WYRÓWNOWAŻANIE MAS W RUCHU OBROTOWYM

CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXI, z. 61 (/14), kwiecień-czerwiec 014, s. 161-17 Dariusz SZYBICKI 1 Łukasz RYKAŁA Magdalena MUSZYŃSKA 3 WYRÓWNOWAŻANIE MAS W RUCHU OBROTOWYM Problem oruszany w artykule dotyczy zjawiska wyrównoważania (wyważania) mas w ruchu obrotowym. W celu rozwiązania danego zagadnienia oracowano algorytm dotyczący roblemu wyważania rzy omocy mas róbnych. Ponadto dokonano rezentacji autorskiego rojektu urządzenia i omówiono rocedury wyważania na omawianym stanowisku. Zarezentowano również wyniki badań symulacyjnych oraz weryfikacyjnych rzerowadzonych na zbudowanym urządzeniu. Słowa kluczowe: wyważanie, drgania, elementy wirujące, stanowisko do wyważania 1. Wrowadzenie Postę techniczny wymusza nieustanny wzrost rędkości obrotowych maszyn i urządzeń. Ze względu na to, iż są one w znacznym stoniu lżejsze i bardziej wydajne niż ich wolnoobrotowe odowiedniki, dlatego w bliskiej rzyszłości można doszukiwać się zwiększenia rędkości obrotowych elementów wirujących. W rzyadku, gdy masy wirujących elementów są rozmieszczone symetrycznie względem osi obrotu, to sowodowane rzez nie siły odśrodkowe równoważą się oboólnie. W wyniku tego oddziaływania w elementach wirujących owstają tylko narężenia kinetostatyczne. Takie elementy nazwano wyważonymi. Z kolei stan urządzeń i maszyn z wyważonymi elementami, które racują sokojnie, bez drgań oraz hałasów, określa się ogólnie jako dobry stan dynamiczny maszyny. Każda niewielka asymetria mas wirującego elementu rzy 1 Autor do koresondencji/corresonding author: Dariusz Szybicki, Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska, al. Powstańców Warszawy 8, 35-959 Rzeszów, tel. (17) 865 1843, e-mail: dszybicki@rz.edu.l Łukasz Rykała, Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska, al. Powstańców Warszawy 8, 35-959 Rzeszów, tel. (17) 865 1843, e-mail: lrykala@rz.edu.l 3 Magdalena Muszyńska, Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska, al. Powstańców Warszawy 8, 35-959 Rzeszów, tel. (17) 865 1843, e-mail: magdaw@rz.edu.l

16 D. Szybicki, Ł. Rykała, M. Muszyńska znacznych rędkościach obrotowych jest rzyczyną owstania stanu niewyważenia. Charakteryzuje się on owstaniem niezrównoważonej siły odśrodkowej wywołującej zły stan dynamiczny maszyny, n. wzmożone drgania wirnika, łożysk, kadłuba oraz fundamentów. Wsomniane drgania mocno ogarszają niezawodność maszyny oraz skracają jej żywotność. Zły stan dynamiczny maszyny staje się zasadniczą rzyczyną małej dokładności realizowanych rocesów technologicznych, a to z kolei wływa na ogorszenie się jakości rodukowanych wyrobów. Ze względu na to, iż większość maszyn i urządzeń ma wirujące elementy ich wyważanie stało się niezbędną i owszechnie stosowaną oeracją technologiczną.. Stanowisko do oisu zjawiska wyrównoważania mas w ruchu obrotowym W ramach rac badawczych zostało zbudowane stanowisko do oisu zjawiska wyrównoważania mas w ruchu obrotowym, rys. 1. Urządzenie składa się z ruchomej latformy, nieruchomej odstawy, silnika rądu stałego, zabezieczającej osłony, wirującej tarczy oraz ary srężyn. W omawianym stanowisku zastosowano silnik rądu stałego. Wykonana tarcza jest mocowana do osi silnika rzy omocy kołka zaciskowego. W ten sosób omawiany element nie jest montowany na stałe na osi silnika oraz jest łatwy w demontażu, co znacznie zwiększa możliwy zakres badań o kolejne elementy. Tarcza składa się z 18 otworów, 4 rozmieszczonych względem środka tarczy na trzech średnicach. Rys. 1. a) Stanowisko laboratoryjne do oisu zjawiska wyrównoważania mas w ruchu obrotowym, b) stanowisko z masami korekcyjnymi Fig. 1. a) Laboratory stand for describing the henomenon of balancing masses in angular rate, b) stand with correction mass Do jednej z dwóch możliwych do zastosowania dla tej konstrukcji metod wyważania omawianej tarczy należy wkręcanie w wymienione otwory śrub o wcześniej dobranej długości. Drugim dodatkowym sosobem wyważania jest zakładanie fragmentów lasteliny na secjalnie rzygotowanym rowku znajdującym się na wewnętrznym obwodzie tarczy i widocznym na rys. 1b. Rys. a rzedstawia boczny widok konstrukcji ze zdjętą osłoną zabezieczającą. Ponad-

