Akademia Morka w dyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria terowania Miroław Tomera. ELEMENTY SCEMATU BLOKOWEO Opi układu przy użyciu chematu blokowego jet zeroko i powzechnie toowany w analizowaniu działania układów automatyki. Schemat blokowy dotarcza informacji o powiązaniach pomiędzy blokami i ygnałami. Projektant może w łatwy poób dodawać bloki do itniejącego chematu w celu poprawienia jakości terowania. Układy terowania mogą kładać ię z pewnej liczby kładników (podzepołów. Schemat blokowy układu jet graficznym opiem funkcji wykonywanych przez każdy element i przepływające ygnały. Takie chematy opiują wpółzależności, które itnieją pomiędzy różnymi kładnikami. W odróżnieniu od abtrakcyjnego opiu matematycznego, chematy blokowe mają tę zaletę, że bardziej realitycznie przedtawiają przepływy ygnałów w układzie. Blok. Na chematach blokowych wzytkie zmienne ą powiązane ze obą poprzez bloki funkcjonalne. Bloki te ą ymbolami operacji matematycznych wykonywanych na ygnałach wejściowych i wytwarzających odpowiednie ygnały wyjściowe. Zazwyczaj tranmitancja jet funkcją opiującą zależność pomiędzy ygnałami wchodzącymi do bloku oraz wychodzącymi z niego. Bloki połączone ą trzałkami oznaczającymi kierunek przepływających ygnałów. Sygnały mogą przemiezczać ię tylko w kierunku trzałek. Na ryunku (a pokazany zotał podtawowy element chematu blokowego jakim jet blok. Zwrot trzałki w kierunku bloku oznacza wejście, a kierunek trzałki od bloku wkazuje wyjście. Strzałki oznaczają przepływające ygnały. Zaletą chematu blokowego jet to, że łatwo jet uformować chemat blokowy dla całego układu poprzez połączenie bloków przepływającymi ygnałami i wówcza możliwa jet ocena udziału każdego kładnika na jakość całego układu. Schemat blokowy zawiera informacje o zachowaniu dynamicznym układu, lecz nie zawiera żadnych informacji o jego fizycznej kontrukcji. X ( X ( X ( ( X ( X ( X ( X ( X ( X ( ( X ( X ( X ( X ( + X ( X ( + X ( (a (b (c X( X( X( X( Ry.. Elementy chematów blokowych w układach terowania liniowego. Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
Węzeł umacyjny. Okrąg na chematach blokowych oznacza operację algebraicznego umowania ygnałów. Znak plu lub minu przy każdej trzałce informuje o tym czy ygnał ten jet dodawany czy też odejmowany. Na chematach blokowych znaku plu może, ale nie mui być zaznaczony. Przy trzałkach przy których nie zaznaczono żadnego znaku to wykonywane jet dodawanie. Dla ygnałów, które mają być odejmowane mui być zawze zaznaczony znak minu. Na chemacie blokowym węzeł umacyjny może mieć wiele ygnałów wchodzących, ale tylko jeden wychodzący. Przykład węzła umacyjnego znajduje ię na ryunku (b. Węzeł rozgałęźny. Węzeł rozgałęźny (ry. c jet punktem z którego ygnał rozchodzi ię do innych bloków lub węzłów umacyjnych.. WYZNACZANIE TRANSMITANCJI WYPADKOWYC ą bardzo częto uprazczane do protzych potaci o mniejzej ilości bloków lub przekztałcane pecjalnych truktur przy użyciu algebry chematów blokowych. Rodzaje przekztałceń blokowych zebrane zotały w tabeli. przedtawiają tranformowane przy użyciu przekztałcenia Laplace'a równania układu, dlatego też przekztałcanie układu jet równoważne algebraicznemu przekztałcaniu równań. Ogólnie, przekztałcanie chematów jet łatwiejze niż poługiwanie ię bezpośrednio równaniami i dotarcza lepzego wglądu w trukturę fizyczną układu. Dla chematów blokowych z pojedynczym wejściem i wyjściem, redukcja oznacza uprazczanie chematu do potaci w której pozotanie już tylko pojedynczy blok zawierający tranmitancję znajdującą ię pomiędzy wejściem i wyjściem. W redukcji chematów blokowych, bardzo pomocne jet prowadzenie jej krok po kroku, zawze utrzymując tą amą zależność pomiędzy wejściem i wyjściem. Zatoowanie przekztałceń chematów blokowych zilutrowane zotanie na poniżzym przykładzie, w którym przeprowadzona zotała redukcja chematu blokowego. Tabela. Zaady przekztałcania chematów blokowych Przekztałcenie Schemat wyjściowy Schemat równoważny. Połączenie kakadowe X X X X ( ( X lub X X. Połączenie równoległe ( X X X X + (. Eliminowanie pętli przężenia X X X + X. Przenieienie węzła umacyjnego z wejścia na wyjście bloku X X X X X X Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
