Zestaw III Wstęp do matematyki wyższej (cz. ) Krzysztof Biedroń, Andrzej Syrwid e-mail: kolkof@uj.edu.pl ttp://www.fais.uj.edu.pl/dla-szkol/ warsztaty-z-fizykiśzkoly-ponadgimnazjalne 30 września 205 r. Funkcje trygonometryczne Rozważmy trójkąt prostokątny (rys. ). Wtedy: sin α b c cos α a c tg α b a sin α cos α ctg α a b cos α sin α tg α α c a b Zadanie. Korzystając z własności trójkąta prostokątnego pokazać, że sin 2 α cos 2 α. Rysunek. Twierdzenie cosinusów Dla danego trójkąta zacodzi: (oznaczenia na rys. 2): c 2 a 2 b 2 2ab cos β Zadanie 2. Udowodnić twierdzenie cosinusów (Wsk.: podzielić trójkąt na dwa trójkąty prostokątne i skorzystać z twierdzenia Pitagorasa)..2 Wzory na funkcje trygonometryczne sumy kątów β a c Rysunek 2 b sinpα cospα βq sin α cos β cos α sin β βq cos α cos β sin α sin β Zadanie 3. Udowodnić powyższe wzory (Wsk.: policzyć długości poszczególnyc odcinków na rys. 3.) Zadanie 4. Korzystając z powyższyc wzorów policzyć: a) tgpα βq (w zależności od tg α i tg β), b) ctgpα βq (w zależności od ctg α i ctg β), c) sinp2αq, d) cosp2αq. β α α+β α Rysunek 3
2 Wektory Skalary są to wielkości carakteryzowane liczbami rzeczywistymi (np. masa, moc, energia, temperatura). Wielkości, do któryc opisu potrzebujemy podać także kierunek i zwrot nazywami wektorami. Wektory zwykle oznacza się umieszczając strzałkę nad symbol zmiennej (np. v, M), albo pogrubiając czcionkę (np. v, M). Długość wektora a oznacza się przez a. Alternatywnie wektor możemy opisać podając jego składowe. Przykładowo, rozkład trójwymiarowego wektora można zapisać jako: a pa x, a y, a z q a xˆx a y ŷ a z ẑ, gdzie ˆx, ŷ i ẑ to wersory (wektory o długości ), skierowane odpowiednio wzdłuż osi x, y i z. 2. Dodawanie wektorów Geometrycznie dodawanie wektorów c a b można zrealizować poprzez ustawienie początku wektora b w miejscu zakończenia wektora a i utworzenie wektora c o początku w początku a i końcu w końcu b. Po rozpisaniu wektorów na składowe sprowadza się to po prostu do dodawania poszczególnyc składowyc: pc x,c y,c z q pa x b x,a y b y,a z b z q. y b x a y a b c 2.2 Iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym dwóc wektorów a i b nazywamy skalar określony wzorem: a b a b cos α a x b x a y b y a z b z, a x b y Rysunek 4: dodawanie wektorów x gdzie α jest kątem pomiędzy wektorami a i b. Można zapisać składowe wektora poprzez iloczyn skalarny tego wektora z poszczególnymi wersorami układu współrzędnyc: a x a ˆx, a y a ŷ, a z a ẑ, 2.3 Iloczyn wektorowy Wynikiem iloczynu wektorowego dwóc wektorów a i b jest taki wektor c a b, że: Wektor c jest prostopadły zarówno do wektora a jak i wektora b. Wektory a, b i c tworzą układ prawoskrętny. Można to sobie wyobrazić jako tzw. regułę prawej dłoni (gdzie kciukowi odpowiada a, palcowi wskazującemu b, a palcowi środkowemu c. Długość c jest określona wzorem: c a b sin α, gdzie α jest kątem pomiędzy a i b. c b a Rysunek 5: iloczyn wektorowy 2.4 Zadania Zadanie 5. Jaki jest kąt pomiędzy wektorami a p0,4,3q i b p2,5,q Zadanie 6. Znajdź wektor o długości prostopadły jednocześnie do wektora o współrzędnyc p,2,3q i wersora ŷ. Zadanie 7. Jaką pracę wykonujemy wnosząc ważącą 0kg torbę po scodac o długości 5m nacylonyc pod kątem 30