Wyrównoważanie mas w ruchu obrotowym 163 to rys. a dobrze obrazuje sosób mocowania wirującej tarczy do osi silnika. Secjalnie wykonana rzeźroczysta osłona zaewnia bezieczeństwo racy z wirującymi elementami. Platforma jest rzymocowana do odstawy za omocą 3 śrub (rys. a). Do łożyskowania konstrukcji wykorzystano dwa łożyska kulkowe. Urządzenie wyosażone jest również w komlet srężyn: naciskowej oraz naciągowej. Wsółczynnik srężystości omawianej srężyny wyznaczony doświadczalnie wynosi około 800 [N/m]. Srężyna ta jest niewiele twardsza od srężyny naciągowej. Z kolei wsółczynnik srężystości srężyny naciągowej wyznaczony doświadczalnie wynosi około 700 [N/m]. 3. Procedura wyważania Rys..a) Boczny widok konstrukcji ze zdjętą osłoną, b) boczny widok stanowiska Fig.. a) Side view of the construction with the removed cover, b) side view of the stand Oisywana latforma jest osadzona obrotowo w odstawie i odarta srężynami w drugim końcu. Jeżeli wirnik w ostaci tarczy będzie znajdował się w ruchu obrotowym, to siły bezwładności mas niewyważonych będą owodować wychylenie się latformy wokół unktu odarcia układu w łożyskach. Wsomniane wychylenie ramy z ołożenia równowagi będzie wywołane rzez siły bezwładności niewyważenia odowiadające łaszczyźnie korekcji π znajdującej się na owierzchni tarczy z otworami. Wartość omawianego niewyważenia jest możliwa do obliczenia korzystając, n. z omocy akcelerometru. Wynik omiaru, a mianowicie amlituda drgań układu A jest roorcjonalna do siły wymuszającej P w. Dla uroszczenia zaisu rzyjęto, iż P w = P 1. Wartość omiaru można rzedstawić nastęującym wzorem (1): A 1 kp 1 (1) gdzie: k wsółczynnik roorcjonalności, P 1 siła bezwładności niewyważenia odniesiona do łaszczyzny π [4]. W celu określenia wartości wsółczynnika k należy rzerowadzić nastęujące kroki. Określona w badaniach doświadczalnych wartość A 1 (wyznaczona rzy rędkości rezonansowej) wynika z faktu

