Wykład 5 - całki ruchu zagadnienia n ciał i perturbacje ruchu keplerowskiego 20.03.2013
Układ n ciał przyciągających się siłami grawitacji Mamy n ciał przyciągających się siłami grawitacji. Masy ciał oznaczamy m i. Współrzędne ciał w układzie inercjalnym oznaczamy ξ i, η i, ζ i Równania ruchu: m i ξi = Gm i m i η i = Gm i m i ζ i = Gm i j=1,j i j=1,j i j=1,j i ξ i ξ j ij η i η j ij ζ i ζ j ij
Stałe ruchu układu n ciał Mamy 3n równań drugiego stopnia dla 3n zmiennych - do ich rozwiązania potrzebnych jest 6 n stałych ruchu Wysumowanie kolejno sumując n - równań otrzymujemy: m i ξi = 0 a całkując po czasie n m i ξ i = a 1, m i η i = 0 m i ζi = 0 n m iη i = a 2, n m i ζ i = a 3
Ruch środka masu układu n - ciał m i ξ i = a 1 t + b 1 m i η i = a 2 t + b 2 m i ζ i = a 3 t + b 3
Ruch środka masu układu n - ciał Jeżeli masa układu jest równa M = n m i to ξ 0 = 1 M η 0 = 1 M ζ 0 = 1 M m i ξ i m i η i m i ζ i Barycentrum układu n punktów oddziałujących grawitacyjnie porusza się rucheednostajnym prostoliniowym. Równania w układzie środka masy mają taką samą postać jak w dowolnym układzie inercjalnym.
Potencjał wzajemnego oddziaływania U = Gm i ξ i ξ i U = 1 2 G j=1,j i j=1,j i r ij = Gm i m i r ij j=1,j i ξ i ξ j ij Możemy podobnie zapisać U/ η i i U/ ζ i, co pozwoli nam zapisać równania ruchu w postaci: m i ξi = U ξ i, m i η i = U η i, m i ζi = U ζ i
Całki pól Zapisujemy równania ruchu w układzie środka masy i mnożymy równania na ζ i przez η i, a równania na η i przez ζ i i odejmujemy je od siebie stronami. m i (η i ζ ζ η) = Gmi j=1 η i (ζ i ζ j ) ζ i (η i η j ) ij m i (η i ζ ζ η) = Gmi j=1 η i ζ j ζ i η j ) ij Zapisujemy analogiczne równania dla par współrzędnych ζ i, ξ i i ξ i, η i. Przy sumowaniu po i prawe sumy po prawych stronach równań są równe 0 (wyrazy sum znoszą się parami bowiem każdej parze wartości i,j odpowiada para j,i.
Całki pól c. d. Otrzymujemy trzy równania: m i (η i ζ ζ η) = 0 m i (ζ i ξ ξ ζ) = 0 m i (ξ i η η ξ) = 0 Całkując je otrzymujemy trzy całki zwane całkami pól:
Całki pól c. d. m i (η i ζ ζ η) = c 1 m i (ζ i ξ ξ ζ) = c 2 m i (ξ i η η ξ) = c 3 Lewe strony równań przedstawiają ogólne momenty pędów układu n punktów materialnych względem osi współrzędnych. Wyrażenia w nawiasach są rzutami prędkości polowej poszczególnych punktów materialnyn na trzy fundamentalne płaszczyzny układu współrzędnych ξ, η, ζ.
Całka energii. Mnożymy równania m i ξ i = U ξ i, m i η i = U η i, m i ζ i = U ζ i odowiednio przez ξ i, η i, ζ i, dodajemy do siebie stronami i sumujemy po i aby otrzymać m i ( xi i ξ i + η i η i + ζ i ζ i ) = ( U ξ i + U η i + U ) ζ i ξ i η i ζ i Całkując te równanie po czasie (prawa strona jest równa du/dt) otrzymujemy: 1 2 2 m i ( xi i + ηi 2 2 + ζ i ) = U + h h - stała całkowania, U - energia potencjalna względem środka masy T = 1 n 2 m 2 i( ξ i + ηi 2 2 + ζ i ) - energia kinetyczna.
