INSTYTUT MASZYN ROBOCZYCH NR ĆW.: LABORATORIUM z TORII MCHANIZMÓW I MASZYN ZAKŁAD TORII MCHANIZMÓW I MANIPULATORÓW TMAT: PROSTOWODY PRZYBLIŻON 1. WPROWADZNI Mechanizmem kierującym nazywamy mechanizm, któreg kreślny punkt prusza się p z góry załżnym trze. Wśród płaskich mechanizmów kierujących szczególne miejsce zajmują prstwdy. Prstwdy dzielą się na : a) dkładne (tr wybraneg punktu jest linią prstą) b ) przybliżne (tr wybraneg punktu na pewnym dcinku mał różni się d linii prstej). BC = C = D = DB Wybrany punkt Wybrany punkt y C AB=BC=B B D Rys. 1. Prstwód dkładny vansa. y CD = AD AB=CD 5 4 CB=2C C B 66 y Rys. 2. Prstwód dkładny Peaucelliera A D 63-6 64 Rys.3a. Odwrócny prstwód Rys. 3b. Krzywa łącznikwa zakreślna przez prstwód Czebyszewa pkt. mechanizmu pkazaneg na rys.3a dla AB = 8 [mm]. 1
Klasycznym przykładem prstwdu przybliżneg jest mechanizm dźwigniwy party na czwrbku przegubwym (rys. 3a), dpwiedni dbranych długściach gniw. Punkt łącznika zakreśla krzywą łącznikwą (rys. 3b). Z praktyczneg punktu widzenia interesujące mgą być te fragmenty krzywej łącznikwej które dść dbrze przybliżają pzimą lub pinwą linię prstą. Rys. 4.Mechanizm przesuwu klatek taśmy filmwej. Rys. 5. Żuraw prtwy. W technice ze względu na prstą strukturę i zwartą budwę, częściej stswane są prstwdy przybliżne. I tak np. w knstrukcji mechanizmów przesuwu filmu w kamer i prjektrów występuje wymóg stałej chwilwej ekspzycji klatki filmwej przy szybkiej zmianie klatki. T z klei rdzi zagrżenie pszarpania filmu. Dzięki jednak wykrzystaniu właściwści mechanizmów prstwdwych, partych na czwrbku przegubwym (rys. 4) - uzyskanie pżądanych cech stał się mżliwe. Taką samą strukturę mają żurawie prtwe (rys. 5.), w których dąży się d teg, aby punkt, dziba żurawia pruszał się p linii pzimej gdyż eliminuje t pracę pdnszenia nsiwa w czasie zmiany wypadu. Jakść przybliżenia linii prstej mgą pisywać parametry: A) Błąd prstwdnści δ definiwany jak ilraz: d δ =, (1) L gdzie: d - szerkść prstkątneg pasa tlerancji wewnątrz któreg mieści się badany fragment tru rzeczywisteg, L - długść pasa tlerancji. 2
y y Prsta regresji y = m + b ρ d L Rys. 6. Interpretacja błędu prstwdnści δ - jak szerkści pasa tlerancji względem dcinka L prstej regresji dpwiadająceg rzważanemu fragmentwi krzywej łącznikwej. B) Krzywizna tru k : k 1 =, ρ - prmień krzywizny tru (2) ρ Krzywiznę tru punktu - k (), daneg współrzędnymi parametrycznymi () i y (), a stanwiącymi analityczne funkcje kąta brtu - gniwa napędweg mżna wyrazić wzrem: k ( ) = 2 2 ( ) d d y dy d d d d d 2 2 dy d + d d 2 2 1.5. (3) Znając zmiennść wartści bezwzględnej krzywizny tru punktu w funkcji kąta brtu - gniwa napędweg mżna wyznaczyć przedziały kątwe, gdzie jest prstwdnść mechanizmu jest najlepsza..15 k ().1.5 3 6 9 12 15 18 21 24 27 3 33 36 Rys. 7. Wykres zmiennści wartści bezwzględnej krzywizny tru punktu w funkcji kąta brtu - gniwa napędweg mechanizmu przedstawineg na rys. 8 3
Pnadt, pnieważ krzywizna tru wybraneg punktu mechanizmu jest funkcją kąta - gniwa napędweg raz długści gniw mechanizmu l 1, l 2,...l m. Różniczkując więc cząstkw funkcję (3) wzgl. długści pszczególnych gniw mżliwe jest badanie zmiennści składwych gradientu krzywizny (tab.1). Wartści składwych gradientu w rzpatrywanym przedziale kąta stanwią miarę wrażliwści krzywizny tru na zmianę długści pszczególnych gniw. Tab. 1. Tabela składwych gradientu krzywizny mechanizmu przedstawineg na rys.8 [ ] ( ) k k k k l1 l2 l3 l4 54.1.1 -.1.1 64 -.1 74 84 94 14 114 124 134 144.1 154.1.1 164.1.1 -.1 174 -.5.6.6 -.8 2. CL ĆWICZNIA - pznanie własnści i zastswań mechanizmów kierujących na przykładzie prstwdów, - prstwdnść jak funkcja celu w syntezie mechanizmów prstwdwych, - miary prstwdnści, - analiza wpływu niedkładnści gemetrycznych gniw na prstwdnść (cena wrażliwści gemetrycznej prstwdów). 3. PRZBIG ĆWICZNIA 3.1. Część pmiarwa 1) Naryswać strukturę badaneg mdelu prstwdu raz ustalić wymiary pszczególnych gniw mechanizmu (patrz rys.8). 2) Przyjąć układ współrzędnych pczątku w si brtu gniwa napędweg. Uwaga! Dla ptrzeb analizy teretycznej wygdnie jest na schemacie jedną z si układu przeprwadzić przez którąś z par przystjwych. Mże się jednak kazać, że układ współrzędnych mdelu, w stsunku d układu który zstał przyjęty w naryswanym schemacie wykazuje przesunięcie fazwe kąt - φ (jest brócny pewien stały kąt φ - nazywany dalej kątem przesunięcia fazweg). 4