164 D. Szybicki, Ł. Rykała, M. Muszyńska działania siły P 1 (rys. 3). Wsomniana siła jest nieznana, onieważ niewiadomymi są również masa niewyważenia m 1 oraz arametry jej ołożenia: r 1 i α [4]. Rys. 3. Siły bezwładności w oszczególnych fazach wyważania Fig. 3. Forces of inertia in the individual hases of the balancing Nastęnie mocowana jest w dowolnym miejscu, n. w unkcie D (rys.3) dowolna (o znanej wartości) masa róbna m na również znanym romieniu r. Po kolejnym uruchomieniu wirnika dokonywany jest omiar i odczytywana jest wartość A, która w tym rzyadku jest roorcjonalna do wyadkowej siły bezwładności obu mas m 1 oraz m. gdzie: A kp () P (3) P1 PPD Identyczny omiar rzerowadzany jest onownie z tą różnicą, iż masa róbna m D jest umieszczana o rzeciwnej stronie wirnika w unkcie E (rys. 3c). Uzyskuje się wtedy kolejną amlitudę A 3 określoną wzorem (4): gdzie: A 3 kp 3 (4) P (5) 3 P1 PPE Wystęujące siły P 1, P PE, P PE, P, P 3 tworzą lan sił rzedstawiony na rys. 4a. Rys. 4. Wyznaczanie ołożenia masy korekcyjnej a) na elemencie wyważanym, b) na wyważanym odzesole Fig. 4. Determining the osition of the correction masses a) on a balanced element, b) on a balanced comonent

Wyrównoważanie mas w ruchu obrotowym 165 Z kolei widoczny na rys. 4b lan ozwala wyliczyć nie znaną dotychczas amlitudę A rzyadającą na masę róbną m [4]. 1 3 A A A A (6) Z równania (6) wynika zależność (7): A A3 A1 A (7) Wiadome jest, że sełniona jest równość (8): A kp (8) Z kolei o rostym rzekształceniu owyższego wzoru otrzymujemy zależność (9): A k (9) P Natomiast korzystając z orzednich wzorów można otrzymać nastęujące równanie: A A P (10) 1 1 1 P k A Po orównaniu wzoru (10) ze wzorem (1) można uzyskać nastęującą zależność: A P (11) 1 1 m1r1 m r A v W ten sosób wyznaczamy nieznane dotychczas niewyważenie P 1 w łaszczyźnie π. Korzystając ze wzoru (1) można również określić miejsce masy niewyważonej [4]. 1 1 A A A α ar cos (1) A A 3.1. Badania symulacyjne, kinematyka układu Rozważany układ można rzedstawić w ostaci jak na rys. 5, gdzie: 1 - wstęnie ściśnięta srężyna naciskowa, - wstęnie rozciągnięta srężyna naciągowa, 3 nieruchoma odstawa układu, 4 obracająca się latforma.

166 D. Szybicki, Ł. Rykała, M. Muszyńska Rys. 5. Rozatrywany układ mechaniczny Fig. 5. Considered mechanical system Zarezentowany na owyższym rysunku układ jest nieliniowy, jednakże rzyjęto założenie, że kąt φ jest mały. W takim rzyadku można rzyjąć, iż: sin φ φ (13) Tak, więc korzystając z zależności (13) otrzymujemy równanie: y y r AP sin φ AR sin φ AP φ AR φ (14) Obydwie srężyny zostały umieszczone obok siebie w tej samej odległości AP od unktu odarcia latformy do odstawy. Przyjęte wcześniej oznaczenia zostały sformułowane właśnie w taki sosób ze względu na niemożliwość rzedstawienia obydwu srężyn w jednym rzucie. AP AR, a z tego wynika, iż: y y r []. Wiadomo jest również, iż w stanie równowagi statycznej siła wstęnego naięcia srężyny równoważy ciężar układu i z tego względu w różniczkowych równaniach ruchu omięto działanie ciężaru konstrukcji Q []. 3.. Masowy moment bezwładności latformy Masowy moment bezwładności latformy wyznaczono doświadczalnie wykorzystując oniższy wzór: Q AS I o (15) ω gdzie: Q 17[N] - ciężar drgającej latformy, AS 15[cm] - odległość unktu mocowania latformy od jego środka masy, ω 7.013[rad / s] - częstość własna latformy [, 4]. Z zależności (15) otrzymano, iż masowy moment bez-

