Zadania z fizyki Wydział PPT 5 Zasady dynamiki Uwaga: Zadania oznaczone przez (c) należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach. Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale również obowiązkowe. Zad. 1(c). Kręcimy kamieniem na sznurku w płaszczyźnie pionowej. W pewnym momencie przecinamy sznurek. Naszkicować dalszy ruch kamienia, jeśli przecięcie sznurka nastąpiło w jednym z momentów zaznaczonych na rysunku obok. Zad. 2(c). Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona siła, z jaką sanie działają na konia jest równa co do wartości sile, z jaką koń działa na sanie. Dlaczego więc sanie zawsze podążają za koniem, a nie odwrotnie? Zad. 3(c). Zidentyfikować siły zewnętrzne działające na samochód jadący prosto ze stałą prędkością. Jaki jest kierunek siły tarcia pomiędzy oponami a nawierzchnią drogi w tym przypadku? Zad. 4(c). Dwaj dorośli i dziecko próbują pchnąć wózek na kółkach w kierunku osi x (rysunek obok). Dorośli działają na wózek z siłami F 1 i F 2 pokazanymi na rysunku. (a) Znajdź wartość i kierunek najmniejszej siły, jaką musi do wózka przyłożyć dziecko. (b) Jeśli zadziała ono z taką siłą i wózek nabierze przyspieszenia 2,00 m/s, to jaka jest masa wózka? Zad. 5. Balon o łącznej masie M (z załogą, ładunkiem i balastem) opada z przyspieszeniem a. Jaką masę balastu należy z niego wyrzucić, aby zaczął się wznosić z takim samym co do wartości przyspieszeniem? Wskazówka: na balon działa siła ciężkości i stała siła wyporu powietrza. Zad. 6(c). Ładunek powieszono na stalowym kablu zawieszonym na dwóch linach jak na rysunku. (a) rozrysuj siły działające na węzeł łączący kabel z linami. Która z lin jest poddana większemu naprężeniu? (b) Wytrzymałość lin wynosi 5000 N. Jaki największy ciężar utrzyma to urządzenie? Można pominąć ciężary kabla i lin. 1
Zad. 7. Indiana Jones pokonuje przepaść we właściwy sobie sposób pokazany na rysunku. Na środku liny zatrzymuje się na odpoczynek. Wytrzymałość liny równa jest 2,50 10 4 N, a masa bohatera wynosi 90,0 kg. (a) Znajdź naprężenie liny dla kąta θ = 10,0. (b) Jaka jest najmniejsza wartość tego kąta, przy jakiej lina się nie zerwie? Zad. 8. Alpinista zjeżdża po linie z pionowej ściany skalnej w taki sposób, że wisząc na linie opiera się nogami prostopadle o skałę. Lina, zaczepiona w górnej części ściany, tworzy z nią kąt α = 15. Znaleźć naprężenie liny i nacisk nóg alpinisty na ścianę. Zad. 9*. Koralik może przemieszczać się po torze w kształcie paraboli y = αx 2. Współczynnik tarcia wynosi µ s. Na jakiej największej wysokości koralik może pozostawać w spoczynku? Zad. 10(c). Dwa klocki o masach m A i m B leżące na poziomym stole (rysunek) pchane są poziomą siłą F. Znaleźć przyspieszenie układu i siłę nacisku pomiędzy klockami w przypadku (a) idealnie gładkiego stołu; (b) tarcia kinetycznego o współczynniku µ k pomiędzy klockami a stołem. (c) Jaka jest najmniejsza wartość siły, przy której klocki ruszą z miejsca, jeśli współczynnik tarcia statycznego wynosi µ s? (d) Jakie będzie wtedy przyspieszenie klocków? Zad. 11. Tramwaj składa się z dwóch wagonów o masach m 1 i m 2, z których tylko pierwszy ma silnik. Siła tarcia działająca na koła pierwszego wagonu wynosi T. Z jaką siłą ciągnie on drugi wagon? Zad. 12. Z jakim przyspieszeniem musi się poruszać pojazd, by klocek przylegający do jego pionowej przedniej powierzchni nie spadł? Współczynnik tarcia statycznego wynosi µ s. Zad. 13(c). Na ciało o masie m leżące na płaskiej poziomej powierzchni zaczęła w chwili t = 0 działać siła zależna od czasu według wzoru F = bt, gdzie b jest stałą. Kierunek siły stale tworzy kąt α z poziomem. Jaką prędkość będzie mieć ciało w momencie oderwania się od powierzchni w przypadku (a) braku tarcia; (b) tarcia kinetycznego o współczynniku µ s, na tyle małym, że ciało będzie się poruszać? Zad. 14*. Dwa klocki o masach m 1 i m 2 są połączone swobodną sprężyną i leżą na poziomej powierzchni. Współczynnik tarcia pomiędzy klockami a powierzchnią jest równy µ s = µ k = µ. Jaką najmniejszą poziomą siłę należy przyłożyć do klocka o masie m 1, aby klocek o masie m 2 ruszył się z miejsca? Zad. 15(c). Na stalowej równi pochyłej leży aluminiowa skrzynia. Współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego dla tych dwóch materiałów wynoszą, odpowiednio, 0,61 i 0,47. Znaleźć przedział kątów nachylenia równi, dla których skrzynia może zarówno spoczywać, jak i zsuwać się po równi. 2
