Metody probabilistyczne Prawdopodobieństwo warunkowe Jędrzej Potoniec
Część I Podstawy interpretacji wyników badań medycznych
Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: 1% ma raka 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma raka? Źródło: http://www.yudkowsky.net/rational/bayes
Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: 1% ma raka (R) 80% kobiet chorych na raka (R) otrzymuje pozytywny wyniki mammografi (M) 9,6% kobiet zdrowych (R ) otrzymuje pozytywny wynik mammografii (M) Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma raka?
Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: P(R) = 1% ma raka P(M R) = 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi P(M R ) = 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma raka?
Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: P(R) = 1% ma raka P(M R) = 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi P(M R ) = 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo P(R M), że ma raka?
Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: P(R) = 1% ma raka P(M R) = 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi P(M R ) = 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo P(R M), że ma raka? 100% 1% 99%
Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: P(R) = 1% ma raka P(M R) = 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi P(M R ) = 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo P(R M), że ma raka? 100% 1% 99% 100% 80%
Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi, znane są następujące fakty: P(R) = 1% ma raka P(M R) = 80% kobiet chorych na raka otrzymuje pozytywny wyniki mammografi P(M R ) = 9,6% kobiet zdrowych otrzymuje pozytywny wynik mammografii Pewna kobieta otrzymała pozytywny wyniki mammografi. Jakie jest prawdopodobieństwo P(R M), że ma raka? 100% 1% 99% 100% 100% 80% 9,6%
Część II Formalizm matematyczny
Prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) = P(A B) P(B) P(B) > 0
Prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) = P(A B) P(B) P(B) > 0 Twierdzenie o prawdopodobieństwie warunkowym Prawdopodobieństwo warunkowe spełnia aksjomaty Kołmogorowa
Prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) = P(A B) P(B) P(B) > 0 Twierdzenie P(A 1 A 2 ) =P(A 2 A 1 )P(A 1 ) P(A 1 A 2 A 3 ) =P(A 3 A 1 A 2 )P(A 2 A 1 )P(A 1 ) P(A 1 A 2 A 3 A 4 ) =P(A 4 A 1 A 2 A 3 )P(A 3 A 1 A 2 )P(A 2 A 1 )P(A 1 )...
Prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) = P(A B) P(B) P(B) > 0 Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym (zupełnym) Niech: A 1, A 2,... A i j : A i A j A 1 A 2... Ω i : P(A i ) > 0 wtedy: P(B) = P(B A 1 )P(A 1 ) + P(B A 2 )P(A 2 ) +...
Prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) = P(A B) P(B) P(B) > 0 Twierdzenie Bayesa Niech: wtedy: A 1, A 2,... A i j : A i A j A 1 A 2... Ω i : P(A i ) > 0 P(A i B) = P(B A i )P(A i ) P(B A 1 )P(A 1 ) + P(B A 2 )P(A 2 ) +...
Thomas Bayes Thomas Bayes (1702 1761) http://commons.wikimedia.org/wiki/file:thomas_bayes.gif domena publiczna
Niezależność pary zdarzeń P(A B) = P(A) P(A B) = P(A)P(B)
Niezależność pary zdarzeń P(A B) = P(A) P(A B) = P(A)P(B) Twierdzenie Dla dowolnych zdarzeń A i B nad przestrzenią Ω: 1 A i Ω są niezależne 2 A i są niezależne 3 Ω i są niezależne 4 jeżeli A i B są niezależne, to A i B także są niezależne
Niezależność większej liczby zdarzeń Zdarzenia ze zbioru co najwyżej przeliczalnego A = {A 1, A 2,...} są (wzajemnie) niezależne wtedy, i tylko wtedy gdy dla dowolnego, skończonego B A zachodzi: P(A i ) = P A i B A i B A i
Niezależność większej liczby zdarzeń Zdarzenia ze zbioru co najwyżej przeliczalnego A = {A 1, A 2,...} są (wzajemnie) niezależne wtedy, i tylko wtedy gdy dla dowolnego, skończonego B A zachodzi: P(A i ) = P A i B A i B A i Przypadki szczególne niezależność parami niezależność trójkami...
Niezależność większej liczby zdarzeń Zdarzenia ze zbioru co najwyżej przeliczalnego A = {A 1, A 2,...} są (wzajemnie) niezależne wtedy, i tylko wtedy gdy dla dowolnego, skończonego B A zachodzi: P(A i ) = P A i B A i B A i Twierdzenie Dla niezależnych zdarzeń A, B, C zachodzi: 1 A B i C są niezależne 2 jeżeli P(C) > 0, to P(A B C) = P(A C)P(B C)
Część III Jak działa filtr antyspamowy, czyli dzień z życia nauczyciela akademickiego
Filtr antyspamowy List 1 Proszę przepisać ocenę. Student Wytrwały P( prosić, przepisać, ocena, student) = 1
Filtr antyspamowy List 2 Proszę wystawić oceny. Profesor Ważny P( prosić, wystawić, ocena, profesor) = 1
Filtr antyspamowy List 3 Proszę o ocenę 3. Student Panda P( prosić, ocena, student) = 1
Filtr antyspamowy List 4 Proszę przepisać szafę P(7 prosić, przepisać, szafa) = 1
Filtr antyspamowy List 5 Wystaw profesora. Student Tajniak P( wystawić, profesor, student) = 1
Filtr antyspamowy List 6 Wystaw oceny!!! List 7 Wystaw studenta P( wystawić, ocena) =? P( wystawić, ocena) =? P( wystawić, student) =? P( wystawić, student) =?