Wyrównoważanie mas w ruchu obrotowym 167 władności drgającej latformy wynosi Io 0.048[kgm ]. Wsółczynnik tłumienia jednostkowego h został wyznaczony doświadczalnie i wynosi h=0.075. 3.3. Różniczkowe równania ruchu układu Przedstawiony układ wykonuje ruch obrotowy wokół unktu A, co srawia, iż różniczkowe równania ruchu są równaniami ruchu obrotowego (16): φ M S AP S AR (16) Io n 1 Z kolei wymuszenie układu gdzie: M n jest równe zależności (17): M n mr AT ωw cos ωw t (17) m masa róbna wywołująca niewyważenie wirującego elementu, r romień na, którym zamocowana jest masa m na tarczy, AT AK odległość od unktu do miejsca mocowania tarczy, ω w rędkość kątowa wirującej tarczy [, 4]. Natomiast siły reakcji srężyn: S 1 oraz S są z kolei oisane nastęującymi zależnościami: S (18) 1 k1y S (19) k yr gdzie: k 1, k wsółczynniki srężystości srężyn 1 oraz [, 4]. Wstawiając do równania (16) rzedstawione zależności (18) oraz (19) otrzymuje się nastęującą oniższą zależność: I φ m r AT ω cos ω t k y AP k y AR (0) o w w 1 Drgania wymuszone tłumione (z tarciem wiskotycznym) oisane są wzorem (1): φ hφ ω φ q cos ωt (1) o gdzie: ω o to częstość drgań własnych układu, h wsółczynnik tłumienia jednostkowego, q to wymuszenie jednostkowe [,4]. Zależność (0) można rzekształcić do formy (1) oraz dodając znane już h, otrzymać zależność (): hφ k1 AP k AR φ φ m r AT ωw cos ωw t () I I o o r

168 D. Szybicki, Ł. Rykała, M. Muszyńska W celu rzerowadzenia symulacji racy układu owyższe równanie zostało zamodelowane w akiecie Matlab/Simulink. W rzerowadzonej symulacji rzyjęto nastęujące dane: m 5[g], r [mm], AT AK 0.1[m], h 0.075[ ], Io 0.048[kgm ], k 1 800[N / m], k 700[N / m], AP AR 0.[m], ω rez 9.0[rad / s], k 0. 001 krok dyskretyzacji, czas symulacji 10 [s] oraz zerowe warunki oczątkowe: φ 0 0, φ 0 0. 3.4. Wyniki symulacji Otrzymane na rys. 6 rzebiegi kinematyczne, a szczególnie ten widoczny na rys. 6c, wskazują na orawne zarojektowanie stanowiska. Rys. 6. Przebiegi kinematycznych arametrów ruchu układu: a) rzysieszenie liniowe unktu K, b) rędkość liniowa unktu K, c) rzemieszczenie liniowe unktu K Fig. 6. Grah of the kinematic arameters of the movement: a) linear acceleration of the oint K, b) linear seed of oint K, c) linear dislacement of oint K Amlituda drgań układu w skrajnym unkcie latformy rzy rezonansowej częstości wymuszenia nie rzekracza 4 [mm]. Pomiar stanu niewyważenia jest możliwy w zbudowanym stanowisku właśnie dzięki omiarowi drgań układu. Wsomniana amlituda jest, więc ważnym arametrem dla omawianego stanowiska ze względu na fakt, iż zbyt małe drgania byłyby bardzo trudne do zarejestrowania, natomiast zbyt duża wartość amlitudy drgań układu mogłaby dorowadzić do zniszczenia całej konstrukcji. Drgania układu o amlitudzie nie rzekraczającej 4 [mm] są również łatwe do zarejestrowania rzy omocy większości aaratur omiarowych. 3.5. Badania doświadczalne na zarojektowanym stanowisku Badania doświadczalne rzerowadzone były w zgodzie z rzedstawioną w orzednich rozważaniach rocedurą wyważania układu. Proces wyważania w rozatrywanym rzyadku składa się z 3 odstawowych faz oraz montażu obliczonej masy korekcyjnej. W ierwszej fazie wyważania zmierzono wartość amlitudy drgań A1 rzy wyznaczonej doświadczalnie rędkości rezonansowej układu o wrowadzeniu masy niewyważenia w ostaci lasteliny widocznej na rys. 7a. Zachowanie układu dla tej fazy oeracji wyważania rzedstawia wykres na rys. 7b. Powstał on w wyniku użycia akcelerometru rzymocowanego do