Zad. 16(c). W sytuacji na rysunku ciała mają identyczne masy m = 1 kg, natomiast wykonane są z różnych materiałów, co powoduje, że współczynnik tarcia pomiędzy nimi, a równią wynosi µ 1 = 0,2 dla ciała na górze i µ 2 = 0,1 dla ciała na dole. Kąt nachylenia równi wynosi α = 60. Jaką wartość ma naprężenie nici? m µ2 m µ1 α Zad. 17. Dwie skrzynie związane nicią znajdują się na równiach pochyłych jak na rysunku obok. Znajdź przyspieszenie układu i naprężenie nici w przypadku (a) braku tarcia; (b) jednakowego, słabego tarcia o współczynniku µ k = 0,20. (c)* Przeanalizuj wszystkie możliwe przypadki stanu układu oraz naprężenie nici w przypadku wystąpienia tarcia pomiędzy skrzyniami a równią, przy czym współczynniki tarcia mogą być różne. Zad. 18. Ciało o masie m zostało wprawione w ruch pod górę po równi pochyłej nachylonej pod kątem α do poziomu. Początkowa prędkość ciała wynosi v 0, a współczynnik tarcia µ. Jaką drogę przebędzie ciało do chwili zatrzymania się? Zad. 19(c). Spadkownica Atwooda. W sytuacji na rysunku rozrysuj siły działające na obciążnik i na platformę z cegłami. Znajdź przyspieszenie platformy i naprężenie liny. Bloczek i lina są bardzo lekkie. Zad. 20. Załóżmy, że w sytuacji jak na rysunku obok bloczek nie jest zamocowany, lecz przyłożono do niego siłę nadającą mu przyspieszenie o wartości a = g/2 w górę. Znajdź naprężenie liny i przyspieszenie platformy z cegłami w takim przypadku. Zad. 21. Na końcach nieważkiej nici przerzuconej przez nieważki bloczek zawieszono ciężarki o masach m i αm, gdzie α > 1. Obliczyć α, jeśli wiadomo, że przyspieszenie układu wynosi 1 2 g. W układzie nie występuje tarcie. Zad. 22. Z małpą. Małpa o masie 20 kg wspina się po linie przerzuconej przez bardzo lekki bloczek, usiłując dostać się do kiści bananów o takiej samej masie, zawieszonej na drugim końcu liny (rysunek). (a) jak przemieszczają się banany, gdy małpa się wspina? (b) Jak zmienia się wtedy odległość pomiędzy małpą a bananami? (c) w pewnym momencie małpa puszcza linę. Jak zmienia się jej odległość od bananów w czasie jej spadku (pomiń opór powietrza)? (d) Nim małpa spadła na ziemię, ponownie złapała linę. Co się wtedy dzieje z bananami? 3
Zad. 23*. Dwa ciała o masach 5,00 kg i 2,00 kg wiszą na jednakowej wysokości 0,600 m nad podłogą na końcach liny o długości 6,00 m przerzuconej przez lekki bloczek. Oba ciała początkowo spoczywają. Znajdź największą wysokość osiągniętą przez lżejsze cialo. Zad. 24(c). Wielokrążek potęgowy. Z jaką siłą musi działać robotnik na swobodny koniec liny w urządzeniu pokazanym obok, by umieść przedmiot o ciężarze Q? Bloczek i lina są bardzo lekkie. Zad. 25. Wielokrążek zwykły. Z jaką siłą musi działać robotnik na swobodny koniec liny w urządzeniu pokazanym obok, by umieść przedmiot o ciężarze Q? Bloczek i lina są bardzo lekkie. Rozważ uproszczony przypadek, w którym wszystkie liny przebiegają pionowo (to jest dobre przybliżenie, jeśli odcinki lin są długie dlaczego?). Czy ułożenie lin na rysunku jest poprawne, jeśli ruch ładunku odbywa się w pionie? Źródło grafiki: Wikipedia, http://pl.wikipedia.org/wiki/wielokrążek Zad. 26(c). Znaleźć przyspieszenie obu mas i naprężenie liny w układzie na rysunku obok, gdy (a) nie występuje tarcie; (b) współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy klockiem a stołem ma niedużą wartość µ k. Zad. 27*. Klocek o masie m