Stałe równań ruchu w zagadnieniu n ciał W zagadnieniu n ciał znamy 10 stałych ruchu (potrzebujemy 6n). Zagadnienie ruchu trzech ciał umiemy całkować tylko w szczególnych przypadkach. 1887 Bruns udowodnił, że we współrzędnych prostokątnych pokazane przez nas 10 całek jest jedynymi niezależnymi algebraiczymi całkami ruchu ogólnego zagadnienia trzech ciał. Pomimo, że zagadnienia n ciał (a nawet trzech ciał) nie możemy rozwiązać w sposób ścisły to ruchy ciał w Układzie Słonecznym potrafimy przewidzieć w stosunkowo niedługich interwałach czasu posługując się metodami numerycznymi, metodami analitycznymi teorii perturbacji lub rozwijaniem na szeregi.
Równania ruchu względnego n ciał Zakładamy, że ciało n posiada największą masę i względem niego będziemy rozpatrywać ruch pozostałych ciał. x i = ξ i ξ n y i = η i η n z i = ζ i ζ n Z równań ruchu otrzymamy: n 1 m ξ i = k 2 ξ i ξ j m i rij 3 j=1 k 2 m i m n ξ i ξ n in i analogiczne wyrażenia na m η i i m ζ i
Równania ruchu względnego n ciał c. d. natomiast: n 1 ẍ i + ξ n = k 2 x i x j rij 3 j=1 n 1 ÿ i + η n = k 2 y i y j rij 3 j=1 n 1 z i + ζ n = k 2 z i z j rij 3 j=1 k 2 m n x i in k 2 m n y i in k 2 m n z i in ξ n = k 2 n 1 j=1 x j jn η n = k 2 n 1 j=1 y j jn ζ n = k 2 n 1 j=1 z j jn
Równania ruchu względnego n ciał c. d. Podstawiając i wydzielając w prawych stronach ruchu wyraz w który = i, otrzymujemy (po prawej stronie sumujemy po j i, x n = 0 ) : ẍ i + k 2 (m n + m i ) x i in ÿ i + k 2 (m n + m i ) y i in z i + k 2 (m n + m i ) z i in n 1 = k 2 j=1 n 1 = k 2 j=1 n 1 = k 2 j=1 x i x j ij y i y j ij y i y j ij n 1 k 2 x i rin 3 j=1 n 1 k 2 y i rin 3 j=1 n 1 k 2 y i rin 3 j=1
Funkcja perturbacyjna i równania ruchu względnego Wprowadzając funkcję nazywaną funkcją perturbacyjną ( ) n 1 R ij = k 2 1 x ix j + y i y j + z i z j r ij j=1 rjn 3 możemy równania ruchu względnego zapisać w postaci: (,2,.., n-1, i j) ẍ i + k 2 (m n + m i ) x i in ÿ i + k 2 (m n + m i ) y i in z i + k 2 (m n + m i ) z i in = R ij x i = R ij y i = R ij z i
Funkcja perturbacyjna i równania ruchu względnego ẍ i = ÿ i = z i = x i y i z i ( k 2 ) (m n + m i ) + R ij r in ( k 2 ) (m n + m i ) + R ij r in ( k 2 ) (m n + m i ) + R ij r in Jeżeli masy wszystkich punktów materialnych (oprócz m n i m i są równe zeru, to R ij = 0 i równania opisują ruch keplerowski. Wszystkie odchylenia od ruchu keplerowskiego wynikają z obecności R ij.
Perturbacje w Układzie Słonecznym Masa Słońca jest około 700 razy większa od sumy mas wszystkich planet Najmasywniejsza planeta, Jowisz ma masę ok 1000 razy mniejszą niż Słońce ( ale 318 razy większą niż Ziemia). Siła przyciągania grawitacyjnego Ziemi przez Jowisza nie przekracza 1/17000 siły przyciągania grawitacyjnego Słońca. W przypadku Marsa nie przekracza 1/6000, a w przypadku Saturna 1/250 Orbity planet będą opisywane jako perturbowane orbity keplerowskie
Orbita oskulacyjna i orbita pośrednia Orbita oskulacyjna - orbita keplerowska na której w danej chwili czasu ciało posiada takie samo położenie i prędkość jak na orbicie rzeczywistej. Orbita pośrednia - orbita keplerowska na której w danej chwili czasu ciało posiada takie samo położenie jak na orbicie prawdziwej, natomiast ruch rzeczywisty i ruch keplerowski mają różne prędkości
Grawitacyjne sfery planet Co mamy zrobić w sytuacji, gdy obliczamy orbity księżyców względem planet, lub orbitę planetoidy, która zbliża się do planety. Kiedy powinniśmy traktować ruch ciała względem planety za perturbowany przez Słońce a kiedy jako ruch orbitalny względem Słońca z perturbowany przez planetę?
