa wzglęem górej powerzch główk szyy oku wewęrzego o welkość zwaą przechyłką oru. Przechyłk a ockach prosolowych mają warość zerową, zwększając sę a krzywych przejścowych, aby osągąć sałą, maksymalą warość a łukach kołowych. Orzymay w efekce obraz jes aalogczy o zaprezeowaego powyżej wykresu srzałek (rysuek 2). Posaa o wyraźe grace pomęzy ockam o różej geomer, co uława opowee przyporząkowae puków. Wyk przyporząkowaa puków zależą oakowo o rozregulowaa oru w płaszczyźe poowej. Sporzązae ego wykresu wymaga prowazea oakowych obserwacj za pomocą lbell elekroczej, umeszczoej poprzecze o os oru. Tego ypu pomary są regulare prowazoe przez kolejowe służby agosycze z wykorzysaem urzązeń agosyczych. Wykres przechyłek ależy rakować jeye jako uzupełee ych meo rozpozawaa geomer oru gyż e zawsze lusruje o zmaę krzywzy oru. Ma o zwązek z projekowaem krzywolowych ocków oru, w jakch e sosuje sę przechyłek. Zgoe z przepsam zawarym w Dz. U. r 151, poz. 987, przechyłk e sosuje sę: 1. w łukach położoych w orach sacyjych boczych, 2. w łukach orów zwroych rozjazów leżących w orach prosych, 3. w łukach położoych w orach, a kórych prowazoy jes ruch z prękoścą rówą lub mejszą o 30 km/h, Wykres krzywz [Lea 2001, Srach 2006, Jamka M., Lsowsk S., Srach M. 2009] saow ajczęścej wykorzysywae arzęze służące przyporząkowau puków o ocków oru o różej geomer. Posaa o formę aalogczą o wykresu przechyłek (rysuek 2): krzywza a ocakach prosolowych ma warość zerową, a ockach krzywych przejścowych arasa, aby osągąć maksymaly pułap la łuku kołowego o zaaym promeu. Zasacze zaczee la okłaośc wykoaych za jego pomocą oczyów, ma rozaj krzywej przyblżającej, kórej krzywza w zaaym pukce zosaje zobrazowaa a wykrese. Dobre wyk przyos wykorzysae okręgów, worzoych w oparcu o koleje rójk puków a orze, kórych krzywzę prezeuje sę a wykrese. Skosruoway w e sposób wykres e pozwala jeszcze a precyzyjy oczy, poeważ pojeycza warość krzywzy wyzaczaa jes w oparcu o rzy puky worzące okrąg, ależy węc okoać opoweego przyporząkowaa. Skojarzee krzywzy ze śrokowym pukem rójk powouje błęe, z okłaoścą o jeego puku, zakwalfkowae puków o poszczególych ocków. Skojarzee krzywzy z perwszym pukem rójk pozwala a okłae oczyae począków ocków o sałej krzywźe (prosych łuków kołowych), przy rówoczesym błęym oczyce, z okłaoścą o wóch puków, końców ych ocków. Skojarzee krzywzy z osam pukem rójk owraca ą zależość. Nałożee a sebe wóch wykresów sporzązoych przy skojarzeu krzywzy z perwszym osam pukem rójk, pozwala a okoae prawłowych oczyów. Do łuku kołowego ależeć bęą wszyske puky z obywu wykresów, zajujące sę a maksymalym pozome (rysuek 3). Aalogcze, o poszczególych prosych przyporząkowae zosaą wszyske puky a pozome zerowym. Krzywe przejścowe worzą puky leżące pomęzy rozpozaym już końcam prosych łuków. Pamęając o powyższych zależoścach, moża skosruować wykres krzywz jeokroe, okoując opoweego poszerzea ocków o sałej krzywźe. Wykres krzywz ma cechy owroe o wykresu kąów: użą czułość, pozwalającą