3 Analiza wymiarowa - Twierdzenie Pitagorasa Zadanie. * Wyprowadź tw. Pitagorasa używając analizy wymiarowej. Podpowiedzi:. Ilu parametrów (i jakic) wymaga funkcja opisująca pole powierzcni trójkąta prostokątnego 2. Jak za pomocą tyc parametrów można zapisać pole powierzcni trójkąta 3. Ile niezależnyc parametrów opisuje kwadrat 4. Co można zauważyć gdy wpiszemy trójkąt prostokątny w kwadrat 5. Zapisz pole powierzcni trójkata prostokątnego jako sumę pól powierzcni trójkątów powstałyc po zrzutowaniu wysokości na przeciwprostokątną. 4 Pocodne 4. Formalna definicja Definicja (F. Leja, Racunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 978). Niec f będzie funkcją odwzorowującą przedział pa,bq w zbiór R, x 0 i x będą dwoma różnymi punktami przedziału, a x x 0. Wyrażenie fpx 0 q fpx 0 q nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami x i x 0. () Przykład. Weźmy funkcję liniową fpxq a x fpx 0 q fpx 0 q Dla funkcji stałej pa 0q iloraz różnicowy wynosi zero. a 0. Iloraz różnicowy przyjmie postać: ra px 0 q a 0 s pa x 0 a 0 q Przykład 2. Weźmy funkcję kwadratową fpxq x 2. Obliczamy iloraz różnicowy a a. (2) W granicy Ñ 0 otrzymujemy 2x 0. fpx 0 q fpx 0 q px 0 q 2 x 2 0 2x 0 2 2x 0. (3) Definicja 2. Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę dla Ñ 0, to granicę oznaczamy f px 0 q i nazywamy pocodną funkcji f w punkcie x 0. Interpretacja graficzna ilorazu różnicowego oraz pocodnej jest przedstawiona na rys. 6. 4.2 Notacja d Pocodne oznacza się czasem za pomocą prima, czasem przez symbol dx, przy czym dx mówi nam, po czym ccemy liczyć pocodna (różniczkę). Jeśli np. mamy funkcję zależną od czasu (od t) i ccemy ją zróżniczkować, powinniśmy napisać d dt. Używanie prima jest powszecne, gdy z kontekstu wiadomo po czym się różniczkuje, np. mamy funkcję jednej zmiennej: fpxq 4x 4 2x. Jej pocodną można zapisać jako f pxq. Równoważnie można byłoby też zapisać dfpxq dx. Weźmy jednak wzór na ciśnienie: p ρg. Zapisując p pρgq nie wiadomo po czym ccemy różniczkować! Należy użyć wtedy zapisu z d : dp dρ d dρ dpρgq ρg. dρ gdzie powyższej zaprezentowano różne sposoby zapisu danej pocodnej.
Rysunek 6: Interpretacja graficzna ilorazu różnicowego oraz pocodnej. 4.3 Podstawowe wzory Jest kilka wzorów, które trzeba niestety zapamiętać. Funkcja fpxq Pocodna f pxq Funkcja fpxq Pocodna f pxq c 0 x {x {x 2 x a ax a e x e x a x a x ln a ln x x log a x x ln a sin x cos x cosx sin x tg x cos 2 x ctgx sin 2 x x 2 x 3 x 3 3 x 2 Tabela : Podstawowe wzory ułatwiające różniczkowanie funkcji. Wszystkie litery poza x to stałe. Opis Wyrażenie różniczkowane Pocodna pq Suma funkcji pfpxq gpxqq f pxq g pxq p2q Iloczyn funkcji pfpxqgpxqq f pxqgpxq fpxqg pxq p3q Iloraz funkcji fpxq f pxqgpxq fpxqg pxq gpxq rgpxqs 2 p4q Funkcje złożone pfpgpxqqq f pgpxqq g pxq Tabela 2: Podstawowe wzory ułatwiające różniczkowanie funkcji.