Grawitacyjne sfery planet - przypadek poglądowy Rozważmy Słońce (masa = 1), planetę o masie m i punkt materialny P o pomijalnej masie. r - odległość punktu P od Słońca r 1 - odległość planety od Słońca - odległość punktu P od planety 2 = (x x 1 ) 2 + (y y1) 2 + (z z 1 ) 2 Równania ruchu punktu P możemy zapisać jako analogicznie dla ÿ i z ẍ + k 2 x = k2 m( x 1 x 3 x 1 ) 1
Grawitacyjne sfery planet c.d. Równania niezakłóconego ruchu heliocentrycznego planety mają postać: ẍ 1 + k 2 x 1 r1 3 = 0 i analogicznie dla ÿ 1 i z 1 Przyjmujemy środek planety za początek nowego prostokątnego układu współrzędnych ξ, η, ζ o osiach równoległych do układu x, y, z. ξ = x x 1 η = y y 1 ζ = z z 1 Równania ruchu punktu P względem planety będą miały postać: i analogicznie dla η i ζ ξ + k 2 ξ 3 = k2 ( x 1 1 x )
Grawitacyjne sfery planet c.d. Wprowadzimy następujące wielkości: R przyspieszenie pochodzące od Słońca w układzie związanym ze Słońcem. F przyspieszenie pochodzące od planety w układzie związanym ze Słońcem. R 1 przyspieszenie pochodzące od planety w układzie związanym z planetą. F 1 przyspieszenie pochodzące od Słońca w układzie związanym z planetą. R = k2 r 2 R 1 = k2 m 2
F = k 2 m [ (x1 x 3 x ) 2 ( 1 y1 y r1 3 + 3 y ) 2 ( 1 z1 z r1 3 + 3 z ) ] 2 1/2 1 r1 3 [ ( F = k 2 x1 r1 3 x ) 2 ( y1 r1 3 y ) 2 ( z1 r1 3 z ) ] 2 1/2 Przyjmiemy założenie, że sfera działania planety będzie ograniczona powierzchnią na której F R = F 1 R 1
Grawitacyjne sfery planet c.d. Pamiętając, że i otrzymujemy: (x 1 x) 2 6 + (y 1 y) 2 6 + (x 1 x) 2 6 = 1 4 x 2 1 + y 2 1 + z2 1 r 6 1 = 1 r 4 1 i [ 1 F = k 2 m 4 + 1 r1 4 [ 1 F 1 = k 2 m 4 + 1 r1 4 = 2 (x ] 1ξ + y 1 η + z 1 ζ) 1/2 3 r1 3 = 2 (x ] 1x + y 1 y + z 1 z) 1/2 r1 3
Grawitacyjne sfery planet c.d. Gdy wprowadzimy kąt φ o wierzchołku w planecie z ramionami skierowanymi na Słonce i punkt P, oraz wprowadzimy parametr u = /r 1 będziemy mogli zapisać oraz cos φ = x 1ξ + y 1 η + z 1 ζ r 1 x 1 x +y 1 y +z 1 z = x 1 (x 1 +ξ)+y 1 (y 1 +η)+z 1 (z 1 +ζ) = r 2 1 (1 u cos φ) r 2 = (x 1 + ξ) 2 + (y 1 + η) 2 + (z 1 + ζ) 2 = r 2 1 (1 2u cos φ + u 2 )
Grawitacyjne sfery planet c.d. i F = k2 m 2 ( 1 2u cos φ + u 4 ) 1/2 F 1 = k2 u 2 [ 1 + (1 2u cos φ + u 2 ) 2 2(1 u cos φ)(1 2u cos φ + u 2 ) 1 2 (1 2u cos φ + u 2 )
Grawitacyjne sfery planet c.d. 1 = r 1 [ m 2 (1 + 3 cos φ) 1/2 ] 1/5 Rozmiary sfery działania można porównać z rozmiarami sfery przyciągania - obszaru w którym siła grawitacyjnego przyciągania planety będzie większa niż siła przyciągania grawitacyjnego Słońca ( 2 = r 1 m 1/2 ). Dla Ziemi rozmiary sfery działania wynoszą: 1,min = 913 tys km, 1,max = 994 tys km. Natomiast rozmiary sfery przyciągania: 2,min = 256 tys km, 2,max = 265 tys km. Widzimy, że Księżyc znajduje się poza sferą przyciągania Ziemi, natomiast orbita Księżyca znajduje z bardzo dużym marginesem wewnątrz sfery działania Ziemi.