a okoae okłaego przyporząkowaa puków, przy małej oporośc a rozregulowae oru błęy pomarowe, kórym owarzyszą eformacje wykresu, uruające okoae oczyów. Nepożąae eformacje wykresu krzywz są sle zwązae z oległoścą męzy pukam, m oległośc mejsze ym eformacje osągają wększe warośc, co wyjaśa rysuek 4. Przy łączym wpływe rozregulowaa oru błęów pomarowych, usaloym a pozome b, pozycja puków leżących a ocku prosolowym może zosać wyzaczoa jak w lewej częśc rysuku 4, ając w efekce krzywzę okręgu o pewej warośc, różej o zera. Przy aalogczym pozome rozregulowaa oru błęów pomarowych b, ale mejszych oległoścach pomęzy pukam, uworzoy okrąg (prawa część rysuku 4) bęze posaał zacze mejszy promeń a zaem wększą krzywzę. Zjawsko o, wpływa ekorzyse a okłaość oczyów, a wększa lczba aych pomarowych, prowaz o pogorszea jakośc wykresu. W efekce, la gęsych zborów pomarowych, wykres krzywz korzyse jes worzyć w oparcu o rozrzezoe puky. Rys. 3. Fg. 3. Wykres krzywz orzymay ze złożea wóch wykresów cząskowych kkrzywza, oległość męzy pukam (klomeraż oru), sprosa, l-krzywa przejścowa, cłuk kołowy Curvaure graph compose of wo paral graphs
1084 PAK vol. 58, r 12/2012 r 1 2 p S( ) '' 2 (1 r) S ( ) (2) σp 1 Rys. 4. Fg. 4. Wpływ oległośc pomęzy pukam oraz łączego wpływu błęu pomarowego rozregulowaa oru b a wyzaczay promeń krzywzy Curvaure graph ( sace bewee po, b curvaure raus) Główym problemem zwązaym z worzeem wykresu krzywz jes zaem jego wrażlwość a błęy pomarowe rozregulowae oru. Doakowo, mmo ż wykres krzywz charakeryzuje sę użą czułoścą wyraźym gracam pomęzy poszczególym ockam, ruo za jego pomocą wyorębć łuk koszowe, złożoe z klku asępujących po sobe łuków kołowych o zblżoych promeach. 3. Rozpozawae geomer oru kolejowego w oparcu o wykres krzywz worzoy a posawe aproksymacyjych fukcj sklejaych opsujących oś oru Zreukowae opsaych wyżej problemów możlwe jes zęk zasosowau opoweo moyfkowaych fukcj sklejaych. Iea polega a zasąpeu pukowych obserwacj oru za pomocą splaju [Ahlberg, Nlso, Walsh 1967; De Boor 1978], a asępe wyzaczeu krzywzy ej fukcj we wszyskch obserwowaych pukach. Dzęk emu zka problem ejeozaczośc wykresu krzywz pojawający sę poczas geerowaa go w oparcu o rójk puków worzących okrąg. Krzywza może być wyzaczoa w owolym pukce, e ma węc porzeby wykoywaa oakowych zabegów przyporząkowujących. Jakość uzyskaego wykresu, zależy przee wszyskm o zasosowaa właścwej parameryzacj splaju, pozwalającej a opowee wyokrąglee łuków moelowaego oru. Wększość prakycze sosowaych rozajów parameryzacj [Far 2002; Haro, Rehma, A, Saba, Lm 2012] ąży o spłaszczaa łuków, co zabezpecza prze epożąaym zafalowaam zapęleam splaju. W przypaku oru kolejowego, o łagoych zmaach krzywzy, e seje ryzyko zafalowań zapęleń, e ma zaem porzeby korzysaa z ego rozaju parameryzacj. Co węcej, spłaszczając łuk, bęą oe powoowały upoślezee wykresu krzywz, a w kosekwecj uruą wykoae okłaych oczyów. Do uworzea splaju skorzysao zaem z parameryzacj wyokrąglającej łuk, operującej