Inżnera Rolncza 8(96)/2007 FUNKCJA WRAŻLIWOŚCI WZGLĘDNEJ I JEJ ZASTOSOWANIE W INŻYNIERII ROLNICZEJ Zbgnew Dworeck, Andrze Fszer, Marusz Łoboda, Jacek Przbł Insttut Inżner Rolncze, Akadema Rolncza w Poznanu Streszczene. Funkca wrażlwośc względne określa słę wpłwu poszczególnch zmennch na wartość funkc perwotne. Oblczena wrażlwośc względne można przeprowadzć po oblczenu pochodne cząstkowe. W prac przedstawono wrażlwośc wbranch funkc. Funkcę wrażlwośc wkorzstano do określena sł wpłwu współcznnków tarca na napęce wstępne złącza gwntowego prz stałm momence dokręcana. Funkcę tą użto równeż do określena wpłwu parametrów cągnka, takch ak masa, moment bezwładnośc, położene środka cężkośc, sztwnośc opon na częstotlwośc drgań własnch cągnka. Zaprezentowano także wkorzstane funkc wrażlwośc do ocen wpłwu maszn zaweszone z tłu cągnka na te drgana. Słowa kluczowe: wrażlwość względna, napęce wstępne, drgana cągnka Wstęp Jednm z naważneszch zadań nauk est badane opswane śwata rzeczwstego. Naukow ops obektów, zawsk, procesów, umożlwaąc ch analzę, często polega na budowe model matematcznch. W zależnośc od rodzau modelowanego podmotu, dotchczasowe wedz naukowe, lośc rodzau obserwac, modele matematczne mogą bć statczne lub dnamczne, cągłe lub dskretne, strukturalne lub emprczne, determnstczne lub statstczne (równeż neuronowe). Wpłw na rodza modelu ma także cel, ak przśweca modelowanu. Celem tm, oprócz analz zawsk, może bć zmana (cech, charakterstk) obektów lub sterowane procesam. Ab zrealzować wmenone cele, oprócz zbudowana modelu matematcznego, często koneczna est ego dogłębna analza. Do e przeprowadzena stosue sę metod analz matematczne take ak rachunek różnczkow, całkow, wektorow, waracn rachunek prawdopodobeństwa z metodam statstcznm. W analze matematczne często wkorzstue sę także lczb zespolone szereg Fourera (analza harmonczna). W badanu model matematcznch może pomóc funkca wrażlwośc względne [Dworeck n. 2001; Dworeck 2003]. Celem nnesze prac est zbudowane zależnośc przdatnch do oblczana wrażlwośc wbranch funkc, uwpuklene różnc pomędz funkcą pochodną funkcą wrażlwośc oraz przedstawene możlwośc, przkładów korzśc wnkaącch z zastosowana funkc wrażlwośc w nżner rolncze. 43
Zbgnew Dworeck, Andrze Fszer, Marusz Łoboda, Jacek Przbł Defnca funkc wrażlwośc względne Wrażlwość względną (znormalzowaną) W funkc = f ( x ) na zmenną (parametr) x można zdefnować zależnoścą: x W = ln = ln x x Jest to nowa funkca zmennch x, będąca locznem cznnka wagowego dane x zmenne oraz pochodne cząstkowe funkc perwotne. Dla edne funkc perwotne można utworzć tle funkc wrażlwośc, le zmennch ( parametrów) wstępue x w funkc perwotne. W uproszczenu można prząć, że funkca wrażlwośc wskazue o le procent zmen sę wartość funkc, eżel określona zmenna zwększ sę o 1%. Pochodna (cząstkowa) mów o zmane funkc, ale ne odnos te zman do wartośc funkc wartośc zmenne. Jeżel przkładowo porównam pochodną naprostsze 2 funkc kwadratowe = x z pochodną funkc przesunęte np. o 5 wzdłuż os odcętch; = ( x 5), oraz pochodną funkc przesunęte o 5 wzdłuż os rzędnch; 2 2 5 = x, w tch samch punktach tch funkc, odpowedno (1;1), (6;1) (1;6)), to pochodne tch funkc będą oczwśce take same ( = 2 ), pommo