Wyrównoważanie mas w ruchu obrotowym 169 Rys. 7. a) Widok tarczy w ierwszej fazie wyważania, b) wykres rzemieszczenia liniowego krańcowego unktu latformy w zależności od czasu Fig. 7. a) View of the disc in the first hase of balancing, b) the lot of linear dislacement of the marginal oint for the latform in function of time krańcowego unktu latformy. Z wykresu odczytano max. amlitudę drgań w stanie ustalonym A 1 =3 [mm]. Druga faza wyważania olega na umieszczeniu we wcześniej rzygotowanej tarczy (w analizowanym rzyadku wraz z lasteliną) masy róbnej w wybranym miejscu (rys. 8a). W omawianym rzyadku jako masę wybrano śrubę o masie: m=.6 [g] umieszczoną w dobrze widocznym na wsomnianym rysunku miejscu. Rys. 8. a) Widok tarczy w drugiej fazie wyważania, b) wykres rzemieszczenia liniowego krańcowego unktu latformy w zależności od czasu Fig. 8. a) View of disc in second hase of balancing, b) lot of linear dislacement of marginal oint for latform in function of time Nastęnie dokonano tych samych omiarów, które zostały wykonane w ierwszej fazie wyważania. Wyniki omawianych badań są widoczne na rys. 8b. Z wykresu rzemieszczenia liniowego krańcowego unktu dla fazy drugiej odczytano max. amlitudę drgań w stanie ustalonym A =3.8 [mm]. Z kolei trzecia faza wyważania olega na umieszczeniu we wcześniej rzygotowanej tarczy masy róbnej o rzeciwnej stronie w stosunku do wybranego miejsca umieszczenia

170 D. Szybicki, Ł. Rykała, M. Muszyńska masy róbnej w orzednim rzyadku. Jako masę onownie wybrano śrubę o m=.6 [g] umieszczoną w widocznym na rys. 9a miejscu. Rys. 9. a) Widok tarczy w trzeciej fazie wyważania, b) wykres rzemieszczenia liniowego krańcowego unktu latformy w zależności od czasu Fig. 9. a) View of disc in the third hase of balancing, b) lot of linear dislacement of the maginal oint for latform in function of time Nastęnie dokonano tych samych omiarów, które zostały wykonane w ierwszej i drugiej fazie wyważania. Wyniki omawianych badań są widoczne na rys. 9b. Tak jak w orzednich dwóch rzyadkach z wykresu rzemieszczenia liniowego krańcowego unktu dla fazy trzeciej (rys. 9b.) odczytano max. amlitudę drgań w stanie ustalonym A 3 =3. [mm]. Znając wyznaczone doświadczalnie amlitudy drgań, wartości masy róbnej oraz romienia róbnego wykorzystano odane w orzednim rozdziale zależności ozwalające uzyskać oszukiwaną wartość niewyważenia oraz jego miejsce. W celu wykonania wsomnianych obliczeń zastosowano akiet Matlab/Simulink. Uzyskane wyniki obliczeń: A = 0.0018 [m], P 1 = 9.3895e-005 [kgm], k = 19.4639[m/N], α = 1.7635[rad]=101[º]. Wskazują one, iż w celu wyważenia układu należy użyć ciężaru korekcyjnego o momencie statycznym P 1 = 93.895 [g mm] na kącie α =101[º]. W celu wyważenia układu sorządzono ciężar korekcyjny z lasteliny i umieszczono go w takim miejscu, aby miał odobny moment statyczny do obliczonego P 1 i umieszczono go na wcześniej odanym kącie α (rys. 10a). Nastęnie dokonano identycznych omiarów, które zostały wykonane w każdej z oisanych wcześniej faz wyważania. Wyniki omawianych badań są widoczne na rys. 10b. Maksymalna amlituda jest równa około 0.75 [mm]. Jest więc ona około czterokrotnie mniejsza od amlitudy uzyskanej w ierwszej fazie wyważania równej A 1 =3[mm]. Wynik ten dowodzi orawności całej metody. W doświadczeniach wykazano, iż niewielka zmiana masy układu (n. dodanie masy róbnej, czy korekcyjnej) zmienia ołożenie strefy rezonansu urządzenia. Wsomniany fakt negatywnie wływa na dokładność rocesu wyważania. Dlatego w racy badania rzerowadzano rzy omocy stałej rędkości obrotowej wirnika, doświadczalnie ustawionej jako rezonans w ierwszej fazie wyważania.