3) Identyfikacja kąta przesunięcia fazweg φ. 4) Określenie (przez prwadząceg) zakresu kątweg płżeń gniwa napędweg - dla których przeprwadzna zstanie analiza mechanizmu raz krku próbkwania (np. c 5 ), =. (4) [ ] ma min 5) Ustawiwszy gniw napędwe w płżeniu pczątkwym dpwiadającym kątwi min, dczytać współrzędną ( min ) kreślną przez płżenie kńca czujnika zegarweg na listwie pmiarwej. Wskazania czujnika zegarweg stanwią wartść współrzędnej y ( min ) (w układzie współrzędnych wyznacznych przez listwę pmiarwą). 6) Zmieniając płżenia kątwe gniwa napędweg wartść, dknać pmiarów przemieszczeń punktu mechanizmu (tj. punktu zamcwania czujnika zegarweg), wpisując trzymane wartści współrzędnych () i y () dpwiedni w klumnach: 3 i 4 tabeli 1. ZAŁOŻNIA I. Pmiarów wartści () i y () dknuje się w układzie współrzędnych y, związanym z listwą pmiarwą, a) ś pkrywa się z listwa pmiarwą, b) dla całeg przedziału [ min, ma ], czujnik zegarwy jest prstpadły d listwy pmiarwej. II. Pmiary i bliczenia dtyczą tych samych płżeń mechanizmu (spełnine p uwzględnieniu kąta przesunięcia fazweg φ i zachwaniu jednakweg krku próbkwania ). 3.2. Część bliczeniwa 1) W parciu przyjęty schemat kinematyczny mechanizmu wyznaczyć równania parametryczne tru punktu w funkcji kąta brtu gniwa napędweg -. 3 39 25 A y β B γ 2 15 C Rys. 8. Przykładwy schemat mechanizmu prstwdweg ( ) ( β) = l cs + l cs, (5) A A ( ) ( β) y = l sin + l sin. (6) A A 5
2) Na pdstawie wyznacznych równań parametrycznych naryswać krzywą łącznikwą (trajektrię punktu ), zaś wyliczne wartści współrzędnych () i y () dpwiedni w klumnach: 7 i 8 tabeli 2. 3) Wyznaczyć błąd prstwdnści (1) badaneg mechanizmu dla daneg zakresu zmiennści kąta : a) rzeczywisty (w parciu wyniki pmiarów), b) teretyczny (w parciu wyznaczne równania parametryczne tru punktu ). Tab. 2. Tabela wyników i i ( i ) y ( i ) d( i ) ( i +φ) y ( i +φ) d( i +φ) 2 3 4 5 7 8 9 DOŚWIADCZALN TORTYCZN 1 1 2 2 + 3 3 +2............ N N Σ Wyliczenie błędu prstwdnści wymaga kreślenia dległści punktów krzywej łącznikwej d prstej regresji d( i ), której wpółczynniki m i b należy uprzedni wyznaczyć (rys. 6), d( ) = i m ( i) y( i) + b. (7) 2 1+ m Długść pasa tlerancji L mżna wyznaczyć ze wzru (7): L = ( ) ( ) + ( ) ( ) m y y N 1 N 1 1+ m 2. (8) Uwaga: P bróceniu układów współrzędnych kąt φ = arc tg(m) wówczas wprst: d ( ) y ( ), = (9) i i ( ) ( ) L = (1) N 1. 6
Patrz Ddatek str. 7. Pytania kntrlne 1. C t są mechanizmy kierujące? 2. Pdstawwy pdział prstwdów. 3. Zastswanie mechanizmów prstwdwych. 4. Miary prstwdnści. 5. Gradient krzywizny jak miara wrażliwści prstwdu na zmianę parametrów gemetrycznych. LITRATURA 1. W. Mszyński: Wykład elementów maszyn, Część IV, str 112-125 PWT 1955 r. 2. A. Olędzki: Pdstawy terii maszyn i mechanizmów, str 234-235 WNT 1987 r. DODATK: A. W prgramie Mathcad istnieją wbudwane peratry, działające na wektrach współrzędnych punktów i y wyznaczające metdą najmniejszych kwadratów współczynniki prstej regresji: = [ ( 1 ), ( 2 ),... ( i ),.. ( Ν )] T y = [y ( 1 ), y ( 2 ),... y ( i ),.. ( Ν )] T m:= slpe(, y), b:= intercept(, y), (1) W prgramie Grapher prstą regresji mżna uzyskać wprst, jak aprksymację wykresu funkcją liniwą przy użyciu pcji Fits. B. Transfrmacja pprzez brót układów współrzędnych kąt ψ = arc tg(m): ( i) ( ) sin cs ( i) cs ψ ψ = y sin ψ ψ y i i,. (11) Opracwał Stefan Chwastek 7