Kilka przykładów do pq z powyższej tabeli: 4x 5 4x sinpxq 20x 4 4 x x 2 2x 3 cospxq 6x 2 Kilka przykładów do p2q z powyższej tabeli: px 2q px 2 q px 2 q px 2q 2x psinpxq cospxqq cos 2 pxq sin 2 pxq Kilka przykładów do p3q z powyższej tabeli: ax 2 sin x 4 ax b a sin x pax 2q cos x sin 2 x 0 pax bq 4a pax bq 2 4a pax bq 2 Kilka przykładów do p4q z powyższej tabeli: pfpax bqq af pax bq sinpax 2 bx cq p2ax bq cospax 2 bx cq Zadanie 2. * Wyprowadź zależności ()-(3). Zadanie 3. ** Wyprowadź zależność (4). Podpowiedzi:. Można zapisać gpx 0 xq gpx 0 q xpg px 0 q ξpx 0, xqq, fpy 0 yq fpy 0 q ypf px 0 q ζpy 0, yqq dla g px 0 q, f py 0 q 8, gdzie ξ i ζ znikają w granicy nieskończenie małyc przyrostów x, y. 2. Zauważając, że wygodnie jest położyć y gpx 0 xq gpx 0 q, gpx 0 q y 0 rozważ wyrażenie fpgpx 0 xqq fpgpx 0 qq. 4.4 Trocę praktyki Zadanie 4. Obliczyć pocodne funkcji: a) y x 3 2x, Roz.: y 3x 2 2 b) y x sin x, c) y x2 x, d) y tg x sin x cos x, e) y ctg x. Roz.: y sin x Roz.: y x2 2x px q 2 Roz.: y cos 2 x Roz.: y cos 2 x x cos x Zadanie 5. Obliczyć pocodne funkcji złożonej:
a) f x 2 5, b) f sin p3x 5q, c) f x 2, d) f ln psin xq. Roz.: f 0x x 2 4 Roz.: f 3 cos p3x 5q Roz.: f x x 2 Roz.: f ctgx Zadanie 6. Policz pocodne następującyc funkcji (tym razem bez podpowiedzi): fpxq 3x 4 6x 3 2x gpxq a 2x 2 3 pxq 2x3 x x 2 ipxq rx sinpax zq x Zadanie 7. ** Oblicz pocodną funkcji arctanpxq wiedząc, że jeśli y tanpxq to x arctanpyq. Zadanie 8. * Policz następujące pocodne: cospln xq fpxq psin xq gpxq x px2 q x3 pxq lnparctanplnpxqqq 4.5 Wykorzystanie pocodnyc Pocodne wykorzystuje się m.in. do rozwiązywanie tzw. problemów optymalizacyjnyc. Z interpretacji geometrycznej (patrz rys. 6) mamy bowiem, że jeśli funkcja ma maksimum, minimum lub punkt przegięcia (jak np. funkcja y x 3 dla x 0), to pocodna tej funkcji jest równa zero. Jeśli policzymy drugą pocodną danej funkcji, to pozwoli ona na rozróżnić wymienione przypadki. Dla drugiej dodatniej drugiej pocodnej mamy do czynienia z minimum. Jeśli druga pocodna jest ujemna, to mamy do czynienia z maksimum. Jeśli jest równa zero, to może być zarówno maksimum, minimum lub punkt przegięcia, i potrzebna jest dalsza analiza. Przykład: Skupmy się na przykładzie: niec obwód okna przedstawionego na rysunku obok wynosi 7 m. W jakim stosunku powinny pozostawać odcinki a i b, aby przez okno wpadało jak najwięcej światła Rozwiązanie: Pole okna wynosi P ab 3 4 a2. Wiemy też, że 3a 2b 7. Możemy wiec wyeliminować b w pierwszym wzorze podstawiając b 3,5,5a. Dostajemy P paq ap3,5,5aq 3 4 a2 3,5a 6 3 4 a 2, czyli pole P paq można traktować jako funkcję jednej zmiennej a. Aby rozwiązać zadanie trzeba policzyć dla jakiego a pole P paq będzie największe. W tym celu sprawdzamy, dla jakiego a pocodna P paq zeruje się. Musimy rozwiązać równanie P paq 3,5 p6 3q 2 a 0, z czego dostajemy a 7 6,64 m. Liczymy drugą pocodną, dostajemy P 2 paq p6 3q 3 2 0, mamy więc do czynienia z maksimum. Rozwiązaniem jest a 7 6 7,64 m oraz b 3,5 a 3,5 3 6,04 m. 3 Zadanie 9. Obwód trójkąta równobocznego ABC jest równy 2 cm. Punkty M, N i P należą odpowiednio do boków AB, BC, AC tego trójkąta przy czym AM BN CP x. Zbadaj dla jakiej wartości x, pole trójkąta MNP będzie najmniejsze. Znajdź wartość tego pola. Zadanie 0. Puszka konserwy ma kształt walca. Jaką wysokość i jaki promień podstawy powinna mieć ta puszka, aby przy objętości puszki 250π cm 3 zużyć jak najmniej materiału na jej wykonanie.