że funkce te są x różne. Natomast wrażlwośc względne tch funkc w wmenonch punktach będą wnosł odpowedno 2, 12 1/3. Wartośc te mówą o loścowm wpłwe zmenne na wartośc tch funkc. Wzrost zmenne o 1% spowodue wzrost poszczególnch funkc odpowedno o 2%, 12% 0,(3)%. Dla funkc welu zmennch, dzęk oblczenu wrażlwośc, można zdentfkować tę zmenną, prz pomoc które naskuteczne można zmenać funkcę (sterowane regulaca). Wrażlwośc względne a pochodne cząstkowe wbranch funkc Porównuąc funkce pochodne (cząstkowe) funkce wrażlwośc różnch funkc perwotnch, można spreczować różnce w nformacach, ake te funkce przekazuą o funkc perwotne. Ekstrapoluąc przrost elementarne zmennch funkc użwane w defnc pochodne, można prząć, że pochodna funkc mów o le zmen sę funkca (w ednostkach funkc), eżel zmenna zmen sę o eden (w ednostkach zmenne). Funkca wrażlwośc względne odnos te zman do wartośc funkc wartośc zmenne (zman procentowe). W wnku te różnc mędz funkca pochodną a funkcą wrażlwośc względne, poawaą sę pewne różnce w ch oblczanu: 1. Pochodna cząstkowa locznu lczb funkc = a f ( x ) est locznem lczb pochodne funkc; = a f ( x ), wrażlwość natomast est taka sama ak wrażlwość same funkc: W = W f ( x )). ( 44
Funkca wrażlwośc względne... 2. Pochodna cząstkowa sum funkc = f ( x ) + g( x ) est zwkłą sumą pochodnch: = f ( x ) + g ( x ). Wrażlwość w tm przpadku est sumą locznów wrażlwośc tch funkc wag, ake te funkce maą w całe sume funkc: f f g g W = W + W. 3. Pochodna cząstkowa locznu funkc = f ( x ) g( x ) wnos: = f ( x ) g( x ) + f ( x ) g ( x ). Wrażlwość locznu funkc na daną zmenną x f g est zwkłą sumą wrażlwośc tch funkc na tę zmenną: W = W + W. Powodue to, że oblczene wrażlwośc locznu wększe lośc funkc est dużo prostsze nż oblczene pochodne takego locznu. 4. Pochodna cząstkowa funkc złożone = f (u) gdze u = g( x ), est locznem pochodne funkc zewnętrzne pochodne funkc wewnętrzne: = f ( u) g ( x ). Podobne wrażlwość funkc złożone est locznem wrażlwośc funkc zewnętrzne na funkcę wewnętrzną wrażlwośc funkc wewnętrzne na zmenną: u W = W * W. u n 5. Pochodne cząstkowe funkc = ( a x ) są równe = a. Wrażlwość na zmenną x będze wnosła W = = 1 n =1 x a ( a x ), czl tle le udzału ma składnk a x w wartośc funkc (wrażlwość będze równa wadze składnka a x ). Łatwo zauważć, że suma wrażlwośc na wszstke zmenne będze w tm przpadku wnosła 1. r r 1 6. Pochodna funkc edne zmenne = x wnos = rx. Wrażlwość względna znormalzowana te funkc będze wnosć: W = r, czl przbera tu wartość take lczb rzeczwste, aką ma wkładnk r. 7. Pochodna cząstkowa funkc = x1 x2 x3... xn wnos x1 x2 x3... xn =. x Natomast wrażlwość względna na każdą ze zmennch est tu taka sama wnos W = 1. Jak wdać, dla przedstawonch funkc, oblczane wrażlwośc względne przebega podobne ak oblczane pochodne. W nektórch przpadkach est prostsze, w nnch bardze skomplkowane nż oblczane pochodnch. Przkład zastosowana funkc wrażlwośc względne w nżner rolncze Warunk prac maszn rolnczch mogą bć przczną zman współcznnków tarca pomędz elementam złącz gwntowch wstępuącch w tch masznach. Zman te powoduą, że prz dokręcanu złącza tm samm momentem dokręcaącm, uzskam różne napęca wstępne złącz Q [Łoboda nn 1997]. Wartość napęca wstępnego uz- 45