c.d. tabeli. Przekztałcenie Schemat wyjściowy Schemat równoważny. Przenieienie węzła umacyjnego z wyjścia na wejście bloku X X X X X X. Przenieienie węzła rozgałęźnego z wyjścia na wejście bloku X X X X X X. Przenieienie węzła rozgałęźnego z wejścia na wyjście bloku X X X X X X 8. Zamiana miejcami węzłów umacyjnych ąiadujących ze obą X Y X X Y X X X 9. Zamiana miejcami węzłów rozgałęźnych ąiadujących ze obą X X X X X X X X 0. Zamiana miejcami węzła umacyjnego i rozgałęźnego X Y Y X Y Y X X. Zamiana miejcami węzła rozgałęźnego i umacyjnego X Y X Y X X X X Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
Przykład Schemat blokowy kładający ię z wielu pętli pokazany zotał na ryunku.. Itotne jet zwrócenie uwagi na to, że ygnał ( Y( jet ygnałem przężenia dodatniego, natomiat pętla ( ( ( nazywana jet pętlą dodatniego przężenia zwrotnego. Procedura przekztałcania chematu blokowego z ryunku. opiera ię na zatoowaniu reguły numer z tabeli, która eliminuje pętle przężenia. Ry... Układ terowania z wieloma pętlami Aby wyeliminować pętlę, należy przeunąć blok za blok poprzez zatoowanie reguły z tabeli, uzykuje ię wówcza chemat pokazany na ryunku.. Natępnie eliminując pętlę przez zatoowanie reguły z tabeli, uzykuje ię układ pokazany na ryunku.. Po wyeliminowaniu pętli wewnętrznej zawierającej uzykuje ię chemat pokazany na ryunku.. Otatecznie poprzez zredukowanie pętli zewnętrznej zawierającej uzykuje ię wypadkową tranmitancję zatępczą całego układu pokazaną na ryunku.. Ry... Pierwzy krok przekztałcania chematu z ryunku.. Ry... Drugi krok przekztałcania chematu z ryunku.. Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
+ Ry... Trzeci krok przekztałcania chematu z ryunku.. + + Ry... Tranmitancja wypadkowa uzykana w wyniku przekztałcania chematu z ryunku.. Pouczające jet przeanalizowanie licznika i mianownika uzykanej tranmitancji zatępczej. Licznik kłada ię z iloczynu tranmitancji bloków znajdujących ię w gałęzi wiodącej ygnał z wejścia na wyjście. Mianownik, natomiat wyrażony jet jako minu uma tranmitancji każdej pętli. Znak pętli jet ujemny ponieważ jet ona dodatnią pętlą przężenia zwrotnego, podcza gdy pętle oraz ą pętlami o przężeniu ujemnym. Aby ułatwić zrozumienie tej uwagi, mianownik może być zapiany natępująco M( (. WYZNACZANIE PRZY UŻYCIU MATLABA WYPADKOWEJ TRANSMITANCJI UKŁADÓW POŁĄCZONYC KASKADOWO, RÓWNOLELE I W PĘTLI W analizie układów terowania najczęściej wytępuje potrzeba wyznaczenia zatępczej tranmitancji układów o tranmitancjach połączonych kakadowo, równolegle i w pętli zamkniętej. W MATLABIE znajdują ię dogodne polecenia pozwalające na uzykanie tranmitancji kakadowych, równoległych i ze przężeniem (operacje - z tabeli. Przypuśćmy, że ą dwa bloki o tranmitancjach ( oraz (, przy czym num num ( y ( y den den Aby uzykać tranmitancję układu połączonego: kakadowo, równolegle i w przężeniu w MATLABIE znajdują ię natępujące komendy: przy połączeniu kakadowym y erie( y, y przy połączeniu równoległym y parallel( y, y przy połączeniu w pętlę y feedback( y, y Przykład Rozważone zotaną różne konfiguracje połączeń dwóch bloków o tranmitancjach num ( y den 0 0 ( num y den Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
