FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Fola Pomer. Unv. Technol. Stetn., Oeconomca 2014, 308(74)1, 7 16 Agneszka Barczak METODA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO. PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA W ROLNICTWIE LINEAR PROGRAMMING METHOD. EXAMPLE OF APPLICATION IN AGRICULTURE Katedra Analzy Systemowej Fnansów, Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny w Szczecne ul. Klemensa Janckego 31, 71-270 Szczecn, e-mal: agneszka.barczak@zut.edu.pl Summary. A method of lnear programmng plays an mportant role n the process of optmal decson makng. Lnear programmng s a specal case of mathematcal programmng whch s used n a stuaton where both the objectve functon and the constrants are lnearzed. Ths method s applcable, nter ala, n the process of producton plannng. The paper presents an example applcaton of the method for the producton optmzaton of group of farms n the regon of Pomerana and Masura (accordng to the classfcaton of Polsh FADN). For the purpose of the study, data for the years 2004 2008 were used. The data concern group of farms specalzng n anmal breedng n a pasture-fed system, concentrate-fed anmal breedng, varety of anmal breedng as well as farms whch cultvate smultaneously varety of crops and breedng. For the effcency research, a non-parametrc DEA method was chosen, whch s based on lnear programmng and on the estmaton of the effcency lmt. It s used for measurement of the relatve effcency of the unts under study, n cases, where many nputs and outputs occur smultaneously. Słowa kluczowe: efektywność, metoda DEA, optymalzacja produkcj, programowane lnowe, typ rolnczy. Key words: DEA method, effcency, lnear programmng, producton optmzaton, type of farmng. WSTĘP W każdej dzałalnośc realzowana jest zasada racjonalnego gospodarowana. Można także wyodrębnć w nej cel gospodarczy środk służące do jego osągnęca. Jeżel przy określonym nakładze środków ustalony cel uzyskwany jest w maksymalnym stopnu, to realzowana zasada ma najwększą efektywność. Drug warant zasady racjonalnego gospodarowana dotyczy sytuacj, w której określony efekt uzyskwany jest przy mnmalnym nakładze środków (np. koszty produkcj) zasada najmnejszego nakładu środków (Kryńsk 1971). Zbudowane optymalnego planu, pozwalającego na realzację zasady racjonalnego gospodarowana, wymaga zastosowana metod programowana matematycznego. Programowane matematyczne formułuje ogólne szczegółowe warunk optymalnośc, defnuje algorytmy rozwązywana zadań ch zbeżność (Runka 2003). Jednym z dzałów programowana matematycznego jest programowane lnowe dotyczące przypadku, w którym wszystke funkcje są lnowe. Celem nnejszego opracowana jest przedstawene przykładu zastosowana metody programowana lnowego w celu optymalzacj procesu produkcj w wybranych grupach gospodarstw
8 A. Barczak rolnych. Do budowy model programowana lnowego wykorzystano dane udostępnone przez polsk FADN system zberana wykorzystywana danych rachunkowych z gospodarstw rolnych w latach 2004 2008. Badanam objęto grupy gospodarstw (z Pomorza Mazur) specjalzujących sę w chowe zwerząt żywonych w systeme wypasowym, chowe zwerząt żywonych paszam treścwym oraz w chowe różnych zwerząt, a także zajmujących sę różnym uprawam chowem zwerząt. Zadana programowana lnowego rozwązano z wykorzystanem modułu Solver. W celu sprawdzena efektywnośc uzyskanych rozwązań zastosowano neparametryczną metodę DEA (Data Envelopment Analyss). METODY Programowane lnowe jest szczególnym przypadkem programowana matematycznego w sytuacj, gdy zarówno funkcja celu, jak warunk ogranczające mają postać lnową (Gburczyk n. 1979) 1. Termn programowane lnowe dotyczy zazwyczaj metod oblczana wykorzystywanych do określana model produkcj, które gwarantują maksymalzację zysku, mnmalzację kosztów produkcj lub odpowednch typów analzy agregatowej (Heady Candler 1960, 1965). Metodę