a oległoścach pomęzy merzoym pukam [Far 2002]. Zormalzoway cąg węzłów splaju, usaloy w oparcu o parameryzację, bęze mał posać : 0 0 la [0,1] (1) j j j1 1 1 1 1 Uworzoa w e sposób erpolacyja fukcja sklejaa, pozwala a orzymae wykresu krzywz woczego a rysuku 5a. Porówując go z wykam uzyskaym za pomocą klasycze worzoych wykresów krzywz (rysuek 5b 5c), wać wyraźe, że orzymae wyk e są saysfakcjoujące. Wykres jes barzej chaoyczy ruej okoać z jego pomocą prawłowych oczyów. Fukcje sklajae moża jeak zapsać w posac aproksymacyjej [Dercx 1995], wygłazającej szkolwy wpływ błęów pomarowych. Aproksymująca fukcja sklejaa wyzaczaa jes poczas mmalzacj fukcjoału: gze: p - puk (x, y,z), S ( ) - fukcja sklejaa, σ p - błą wyzaczea położea puku, r - współczyk aproksymacj, - zmea ezależa fukcj w posac parameryczej. Perwszy skłak wyrażea (2) opowaa za aproksymację śreokwaraową, aomas rug zwązay jes z welkoścą krzywzy całkowej fukcj S. Fukcja aproksymująca jes zaem kompromsem pomęzy woma sprzeczym posulaam: ajlepszym opasowaem o puków oraz ajlepszym wygłazeem. Za wygłazae opowaają wa paramery, globaly r [0,1], oraz lokaly σ, określający welkość błęu pomarowego poszczególych obserwacj. Paramer lokaly moża zefować a sałym pozome la wszyskch obserwacj, orzymując w kosekwecj wa paramery globale. Usalając jee z ch a określoym pozome, poprzez obór rugego, moża osągąć pożąay kszał fukcj. Warość parameru σ e mus być zwązaa w żae sposób z rzeczywsą waroścą błęów pomarowych, poeważ przy owolym zaaym σ, moża zaleźć ake r, la kórego osąge sę powarzalą posać splaju, a węc wykresu krzywz. Warość σ usaloo węc ogóre a pozome 0,001, ośwaczale oberając o ego ake r, la kórego czyelość wykresu krzywz saje sę ajlepsza. W oparcu o baaa esowe prowazoe a różoroym maerale pomarowym, usaloo użyeczy zakres wahań parameru r w gracach [0,50; 0,99]. Dla oru o wększym rozregulowau oraz pomarów o mejszej okłaośc, korzyse jes przyjąć mejsze warośc, wększe aomas w syuacj owroej. Pogląowe porówae wygłazaa wykresów krzywz, uzyskaych la różych warośc parameru r, przesawoo a rysuku 6, kóry waro porówać rysukem 5. Rys. 5. Fg. 5. Wykresy krzywz: a) kosruoway w oparcu o or aproksymoway za pomocą erpolacyjych fukcj sklejaych, b) klasyczy cągły, worzoy jeokroe (program Beley Ral Track), c) klasyczy pukowy, worzoy ze złożea wóch wykresów cząskowych (oprogramowae włase) Curvaure graphs, a) approxmae by sples, b) classcal couous, oe - me forme, c) classcal pucual, compose of wo curves Rys. 6. Wykresy krzywz uworzoe la różych warośc parameru r: a) r=0,99, b) r=0,95 Fg. 6. Curvaure graphs for ffere r parameer, a) r=0,99, b) r=0,95 W celu lepszego wyekspoowaa charakerysyczych mejsc aalzowaych ocków, zapropoowao oakowy zabeg, polegający a poęgowau wyzaczoych warośc krzywzy. Umożlwa o w szczególośc lepsze rozpozawae grac łuków koszowych. Wykłak poęg mejsze o 1, pozwalają a powększee wykresów w okolcach ocków prosolowych, poczas gy wększe o 1 umożlwają powększee wykresów w okolcach łuków kołowych (rysuek 7). Wyzaczae grac