Zbgnew Dworeck, Andrze Fszer, Marusz Łoboda, Jacek Przbł skanego po dokręcenu złącza określonm momentem dokręcaącm zależ, mędz nnm, od współcznnka tarca na powerzchn gwntu μ g współcznnka tarca na powerzchn czołowe nakrętk μ op. W celu sprawdzena ak zmena sę napęce wstępne złącza gwntowego prz zmane tch współcznnków tarca, zbudowano funkce wrażlwośc względne znormalzowane napęca wstępnego na zmanę wmenonch współcznnków tarca [Dworeck, Łoboda 2003]. Oblczeń dokonano dla złącza M16, powszechne stosowanego w masznach rolnczch. Q W μ = 0,340 = 0, 514 Q g W μop Wnk oblczeń potwerdzł znaną zależność mówącą o tm, że prz dokręcanu złącza stałm momentem, wększą słę napęca wstępnego uzskam w złączu o mneszch współcznnkach tarca na powerzchn czołowe nakrętk na powerzchn gwntu. Okazało sę, że na napęce wstępne złącza gwntowego uzskane prz stałm momence dokręcaącm, wększ wpłw ma współcznnk tarca na powerzchn czołowe nakrętk nż współcznnk tarca na powerzchn gwntu. Różnca wpłwu analzowanch współcznnków ne est duża, ale est wraźna. Przeprowadzone oblczena wskazuą, że szczególne ważna est nezmenność współcznnka tarca na powerzchn czołowe nakrętk. Zmneszene rozrzutu współcznnków tarca można uzskać poprzez wmanę nakrętek przed każdm dokręcanem stosowane odpowednego smaru. Funkcę wrażlwośc względne zastosowano równeż do ocen wpłwu różnch parametrów cągnka rolnczego na ego drgana własne [Dworeck n. 2006]. Oblczono wrażlwośc względne częstotlwośc drgań ponowch f 1b, f 1c (częstotlwość drgań ponowch oblczono na podstawe dwóch model: w płaszczźne boczne w płaszczźne czołowe), częstotlwośc kołsana przód-tł f 2b częstotlwośc wahana na bok f 2c, na poszczególne parametr cągnka. Parametram tm bł, wstępuące w modelach matematcznch częstotlwośc drgań welkośc, take ak masa cągnka m, ego moment bezwładnośc J b, J c w płaszczźne boczne czołowe, odległość środka cężkośc cągnka l od os przedne, sztwnośc opon kół przednch k p tlnch k t. Tabela 1. Wrażlwość częstotlwośc drgań własnch cągnka na ego parametr Table 1. Senstvt of tractor free vbraton frequences to ts parameters Parametr Wrażlwość częstotlwośc drgań własnch f 1b f 2b f 1c f 2c m -0,46-0,04-0,50 0 J b -0,04-0,46 0 0 Jc 0 0 0-0,50 l -0,44 0,44 0 0 k p 0,06 0,44 0,21 0,21 k t 0,44 0,02 0,29 0,29 Źródło: Dworeck n. 2006 Wnk tch oblczeń (tab. 1) wkazał, że na drgana ponowe zasadncz wpłw ma masa cągnka sztwność opon tlnch. Wzrost mas cągnka powodue spadek często- 46
Funkca wrażlwośc względne... tlwośc drgań ponowch. Sztwnesze opon tlne zwększą częstotlwość drgań. Znacząc wpłw na te drgana ma równeż położene środka cężkośc cągnka. Oblczena wkazał mał wpłw sztwnośc opon przednch momentów bezwładnośc na częstotlwość drgań ponowch. Jeśl chodz o częstotlwość kołsana przód-tł, to oblczena wkazał podobn wpłw na ną sztwnośc opon przednch odległośc środka cężkośc od os przedne. Wpłw momentu bezwładnośc w płaszczźne boczne na tę częstotlwość est równe sln, ale ego wzrost powodue obnżene te częstotlwośc. Masa cągnka ne ma wpłwu na częstotlwość kołsana przód-tł. Częstotlwość wahana na bok slne zależ od momentu bezwładnośc cągnka w płaszczźne czołowe. Wzrost tego momentu bezwładnośc powodue spadek częstotlwośc