programowana lnowego można nazwać pewnym sposobem wykonywana dzałań matematycznych, który pozwala na ustalene optymalnych rozwązań różnych problemów ekonomcznych. Jednak, aby to było możlwe, warunk tych problemów muszą być wyrażone w forme równań nerównośc lnowych. Równeż cel problemu mus być określony w postac lnowej funkcj matematycznej (Gburczyk n. 1979). W praktyce gospodarczej spotyka sę wele sytuacj decyzyjnych, które można opsać z wykorzystanem programowana lnowego. Według Hozera (1998): Programowane lnowe obejmuje teorę metody rozwązywana określonego rodzaju zadań, wymagających znalezena zespołu wartośc zmennych, spełnających dane ogranczena lnowe maksymalzujących (lub mnmalzujących) nektóre lnowe funkcje tych zmennych (s. 215). Do najważnejszych równań, które ogranczają możlwośc rozwązań w zadanach programowana lnowego, można zalczyć (Kopeć Netupsk 1980): a) równana określające sposób rozdysponowana zasobów czynnków produkcj: zem, pracy, stanowsk w budynkach nwentarskch; b) równana określające blanse pasz produkcj własnej gospodarstwa; c) równana ustalające mnmalne lub maksymalne rozmary różnych gałęz produkcj; d) równana ustalające wzajemny stosunek rozmarów zwązanych ze sobą gałęz produkcj. Należy jednak zaznaczyć, że nemożlwe jest uwzględnene w modelu wszystkch warunków ogranczających. Dlatego należy dokonać dokładnej selekcj czynnków uwzględnć tylko te czynnk, które faktyczne są stotne. 1 Początk metod programowana lnowego przedstawają mędzy nnym: Wołgn (1970) oraz Heady Candler (1965).
Metoda programowana lnowego. Przykład zastosowana w rolnctwe 9 Programem lnowym nazywa sę zadane o następującej postac (Czerwńsk 1977): c x c n x maksmum 1 1 n a x anxn b 1 1 1,,p a x anxn b 1 1 p,, p q x1,, x n 0 1 (3) Rozwązane dopuszczalne (optymalne) to w nterpretacj ekonomcznej pewen dopuszczalny (optymalny) plan dzałana bądź pewna decyzja dopuszczalna (optymalna). Jeżel w zadanu programowana lnowego ne ma warunków określonych równanam (q = 0), to program lnowy ma postać standardową. Można go wtedy zapsać w postac: cx maksmum (5) Ax b (6) x 0 (7) Jeżel natomast (oprócz warunków wskazujących, że zmenne mają przyjmować wartośc neujemne) ne ma w zadanu warunków określonych nerównoścam (p = 0), to program ma postać kanonczną zapsywaną w postac: cx maksmum (8) Ax b (9) x 0 (10) Należy przy tym zaznaczyć, że: a11 a1n A a r1 arn x x 1 x n b1 b b r c c 1,,c n Neco naczej zagadnene programowana lnowego zapsuje Ignasak (2001). Jeżel przez D oznaczony zostane zbór dopuszczalnych decyzj, przez x oznaczona dowolna decyzja, a przez f funkcja celu, to zadane decyzyjne można zapsać w następującej postac: Znajdź taką decyzję dopuszczalną x* D, że: f x * max f x x D, jeżel funkcja celu ma być maksymalz owana f x * mn f x x D, jeżel funkcja celu ma być mnmalzo wana Częścej używany, ale mnej dokładny zaps (Ignasak 2001): f x max f x mn dla x D dla x D W zadanach programowana lnowego zachodz jeden z 3 wykluczających sę przypadków (Runka 2003): (1) (2) (4) (11) (12) (13) (14) (15) (16)
10 A. Barczak ne stneje rozwązane dopuszczalne, tzn. układ wartośc parametrów jest tak, że zadane jest sprzeczne; stneją wektory x y take, że x y jest rozwązanem dopuszczalnym zadana dla wszystkch 0, gdze wartość funkcj celu może być dowolne mała w przypadku mnmalzacj lub dowolne duża w przypadku maksymalzacj; wartość funkcj celu jest węc neogranczona; stneje rozwązane optymalne dopuszczalnego x. opt x take, że T opt T c x c x dla każdego rozwązana Podstawową cechą (Runka 2003) rozwązań zadań programowana lnowego, bez względu na postać układu ogranczeń, jest to, że: jeżel stneje rozwązane dopuszczalne, to stneje równeż rozwązane bazowe dopuszczalne; jeżel stneje rozwązane optymalne, to stneje równeż bazowe rozwązane optymalne. W zwązku z powyższym plany produkcj spełnające warunk ogranczające warunk brzegowe będą rozwązanem dopuszczalnym. Rozwązanem