PAK vol. 58, r 12/2012 1085 łuków koszowych wygoe jes okoywać przy wększych waroścach wykłaka [2, 3 lub węcej]. Wykres krzywz weług propoowaego algorymu, sporzązoo la parameru wygłazaa r=0,8 oraz wykłaka w 1 (rysuek 9a). Wocza jes zecyowaa poprawa wykresu, żae obserwacje a ocku prosolowym e zblżają sę już o pozomu krzywzy wysępującej a łuku kołowym. Jak wcześej wspomao, zwększając wykłak krzywzy, moża osągąć powększee wykresu w okolcach łuku kołowego, co w ym wypaku e wyaje sę jeak porzebe. Powększee okolc łuku, obywa sę aomas rówocześe z pomejszeem okolc ocków prosolowych. Zwększając zaem wykłak krzywzy, moża osągąć wyłumee ajwększych błęów, wysępujących a począku prosej wyloowej. Wykres krzywz uworzoy w e sposób (współczyk wygłazaa r=0,8, wykłak w=1,5), przesawoo a rysuku 9b. Rys. 7. Fragme łuku koszowego, skalowae wykresu za pomocą zma wykłaka krzywzy: a) wykłak w=1, b) wykłak w=3 Fg. 7. Curvaure graph, for ffere expoe value, a) w=1, b) w=3 4. Porówae właścwośc wykresów krzywz: klasyczego propoowaego W celu zaprezeowaa możlwośc propoowaej meoy, skosruowao wykresy krzywz la wóch ezależych ocków oru, z kórych jee zawerał łuk koszowe. Wyk porówao o klasyczych wykresów krzywz, orzymaych przy wykorzysau programu Beley Ral Track oraz oprogramowaa własego. Perwszy ocek złożoy jes z łuku kołowego, wóch ocków prosolowych oraz rozzelających je krzywych przejścowych. Dae cechują zacze błęy pomarowe, kóre powsały poczas obserwacj GPS, prowazoych przy przesłaau horyzou przez wysoke rzewa rosące w poblżu oru. Zaczy pozom błęów urzymywał sę a prosej wloowej (lewa część wykresu), krzywej przejścowej wloowej, łuku kołowym oraz a krzywej przejścowej wyloowej. Najwększa kumulacja błęów wysąpła a począku prosej wyloowej, po czym ch warośc wrócły o wcześejszego, wysokego pozomu. Końcowy fragme prosej wyloowej cechował zecyoway spaek pozomu błęów pomarowych, zwązay z brakem przeszkó przesłaających horyzo. Klasycze wykresy krzywz (rysuek 8), wrażlwe a błęy pomarowe, ały obraz ruy o prowazea rozgraczeń ocków oru. Wyróżć moża jeye przyblżoe zarysy ocków prosolowych łuku kołowego. Wrażlwość a błęy jes ak uża, że ekóre wyk saową zaprzeczee e worzea wykresu krzywz. Krzywza pojeyczych puków a ocku prosolowym, w mejscu ajwększych błęów, osągęła warośc wększe, ż ajwększe jej warośc a łuku kołowym. Końcowy ocek oru, wobec zacze mejszych błęów pomarowych, zosał aomas opsay poprawe, krzywza la osaego fragmeu ocka prosolowego, zblżoa jes po pozomu zerowego. Rys. 9. Fg. 9. Wykresy krzywz wykoae weług propoowaego algorymu la mało okłaych pomarów oru: a) paramer wygłazaa: r=0,8, wykłak: w=1, b) paramer wygłazaa: r=0,8, wykłak: w=1,5 Curvaure graphs accorg o he auhors alghorhm for measureme resuls loae by he sgfca errors, a) r=0,8; w=1, b) r=0,8; w=1,5 Drug ocek oru skłaa sę z rzech łuków kołowych, rozzeloych poobe jak wcześej, ockam prosych krzywych przejścowych. Dla porówań ajsoejszy