umieszczono na równi pochyłej o masie M i kącie nachylenia α, która może się ślizgać po podłożu. Opisz ruch układu (a) bez tarcia; (b) dla różnych wartości współczynników tarcie pomiędzy klockiem a równią i pomiędzy równią a podłożem. Przeanalizuj przypadki graniczne, w których jeden ze współczynników tarcia jest bardzo duży. Dla uproszczenia przyjmij, że współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego są równe. W obu przypadkach (a) i (b) znajdź tor ruchu klocka w układzie odniesienia spoczywającego (względem podłoża) obserwatora. Zad. 28(c). Dla rzutu ukośnego (nad poziomą powierzchnią) z początkową prędkością v 0 skierowaną pd kątem θ do poziomu znaleźć ogólne wyrażenia na (a) czas lotu; (b) czas, po jakim osiągnięty zostanie najwyższy punkt toru; (c) wysokość toru w najwyższym punkcie; (d) zasięg. Zad. 29(c). Dla jakiego kąta rzutu zasięg jest największy przy ustalonej wartości prędkości początkowej? 4
Zad. 30. W którym momencie ruchu w przypadku rzutu ukośnego przyspieszenie normalne jest największe? A przyspieszenie styczne? (Wskazówka: zadanie najłatwiej jest rozwiązać graficznie, rozkładając przyspieszenie na składowe styczną i normalną w różnych punktach trajektorii). Zad. 31*. Wyznacz zależność wartości prędkości oraz przyspieszenia stycznego i normalnego od czasu dla rzutu ukośnego. Zad. 32. Pracownik ogrodu zoologicznego strzela pociskiem usypiającym do małpy wiszącej na gałęzi. Małpa puszcza gałąź w momencie wystrzału. Udowodnij, że jeśli strzelba w momencie strzału wycelowana jest w małpę, to pocisk trafi w nią, o ile tylko zdąży ją dosięgnąć, nim małpa wyląduje na ziemi. Pomiń opór powietrza. Zad. 33(c). Kaskader na motocyklu skacze z krawędzi urwiska. Jego początkowa prędkość wynosi 9,0 m/s i jest skierowana poziomo. Znaleźć położenie motocykla, jego odległość od krawędzi klifu oraz jego prędkość po 0,50 s lotu. Przyjąć g = 9,8 m/s 2. Zad. 34. Pływak skacze z rozbiegu do wody z urwiska, wybijając się poziomo (rysunek). Jaka musi być jego minimalna prędkość na szczycie klifu, by minął położoną o 9,00 m niżej półkę o szerokości 1,75 m? Zad. 35. Wewnątrz statku kosmicznego spoczywającego na ziemi piłka stacza się z blatu poziomego stołu i ląduje w odległości d od jego podstawy. Po wylądowaniu na niezbadanej dotąd Planecie X kapitan statku zrzuca tę samą piłkę z tego samego stołu z taką samą prędkością początkową i stwierdza, że ląduje ona w odległości 2,76d od podstawy stołu. Jakie jest przyspieszenie spadku swobodnego na Planecie X? Zad. 36. Profesor fizyki w wolnych chwilach ćwiczy wyczyny kaskaderskie na motocyklu. Próbuje ona przeskoczyć płynącą kanionem rzekę, której brzeg tworzy skarpę, jak pokazano na rysunku obok. Nachylenie skarpy wynosi 53,0, rzeka ma 40,0 m szerokości, kanion jest głęboki na 100 m, a drugi brzeg jest 15,0 m poniżej krawędzi skarpy. Można pominąć opór powietrza. (a) Jaka musi być prędkość profesor na skraju skarpy, aby dotarła ona do krawędzi drugiego brzegu? (b) Jeżeli jej prędkość była o połowę niższa od wartości znalezionej się w części (a), to gdzie ona wyląduje? Zad. 37. Cząstka porusza się w płaszczyźnie xy z prędkością v = αî+βxĵ, gdzie α i β są stałymi. W chwili t = 0 cząstka znajduje się w punkcie x = y = 0. Znaleźć (a) równanie toru cząstki y(x); (b) zależność promienia krzywizny toru od x. Zad. 38*. (Rzut poziomy na stoku). (a) Łucznik na stoku o nachyleniu 30 w górę mierzy do celu znajdującego się 60 m dalej na pochyłości. Strzała w łuku i środek tarczy znajdują się na takiej samej wysokości 1,50 m nad ziemią. Prędkość początkowa strzały tuż po opuszczeniu łuku ma wartość 32,0 m/s. Pod jakim kątem od poziomu powinien strzelać łucznik, by trafić w tarczę? 5