optymalnym będze to (lub będą te) spośród rozwązań dopuszczalnych, w przypadku którego (lub w przypadku których) funkcja celu przyjmuje wartość maksymalną (Kukuła 2005). Następnym etapem badań jest przeprowadzene analzy efektywnośc otrzymanych rozwązań z wykorzystanem metody DEA. DEA jest metodą bazującą na programowanu lnowym, jak równeż na estymacj grancy efektywnośc. Wykorzystuje sę ją do pomaru względnej efektywnośc badanych jednostek w sytuacj, gdy jednocześne występuje wele nakładów efektów (Barczak 2013). Wyjścowe założene metody DEA dotyczy koncepcj produktywnośc w sytuacj welowymarowej. Gdy do dyspozycj jest s-efektów m-nakładów, efektywność obektu ma postać (Rogowsk 1996; Ruselk 2000): efektywność s r 1 m 1 u r efekt r v nakład gdze: u wag określające ważność poszczególnych efektów, r v wag określające ważność poszczególnych nakładów. Jedną z cech charakterystycznych metody DEA jest możlwość ch sprowadzena do welkośc syntetycznych m-nakładów s-efektów. Pozwala to na wyznaczene współczynnka efektywnośc, który jest maksymalzowaną funkcją celu w modelu programowana lnowego (Czekaj Zółkowska 2009): F( u, v) gdze: s r r r 1 m 1 u y v x x nakłady, y r efekty, max
Metoda programowana lnowego. Przykład zastosowana w rolnctwe 11 gdy jednocześne spełnone są następujące warunk ogranczające (Ruselk 2000): s r 1 m 1 u v r y x rj j 1 dla j 0,1,..., n oraz u, 0 r v Istotne jest to, że metodą DEA w przypadku jednostek neefektywnych wyznacza sę efektywne welkośc nakładów, które pozwalają na osągnęce lepszego efektu. WYNIKI Na podstawe powyższych założeń zbudowano zadana programowana lnowego, dla których funkcją celu jest maksymalzacja wartośc produkcj grup gospodarstw rolnych w poszczególnych okresach. Lczebność poszczególnych grup przedstawa tab. 1. Tabela 1. Lczebność badanych grup gospodarstw w latach 2004 2008 Gospodarstwa 2004 2005 2006 2007 2008 Specjalzujące sę w chowe zwerząt żywonych w systeme wypasowym 269 291 313 343 399 Specjalzujące sę w chowe zwerząt żywonych paszam treścwym 191 197 185 204 163 Prowadzące chów różnych zwerząt 238 238 224 224 206 Prowadzące różne uprawy chów zwerząt 363 356 355 392 399 Źródło: opracowano na podstawe materałów polskego FADN. W przypadku grupy gospodarstw specjalzujących sę w chowe zwerząt żywonych w systeme wypasowym metoda programowana lnowego w całym badanym okrese pozwolła na uzyskane produkcj wyższej od rzeczywstej. W latach 2004 2005 w roku 2008 programowane lnowe sugeruje koneczność obnżena nakładów na zatrudnene, bez zman nakładów na pozostałe czynnk produkcj; w 2004 roku 0,05% (70,40 zł) wzrostu wartośc produkcj można uzyskać, redukując zatrudnene o 2,15% (94,38 roboczogodzn), w roku kolejnym redukcja zatrudnena o 0,87% (42,24 roboczogodzn) pozwol na uzyskane wartośc produkcj wyższej o 0,03% (60,20 zł). W 2008 roku wzrost wartośc produkcj wynoszący 0,003% (5,70 zł) można uzyskać, redukując zatrudnene o 0,24%, czyl o 11,44 roboczogodzn. W roku 2006 metoda programowana lnowego sugeruje koneczność wzrostu nakładów kaptału o 1,85% (10 686,05 zł), co pozwol na wzrost wartośc produkcj o 0,33%, czyl o 573,40 zł. W roku kolejnym wzrost wartośc produkcj wynoszący 23,34% (48 040,90 zł) można uzyskać, zwększając nakłady na zatrudnene o 30,28%, czyl o 1465,42 roboczogodzn (rys. 1). Analza wartośc otrzymanych metodą DEA wykazuje, że wszystke rozwązana wygenerowane metodą programowana lnowego są rozwązanam efektywnym. W przypadku grupy gospodarstw specjalzujących sę w chowe zwerząt żywonych paszam treścwym metoda programowana lnowego wygenerowała wartośc produkcj wększe od rzeczywstych tylko w dwóch okresach w 2004 roku redukcja zatrudnena o 10,16% (670,56 roboczogodzn) pozwol na wzrost wartośc produkcj wynoszący 0,007% (48,70 zł). W roku 2007 wzrost nakładów kaptału o 17,88% (437 692,20 zł) pozwol na wzrost wartośc produkcj o 2,30%, czyl o 3 603,00 zł (rys. 2).