4.6 Pocodne w kinematyce Związek między położeniem, prędkością, a przyśpieszeniem można zapisać za pomocą odpowiednic pocodnyc: 5 Całki 5. Formalna definicja v dx dt a dv dt d2 v dt 2 Definicja 3 (F. Leja, Racunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 978). Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f jeśli: F pxq fpxq. (4) Inaczej mówimy o całce nieoznaczonej F pxq ³ fpxqdx. Obliczanie funkcji pierwotnej do f nazywamy całkowaniem funkcji f. Przykład 3 (właściwości całek). Funkcja pierwotna wyznaczona jest z dokładnością do stałej: Stałą C nazywamy stałą całkowania. 5.2 Nieformalnie rf pxq Cs F pxq 0 fpxq. (5) Całki to generalnie działanie odwrotne do różniczkowania. Można byłoby przepisać tabele zamieniając miejscami wszystkie wyrażenia i dopisując do kratek wynik całki stałą całkowania C (patrz tabela 3). Całka ³ fpxq Funkcja fpxq Całka ³ fpxq Funkcja fpxq C 0 x C {x C {x 2 x a C ax a e x C e x a x C a x ln a ln x C x log a x C x ln a sin x C cos x cosx C sin x tg x C cos 2 x ctgx C sin 2 x x C 2 x 3 x C 3 3 x 2 Tabela 3: Podstawowe wzory ułatwiające całkowanie funkcji. Wszystkie litery poza x to stałe. Przykład: dx p4x 3 xq p4x 3 xqdx x 4 2 x2 C. Stałą C trzeba pisać, bo gdy różniczkujemy prawą stronę mamy: i stała C nam znika. px 4 2 x2 Cq 4x 3 x 0 4x 3 x
5.3 Własności całek pfpxq gpxqq dx fpxqdx Afpxqdx A fpxqdx. gpxqdx, 5.4 Trocę praktyki Zadanie. Oblicz: a) ³ 3 cos xdx, b) ³ x 3 5x 2 dx. Roz.: 3 sin x Roz.: x4 4 5 x2 2 2x 5.5 Związek całki z polem Rysunek 7: Pole ograniczone krzywą. Weźmy f - funkcję ciągłą i dodatnią w ra, bs i P P pxq pole ograniczone krzywą, osią odciętyc i rzędnymi w a i x (Rys. 7). Podzielmy powierzcnię P na wiele cienkic pasków o szerokości. Zakładając, że zarówno x, jak i x P ra,bs, różnica P px q P pxq równa jest powierzcni paska i spełnia nierówności fpx min q P px q P pxq fpx max q, (6) gdzie fpx min q to najmniejsza, a fpx max q największa wartość funkcji f w przedziale rx, x s. Dzieląc obustronnie przez otrzymujemy fpx min q P px q P pxq fpx max q. (7) Dla Ñ 0 mamy fpx min q Ñ fpxq i fpx max q Ñ fpxq, a iloraz różnicowy przecodzi w pocodną, dostajemy więc równanie: P pxq fpxq. (8) Tak zdefiniowane pole jest więc funkcją pierwotną funkcji f. Jak już wiemy, pierwotną zawsze otrzymujemy z dokładnością do stałej, tak więc P pxq F pxq C. (9) Stałą całkowania otrzymujemy z warunku P paq 0 (skoro przez P oznaczyliśmy pole pomiedzy a a x). Stąd C F paq. Ostatecznie P pxq F pxq F paq. (0)
Pole zaciemnione jak na Rys. 7 przyjmuje więc wartość F pbq F paq. Alternatywnie zapisujemy to w postaci P b a fpxqdx. () Zadanie 2. Oblicz: a) ³ π sin xdx, 0 b) ³ 0 x2 dx. Roz.: 2 Roz.: 3 6 Liczby zespolone Definicja 4 (F. Leja, Funkcje zespolone, Warszawa 979). Każda liczba zespolona z ma postać z x iy, gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi, symbol i oznacza jednostkę urojoną. 