drgań. Wpłw sztwnośc opon przedne sztwnośc opon tlne na częstotlwość wahana na bok est podobn o połowę mnesz nż wpłw momentu bezwładnośc. Wzrost tch sztwnośc powodue wzrost częstotlwośc wahana na bok. Funkcę wrażlwośc względne wkorzstano równeż do zbadana ak wpłne zaweszene maszn rolncze z tłu cągnka na wmenone wże częstotlwośc drgań własnch [Dworeck 2003]. Z punktu wdzena dnamk cągnka, masznę rolnczą charakterzuą take parametr ak masa m p, moment bezwładnośc w płaszczźne boczne J pb czołowe J pc oraz odległość e środka cężkośc od os tlne cągnka b. Wnk oblczeń wrażlwośc względne częstotlwośc (tab. 2) wkazał, że z wmenonch parametrów maszn, na drgana ponowe cągnka oraz ego kołsane przód-tł naslne wpłwa położene środka cężkośc maszn w stosunku do cągnka. Na częstotlwość wahana no bok wpłwa moment bezwładnośc maszn w płaszczźne czołowe. Tabela 2. Wrażlwość częstotlwośc drgań cągnka na parametr zaweszone maszn Table 2. Senstvt of tractor vbraton frequences to the parameters of suspended machne Parametr Wrażlwośc częstotlwośc drgań własnch F 1b f 2b f 1c f 2c m p -0,03-0,02-0,05 0 J pb -0,01-0,01 0 0 J pc 0 0 0-0,04 b -0,08 0,08 0 0 Źródło: na podstawe danch zawartch w prac Dworeckego [2003] Możlwośc wkorzstana funkc wrażlwośc względne Funkca wrażlwośc względne umożlwa ocenę sł wpłwu poszczególnch zmennch parametrów na wartość funkc perwotne. Oblczene wrażlwośc funkc na różne parametr pozwala porównać słę wpłwu tch zmennch parametrów. Sła wpłwu edne zmenne na wartość funkc est różna w różnch mescach te funkc. Dlatego otrzmwane wnk lczbowe oblczeń wrażlwośc dotczą konkretnego punktu funkc perwotne. Badana funkca może bć mało wrażlwa na zmanę dane zmenne w otoczenu nteresuącego nas punktu. Stanowć to może problem w sterowanu, eżel chcem 47
Zbgnew Dworeck, Andrze Fszer, Marusz Łoboda, Jacek Przbł zmenać wartość funkc poprzez zmanę ednego sgnału steruącego, na któr funkca est mało wrażlwa. Zmenaąc nne zmenne (parametr, sgnał) możem zwększć wrażlwość funkc na ten sgnał. Ab dowedzeć sę, które zmenne zmenć, ab uwrażlwć funkcę na dan sgnał należ powtórne oblczć wrażlwość. Otrzmana funkca to wrażlwość funkc wrażlwośc: lnw x W W ( W ) = = ln x W x Oblczene wrażlwośc W funkc wrażlwośc W na wszstke zmenne x porównane ch wskaże tę zmenną, które wartość należ zmenć (podwższć, obnżć), ab sterowane zmenną x bło bardze efektwne. Oblczane wrażlwośc funkc wrażlwośc może meć równeż wele nnch zastosowań. Badaąc funkcę wrażlwośc funkc wrażlwośc, ponowne można zastosować funkcę wrażlwośc. Take postępowane est analogczne do oblczana druge, trzece kolene pochodne. Z edne funkc można wgenerować wele pozomów wrażlwośc [Dworeck 2003]: W W, W ( ), W ( W ( W )), W ( W ( W ( W ))), td. h Dla n zmennch na p -tm pozome otrzmam g h p n funkc wrażlwośc. Oblczane wrażlwośc funkc na różnch pozomach może dać odpowedź na wele nteresuącch badacza ptań. W nżner rolncze tworz sę różne modele matematczne. Naczęśce są to modele emprczne, które w naukach emprcznch są podstawowm opsem badanch zawsk procesów. W modelach emprcznch (na przkład: regresnch) słę wpłwu poszczególnch zmennch na wartość funkc, określaą współcznnk wstępuące prz tch zmennch. Coraz częśce ednak