Jeśli są dwa takie kąty, to znajdź mniejszy. Być może będziesz musiał rozwiązać równanie na kąt metodą prób i błędów albo przy pomocy komputera. Jak ma się znaleziony kąt do wymaganego w przypadku, gdy teren jest poziomy? (b) Rozwiąż analogiczne zagadnienie w przypadku terenu nachylonego pod kątem 30 w dół. Zad. 39*. Znajdź największy kąt rzutu ukośnego (względem poziomu), dla którego tor ma tę własność, że odległość poruszającego się obiektu od punktu początkowego zawsze rośnie. Pomiń opór powietrza. Zad. 40*. Rakieta przeznaczona do umieszczania małych ładunków na orbicie wynoszona jest na wysokość 12,0 km npm przez przebudowany odpowiednio samolot pasażerski. Gdy samolot leci w linii prostej ze stałą prędkością 850 km/h, upuszcza rakietę. Następnie samolot zachowuje tę samą wysokość i prędkość i kontynuuje lot w linii prostej. Rakieta spada przez krótki czas, po którym włącza się jej silnik rakietowy. Po włączeniu silnika łączny efekt sił ciągu i ciężkości nadają rakiecie stałe przyspieszenie o wartości 3,00g, skierowane pod kątem 30,0 od poziomu. Ze względów bezpieczeństwa, rakieta powinna przelecieć co najmniej 1,00 km przed samolotem, gdy osiąga jego wysokość. Twoje zadanie polega na określeniu minimalnego czasu, przez jaki rakieta musi opadać, zanim uruchomi się jej silnik. Można zaniedbać opór powietrza. Odpowiedź powinna zawierać (i) diagram ukazujący tory rakiety i samolotu, opisany w kilku punktach wektorami prędkości i przyspieszeń; (ii) wykres x(t) pokazujący ruchy rakiety i samolotu; oraz (iii) wykres y(t) pokazujący ruchy rakiety i samolotu. Na diagramie i wykresach wskaż, chwile, w których: rakieta zostaje upuszczona, włącza się jej silnik, osiąga ona wysokość samolotu. Zad. 41*. Kulka została rzucona z wysokości h z początkową prędkością o wartości v, skierowaną poziomo. Przy każdym uderzeniu o podłoże kulka traci część swojej prędkości: stosunek składowych pionowych prędkości po i przed zderzeniem wynosi α. Nie występuje tarcie, więc składowa pozioma prędkości nie zmienia się. W jakiej odległości (w kierunku poziomym) od miejsca wyrzucenia kulki ustaną jej podskoki? Zad. 42(c). Model samochodu o masie 0,800 kg porusza się ze stałą co do wartości prędkością po torze biegnącym wewnątrz pionowej pętli o promieniu 5,00 m. (a) Jeśli siła reakcji toru w najwyższym punkcie wynosi 6,00 N, to jaka jest siła reakcji toru w najniższym punkcie? (b) Z jaką najmniejszą prędkością musi się poruszać ten model samochodu, by nie oderwał się od toru w żadnym punkcie? Zad. 43(c). Droga w małym miasteczku ma łagodną krzywiznę o promieniu 100 m. Dopuszczalna prędkość wynosi tam 40 km/h. Po małym opadzie śniegu zakręt stał się śliski. Czy samochód jadący z maksymalną dozwoloną prędkością wpadnie w poślizg, jeśli (a) współczynnik tarcia opon o nawierzchnię równy jest 0,20, a zakręt nie jest nachylony; (b) współczynnik tarcia wynosi 0,10, a droga na zakręcie ma poprzeczne nachylenie o kącie 10? 6
Zad. 44. Mały koralik może przesuwać się bez tarcia po okrągłej obręczy o promieniu 0,100 m, leżącej w płaszczyźnie pionowej. Obręcz obraca się ze stałą szybkością 4,00 obr/s wokół pionowej osi (rysunek). (a) Znajdź kąt β, przy którym koralik jest w równowadze względem obręczy (oczywiście ma on nadal przyspieszenie w kierunku osi). (b) Czy jest możliwe, by koralik zataczał obroty na wysokości środka obręczy? (c) Co się stanie, jeśli obręcz będzie się obracać z szybkością 1,00 obr/s? Zad. 45*. Kierowca jadący we mgle po poziomej powierzchni zauważa nagle ścianę położoną prostopadle do kierunku jazdy. Jaki manewr powinien wykonać w celu uniknięcia zderzenia: hamować, czy zakręcać? Przyjmij, że maksymalna wartość siły tarcia pomiędzy oponami a podłożem nie zależy od kierunku. Zad. 46*. Efekt Coriolisa. Wykaż, że punkt materialny poruszający się wzdłuż południka obracającej się Ziemi ze stałą względem powierzchni Ziemi prędkością ma składową przyspieszenia prostopadłą do kierunku prędkości i do osi obrotu. Jaka jest jej wartość? Znajdź prostopadłą siłę, z jaką pociąg o masie 2000 ton i jadący na północ naciska na tory. 7