12 A. Barczak 0 50 000 100 000 150 000 200 000 250 000 300 000 2004 2005 2006 2007 2008 dane rzeczywste programowane lnowe Rys. 1. Wartośc produkcj grupy gospodarstw specjalzujących sę w chowe zwerząt żywonych w systeme wypasowym (rzeczywste wyznaczone z wykorzystanem metody programowana lnowego) Źródło: opracowano na podstawe danych FADN. 0 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2004 2005 2006 2007 2008 dane rzeczywste programowane lnowe Rys. 2. Wartośc produkcj grupy gospodarstw specjalzujących sę w chowe zwerząt żywonych paszam treścwym (rzeczywste wyznaczone z wykorzystanem metody programowana lnowego) Źródło: opracowano na podstawe danych FADN. Neparametryczna metoda DEA wykazała, że dla roku 2004 otrzymane rozwązana są efektywne. W roku 2007 otrzymane rozwązane charakteryzuje sę brakem efektywnośc. W pozostałych okresach, pommo wygenerowana przez metodę programowana lnowego wartośc produkcj mnejszych od rzeczywstych, otrzymane rozwązana okazały sę efektywne. W przypadku grupy gospodarstw prowadzących chów różnych zwerząt metoda programowana lnowego ne wygenerowała wartośc produkcj wększych od rzeczywstych (rys. 3). Jednakże metoda DEA wskazuje, że tylko dla roku 2005 roku 2008 otrzymane rozwązana są neefektywne.
Metoda programowana lnowego. Przykład zastosowana w rolnctwe 13 0 50 000 100 000 150 000 200 000 2004 2005 2006 2007 2008 dane rzeczywste programowane lnowe Rys. 3. Wartośc produkcj grupy gospodarstw prowadzących chów różnych zwerząt (rzeczywste wyznaczone z wykorzystanem metody programowana lnowego) Źródło: opracowano na podstawe danych FADN. 0 50 000 100 000 150 000 200 000 250 000 300 000 350 000 400 000 450 000 2004 2005 2006 2007 2008 dane rzeczywste programowane lnowe Rys. 4. Wartośc produkcj grupy gospodarstw prowadzących różne uprawy chów różnych zwerząt (rzeczywste wyznaczone z wykorzystanem metody programowana lnowego) Źródło: opracowano na podstawe danych FADN. W przypadku grupy gospodarstw prowadzących różne uprawy chów różnych zwerząt metoda programowana lnowego wygenerowała wartośc produkcj wększe od rzeczywstych dla roku 2004 roku 2008. Zgodne z uzyskanym wynkam w roku 2004 wzrost wartośc produkcj wynoszący 0,005% (13,40 zł) można uzyskać, zwększając nakłady zatrudnena o 2,12%, czyl o 107,36 roboczogodzn. W roku 2008 zwększene nakładów zatrudnena o 12,35% (815,1 roboczogodzn) pozwol na wzrost wartośc produkcj o 0,05%, czyl o 213,70 zł (rys. 4). Analza wartośc otrzymanych neparametryczną metodą DEA wskazuje, że zarówno w 2004, jak w 2008 roku rozwązana wygenerowane metodą programowana lnowego były efektywne.
