Knematyka prota: reprezentaja Denavta-Hartenberga
Przypomnene: ruhy ztywne Ruh ztywny jet połązenem obrotu przeunęa zefnowany maerzą obrotu (R) wektorem przeunęa () grupę wzytkh ruhów ztywnyh (R) nazywa ę pejalną grupą eukleową SE(3) Ruhy ztywne (obroty przeunęa) możemy reprezentować w pota mnożena maerzy Mnożene przez maerz H określa ę jako przekztałene jenorone; mamy T R H Przekztałene owrotne: T T R R H
Przypomnene: przekztałena jenorone Przekztałena potawowe: Trzy zyte obroty trzy zyte przeunęa b a z b y a x Tran Tran Tran z y x Rot Rot Rot
Przykła Kąty Eulera: omawalśmy tylko kąty Eulera ZYZ. Jak jet zbór wzytkh możlwyh zetawów kątów Eulera któryh można używać o reprezentaj owolnej maerzy obrotu? XYZ YZX ZXY XYX YZY ZXZ XZY YXZ ZYX XZX YXY ZYZ ZZY ne można użyć o opu owolnej zaanej maerzy obrotu poneważ wa kolejne obroty wokół o Z reukują ę o jenego obrotu
Przykła Wyznazyć przekztałene jenorone opująe przeunęe o 3 jenotk wzłuż o x po którym natępuje obrót o / wokół beżąej o z a potem przeunęe o jenotkę wzłuż o y ukłau perwotnego. 3 3 / 3 z x y T T T T
Knematyka prota: wprowazene Zaane: mają ane wzytke parametry przegubów manpulatora określć pozyję orentaję ukłau wpółrzęnyh końówk robozej Ukła końówk robozej: ukła wpółrzęnyh zwązany na ztywno z najbarzej oległym złonem manpulatora Ukła neryjny: utalony (neruhomy) ukła wpółrzęnyh zwązany na ztywno z najblżzym potawe złonem manpulatora W konekwenj pozukujemy owzorowana męzy ukłaem końówk robozej ukłaem neryjnym Bęze ono funkją parametrów wzytkh przegubów geometr manpulatora Problem zyto geometryzny: ne przejmujemy ę momentam obrotowym an ynamką Jenak
Konwenja Manpulator o n topnah woboy ma n przegubów (obrotowyh albo pryzmatyznyh) n+ złonów (bo każy przegub łązy wa złony) Zakłaamy że każy przegub ma tylko jeen topeń woboy. Choć wyaje ę że ne uwzglęna to np. przegubów kulowyh lub kelhowyh zauważmy że możemy je traktować jak kombnaje przegubów o pojeynzyh topnah woboy z zerową ługośą złonów męzy nm. Ukła o jet neryjny. o n jet ukłaem narzęza. Przegub łązy złony - an. o jet zwązany z złonem. Zmenne przegubowe q q gy przegub jet obrotowy gy przegub jet pryzmatyzny
Konwenja Powezelśmy że przekztałene jenorone pozwala na wyrażene położena orentaj o j wzglęem o To zego hemy to położene orentaja ukłau końówk robozej wzglęem ukłau neryjnego. Pośrenm krokem jet określene maerzy tranformaj ająej położene orentaję o wzglęem o - : Teraz możemy zefnować przekztałene o j o o natępująo: T j... I j T gy j j j gy gy j j
Konwenja W końu położene orentaja ukłau narzęza wzglęem ukłau neryjnego ą ane maerzą przekztałena jenoronego: Dla manpulatora o n topnah woboy H R o n n Tn q q q Tak wę aby w pełn zefnować knematykę protą la owolnego manpulatora zeregowego wzytko zego potrzebujemy to określć przekztałena wykonać mnożene maerzowe. n n Jenak tneją pewne prote pooby pozwalająe okonać tego przy mnejzym wyłku
Konwenja Denavta-Hartenberga (DH) Reprezentowane każego pojeynzego przekztałena jenoronego jako lozynu ztereh przekztałeń potawowyh: x a x z z a a a Rot Tran Tran Rot
Konwenja Denavt-Hartenberg (DH) Cztery parametry DH: a : ługość złonu : kręene złonu : ounęe przegubu : kąt przegubu Poneważ każa maerz jet funkją tylko jenej zmennej la anego złonu trzy z tyh parametrów bęą tałe. bęą zmenne la przegubów pryzmatyznyh a bęą zmenne la przegubów obrotowyh Stwerzlśmy jenak że poane położena orentaj każego ała ztywnego wymaga parametrów: trzeh kątów (np. kąty Eulera) oraz trójelementowego wektora położena. Jak wę można mówć tylko o ztereh parametrah DH?...