Zapi w MATLABIE, dla tych tranmitancji operatorowych jet natępujący >> num 0; >> den [ 0]; >> y tf( num, den Tranfer function: 0 -------------- ^ + + 0 >> num ; >> den [ ]; >> y tf( num, den Tranfer function: ----- + Połączenie kakadowe 0 + + 0 + Ry... Połączenie dwóch bloków kakadowo W przypadku kakadowego połączenia dwóch bloków w celu wyznaczenia tranmitancji wypadkowej korzyta ię z funkcji erie >> y_ erie( y, y Tranfer function: 0 ----------------------- ^ + ^ + 0 + 0 Połączenie równoległe 0 + + 0 + Ry... Połączenie dwóch bloków równolegle W przypadku połączenia równoległego dwóch bloków w celu wyznaczenia tranmitancji wypadkowej korzyta ię z funkcji parallel >> y_p parallel( y, y Tranfer function: ^ + 0 + 00 ----------------------- ^ + ^ + 0 + 0 Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
Pętla przężenia 0 + + 0 + Ry... Połączenie dwóch bloków w pętlę W przypadku połączenia dwóch bloków w pętlę przężenia celu wyznaczenia tranmitancji wypadkowej korzyta ię z funkcji feedback >> y_f feedback( y, y Tranfer function: 0 + 0 ------------------------ ^ + ^ + 0 + 00 W wyznaczonych tranmitancjach wypadkowych dotęp do wpółczynników licznika i mianownika uzykuje ię przy użyciu funkcji tfdata, np. do wpółczynników wypadkowej tranmitancji z pętlą przężenia >> [num_f, den_f] tfdata( y_f, 'v' num_f 0 0 0 0 den_f 0 00. WYZNACZANIE TRANSMITANCJI WYPADKOWEJ DLA SCEMATÓW BLOKOWYC PRZY UŻYCIU REUŁY WZMOCNIEŃ MASONA Dla danego chematu blokowego zadanie wyznaczenia zależności pomiędzy wejściem i wyjściem metodą przekztałcania chematów jet zadaniem uciążliwym. Na zczęście jet dotępna reguła wzmocnień Maona, która pozwala na wyznaczenie tranmitancji wypadkowej chematu blokowego bez konieczności pracochłonnego przekztałcania go. Reguła ta zaczerpnięta zotała z teorii grafów przepływu ygnałów i zaadaptowana dla chematów blokowych. Dla chematu blokowego z N kakadami bezpośrednio łączącymi wejście z wyjściem oraz L pętlami, tranmitancja wypadkowa określona jet przez natępującą zależność: N P k k Y( k T( ( R( gdzie: tranformata ygnału wejściowego tranformata ygnału wyjściowego ( tranmitancja wypadkowa całego chematu blokowego N całkowita liczba kakadowych połączeń bezpośrednio łączących wejście z wyjściem P k tranmitancja k-tego połączenia kakadowego bezpośrednio łączącego wejście z wyjściem Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
L i L i + i Li i L +..., ( i (uma tranmitancji wzytkich pojedynczych pętli + (uma iloczynów tranmitancji wzytkich możliwych kombinacji po dwie nie tykające ię pętle (uma iloczynów tranmitancji wzytkich możliwych kombinacji po trzy nie tykające ię pętle +... itd., wyznaczana dla tej części chematu, która nie tyka ię z k-tą kakadą bezpośrednią. k Reguła wzmocnień Maona opiana wzorem ( wydaje ię być prota w użyciu, jednak oraz k ą wyrażone pewnymi zależnościami, które mogą być bardzo komplikowane w przypadku kiedy chemat ma dużą liczbę nie tykających ię pętli. Przy toowaniu reguły wzmocnień należy zwrócić uwagę na to, że toowana jet ona do wyznaczenia tranmitancji pomiędzy wejściem i wyjściem. Przykład Na ryunku. znajduje ię chemat blokowy kładający ię z dwóch pętli połączonych kakadowo. Należy wyznaczyć przy użyciu reguły wzmocnień Maona tranmitancję wypadkową Ry... Połączenie kakadowe dwóch pętli Rozwiązanie: W układzie z ryunku. znajduje ię jedna kakada bezpośrednio łącząca wejście z wyjściem i dwie pętle. Tranmitancja kakady bezpośredniej Tranmitancje pętli L P (. L (. Pętle L i L nie tykają ię z obą, dlatego też mianownik tranmitancji wyznaczany jet z zależności ( L L L L (. Obie pętle mają wpólne elementy z kakadą bezpośrednią, dlatego też wyznacznik pomocniczy jet natępujący Tranmitancja wypadkowa układu z ryunku. jet natępująca Δ (. Y( T( R( N k P k k ( L P L L L (. Przykład Na ryunku. znajduje ię chemat blokowy kładający ię z dwóch pętli połączonych równolegle. Należy wyznaczyć przy użyciu reguły wzmocnień Maona tranmitancję wypadkową Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera 8