14 A. Barczak PODSUMOWANIE Celem nnejszego opracowana było przedstawene przykładu zastosowana metody programowana lnowego na potrzeby optymalzacj procesu produkcyjnego w wybranych grupach gospodarstw rolnych. Metoda programowana lnowego we wszystkch badanych okresach wygenerowała wartośc produkcj wększe od rzeczywstych jedyne w przypadku grupy gospodarstw specjalzujących sę w chowe zwerząt żywonych w systeme wypasowym. W tej grupe wynk charakteryzujące sę znaczącym odchylenam od wartośc rzeczywstych uzyskano tylko w roku 2007. W przypadku grupy gospodarstw specjalzujących sę w chowe zwerząt żywonych paszam treścwym gospodarstw prowadzących różne uprawy metoda programowana lnowego wygenerowała wartośc produkcj wększe od rzeczywstych tylko dla dwóch okresów w przypadku perwszej z grup dla roku 2004 roku 2007, w przypadku drugej dla 2004 2008 roku. Jedyne w przypadku grupy gospodarstw prowadzących chów różnych zwerząt zastosowana metoda ne pozwolła na wyznaczene wartośc produkcj wększej od rzeczywstej. Wykorzystane neparametrycznej metody DEA do oceny efektywnośc rozwązań wygenerowanych metodą programowana lnowego wskazuje, że w wększośc przypadków otrzymane rozwązana charakteryzują sę dużą efektywnoścą. Reasumując, należy podkreślć, że metoda programowana lnowego odgrywa ważną rolę w procese podejmowana decyzj optymalnych. Jest ona stosowana m.n. w planowanu produkcj, dlatego może być też efektywne wykorzystywana w zarządzanu gospodarstwem rolnym oraz w planowanu różnego rodzaju dzałalnośc (Trzaskalk 1997). W przypadku grup gospodarstw rolnych, w celu uzyskana wększej lczby wynków spełnających założene maksymalzacj wartośc produkcj, należałoby dokonać podzału na podgrupy tak, aby charakteryzowały sę one jak najmnejszym zróżncowanem. Jednakże najwększą efektywność metody uzyskuje sę, budując zadana programowana dla jednego gospodarstwa rolnego. PIŚMIENNICTWO Badana operacyjne w przykładach zadanach. 2005. Red. K. Kukuła. Warszawa, PWN, 16. Badana operacyjne. 2001. Red. E. Ignasak. Warszawa, PWE, 19. Barczak A. 2013. Efektywność produkcj rolnczej w wybranych grupach gospodarstw z regonu Pomorze Mazury. Rocz. Nauk. SERA 4 (15), 34 39. Czekaj T., Zółkowska J. 2009. Analza efektywnośc ekonomcznej produktywnośc, w: Analza efektywnośc ekonomcznej fnansowej przedsęborstw rolnych powstałych na baze majątku WRSP. Red. J. Kulawk. Warszawa, IERGŻ PIB, 2009. Czerwńsk Z. 1977. Matematyka na usługach ekonom. Warszawa, PWN, 152 153. Gburczyk S., Rembsz W., Zegar J.S. 1979. Wybrane metody rachunku ekonomcznego w rolnctwe. Warszawa, SGPS, 65 81. Heady E.O., Candler W. 1960. Lnear programmng methods. Ames Iowa, The Iowa State Unversty Press, 277 332. Heady E.O., Candler W. 1965. Metody programowana lnowego, w: Metody matematyczne w ekonomce planowanu rolnctwa. Red. K. Rey, A. Woś. Warszawa, PWRL, 37 38. Kopeć B., Netupsk T. 1980. Podstawy metody podejmowana decyzj w gospodarstwach rolnych. Warszawa, PWRL, 33 34. Kryńsk H.E. 1971. Matematyka dla ekonomstów. Warszawa, PWN, 500.
Metoda programowana lnowego. Przykład zastosowana w rolnctwe 15 Rogowsk G. 1996. Metody analzy oceny dzałalnośc banku na potrzeby zarządzana strategcznego. Poznań, Wydaw. WSB. Runka H.J. 2003. Optymalzacja w procesach gospodarczych. Poznań, Wydaw. AE Pozn., 57 59. Ruselk R. 2000. Pomar efektywnośc gospodarowana spółek Agencj Własnośc Rolnej Skarbu Państwa w latach 1996 1998 z wykorzystanem metody DEA. Rozprawa doktorska. Warszawa, SGGW (maszynops). Trzaskalk T. 1997. Metody badań operacyjnych. Modelowane optymalzacyjne. Łódź, Wydaw. Absolwent, 9. Wołgn L.N. 1970. Optymalzacja. Warszawa, WNT. Zastosowane programowana matematycznego w ekonom. 1998. Red. J. Hozer. Szczecn, Wydaw. USzczec. 215.