jes perwszy z łuków koszowy, złożoy z czerech asępujących po sobe łuków, o ezacze różących sę promeach (wększym 1, mejszym 1, wększym 2, mejszym 2). Klasycze wykresy krzywz (rysuek 10), pozwalają a przyblżoe wyorębee wóch perwszych łuków (wększego 1 mejszego 1). Graca pomęzy woma osam jes zacze mej wyraźa, a w przypaku braku formacj apror, że a ym ocku wysępują wa łuk, a posawe wykresów moża omemywać see ylko jeego z ch. Główą przeszkoą w okoau rozróżeń jes pozom flukuacj wykresu, kóre osągają warośc zblżoe o różc warośc krzywzy poszczególych łuków koszowych. Na rysuku wocza jes różca pomęzy poowym zwroem wykresu la wóch osach, samozelych łuków kołowych. Wyka oa z faku, że a rysuku 9.b prezeowae są warośc bezwzglęe krzywzy, co jeak e wpływa a rozpozawae grac ocków. Rys. 10. Wykresy krzywz wykoae la łuku koszowego: a) program Beley Ral Track, b) oprogramowae włase Fg. 10. Curvaure graphs, a) Beley Ral Track program, b) auhors program Rys. 8. Fg. 8. Wykresy krzywz wykoae la mało okłaych pomarów oru: a) program Beley Ral Track, b) oprogramowae włase Curvaure graphs, a) Beley Ral Track program, b) auhors program W celu wyelmowaa flukuacj, moża zasosować propooway algorym opary o wygłazae oru za pomocą aproksymacyjych fukcj sklejaych. Wykres krzywz sporzązoy przy paramerze wygłazaa r=0,7 oraz wykłaku w 1 przesawa rysuek 11a). Moża a m zaobserwować zarysowujące sę czery pozomy krzywzy, opowaające czerem łukom koszowym (wększy 1, mejszy 1, wększy 2, mejszy 2). Dla celu lepszego ch rozróżea, ależy zwększyć wykłak krzywzy, kóry po przyjęcu warośc w 2, pozwala a orzymae wykresu woczego a rysuku 11b. Pokreślć ależy soość obywu procesów wygłazaa zwększaa wykłaka, la orzymaa obrej jakośc wykresu. Samo ylko wygłazae, porząkuje wykres, kórego skala jes jeak eco zby mała la okoywaa oczyów. Zwększae wykłaka, bez
1086 PAK vol. 58, r 12/2012 wcześejszego wygłazaa, powoować bęze aomas zwększee flukuacj woczych a rysuku 10. Poobe jak la rysuku 10, a rysuku 11 wocza jes różca pomęzy zwroem wykresów la wóch osach, samozelych łuków kołowych. Wyka oa z zasosowaa parzysego wykłaka poęg krzywzy. Ogóle, wraz ze wzrosem wykłaka rosą różce pomęzy łukam o różych krzywzach. Dla lepszego wyekspoowaa wóch osach łuków kołowych, moża węc użyć wykłaków o ych waroścach. Rys. 11. Wykresy krzywz wykoae weług propoowaego algorymu la łuku koszowego: a) paramer wygłazaa: r=0,7, wykłak: w=1, b) paramer wygłazaa: r=0,7, wykłak: w=2 Fg. 11. Curvaure graph accorg o he propose alghorhm, a) r=0,7, w=1; b) r=0,7; w=2 5. Posumowae wosk Propoowaa meoa, wykorzysująca aproksymacyje fukcje sklejae o rozpozawaa grac ocków oru o różej geomer, przyos klka uspraweń wzglęem klasyczej meoy worzea wykresu krzywz. Wyzaczee krzywzy w oparcu o fukcję opsującą cały aalzoway or, pozwala a ukęce ejeozaczośc zwązaych z opowem przyporząkowaem krzywzy o puków. Zasosowae aproksymacj umożlwa wygłazee przebegu wykresu, zmejszając ejeozaczość wykoywaych oczyów (pozwalając