w nżner rolncze budue sę modele strukturalne (poznawcze, waśnaące). W modelach strukturalnch, do określena sł wpłwu zmennch, można wkorzstać funkcę wrażlwośc względne. Jest to celowe szczególne wted, gd chcem porównać słę wpłwu różnch zmennch parametrów na wartość funkc. Korzśc, ake można osągnąć dzęk zastosowanu funkc wrażlwośc względne mogą bć bardzo duże, na przkład prz badanu sł wpłwu takch różnorodnch cznnków, ak warunk glebowe, nawadnane, temperatura, promenowane tp. na wso- 48
Funkca wrażlwośc względne... kość plonów. Wsokość plonów bła przedmotem zanteresowana człoweka od czasów rozpoczęca produkc rolncze. Dokładne określene wpłwu różnch cznnków na plon będze możlwe po zbudowanu odpowednch model matematcznch. Prace nad takm modelam rozpoczęto pod konec ubegłego weku [Manes 1995; Wt 1982]. Doprowadzł one do zbudowana welu wers sstemu Decson Support Sstem for Agrotechnolog Transfer DSSAT pozwalaącego na przewdwane zborów klkunastu rośln. Przblża to możlwość optmalzac wzrostu plonów. Funkca wrażlwośc względne może tu bć bardzo pomocna. Bblografa Dworeck Z., Łoboda M., Krsztofak A. 2001. Numerczna analza drgań cągnka rolnczego z wkorzstanem analz wrażlwośc. Inżnera Rolncza, 11 (31). s. 61-67. Dworeck Z. 2003. Badana drgań cągnka z zaweszoną maszną rolnczą w kontekśce ch oddzałwana na operatora. Inżnera Rolncza, 5 (47). s. 1-96. Dworeck Z., Łoboda M. 2003. Wrażlwość napęca wstępnego na zmanę warunków trbologcznch w złączach gwntowch stosowanch w masznach rolnczch. Inżnera Rolncza, 12 (54). s. 91-96. Dworeck Z., Fszer A., Łoboda M., Przbł J. 2006. Porównane wpłwu wbranch parametrów cągnka rolnczego na ego drgana. Inżnera Rolncza, 13 (88). Łoboda M., Boneck P., Dworeck Z. 1997. Subsequent tghtenng of the same screw onts. Prace Przemsłowego Insttutu Maszn Rolnczch. Poznań. Vol. 42, 2. s. 52-57. Manes A. 1995. Seasonal Forecastng of Precptaton n Israel, research report No 1. Bet Dagan. (Report No. 1). Wt de C.T., 1982. Smulaton of lvng sstems. In: Smulaton of plant growth and crop producton. ed. b F.W.T. Penng de Vres and H.H. Van Laar. pp. 3-8. Centre for Agrc. Pub. And Doc. (PUDOC) Wagenngen. 49
Zbgnew Dworeck, Andrze Fszer, Marusz Łoboda, Jacek Przbł THE RELATIVE SENSITIVITY FUNCTION AND ITS APPLICATION IN AGRICULTURAL ENGINEERING Summar. The relatve senstvt functon determnes the power of mpact of ndvdual varables on the prmtve value. Relatve senstvt ma be computed after havng calculated partal dervatve. The paper presents senstvt values for certan functons. The senstvt functon was used to determne the power of mpact of frcton coeffcents on ntal tenson of screwed ont at constant tghtenng torque. Ths functon was also used to determne the mpact of tractor parameters (ncludng: weght, moments of nerta, gravt centre poston, tre rgdt) on the frequences of tractor free vbratons. Moreover, the paper dscusses usng the senstvt functon to determne the mpact of machne suspended n the back of the tractor on these vbratons. Ke words: relatve senstvt, ntal tenson, tractor vbratons Adres do korespondenc: Zbgnew Dworeck; e-mal: dworeck@au.poznan.pl Insttut Inżner Rolncze Akadema Rolncza w Poznanu ul. Woska Polskego 50 60-627 Poznań 50