Filtr antyspamowy List 1 Proszę przepisać ocenę. Student Wytrwały P( prosić, przepisać, ocena, student) = 1 list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1 1 1 0 1 1 0 0
Filtr antyspamowy List 2 Proszę wystawić oceny. Profesor Ważny P( prosić, wystawić, ocena, profesor) = 1 list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1 1 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 0
Filtr antyspamowy List 3 Proszę o ocenę 3. Student Panda P( prosić, ocena, student) = 1 list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1 1 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 0 3 1 0 0 1 1 0 0
Filtr antyspamowy List 4 Proszę przepisać szafę P(7 prosić, przepisać, szafa) = 1 list 1 2 3 4 3 3 7 7 prosić 1 1 1 1 przepisać 1 0 0 1 wystawić 0 1 0 0 ocena 1 1 1 0 student 1 0 1 0 profesor 0 1 0 0 szafa 0 0 0 1
Filtr antyspamowy List 5 Wystaw profesora. Student Tajniak P( wystawić, profesor, student) = 1 list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1 1 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 0 3 1 0 0 1 1 0 0 4 1 1 0 0 0 0 1 5 0 0 1 0 1 1 0
Filtr antyspamowy List 6 Wystaw oceny!!! List 7 Wystaw studenta P( wystawić, ocena) =? P( wystawić, student) =? P( wystawić, ocena) =? P( wystawić, student) =? list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1 1 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 0 3 1 0 0 1 1 0 0 4 1 1 0 0 0 0 1 5 0 0 1 0 1 1 0 6? 0 0 1 1 0 0 0 7? 0 0 1 0 1 0 0
Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1 1 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 0 3 1 0 0 1 1 0 0 4 1 1 0 0 0 0 1 5 0 0 1 0 1 1 0 6? 0 0 1 1 0 0 0 7? 0 0 1 0 1 0 0 P( wystawić, ocena) = P( wystawić, ocena) = P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena) P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena)
Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1 1 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 0 3 1 0 0 1 1 0 0 4 1 1 0 0 0 0 1 5 0 0 1 0 1 1 0 6? 0 0 1 1 0 0 0 7? 0 0 1 0 1 0 0 P( wystawić, ocena) = P( )P(wystawić, ocena ) P( wystawić, ocena) = P( )P(wystawić, ocena ) P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena) P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena)
Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, 2 2 1 1 2 1 1 0 3, 4, 5 2 1 1 1 2 1 1 6? 0 0 1 1 0 0 0 7? 0 0 1 0 1 0 0 P( wystawić, ocena) = P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena) P( )P(wystawić, ocena ) P( )P(wystawić )P(ocena ) P( wystawić, ocena) = P( )P(wystawić, ocena ) P(wystawić, ocena) P( )P(wystawić, ocena ) P( )P(wystawić )P(ocena )
Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, 2 2 1 1 2 1 1 0 3, 4, 5 2 1 1 1 2 1 1 6? 0 0 1 1 0 0 0 7? 0 0 1 0 1 0 0 P( )P(wystawić )P(ocena ) = 2 5 P( )P(wystawić )P(ocena ) = 3 5
Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, 2 2 1 1 2 1 1 0 3, 4, 5 2 1 1 1 2 1 1 6? 0 0 1 1 0 0 0 7? 0 0 1 0 1 0 0 P( )P(wystawić )P(ocena ) = 2 5 1 2 2 2 = P( )P(wystawić )P(ocena ) = 3 5 1 3 1 3 =
Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, 2 2 1 1 2 1 1 0 3, 4, 5 2 1 1 1 2 1 1 6? 0 0 1 1 0 0 0 7? 0 0 1 0 1 0 0 P( )P(wystawić )P(ocena ) = 2 5 1 2 2 2 = 1 5 P( )P(wystawić )P(ocena ) = 3 5 1 3 1 3 = 1 15
Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, 2 2 1 1 2 1 1 0 3, 4, 5 2 1 1 1 2 1 1 6 0 0 1 1 0 0 0 7? 0 0 1 0 1 0 0 P( )P(wystawić )P(ocena ) = 2 5 1 2 2 2 = 1 5 P( )P(wystawić )P(ocena ) = 3 5 1 3 1 3 = 1 15
Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, 2 2 1 1 2 1 1 0 3, 4, 5 2 1 1 1 2 1 1 6 0 0 1 1 0 0 0 7? 0 0 1 0 1 0 0 P( )P(wystawić )P(student ) =... P( )P(wystawić )P(student ) =...
Filtr antyspamowy list prosić przepisać wystawić ocena student profesor szafa 1, 2 2 1 1 2 1 1 0 3, 4, 5 2 1 1 1 2 1 1 6 0 0 1 1 0 0 0 7 0 0 1 0 1 0 0 P( )P(wystawić )P(student ) =... = 1 10 P( )P(wystawić )P(student ) =... = 2 15
Filtr antyspamowy List 6 Wystaw oceny!!! List 7 Wystaw studenta
Credits Rysunki i zdjęcia pochodzą z następujących źródeł: List 1 http://commons.wikimedia.org/wiki/file: Sleeping_students.jpg domena publiczna List 2 http://pixabay.com/p-28748/ domena publiczna List 3 http://commons.wikimedia.org/wiki/file: Panda_Cub_from_Wolong,_Sichuan,_China.JPG domena publiczna List 4 http://commons.wikimedia.org/wiki/file: Eichenschrank_Oberschwaben.jpg domena publiczna List 5 http://commons.wikimedia.org/wiki/file: Spy_silhouette.svg CC BY-SA 3.0 by Itzhak Baum aka Setreset