Ry... Połączenie równoległe dwóch pętli Rozwiązanie: W układzie z ryunku. znajdują ię dwie kakady bezpośrednio łączące wejście z wyjściem i dwie pętle. Tranmitancje kakad bezpośrednich ą natępujące Tranmitancje pętli P L L P (. (. Pętle L i L nie mają wpólnych elementów, dlatego też mianownik tranmitancji wyznaczany jet z zależności ( L (. L LL Pozotają do wyznaczenia delty uzupełniające, będące mnożnikami w liczniku i tak, pierwzy tor o tranmitancji P bezpośrednio łączący wejście z wyjściem ma wpólne elementy z pętlą o tranmitancji L, natomiat nie ma wpólnych elementów z pętlą o tranmitancji L co chematycznie można zapiać P : L 0, L 0 (. Wyniki tych rozważań (. podtawia ię do uzykanego równania na i uzykuje ię L (. Drugi tor o tranmitancji P bezpośrednio łączący wejście z wyjściem ma wpólne elementy z pętlą o tranmitancji L, natomiat nie ma wpólnych elementów z pętlą o tranmitancji L P : L 0, L 0 (. Ponownie po podtawieniu wyników rozważań (. dotyczących toru o tranmitancji P do wzoru (., uzykuje ię czynnik Tranmitancja wypadkowa układu z ryunku. jet natępująca Y( T( R( N k P k k P P ( L L L L ( ( (. Przykład Inny przykład wyznaczania wypadkowej tranmitancji zatępczej złożonego chematu blokowego, rozważony zotanie dla chematu blokowego pokazanego na ryunku.. Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera 9
R E Y Y Y Y Ry... Schemat blokowy układu terowania Rozwiązanie: W układzie tym znajdują ię dwie kakady bezpośrednio łączące wejście z wyjściem i pięć pętli tykających ię ze obą (mających wpólne elementy. Tranmitancje kakad bezpośrednio łączących wejście z wyjściem Tranmitancje pętli L P P (. L L L L Wzytkie te pętle mają wpólne elementy, dlatego też (. (. Wzytkie te pętle mają wpólne elementy z kakadami bezpośrednimi, dlatego też wyznaczniki pomocnicze ą natępujące Δ (. Δ Tranmitancja wypadkowa układu z ryunku. jet natępująca Y( P T( R( P (. ĆWICZENIA C. Przekztałć poniżze chematy blokowe do potaci pokazanej na ryunku C. i określ tranmitancje ( i (. a ( ( Ry. C. Schemat blokowy docelowego układu zamkniętego. b Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera 0
c h d i j e k f l g Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
C.. Zredukuj poniżze chematy blokowe do pojedynczej tranmitancji T( Y( / R(, natępującymi metodami: Przekztałcając chemat blokowy Przy użyciu MATLABA a + + b + + c d + 0 + 0 + C. Wyznacz dla poniżzych chematów blokowych tranmitancje wypadkowe / przez zatoowanie reguły wzmocnień Maona a b Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
c d e f g Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
h 8 i 8 j k l Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
C. Dla poniżzych chematów blokowych wyznacz tranmitancje wypadkowe T( / przez zatoowanie reguły wzmocnień Maona a b c d Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
ODPOWIEDZI DO WYBRANYC ĆWICZEŃ C. C. a ( ; ( b ( ; ( c ( ; ( d ( ; ( e ( ; ( f ( ( ( g ( ; ( h ( ; ( a T( b T ( ; ( ( ( ( i ( ; ( lub ( ; ( j ( ; ( lub ( k ( ( ( ( ( ( ( l ( ( ( c T ( d T( ( ; ( ( ( 0 0 00 00 00 00 C. a T ( b T ( c T ( d T ( e T ( f T ( g T ( h T ( i T ( ( ( ( 8 ( ( ( 8 ( Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera
Otatnia aktualizacja: 0-0- M. Tomera j ( T k ( T l ( T C. a ( ( ( T b ( ( T c ( ( ( ( T d ( ( ( ( T LITERATURA. Dorf R.C., R.. Bihop, Modern Control Sytem, AddionWeley Longman, Inc., 998.. Franklin, F, Powell, J D & Emami-Naeini, A. Feedback Control of Dynamic Sytem, rd edn, Addion-Weley (99. otetter.., C.J. Savant, R.T. Stefani, Deign of Feedback Control Sytem, Saunder College Publihing, 989.. Nie N. S. Control Sytem Engineering, rd edn, John Wiley & Son, 000.. Ogata K. Modern Control Engineering, th ed, Prentice all, 00.