Itnene jenoznazność Key możemy reprezentować przekztałene jenorone toują ztery parametru DH? Przykłaowo rozważmy wa ukłay wpółrzęnyh o oraz o. Itneje jenoznazne przekztałene jenorone mezy tym ukłaam. Teraz przyjmjmy wa założena:. DH: xˆ zˆ. DH: xˆ zˆ Jeżel ą pełnone twerzmy że tneje jenoznazne przekztałene : Rot R z Tran o z Tran x a Rot x
Itnene jenoznazność Dowó:. Zakłaamy że R ma potać. Użyjmy DH o prawzena pota R xˆ zˆ r r r 3 T x z r 3 R R z R x r r r r r r r3 r Werze kolumny R ą wektoram jenotkowym: Pozotałe elementy R wynkają z włanoś maerzy obrotu. Zatem naze założene że tneje jenoznazne oraz ająe R jet poprawne po pełnenu DH. R 3 3 33 r r 3 r r 33
Itnene jenoznazność Dowó:. Użyjmy DH o określene pota o. Poneważ we oe przenają ę przeunęe męzy woma rozważanym ukłaam wpółrzęnyh można przetawć jako lnową kombnaję tyh wóh o (w obrębe płazzyzny utworzonej przez x z ) a a a o ax z o z x ˆ ˆ
Interpretaja fzyzna parametrów DH a : ługość złonu oległość męzy oam z z (wzłuż x ) : kręene złonu kąt męzy z z (merzony wokół x ) : ounęe przegubu oległość męzy o a przeęem o z x (wzłuż z ) : kąt przegubu kąt męzy x x (merzony wokół z ) Znak kątów:
Przypywane ukłaów wpółrzęnyh Dla owolnego manpulatora n-złonowego można zawze wybrać ukłay wpółrzęnyh pozwalająe pełnć DH an DH. Wybór ne jet jenoznazny ale końowy rezultat bęze zawze tak am.. Wyberz z jako oś obrotu przegubu + z jet oą obrotu przegubu z jet oą obrotu przegubu t. Gy przegub + jet obrotowy z jet oą obrotu przegubu +. Gy przegub + jet pryzmatyzny z jet oą przeunęa la przegubu +.
Przypywane ukłaów wpółrzęnyh. Przypz ukła bazowy Pozątkem może być owolny punkt na o z. 3. Wyberz x y ająe ukła prawokrętny.. Rozpozynamy terayjny proe efnowana ukłau wzglęem -: Rozważamy trzy przypak zwązków z - z :. z - z ne leżą w jenej płazzyźne. z - z przenają ę. z - z ą równoległe z - z leżą w jenej płazzyźne
Przypywane ukłaów wpółrzęnyh. z - z ne leżą w jenej płazzyźne Itneje ( jet tylko jeen) najkrótzy onek łąząy obe oe. Wyberz ten onek o wyznazena kerunku o x o leży na przeęu z x Wyberz y na potawe reguły prawej łon.
Przypywane ukłaów wpółrzęnyh. z - z przenają ę Jako oś x wyberz normalną o płazzyzny wyznazonej przez z z - o leży na przeęu z x Wyberz y wg reguły prawej łon.
Przypywane ukłaów wpółrzęnyh. z - z ą równoległe Itneje nekońzene wele onków normalnyh o z oraz z - łąząyh te oe. Mają one jenakową ługość. Można wybrać o gzekolwek na z jenak gy wyberzemy x wzłuż normalnej przehoząej przez punkt o - opowena oległość bęze zerowa. Wyberz y wg reguły prawej ręk.
Przypywane ukłau końówk robozej Poprzene przypana obowązują aż o ukłau n-. Przypane ukłau narzęza najzęśej efnuje ę oam n a: a jet kerunkem zblżana (ang. approah reton); jet kerunkem przeuwana (ang. lng reton); w tym kerunku przeuwają ę pale typowego hwytaka poza zamykana otwerana; n jet kerunkem normalnym (ang. normal) o płazzyzny wyznazonej przez a.
Przykła : wuzłonowy manpulator planarny topne woboy: należy przypać trzy ukłay wpółrzęnyh. Wyberz oś z (oś obrotu przegubu ukła bazowy). Wyberz oś z (oś obrotu przegubu ) 3. Wyberz oś z (ukła końówk robozej) Dla tego przypaku jet owolny poneważ ne opano żanej kś/hwytaka. W takm raze zefnujmy z jako równoległą o z z (la jenoltoś).. Wyberz oe x Wzytke oe z ą równoległe. Wyberzmy wę x tak by przeąć o -.
Przykła : wuzłonowy manpulator planarny Zefnujmy parametry DH najperw zefnujmy tałe parametry a ; alej zefnujmy zmenne parametry ; ą zerowe bo wzytke z ą równoległe; Zatem tylko ą zmenne. złon a a a a a a a a a a a T T
Przykła : trójzłonowy robot ylnryzny 3 topne woboy: należy przypać ztery ukłay wpółrzęnyh.. Wyberz oś z (oś obrotu przegubu ukła bazowy).. Wyberz oś z (oś przeunęa przegubu ). 3. Wyberz oś z (oś przeunęa przegubu 3).. Wyberz oś z 3 (ukła końówk robozej) Wybór jet znowu owolny bo ne opujemy an kś an hwytaka. Zamat tego efnujemy z 3 jako równoległą o z.
Przykła : trójzłonowy robot ylnryzny Zefnujmy parametry DH: najperw zefnujmy tałe parametry a ; potem zefnujmy zmenne parametry. złon a -9 3 3 3 3 3 3 3 3 T
Przykła 3: kść feryzna 3 topne woboy: należy przypać ztery ukłay wpółrzęnyh ohylene nahylene obrót ( ) wzytke przenająe ę w jenym punke o (punkt śrokowy k)
Przykła 3: kść feryzna złon a -9 9 Zefnujmy parametry DH: najperw tałe parametry a ; potem zmenne parametry. 3 3 T