róweż a eco lepsze wyorębee łuków koszowych). Użyce zmeego wykłaka w poęze krzywzy pozwala a lepszą oceę końców ocków, w szczególośc łuków koszowych, kórych rozpozae za pomocą ych meo jes mej precyzyje. Pracę wykoao w ramach baań sauowych r 11.11.150.005 w 2012 roku a Wyzale Geoezj Górczej Iżyer Śroowska, AGH w Krakowe 6. Leraura [1] Pokowsk J.: Geoezja gospoarcza, om 3 - Geoezja kolejowa. PPWK, Warszawa 1954. [2] Lea G.: Auomayzacja procesu oblczeowego regulacj os orów kolejowych, Geoezja,. 7, z. 2, sr. 275 284, Kraków 2001. [3] Dobrowolsk B.: Kocepcja umeryczego moelu geomer orów w procese apraw awerzch, Prace Isyuu Geoezj Karograf,. XVIX, z. 105, sr. 77-95, Warszawa 2002. [4] Kęra Z.: Usalae warośc omalych w pomarach oromerzam elekroczym, Problemy Kolejcwa, z. 143, s. 123 135, Warszawa, 2006. [5] Bałuch H., Bałuch M.: Ukłay geomerycze oru ch eformacje, PKP Polske Le Kolejowe S.A., Warszawa 2010. [6] Rozporzązee Msra Trasporu Gospoark Morskej z a 10 wrześa 1998r. w sprawe waruków echczych, jakm powy opowaać buowle kolejowe ch usyuowae. Dzek Usaw, r 151, poz. 987, Warszawa, 1998. [7] Srach M.: Wykorzysae aplkacj frmy Beley o projekowaa rasporu kolejowego, Geoezja,. 12 z. 2 sr. 181 189, Kraków, 2006. [8] Jamka M., Lsowsk S., Srach M.: Zasosowae współczesych echolog geoezyjych w określau geomer oru w aspekce opuszczalych prękośc pocągów. Zeszyy Naukowo Techcze Sowarzyszea Iżyerów Techków Komukacj Rzeczpospolej Polskej. Ozał w Krakowe, z. 149, sr. 567 581, Kraków 2009. [9] Ahlberg J.H., Nlso E.N., Walsh J.L.: The heory of sples a her applcaos. Acaemc Press Ic. New York, 1967. [10] De Boor C.: A praccal gue o sples. Sprger-Verlag, New York 1978. [11] Far G.: Curves a surfaces for compuer ae geomerc esg. Acaemc Morga Kaufma Publshers, Sa Fracsco, 2002. [12] Haro H., Rehma A., A D. I. S., Saba T., Lm S. P.: Paramerzao Meho O B-Sple Curve. Mahemacal Problems Egeerg, 2012. [13] Dercx P.: Curve a surface fg wh sples. Oxfor Uversy Press, New York, 1995. orzymao / receve: 12.08.2012 przyjęo o ruku / accepe: 01.11.2012 arykuł recezoway / revse paper INFORMACJE Newsleer PAK Wyawcwo PAK wysyła rogą e-malową o osób zaeresowaych Newsleer PAK, w kórym są zameszczae: - sps reśc akualego umeru mesęczka PAK, - kalearz mprez brażowych, - ważejsze formacje o załalośc Wyawcwa PAK. Newsleer jes wysyłay co mesąc o osób, kóre w jakkolwek sposób współpracują z Wyawcwem PAK (auorzy prac opublkowaych w mesęczku PAK, recezec, człokowe Ray Programowej, osoby kóre zgłosły chęć orzymywaa Newsleera). Celem cjaywy jes umocee w śroowsku pozycj mesęczka PAK jako ważego akualego źróła formacj aukowoechczej. Do ewsleera moża zapsać sę za pośrecwem: sroy ereowej: www.pak.fo.pl, po oau swojego aresu malowego o subskrypcj, aresu malowego: wyawcwo@pak.fo.pl, wysyłając swoje zgłoszee. Orzymywae Newsleera e powouje żaych zobowązań ze sroy aresaów. W każej chwl moża zrezygować z orzymywaa Newsleera. Taeusz SKUBIS Reakor aczely Wyawcwa PAK