Wyrównoważanie mas w ruchu obrotowym 171 4. Wnioski końcowe Rys. 10. a) Widok tarczy wraz z masą korekcyjną, b) wykres rzemieszczenia liniowego krańcowego unktu latformy w zależności od czasu dla układu o zastosowanej korekcji mas Fig. 10. a) View of disc with correction mass b) lot of linear dislacement of marginal oint for latform in function of time of a system after masses correction alication W niniejszym artykule zwrócono szczególną uwagę na wsółczesne metody wyważania wirujących elementów. Wsółczesny rozwój elektroniki dorowadził do owstania wielu urządzeń, w których omiar niewyważenia jest w ełni zautomatyzowany lub ółautomatyczny. Powstała koncecja stanowiska wraz z rocedurą wyważania. Wsomniana rocedura wykorzystuje omiar drgań latformy w celu określenia stanu niewyważenia układu. Jak wykazały badania symulacyjne zaroonowany układ mechaniczny umożliwia uzyskanie wystarczającej amlitudy drgań latformy, co stanowi dobrą odstawę do raktycznej realizacji wyważania. Przerowadzone badania doświadczalne wskazują, iż zarojektowany układ wraz z rzyjętą rocedurą wyważania jest w stanie zmniejszać niewyważenie elementów wirujących. W rzedstawionych badaniach orzez właściwe rozmieszczenie mas na owierzchni wirującej tarczy dokonano około czterokrotnego zmniejszenia niewyważania obracającej się części. W rzyszłości można rozbudować latformę o dodatkową łaszczyznę wyważania i w ten sosób zbudować wyważarkę dynamiczną. W takim rzyadku znacznie wzrósłby zakres możliwych do wykonania na takim urządzeniu rac badawczych Literatura [1] Den Hartog P.: Drgania mechaniczne, PWN, Warszawa, 1971. [] Giergiel J.: Drgania mechaniczne, Uczel. Wydaw. Nauk.-Dydakt. AGH, Kraków, 000. [3] Łączkowski R.: Wyważanie elementów wirujących, WNT, Warszawa, 1979. [4] Miller S.: Teoria mechanizmów i maszyn : synteza układów mechanicznych, Wydaw. Politech. Wrocł., Wrocałw, 1977.

17 D. Szybicki, Ł. Rykała, M. Muszyńska DESCRIPTION PHENOMENON OF BALANCING MASSES IN ANGULAR RATE S u m m a r y In the article descrition of the henomenon of balancing masses in angular rate. In order to solve the roblem of balancing test masses, the algorithm was elaborated. In addition created stand was resented and rocedures for balancing in the discussed stand were described. The aer resents also the results of simulation and exeriments erformed on the created device. Keywords: balancing, vibration, rotating comonents, balancing stand DOI:10.786/rb.014.38 Przesłano do redakcji: 10.07.014 r. Przyjęto do druku: 04.09.014 r.