6. Właściwości a) Zero zespolone to z 0 i0 0. b) Rpzq repzq x to część rzeczywista liczby zespolonej. Jeżeli x 0, to z jest liczbą urojoną. c) Ipzq impzq y to część urojona liczby zespolonej. Jeżeli y 0, to z jest liczbą rzeczywistą. d) Liczbie zespolonej z x iy odpowiada na płaszczyźnie prostokątnego układu współrzędnyc punkt o współrzędnyc px,yq. Oś x (y) nazywamy osią rzeczywistą (urojoną). e) Liczba przeciwna do z x iy to z x iy. f) Liczba sprzężona do z x iy to z x iy. 6.2 Działania na liczbac zespolonyc a) Dodawanie: z z 2 px x 2 q ipy y 2 q. (2) b) Odejmowanie: c) Mnożenie: Stąd i 2, z z x 2 y 2. z z 2 px x 2 q ipy y 2 q. (3) z z 2 px x 2 y y 2 q ipx y 2 y x 2 q. (4) d) Jeżeli z 0, to jest określona liczba odwrotna do z postaci z z z z x iy x 2 y 2 x x 2 y 2 y x 2 i. (5) y2 e) Dzielenie: z z 2 z z 2 z z 2 z 2 z 2. (6) Zadanie 3. Dla z 3 4i, z 2 3 i obliczyć:
a) z z 2, b) z z 2, c) z z 2, d) z {z 2. Roz.: 6 3i Roz.: 5i Roz.: 3 9i Roz.: p 3iq{2 Zadanie 4. Wykazać, że z z 2 z z 2, z z 2 z z 2, z {z 2 z {z 2. Moduł i argument liczby Modułem lub wartością bezwzględną liczby z x iy nazywamy liczbę z a x 2 y 2. Moduł liczby z równa się odległości punktu z od początku układu współrzędnyc. Liczbę φ określoną równaniami cos φ x z, sin φ y z, (7) nazywamy argumentem liczby z, argpzq φ. Postać biegunowa liczby zespolonej: z z pcos φ Zadanie 5. Pokazać, że Stąd wynika, że z z 2 z z 2, z {z 2 z { z 2. Wskazówki a) sinpα βq sin α cos β sin β cos α, b) cospα βq cos α cos β sin α sin β, c) jeżeli z z pcos φ i sin φq, to z pcos φ i sin φq. z i sin φq. z z 2 z z 2 rcospφ φ 2 q i sinpφ φ 2 qs. (8) z z 2 z z 2 rcospφ φ 2 q i sinpφ φ 2 qs. (9) Funkcja wykładnicza a) b) c) d) e) f) e z exppzq z! z 2 2!... (20) e 0, exppz q exppz 2 q exppz z 2 q. (2) exppizq cos z i sin z. (22) expp izq cos z i sin z. (23) e z e x e iy e x pcos y i sin yq. (24) z z pcos φ i sin φq z e iφ. (25) Zadanie 6. Udowodnić wzór Moivre a pcos φ i sin φq n cospnφq i sinpnφq. (26)
7 Równania różniczkowe * 7. Wstęp - oscylator armoniczny Rozważmy ruc ciężarka na sprężynie (oryzontalny ruc bez tarcia). Możemy go opisać następującym równaniem: ma kx, gdzie siła kx jest siłą sprężystości Hooka. Pamiętajmy, iż przyspieszenie jest drugą pocodną położenia op czasie: a d2 x dt 2. Teraz nasze równanie ma postać: d 2 x dt 2 k m x To równanie spełnione jest przez funkcje xptq A cospωt δq, gdzie ω 2 k m. (Podstaw i sprawdź!) Wartości A i δ zależą od warunków początkowyc, czyli w jakim położeniu znajdował się ciężarek i jaką miał prędkość w cwili początkowej czyli t 0. 7.2 Zadania rozszerzone Zadanie. Nieuważny kot wypada z balkonu (uwaga - nic mu się nie dzieje). Wyjaśnij dlaczego tak się dzieje przyjmując, że na spadającego kota działa siła grawitacji i siła oporu powietrza (F αv). Przeanalizuj zależność prędkości kota od czasu. Czy może on osiągnąć dowolnie dużą prędkość (Podpowiedź: należy rozwiązać równanie: m dv dt mg αv) Zadanie 2. Jaka będzie zależność położenia od czasu oscylatora armonicznego (ciężarek na sprężynie ustawionej oryzontalnie) w wypadku gdy dodatkowo działa na niego siła oporu (np związana z oporami powietrza), bądź tarcia wprost proporcjonalna do prędkości αmv. (Podpowiedź: należy rozwiązać równanie: m d2 x dt αm dx 2 dt kx.) Zadanie 3. Jak zmieni się zależność położenia od czasu oscylatora armonicznego z poprzedniego zadania gdy dołożymy siłę wymuszającą drgania przeciwko tarciu i oporom w postaci fptq f 0 cospωtq. (Podpowiedź: należy rozwiązać równanie: m d2 x dt αm dx 2 dt kx fptq.)